Ich heiße Alexander FufaeV und hier schreibe ich über:

Nabla-Operator: Die 3 wichtigsten Anwendungen + 9 Rechenregeln

Inhaltsverzeichnis

3 grundlegende Möglichkeiten Nabla auf Funktionen anzuwenden Hier lernst du, wie der Gradient, Divergenz und Rotation einer Funktion mittels Nabla-Operator gebildet werden können.
Nabla auf Nabla anwenden Hier wendest du den Nabla-Operator auf Nabla-Operator mithilfe des Skalar- und Kreuzprodukts an.
5 sinnvolle Möglichkeiten Nabla zweimal anzuwenden Hier lernst du, wie sich Divergenz des Gradienten, Divergenz der Rotation und Ähnliches ergibt, wenn der Nabla-Operator zweimal auf eine Funktion angewendet wird.
Die 9 nützlichsten Rechenregeln mit Nabla Hier lernst du einige wichtige Rechenregeln, die du dazu benutzen kannst, um Ausdrücke mit Nabla zu vereinfachen oder umzuschreiben.
Übungen mit Lösungen

Nabla-Operator $\nabla$ ähnelt notationsmäßig einem Vektor und sieht im dreidimensionalen Fall folgendermaßen aus, wenn wir diesen mit kartesischen Koordinaten ausdrücken:

$$ \begin{align} \nabla ~=~ \begin{bmatrix} \frac{\partial}{\partial x} \\ \frac{\partial}{\partial y} \\ \frac{\partial}{\partial z} \end{bmatrix} \end{align} $$

Die drei Komponenten des Nabla-Operators sind partielle Ableitungen nach $x$, $y$ oder $z$. Die allein stehenden Ableitungen werden Differential-Operatoren genannt. Du kannst einen Differential-Operator auf eine Funktion anwenden. Das Ergebnis ist die Ableitung der Funktion.

Der Nabla-Operator entfaltet erst dann seine Wirkung, wenn dieser auf eine skalare oder vektorielle Funktion angewendet wird. Das Ergebnis ist eine mehrdimensionale Ableitung der Funktion.

3 grundlegende Möglichkeiten Nabla auf Funktionen anzuwenden

Der Nabla-Operator kann sowohl auf skalare Funktionen $ f(x,y,z) $ als auch auf vektorielle Funktionen angewendet werden. Eine 3d-Vektorfunktion hat drei Komponenten:

$$ \begin{align} \boldsymbol{F}(x,y,z) ~=~ \begin{bmatrix}F_{1}(x,y,z)\\ F_{2}(x,y,z)\\F_{3}(x,y,z)\end{bmatrix} \end{align} $$

Die Komponenten einer Vektorfunktion sind skalare Funktionen wie $ f(x,y,z) $. Du kannst also eine skalare Funktion wie eine 1d-Vektorfunktion auffassen, die genau eine Komponente hat. Wenn eine Vektorfunktion, wie im Beispiel 2 von den Ortskoordinaten $ x $, $y$ und $z$ abhängt, dann nennen wir sie ein Vektorfeld. Eine Komponente des Vektorfeldes, wie zum Beispiel die erste Komponente $ F_{1}(x,y,z) $, wird manchmal auch statt mit dem Index '1' mit Index '$\text{x}$' notiert, um anzudeuten, dass es die Komponente des Vektorfeldes ist, die in $x$-Richtung zeigt: $ F_{\text{x}}(x,y,z) $.

Ein Vektorfeld ist also nichts anderes als ein Vektor $ \boldsymbol{F} $, der seine Länge und Richtung verändern kann, je nach dem an welcher Position im Raum wir diesen Vektor betrachten.

