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Stokes-Integralsatz (Satz von Stokes) anschaulich erklärt

Inhaltsverzeichnis

Neben dem Gauß-Integralsatz werden wir auch den Stokes-Integralsatz (Satz von Stokes) brauchen, um beispielsweise die Maxwell-Gleichungen tiefgreifend zu verstehen. Der Stokes-Integralsatz besagt, dass die Rotation eines Vektorfeldes innerhalb einer Fläche gleich der Rotation des Vektorfeldes entlang des Randes dieser Fläche ist. Mathematisch ausdrückt sieht dieser Integralsatz folgendermaßen aus:

$$ \begin{align} \int_{A}\left(\nabla\times\boldsymbol{F}\right) \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{a} ~=~ \oint_{L}\boldsymbol{F} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{l} \end{align} $$

Wenn du den Gauß-Integralsatz verstanden hast, sollte dir der Stokes-Integralsatz nicht mehr total kryptisch vorkommen. Das Vektorfeld $\boldsymbol{F}$ kennst du bereits. Es hängt von drei Raumkoordinaten ab: $ \boldsymbol{F}=\boldsymbol{F}\left(x,y,z\right)$ und hat als Vektor drei Komponenten. Das Skalarprodukt in $ \boldsymbol{F}\cdot d\boldsymbol{l} $, aber auch der Nabla-Operator $\nabla$ und das infinitesimale $d\boldsymbol{a}$-Flächenstück sollten dir bekannt vorkommen, wenn du die Lektion über den Gauß-Integralsatz gelesen hast.

Das Linienintegral im Stokes-Integralsatz

Betrachten wir zuerst das Linienintegral auf der rechten Seite des Stokes-Integralsatzes 1. Das Symbol $ L $ repräsentiert eine Linie im dreidimensionalen Raum. Der Kreis am Integralzeichen gibt an, dass diese Linie geschlossen sein muss, das heißt, ihr Anfang und ihr Ende sind miteinander verbunden. Eine derartige geschlossene Linie bezeichnen wir kurz als Schleife.

Das $ \mathrm{d}\boldsymbol{l} $ ist ein infinitesimales Linienelement der Linie, also ein unendlich kleines Stück der Linie. Auch hier sollte dir auffallen, dass das $ \mathrm{d}\boldsymbol{l} $-Linienstück in fett dargestellt ist, das heißt es ist ein Vektor mit drei Komponenten: ${\mathrm{d}l}_x$, ${\mathrm{d}l}_y$ und ${\mathrm{d}l}_z$. Der Betrag des $ \mathrm{d}\boldsymbol{l} $-Linienstücks gibt die Länge dieses Linienstücks an, während seine Richtung entlang der Linie zeigt.

Ein Linienelement $ d\boldsymbol{l} $ auf der Schleife $L $ an einem Beispielort $(x,y,z)$.

Dann wird auf der rechten Seite das Skalarprodukt $ \boldsymbol{F} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{l} $ zwischen einem Vektorfeld $ \boldsymbol{F} $ und dem Linienelement $ \mathrm{d}\boldsymbol{l} $ gebildet:

$$ \begin{align} \boldsymbol{F} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{l} ~=~ F_x \, {\mathrm{d}l}_x ~+~F_y \, {\mathrm{d}l}_y ~+~ F_z \, {\mathrm{d}l}_z \end{align} $$

Was die Aufgabe dieses Skalarproduktes ist, hast du ja bereits beim Gauß-Integralsatz kennengelernt. Hier die Wiederholung: Zuerst teilst du das Vektorfeld $ \boldsymbol{F}= \class{blue}{\boldsymbol{F}_{||}} +\boldsymbol{F}_{\perp} $ in zwei Anteile auf:

In den Anteil $ \class{blue}{\boldsymbol{F}_{||}} $, der parallel zum $\mathrm{d}\boldsymbol{l}$-Linienelement zeigt.
In den Anteil $ \boldsymbol{F}_{\perp} $, der senkrecht zum $\mathrm{d}\boldsymbol{l}$-Linienelement zeigt.