Du kannst einen Vektor auf unterschiedliche Weise manipulieren:

Skalarmultiplikation - Du kannst einen Vektor mit einer reellen Zahl, nennen wir sie $ a \in \mathbb{R} $, multiplizieren: $ \boldsymbol{F} \, a $. Die Zahl $ a $ könnte beispielsweise die skalare Funktion $ f $ sein und $ \boldsymbol{F} $ der Nabla-Operator.
Du kannst ein Skalarprodukt des Vektors mit einem anderen Vektor $ \boldsymbol{R} $ bilden: $ \boldsymbol{R} \cdot \boldsymbol{F} $. Der Nabla-Operator könnte beispielsweise dieser Vektor $ \boldsymbol{R} $ sein.
Du kannst ein Kreuzprodukt des Vektors mit einem anderen Vektor $ \boldsymbol{R} $ bilden: $ \boldsymbol{R} \times \boldsymbol{F} $. Der Nabla-Operator könnte beispielsweise dieser Vektor $ \boldsymbol{R} $ sein.

#1: Skalarmultiplikation mit Nabla

Lass uns konkret ausrechnen, was wir bekommen würden, wenn wir den Nabla-Operator $ \nabla $ auf eine skalare Funktion $ f(x,y,z) $ anwenden, die von drei Variablen abhängt.

$$ \begin{align} \nabla \, f(x,y,z) ~=~ \begin{bmatrix} \frac{\partial}{\partial x} \\ \frac{\partial}{\partial y} \\ \frac{\partial}{\partial z} \end{bmatrix} \, f(x,y,z) ~=~ \begin{bmatrix} \frac{\partial f}{\partial x} \\ \frac{\partial f}{\partial y} \\ \frac{\partial f}{\partial z} \end{bmatrix} \end{align} $$

Im zweiten Schritt haben wir lediglich die Definition des Nabla-Operators benutzt und im letzten Schritt die skalare Funktion (quasi eine Zahl) in den Vektor hineingezogen und die Abhängigkeit von $x$, $y$ und $z$ weggelassen, um das Ergebnis kompakt zu notieren.

Das Ergebnis von Nabla angewendet auf $ f $ wird als Gradient bezeichnet und stellt offensichtlich ein dreidimensionales Vektorfeld mit drei Komponenten dar:

Die 1. Komponente enthält die Steigung $ \frac{\partial f}{\partial x} $ in $ x $-Richtung.
Die 2. Komponente enthält die Steigung $ \frac{\partial f}{\partial y} $ in $ y $-Richtung.
Die 3. Komponente enthält die Steigung $ \frac{\partial f}{\partial z} $ in $ z $-Richtung.

Beachte: Die derartige Skalarmultiplikation wie in 3 ist nicht kommutativ, weshalb der Nabla-Operator mathematisch kein richtiger Vektor ist.

Was ist der Gradient einer Funktion?

Wendest du den Nabla-Operator $ \nabla $ auf eine skalare Funktion $ f $ an, dann wird der Ergebnisvektor $ \nabla \, f $ als Gradient von $ f $ bezeichnet.

Natürlich darfst du auch einen zweidimensionalen Nabla-Operator benutzen, der nur zwei (und nicht drei) Komponenten hat. Einen zweidimensionalen Gradienten könntest du dann folgendermaßen ausrechnen:

$$ \begin{align} \nabla \, f(x,y) ~=~ \begin{bmatrix} \frac{\partial f}{\partial x} \\ \frac{\partial f}{\partial y} \end{bmatrix} \end{align} $$

Und der Nabla-Operator in einer Dimension ist einfach eine partielle Ableitung $ \frac{\partial f}{\partial x} $.

Beispiel: Gradient einer Funktion berechnen

Gegeben ist eine skalare Funktion $ f(x,y,z) = x^2 + 5xy + z $. Wende den Nabla-Operator - wie oben erklärt - auf $ f $ an:

$$ \begin{align} \nabla \, f(x,y,z) &~=~ \begin{bmatrix} \frac{\partial f}{\partial x} \\ \frac{\partial f}{\partial y} \\ \frac{\partial f}{\partial z} \end{bmatrix} \\\\
&~=~ \begin{bmatrix} 2x+5y \\ 5x \\ 1 \end{bmatrix} \end{align} $$

Das Gradientenfeld von $x^2 + 5xy$.