Das Skalarprodukt $ \boldsymbol{F} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{l} $ eliminiert den senkrechten Anteil $ \boldsymbol{F}_{\perp} $ des Vektorfeldes $ \boldsymbol{F} $ und lässt nur den zum $ \mathrm{d}\boldsymbol{l}$-Linienelement parallelen Anteil $ \class{blue}{\boldsymbol{F}_{||}} $ des Vektorfeldes übrig. Warum nochmal ist der senkrechte Anteil Null? Weil das Skalarprodukt zweier senkrecht zueinander stehender Vektoren $ \boldsymbol{F}_{\perp} $ und $ \mathrm{d}\boldsymbol{l} $ mathematisch Null ergibt:

$$ \begin{align} \boldsymbol{F} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{l} &~=~ \left(\class{blue}{\boldsymbol{F}_{||}} + \boldsymbol{F}_{\perp}\right) \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{l} \\\\
&~=~ \class{blue}{\boldsymbol{F}_{||}} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{l} ~+~ \underbrace{\boldsymbol{F}_{\perp} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{l}}_{0}
~=~ \class{blue}{\boldsymbol{F}_{||}} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{l} \end{align} $$

Da das $ \mathrm{d}\boldsymbol{l} $-Element an jedem Punkt der Linie parallel zur Linie verläuft, bleibt im Skalarprodukt 3 nur der parallele Anteil $ \class{blue}{\boldsymbol{F}_{||}} $ des Vektorfeldes übrig, der natürlich auch entlang der Linie $L$ verläuft; alle anderen Anteile des Vektorfeldes fallen weg.

Anschließend werden auf der rechten Seite des Stokes-Integralsatzes 1 die Skalarprodukte $\boldsymbol{F} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{l}\left(x,y,z\right)$ für jeden Ortspunkt $\left(x,y,z\right)$ auf der Linie $L$ mithilfe des Integrals in 1 aufsummiert. Bezeichnen wir die rechte Seite kurz mit $U$:

$$ \begin{align} U ~:=~ \oint_{L}\boldsymbol{F} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{l} \end{align} $$

Das Linienintegral ergibt also eine Zahl $U$, die ein Maß dafür ist, wie viel von dem Vektorfeld $\boldsymbol{F} $ entlang der Linie $L$ verläuft. Weil die Linie $L$ in sich geschlossen ist, kommt die Summation wieder am selben Punkt $\left(x,y,z\right)$ an, wo die Summation begonnen hat. Das geschlossene Linienintegral $U$ gibt also anschaulich an, wie viel von dem Vektorfeld $\boldsymbol{F} $ entlang der geschlossenen Linie $L$ rotiert.

Das Flächenintegral im Stokes-Integralsatz

Betrachten wir nun das Flächenintegral auf der linken Seite des Stokes-Integralsatzes 1:

$$ \begin{align} \int_{A}\left(\nabla\times\boldsymbol{F}\right) \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{a} \end{align} $$

Im Flächenintegral kommt die Fläche $A$ vor. Im Gegensatz zum Flächenintegral mit einem Kreis um das Integralzeichen, wie beim Gauß-Integralsatz, betrachten wir hier eine offene Fläche. Sie schließt also kein Volumen ein. Das ist lediglich eine Fläche, die von der Schleife $L$ eingeschlossen wird.

Ein Flächenelement $ d\boldsymbol{a} $ innerhalb der Fläche $ A $ an einem Beispielort $(x,y,z)$.

Der Vektor $\mathrm{d}\boldsymbol{a} = ({\mathrm{d}a}_x,~{\mathrm{d}a}_y, ~{\mathrm{d}a}_z) $ repräsentiert ein unendlich kleines Flächenstück der Fläche $A$ und dieser Vektor steht senkrecht an jedem Ortspunkt $\left(x,y,z\right)$ auf dieser Fläche.

Im Flächenintegral taucht außerdem das Kreuzprodukt $ \mathrm{\nabla}\times\boldsymbol{F} $ zwischen dem Nabla-Operator \mathrm{\nabla} und dem Vektorfeld $\boldsymbol{F}$ auf. Was das Kreuzprodukt anschaulich bedeutet, solltest du bereits aus den Grundlagen der Mathematik kennen. Das Kreuzprodukt ist neben dem Skalarprodukt die zweite Möglichkeit, Vektoren miteinander zu multiplizieren. Der Vektor $\mathrm{\nabla}\times\boldsymbol{F} $ entspricht der Rotation des Vektorfeldes $\boldsymbol{F}$. Im Gegensatz zum Skalarprodukt ist das Ergebnis des Kreuzprodukts wieder ein Vektorfeld, das senkrecht zu $\boldsymbol{F}$ ist. Warum senkrecht? Weil das die Eigenschaft des Kreuzproduktes ist! Wenn wir das Kreuzprodukt konkret ausschreiben, dann sieht der Ergebnisvektor $\mathrm{\nabla}\times\boldsymbol{F} $ folgendermaßen aus:

$$ \begin{align} \nabla \times \boldsymbol{F} ~=~ \begin{bmatrix} \partial_{\text y} \, F_{\text z} - \partial_{\text z} \, F_{\text y} \\ \partial_{\text z} \, F_{\text x} - \partial_{\text x} \, F_{\text z} \\ \partial_{\text x} \, F_{\text y} - \partial_{\text y} \, F_{\text x} \end{bmatrix} \end{align} $$

Was bedeutet die Rotation$\nabla \times \boldsymbol{F}$ anschaulich? Der Vektor $\nabla \times \boldsymbol{F}\left(x,y,z\right)$ gibt an, wie stark das Vektorfeld $ \boldsymbol{F}$ an einem betrachteten Ortspunkt $\left(x,y,z\right)$ innerhalb der Fläche $A$ rotiert.