#2: Skalarprodukt mit Nabla

Eine andere Möglichkeit den Nabla-Operator diesmal mit einem Vektorfeld $\boldsymbol{F}(x,y,z)$ wie in 2 zu kombinieren, ist ein Skalarprodukt zu bilden:

$$ \begin{align} \nabla \cdot \boldsymbol{F} &~=~ \begin{bmatrix} \frac{\partial}{\partial x} \\ \frac{\partial}{\partial y} \\ \frac{\partial}{\partial z} \end{bmatrix} ~\cdot~ \begin{bmatrix}F_{\text x}(x,y,z)\\ F_{\text y}(x,y,z)\\F_{\text z}(x,y,z)\end{bmatrix} \\\\
&~=~ \frac{\partial F_{\text x}}{\partial x} + \frac{\partial F_{\text y}}{\partial y} + \frac{\partial F_{\text z}}{\partial z} \end{align} $$

Beim Skalarprodukt wendest du die Ableitungen auf die Skalarfunktionen (Vektorfeldkomponenten) komponentenweise an:

Bilde die Ableitung der ersten Komponente $ F_{\text x}(x,y,z) $ nach $x$.
Bilde die Ableitung der zweiten Komponente $ F_{\text y}(x,y,z) $ nach $y$.
Bilde die Ableitung der dritten Komponente $ F_{\text z}(x,y,z) $ nach $z$.
Addiere die drei Ableitungen zusammen.

Das Ergebnis des Skalarprodukts von Nabla mit $ \boldsymbol{F} $ wird als Divergenz bezeichnet und stellt eine dreidimensionale Skalarfunktion $ f(x,y,z) $ dar. Beim Gradienten wurde aus einer skalaren Funktion $f$ eine Vektorfunktion $ \boldsymbol{F} $ erzeugt. Bei der Divergenz machen wir aus einer Vektorfunktion eine skalare Funktion. Also genau andersherum!

Was ist die Divergenz eines Vektorfeldes?

Wendest du den Nabla-Operator $ \nabla $ mithilfe des Skalarprodukts auf eine Vektorfunktion $\boldsymbol{F}$ an, dann wird das Ergebnis $ \nabla \cdot \boldsymbol{F} $ als Divergenz von $\boldsymbol{F}$ bezeichnet.

Beispiel: Divergenz eines Vektorfelds berechnen

Gegeben ist folgendes dreidimensionales Vektorfeld:

$$ \begin{align} \boldsymbol{F}(x,y,z) ~=~ \begin{bmatrix} 2x^3 \\ zy \\ 5xy \end{bmatrix} \end{align} $$

Bilde das Skalarprodukt des Nabla-Operators mit dem Vektorfeld $ \boldsymbol{F} $:

$$ \begin{align} \nabla \cdot \boldsymbol{F} &~=~ \frac{\partial F_{\text x}}{\partial x} + \frac{\partial F_{\text y}}{\partial y} + \frac{\partial F_{\text z}}{\partial z} \\\\
&~=~ 6x^2 + z \end{align} $$

#3: Kreuzprodukt mit Nabla

Wie beim Skalarprodukt 6 wendest Du auch beim Kreuzprodukt den Nabla-Operator auf eine Vektorfunktion $ \boldsymbol{F}(x,y,z) $ an:

$$ \begin{align} \nabla \times \boldsymbol{F} &~=~ \begin{bmatrix} \frac{\partial}{\partial x} \\ \frac{\partial}{\partial y} \\ \frac{\partial}{\partial z} \end{bmatrix} ~\times~ \begin{bmatrix}F_{x}(x,y,z)\\ F_{y}(x,y,z)\\F_{z}(x,y,z)\end{bmatrix} \\\\
&~=~ \begin{bmatrix} \frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z} \\ \frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x} \\ \frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y} \end{bmatrix} \end{align} $$

Das Ergebnis des Kreuzprodukts 9 ist wieder ein Vektor! Nabla belässt hier die Vektorfunktion $\boldsymbol{F}$ als Vektorfunktion.