Dann wird im Flächenintegral 5 das Skalarprodukt $\left(\nabla\times\boldsymbol{F}\right) \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{a} $ zwischen dem Rotationsvektorfeld $ \nabla\times\boldsymbol{F} $ und dem infinitesimalen Flächenelement $\mathrm{d}\boldsymbol{a}$ gebildet. Mit dem Skalarprodukt wird, wie wir bereits wissen, nur der Anteil $\class{blue}{\left(\nabla\times\boldsymbol{F} \right)_{||}} $ des Rotationsvektorfeldes $\nabla\times\boldsymbol{F}$ herausgepickt, der parallel zum Flächenelement verläuft:

$$ \begin{align} \left(\nabla\times\boldsymbol{F}\right) \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{a} &~=~ \left[ \class{blue}{\left(\nabla\times\boldsymbol{F} \right)_{||}} + \left(\nabla\times\boldsymbol{F} \right)_{\perp} \right] \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{a} \\\\
&~=~ \class{blue}{\left(\nabla\times\boldsymbol{F} \right)_{||}} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{a} ~+~ \underbrace{\left(\nabla\times\boldsymbol{F} \right)_{\perp} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{a}}_0 \\
&~=~ \class{blue}{\left(\nabla\times\boldsymbol{F} \right)_{||}} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{a} \end{align} $$

Da das Flächenelement $\mathrm{d}\boldsymbol{a}$ am einem Ortspunkt senkrecht auf dem jeweiligen Flächenstück steht, pickt das Skalarprodukt 7 nur den Anteil von Vektorfeldes $\boldsymbol{F}$ heraus, der ebenfalls auf dem Flächenstück senkrecht steht. Es bleibt also nur der Anteil $\class{blue}{\left(\nabla\times\boldsymbol{F} \right)_{||}}$ im Flächenintegral übrig.

Anschließend werden auf der linken Seite des Stokes-Integralsatzes die Skalarprodukte $\left(\nabla\times\boldsymbol{F}\right) \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{a}$ an jedem Ort $(x,y,z)$ mithilfe des Integrals innerhalb der Fläche $A$ aufsummiert.

Die aus den Flächenstücken senkrecht herausragenden Vektorfeldanteile $ \class{blue}{(\nabla \times \boldsymbol{F})_{||}} $ werden an jedem Ort $(x,y,z)$ innerhalb der Fläche $A$ aufsummiert.

Fassen wir nun die Aussagen des Flächenintegrals (rechte Seite) und Linienintegrals (linke Seite) des Stokes-Integralsatzes 1 zusammen:

Auf der linken Seite wird die Rotation $\mathrm{\nabla}\times\boldsymbol{F}$ des Vektorfelds $\boldsymbol{F}$ an jedem einzelnen Punkt innerhalb der Fläche $A$ aufsummiert.
Auf der rechten Seite wird das Vektorfeld $ \boldsymbol{F} $ entlang der Umrandung $L$ der Fläche $A$ aufsummiert. Die rechte Seite entspricht also einer Zahl, die die Rotation des Vektorfeldes auf der Umrandung misst.

Beide Integrale (also beide Seiten) sollen nach dem Stokes-Integralsatz 1 gleich sein. Die Gleichheit sagt also anschaulich aus: Die gesamte Rotation eines Vektorfeldes $\boldsymbol{F}$ innerhalb der Fläche $A$ entspricht genau der Rotation des Vektorfeldes entlang des Randes $L$ dieser Fläche.

Übungen mit Lösungen

Nutze diese Formelsammlung, wenn du Probleme mit Physikaufgaben hast.

Aufgabe #1: $\class{violet}{\boldsymbol{B}}$-Feld innerhalb und außerhalb eines Leiters

Betrachte einen unendlich ausgedehnten, geraden Leiter mit Radius $R$, in dem ein konstanter Strom $\class{red}{I}$ fließt. Nimm dabei an, dass der Strom durch die Querschnittsfläche $ A $ des Leiters homogen ist.

Berechne das Magnetfeld $ \class{violet}{\boldsymbol{B}} $ außerhalb des Leiters.
Berechne das Magnetfeld $ \class{violet}{\boldsymbol{B}} $ innerhalb des Leiters.

Hinweis: Benutze das Ampere-Gesetz aus der Elektrostatik: $$ \oint_L \class{violet}{\boldsymbol{B}} ~\cdot~ \text{d}\boldsymbol{l} ~=~ \mu_0 \, \class{red}{I} $$

Und betrachte für innerhalb des Leiters die Stromdichte $ \class{red}{\boldsymbol{j}} $: $$ \oint_A \class{red}{\boldsymbol{j}}~\cdot~ \text{d}\boldsymbol{a} ~=~ \class{red}{I} $$ mit der Du den eingeschlossenen Strom $ \class{red}{I} $ bestimmen kannst.

Lösung zur Aufgabe #1.1

Um das Magnetfeld außerhalb eines langen, geraden Drahts zu bestimmen, bedienst Du Dich des Ampere'schen Gesetzes, in dem Du eine Ampere-Schleife $L$ um den Draht anlegst. Ihr Radius $r$ ist - damit sie den Leiter komplett umschließt - größer als der Radius $R$ des Leiters. Der stromdurchflossene Leiter sollte die Fläche, die diese Ampere'sche Schleife umschließt, durchdringen!

Das Ampere-Gesetz, welches das Magnetfeld mit dem Strom verknüpft, lautet: \[ \oint_{L}\class{violet}{\boldsymbol{B}} ~\cdot~ \text{d}\boldsymbol{l} ~=~ \mu_0 \, \class{red}{I} \]

Da die gedachte Ampere-Schleife den ganzen Leiter einschließt, ist der von ihr eingeschlossene Strom der Gesamtstrom $I$, der durch den Leiter fließt (dieser Gesamtstrom bekannt).

Es ist ein zylindersymmetrisches Problem. Deshalb nutze dafür die Zylinderkoordinanten {$r_{\perp}$, $ \varphi $, $z$}. Im Folgenden wird $ r_{\perp} := r $ gesetzt, damit die Notation einfacher ist. Das infinitesimale $ \text{d}\boldsymbol{s} $-Element wird entlang der Ampere-Schleife $L$ von 0 bis $ 2\pi $ aufsummiert. Und sie befindet sich ja im Abstand $ r $ vom Ursprung und geht entlang der $ \varphi $-Koordinante. Das infinitesimale Element ist ausgeschrieben also: \[ \text{d}\boldsymbol{l} ~=~ r \, \text{d}\varphi \, \boldsymbol{\hat{\varphi}} \]

Das $ \boldsymbol{\hat{\varphi}} $ ist dabei der Einheitsvektor in $ \varphi $-Richtung.

Das Magnetfeld - wenn Du Rechte-Hand-Regel anwendest - kreist um den Leiter entlang der $ \varphi $-Koordinante: $ \class{violet}{\boldsymbol{B}} ~=~ \class{violet}{B} \, \boldsymbol{\hat{\varphi}}$. Deshalb hast Du - wenn Du alles einsetzt und vereinfachst: \[ \oint_0^{2\pi} \class{violet}{B} \, r \, \text{d}\varphi ~=~ \mu_0 \, \class{red}{I} \]

Das $\class{violet}{B}$-Feld ist aufgrund der Zylinndersymmetrie unabhängig von $ \varphi $, weshalb Du $ \varphi $, aber auch $ r $, rausziehen darfst und easy integrieren kannst: \[ 2\pi \, \class{violet}{B} \, r ~=~ \mu_0 \, \class{red}{I} \]

Wie Du siehst, das $\class{violet}{B}$-Feld ist - bei konstantem Strom - nur abhängig vom Abstand $r$ zum Leiter. Forme nur noch nach $\class{violet}{B}$ um und berücksichtige die $ \boldsymbol{\hat{\varphi}} $-Richtung des $\class{violet}{B}$-Feldes.

Magnetfeldlinien eines dünnen stromdurchflossenen Drahts.

Das Magnetfeld (außerhalb) eines stromdurchflossenen Leiters mit konstanter Stromstärke und im Bereich $R$ ≤ $r$ ist gegeben durch: \[ \class{violet}{\boldsymbol{B}(}r\class{violet}{)} ~=~ \frac{ \mu_0 \, \class{red}{I} }{ 2\pi } \, \frac{1}{r} \, \boldsymbol{\hat{\varphi}} \]

Lösung zur Aufgabe #1.2

Um das Magnetfeld innerhalb eines langen, geraden Drahts zu bestimmen, bedienst Du Dich - wie in Aufgabe #1.1 - des Ampere-Gesetzes, in dem Du eine Ampere-Schleife $L$ im Draht anlegst. Ihr Radius $ r $ ist - damit sie im Leiter ist - kleiner als der Radius $R$ des Leiters.