Was ist die Rotation eines Vektorfeldes?

Wendest du den Nabla-Operator $\nabla$ mithilfe des Kreuzprodukts auf eine Vektorfunktion $\boldsymbol{F}$ an, dass wird der Ergebnisvektor $\nabla \times \boldsymbol{F} $ als Rotation von $\boldsymbol{F}$ bezeichnet.

Beispiel: Rotation eines Vektorfeldes berechnen

Betrachte wieder das Vektorfeld wie in 7:

$$ \begin{align} \boldsymbol{F}(x,y,z) ~=~ \begin{bmatrix} 2x^3 \\ zy \\ 5xy \end{bmatrix} \end{align} $$

Wende den Nabla-Operator - mittels Kreuzprodukt - auf $ \boldsymbol{F} $ an:

$$ \begin{align} \nabla \times \boldsymbol{F} ~=~ \begin{bmatrix} \frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z} \\ \frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x} \\ \frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y} \end{bmatrix} ~=~ \begin{bmatrix} 5x - y \\ - 5y \\ 0 \end{bmatrix} \end{align} $$

Nabla auf Nabla anwenden

Natürlich kannst Du auch das Skalar- und Kreuzprodukt von Nabla mit Nabla bilden. Das Skalarprodukt ergibt einen neuen Operator $ \nabla \cdot \nabla $, den wir als Laplace-Operator bezeichnen:

$$ \begin{align} \nabla \cdot \nabla &~=~ \begin{bmatrix} \frac{\partial}{\partial x} \\ \frac{\partial}{\partial y} \\ \frac{\partial}{\partial z} \end{bmatrix} ~\cdot~ \begin{bmatrix} \frac{\partial}{\partial x} \\ \frac{\partial}{\partial y} \\ \frac{\partial}{\partial z} \end{bmatrix} \\\\
&~=~ \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2} \\\\
&~=:~ \nabla^2 \end{align} $$

Der Laplace-Operator ist die Summe der zweiten Ableitungen nach $x$, $y$ und $z$. Das Skalarprodukt $ \nabla \cdot \nabla $ wird kurz $ \nabla^2 $ notiert (manchmal auch als $\Delta$).

Das Kreuzprodukt zweier Nabla-Operatoren ist uninteressant, weil es stets den Nullvektor ergibt. Warum? Weil die partiellen Ableitungen untereinander kommutativ sind und sich damit im Kreuzprodukt genau wegheben:

$$ \begin{align} \nabla \times \nabla ~=~ \begin{bmatrix} \frac{\partial}{\partial z}\frac{\partial}{\partial y} - \frac{\partial}{\partial y}\frac{\partial}{\partial z} \\ \frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial}{\partial z} - \frac{\partial}{\partial z}\frac{\partial}{\partial x} \\ \frac{\partial}{\partial y}\frac{\partial}{\partial x} - \frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial}{\partial y} \end{bmatrix} ~=~ \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} \end{align} $$

Wendest Du also das Nabla-Kreuzprodukt 12 auf eine beliebige vektorielle Funktion an: $ (\nabla \times \nabla) ~\cdot~ \boldsymbol{F} = \boldsymbol{0} $ bzw. $ (\nabla \times \nabla) ~\times~ \boldsymbol{F} = \boldsymbol{0}$ dann bekommst Du stets den Nullvektor heraus.

Beachte! Assoziativität gilt nicht:

$$ \begin{align} (\nabla \times \nabla) ~\cdot~ \boldsymbol{F} ~\neq~ \nabla \times (\nabla ~\cdot~ \boldsymbol{F}) \\\\
0 ~=~ (\nabla \times \nabla) ~\times~ f ~\neq~ \nabla \times (\nabla \times f) \end{align} $$

5 sinnvolle Möglichkeiten Nabla zweimal anzuwenden

In der Elektrodynamik, Strömungslehre und anderen Gebieten der Physik kommen Beziehungen vor, in denen Nabla-Operator zweimal auf ein Vektorfeld oder Skalarfeld angewendet wird. Es gibt genau fünf unterschiedliche Möglichkeiten:

1. Möglichkeit: Divergenz des Gradienten

Wendest Du auf eine skalare Funktion $ f(x,y,z) $ den Laplace-Operator 11 an, dann bekommst Du die Divergenz des Gradienten von $ f$:

$$ \begin{align} \nabla^2 \, f &~=~ \left( \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2} \right) \, f \\\\
&~=~ \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial z^2} \end{align} $$

Hier gilt übrigens die Assoziativität, weshalb Klammern überflüssig sind: $ (\nabla \cdot \nabla) \, f ~=~ \nabla \cdot (\nabla \, f) ~=~ \nabla \cdot \nabla \, f$.

2. Möglichkeit: Divergenz der Rotation

Dafür brauchst Du natürlich eine Vektorfunktion $ \boldsymbol{F} $, denn die Rotation ist nur für eine Vektorfunktion definiert. Die Rotation von $ \boldsymbol{F} $ hast Du in 9 schon berechnet. Bilde nur noch das Skalarprodukt mit dem Ergebnis 9 der Rotation:

$$ \begin{align} \nabla \cdot (\nabla \times \boldsymbol{F}) &~=~ \frac{\partial}{\partial x}\left( \frac{\partial F_z}{\partial y} ~-~ \frac{\partial F_y}{\partial z} \right) + \frac{\partial}{\partial y}\left( \frac{\partial F_x}{\partial z} ~-~ \frac{\partial F_z}{\partial x} \right) \\\\
&~+~ \frac{\partial}{\partial z}\left( \frac{\partial F_y}{\partial x} ~-~ \frac{\partial F_x}{\partial y} \right) ~=~ 0 \end{align} $$

Wie Du am Ergebnis siehst: Divergenz der Rotation ist immer Null. Ein physikalisches Beispiel ist das Magnetfeld $ \boldsymbol{B} = \nabla \times \boldsymbol{A} $ (mit $ \boldsymbol{A} $ als Vektorpotential). Divergenz des Magnetfeldes verschwindet: $ \nabla \cdot \boldsymbol{B} = 0 $.

3. Möglichkeit: Rotation des Gradienten

Hier bildest du als erstes den Gradient einer skalaren Funktion $ f $ wie in 3 und anschließend bildest du das Kreuzprodukt des Nabla-Operators mit dem Ergebnisvektor $ \nabla \, f $ wie in 9:

$$ \begin{align} \nabla \times (\nabla \, f) &~=~ \nabla \times \begin{bmatrix} \frac{\partial f}{\partial x} \\ \frac{\partial f}{\partial y} \\ \frac{\partial f}{\partial z} \end{bmatrix} \\\\
&~=~ \begin{bmatrix} \frac{\partial}{\partial y}\frac{\partial f}{\partial z} - \frac{\partial}{\partial z}\frac{\partial f}{\partial y} \\ \frac{\partial}{\partial z}\frac{\partial f}{\partial x} - \frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial f}{\partial z} \\ \frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial f}{\partial y} - \frac{\partial}{\partial y}\frac{\partial f}{\partial x} \end{bmatrix} ~=~ 0 \end{align} $$

Die Rotation des Gradienten ist immer Null. Ein physikalisches Beispiel: Das elektrostatische Feld lässt sich als Gradient eines skalaren Potentials schreiben: $ \boldsymbol{E} = \nabla \, V $. Dank unseres Ergebnisses können wir schlussfolgern, dass die Rotation des E-Feldes verschwindet: $ \nabla \times \boldsymbol{E} = 0 $. Elektrostatische E-Felder sind also wirbelfrei!