Rechnest Du das Linienintegral im Ampere-Gesetz aus, dann bekommst Du das gleiche Resultat wie in Aufgabe #1.1; mit dem Unterschied, dass jetzt der Radius $ r $ der gedachten Ampere-Schleife kleiner - und nicht größer - ist als der Radius $R$ des Leiters. Du hast also bis jetzt: \[ 2\pi \, r \, \class{violet}{B} ~=~ \mu_0 \, \class{red}{I_{\text{in}}} \]

Jetzt musst Du aufpassen, denn jetzt ist der von der Schleife eingeschlossene Strom, bezeichnen wir als $ \class{red}{I_{\text{in}}} $, nicht mehr der Gesamtstrom $ \class{red}{I} $, sondern nur ein Teil davon. Wie kommst Du jetzt auf den eingeschlossenen Strom $ \class{red}{I_{\text{in}}} $? Indem Du den Strom, der durch die Querschnittsfläche $ A $ betrachtest: \[ \int_A \class{red}{\boldsymbol{j}} ~\cdot~ \text{d}\boldsymbol{a} ~=~ \class{red}{I} \]

Diese Querschnittsfläche $A$ ist die Querschnittsfläche des Leiters und entspricht einem Kreis: $ A ~=~ \pi \, R^2 $.

Was passiert jetzt, wenn die Querschnittsfläche $A_{\text L}$ der Ampere-Schleife $ L $ kleiner ist als der gesamte Leiterquerschnitt $A$? Dann schneidest Du damit einen Teil des Stroms weg! Nach der Aufgabe weißt Du, dass die Stromdichte homogen ist - ganz egal welche Querschnittsfläche Du betrachtest: $ \class{red}{\boldsymbol{j}} ~=~ \class{red}{j} \, \boldsymbol{\hat{z}} $. Damit wird das Integral in Gl. 8 zu: \[ \int_A \class{red}{\boldsymbol{j}}~\cdot~ \text{d}\boldsymbol{a} ~=~ \class{red}{j} \, A \]

Also lautet die Stromdichte: \[ \class{red}{j} ~=~ \frac{\class{red}{I}}{A} ~=~ \frac{\class{red}{I}}{\pi\,R^2} \]

Damit hast Du auch den eingeschlossenen Strom, also Produkt aus Stromdichte und der von der Ampere-Schleife eingeschlossenen Fläche $ A_{\text L} $: \[ \class{red}{I_{\text{in}}} ~=~ \class{red}{j} \, A_{\text L} ~=~ \frac{\class{red}{I}}{\pi \, R^2} \, \pi \, r^2 \]

Kürze und setze $ \class{red}{I_{\text{in}}} $ in das Ampere-Gesetz ein, dann hast Du: \[ 2\pi \, r \, \class{violet}{B} ~=~ \mu_0 \, \frac{\class{red}{I}}{R^2} \, r^2 \]

Wenn Du jetzt nur noch nach $ \class{violet}{B} $ umformst und Magnetfeldrichtung $ \boldsymbol{\hat{\varphi}} $ berücksichtigst, dann hast Du das Magnetfeld bestimmt:

Diagramm für das Magnetfeld $\class{violet}{B}$ in Abhängigkeit vom Abstand $r$ im Inneren und außerhalb des Zylinderleiters.

Das Magnetfeld innerhalb eines stromdurchflossenen Leiters mit konstanter Stromstärke und im Bereich $r$ ≤ $R$ ist gegeben durch: \[ \class{violet}{\boldsymbol{B}(}r\class{violet}{)} ~=~ \frac{ \mu_0 \, \class{red}{I}}{2\pi \, R^2} \, r ~ \boldsymbol{\hat{\varphi}} \]

Wenn Du das B-Feld an der Stelle $R$ betrachtest, dann wirst Du sehen, dass die beiden Formeln (für innerhalb und außerhalb) das gleiche Magnetfeld liefern. $\class{violet}{\boldsymbol{B}}$ ist also überall stetig.

Das Linienintegral im Stokes-Integralsatz

Das Flächenintegral im Stokes-Integralsatz

Übungen mit Lösungen

Aufgabe #1: \(\class{violet}{\boldsymbol{B}}\)-Feld innerhalb und außerhalb eines Leiters

Lösung zur Aufgabe #1.1

Lösung zur Aufgabe #1.2