4. Möglichkeit: Rotation der Rotation

Du kannst den Nabla-Operator zweimal als Kreuzprodukt auf eine vektorielle Funktion anwenden (siehe Gl. 8 wie das geht):

$$ \begin{align} \nabla \times (\nabla \times \boldsymbol{F}) &~=~ \nabla ~\times~ \begin{bmatrix} \frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z} \\ \frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x} \\ \frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y} \end{bmatrix} \\\\
&~=~ \begin{bmatrix} \frac{\partial}{\partial y}\frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial^2 F_x}{\partial y^2} - \frac{\partial^2 F_x}{\partial z^2} + \frac{\partial}{\partial z}\frac{\partial F_z}{\partial x} \\ \frac{\partial}{\partial z}\frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial^2 F_y}{\partial z^2} - \frac{\partial^2 F_y}{\partial x^2} + \frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial F_x}{\partial y} \\ \frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial^2 F_z}{\partial x^2} - \frac{\partial^2 F_z}{\partial y^2} + \frac{\partial}{\partial y}\frac{\partial F_y}{\partial z} \end{bmatrix} \end{align} $$

5. Möglichkeit: Gradient der Divergenz

Die letzte sinnvolle Möglichkeit ist es zuerst die Divergenz $ \nabla \cdot \boldsymbol{F} $ zu bilden. Das Ergebnis ist eine skalare Funktion. Und anschließend den Nabla-Operator auf diese Skalarfunktion anzuwenden:

$$ \begin{align} \nabla \left( \nabla \cdot \boldsymbol{F} \right) &~=~ \nabla \, \left( \frac{\partial F_{\text x}}{\partial x} + \frac{\partial F_{\text y}}{\partial y} + \frac{\partial F_{\text z}}{\partial z} \right) \\\\
&~=~ \begin{bmatrix} \frac{\partial^2 F_x}{\partial x^2} + \frac{\partial }{\partial x}\frac{\partial F_y}{\partial y} + \frac{\partial }{\partial x}\frac{\partial F_z}{\partial z} \\ \frac{\partial }{\partial y}\frac{\partial F_x}{\partial x} + \frac{\partial^2 F_y}{\partial y^2} + \frac{\partial }{\partial y}\frac{\partial F_z}{\partial z} \\ \frac{\partial }{\partial z}\frac{\partial F_x}{\partial x} + \frac{\partial }{\partial z}\frac{\partial F_y}{\partial y} + \frac{\partial^2 F_z}{\partial z^2} \end{bmatrix} \end{align} $$

All die anderen denkbaren Fälle: "Rotation der Divergenz", "Gradient der Rotation", "Divergenz der Divergenz" und "Gradient des Gradienten" sind nicht definiert und kommen in der Physik gar nicht vor.

Die 9 nützlichsten Rechenregeln mit Nabla

Mit dem Wissen, dass du eben erworben hast, kannst du folgende Rechenregeln mit dem Nabla-Operator herleiten. Diesen Rechenregeln wirst du zum Beispiel in der Elektrodynamik begegnen, denn damit lassen sich gewisse Ausdrücke vereinfachen und umformen.

Distributivität bei Multiplikation

$$ \begin{align} \nabla \, (f + g ) ~=~ \nabla f ~+~ \nabla g \end{align} $$
Distributivität bei Skalarprodukt

$$ \begin{align} \nabla \cdot (\boldsymbol{F} + \boldsymbol{R} ) ~=~ \nabla \cdot \boldsymbol{F} ~+~ \nabla \cdot \boldsymbol{R} \end{align} $$
Distributivität bei Kreuzprodukt

$$ \begin{align} \nabla \times (\boldsymbol{F} + \boldsymbol{R} ) ~=~ \nabla \times \boldsymbol{F} ~+~ \nabla \times \boldsymbol{R} \end{align} $$
Produktregel für Skalarfunktionen

$$ \begin{align} \nabla (f \, g) ~=~ f \, \nabla g ~+~ g \nabla f \end{align} $$
Produktregel für Skalar- und Vektorfunktion

$$ \begin{align} \nabla \, \cdot \, \left( f \, \boldsymbol{R} \right) ~=~ f \, \left( \nabla \cdot \boldsymbol{R} \right) ~+~ \boldsymbol{R} \cdot \left( \nabla f \right) \end{align} $$
Spatprodukt mit Nabla

$$ \begin{align} \nabla \cdot \left( \boldsymbol{F} \times \boldsymbol{R} \right) ~=~ \boldsymbol{R} \cdot \left( \nabla \times \boldsymbol{F} \right) ~-~ \boldsymbol{F} \cdot \left( \nabla \times \boldsymbol{R} \right) \end{align} $$
Doppeltes Kreuzprodukt mit Nabla

$$ \begin{align} \nabla \times \left( \boldsymbol{F} \times \boldsymbol{R} \right) &~=~ \left( \boldsymbol{R} \cdot \nabla \right) \, \boldsymbol{F} ~-~ \left( \boldsymbol{F} \cdot \nabla \right) \, \boldsymbol{R} \\\\
&~+~ \boldsymbol{F} \, \left( \nabla \cdot \boldsymbol{R} \right) ~-~ \boldsymbol{R} \, \left( \nabla \cdot \boldsymbol{F} \right) \end{align} $$
Gradient eines Skalarprodukts

$$ \begin{align} \nabla \, \left( \boldsymbol{F} \cdot \boldsymbol{R} \right) &~=~ \boldsymbol{F} \times \left( \nabla \times \boldsymbol{R} \right) ~+~ \boldsymbol{R} \times \left( \nabla \times \boldsymbol{F} \right) \\\\
&~+~ \left( \boldsymbol{R} \cdot \nabla \right) \, \boldsymbol{F} ~+~ \left( \boldsymbol{F} \cdot \nabla \right) \, \boldsymbol{R} \end{align} $$
Rotation eines skalierten Vektorfelds

$$ \begin{align} \nabla \times \left( f \, \boldsymbol{R} \right) ~=~ f \, \left( \nabla \times \boldsymbol{R} \right) ~-~ \boldsymbol{R} \times \left( \nabla f \right) \end{align} $$

Nabla mit Funktion vertauschen?

Wenn Du beispielsweise beim Skalarprodukt 6 die Funktion $ \boldsymbol{F} $ mit Nabla vertauschst, dann bekommst Du einen neuen Operator:

$$ \begin{align} \boldsymbol{F} \cdot \nabla ~=~ F_x\frac{\partial}{\partial x} + F_y\frac{\partial }{\partial y} + F_z\frac{\partial }{\partial z} \end{align} $$

So wie den Nabla-Operator kannst du auch den Operator 27 auf irgendeine Funktion $ f $ anwenden: $ (\boldsymbol{F} \cdot \nabla)\,f$. Solche Ausdrücke wie 27 - bei denen noch offen steht, worauf die partiellen Ableitungen angewendet werden sollen, findest Du überall in der Quantenmechanik!

Nun hast du gelernt, was der Nabla-Operator ist und wie du diesen auf skalare und vektorielle Funktionen anwenden kannst. In der nächsten Lektion schauen wir uns den Gradienten $ \nabla \, f $ etwas genauer an und lernen die Richtungsableitung kennen.

Übungen mit Lösungen

Nutze diese Formelsammlung, wenn du Probleme mit Physikaufgaben hast.

Aufgabe #1: Rotation der Rotation eines Vektorfeldes berechnen

Zeige, dass der folgende Zusammenhang zwischen dem Nabla-Operator und einem Vektorfeld $\boldsymbol{F}$ gilt: $$\nabla ~\times~ \left(\nabla \times \boldsymbol{F}\right) ~=~ \nabla \, \left(\nabla ~\cdot~ \boldsymbol{F}\right) ~-~ \left(\nabla \cdot \nabla \right) \, \boldsymbol{F}$$

Tipp: Schreibe zuerst die beiden Rotation-Operatoren in Indexnotation mit Levi-Civita-Symbol um. Wende dann die Idenität für Produkt von zwei Levi-Civita-Symbolen an.

Lösung zur Aufgabe #1

Da es sich um ein doppeltes Kreuzprodukt handelt, lässt sich diese Aufgabe in Indexnotation einfacher lösen! Dabei werden wir die Einsteinsche Summenkonvention benutzen.

Schreibe zuerst das äußere Kreuzprodukt mittels Levi-Civita-Symbol $ \varepsilon_{ijk} $ um: 1 \[ \boldsymbol{\hat{e}}_i \, \varepsilon_{ijk} \, \partial_j \, \left( \nabla \times \boldsymbol{F} \right)_k \]

Danach das zweite Kreuzprodukt, das in der Klammer steht, umschreiben: 2 \[ \boldsymbol{\hat{e}}_i \, \varepsilon_{ijk} \, \partial_j \, \varepsilon_{kmn} \, \partial_m \, F_n \]

Nun schreibst Du das Produkt zweier Levi-Civita-Symbole mittels Kronecker-Delta um: 3 \[ \varepsilon_{ijk} \, \varepsilon_{kmn} ~=~ \delta_{jn} \, \delta_{im} ~-~ \delta_{in} \, \delta_{jm} \]

Die Gleichung 3 eingesetzt in Gl. 2 ergibt: 4 \[ \boldsymbol{\hat{e}}_i \, \left( \delta_{jn} \, \delta_{im} ~-~ \delta_{in} \, \delta_{jm} \right) \, \partial_j \, \partial_m \, F_n \]

Multipliziere die Klammer in 4 aus und benutze die Rechenregeln von Kronecker-Delta: 5 \[ \boldsymbol{e}_m \, \partial_n \, \partial_m \, F_n ~-~ \boldsymbol{e}_n \, \partial_m \, \partial_m \, F_n \]

Schreibe anschließend die Gleichung 5, die in Indexnotation steht, in Vektornotation um (vertausche dazu die Faktoren, sodass Du dann besser siehst, was zusammengefasst werden kann): 6 \[ \boldsymbol{e}_m \, \partial_m \, \partial_n \, F_n ~-~ \partial_m \, \partial_m \, \boldsymbol{e}_n \, F_n \]

Wende die Definition des Skalarproduktes auf $ \partial_n \, F_n $ und $ \partial_m \, \partial_m $ an und schreibe die Summen $ \boldsymbol{e}_m \, \partial_m $ und $ \boldsymbol{e}_n \, F_n $ in Vektoren um, dann bekommst Du genau die herzuleitende Beziehung: \[ \nabla \, \left(\nabla ~\cdot~ \boldsymbol{F}\right) ~-~ \left(\nabla \cdot \nabla \right) \, \boldsymbol{F} \]

Aufgabe #2: Produktregel für zwei skalare Funktionen in 2D

Nimm zwei skalare Funktionen $ f(x,y) $ und $ g(x,y) $. Zeige, dass die folgende Produktregel gilt: $$\nabla (f \, g) ~=~ f \, \nabla g ~+~ g \, \nabla f$$

Lösung zur Aufgabe #2

Zuerst definieren wir partielle Ableitungen $ \frac{\partial}{\partial i} := \partial_i $ mit $ i \in \{ x,y,z \}$ für eine kompakte Notation.

Laut der Quest sind die skalaren Funktionen $ f(x,y) $ und $ g(x,y) $ abhängig von nur zwei Variablen $ x, y $. Somit brauchst Du einen zweidimensionalen $ \nabla $-Operator (die z-Komponente wird weggelassen): 1 \[ \nabla (f \, g) ~=~ \left[\begin{array}{c} \partial_x \left(f \, g\right) \\ \partial_y \left(f \, g\right) \end{array}\right] \]

Wende Produktregel für Ableitungen, also (a b)' = a b' + b a', auf die Komponenten von 1 an: 2 \[ \nabla (f \, g) ~=~ \left[\begin{array}{c} f \, \partial_x g + g \, \partial_x f\\ f \, \partial_y g + g \, \partial_y f \end{array}\right] \]

Ziehe den Summenvektor 2 in zwei Vektoren auseinander: \[ \nabla (f \, g) ~=~ f \, \left[\begin{array}{c} \partial_x g \\ \partial_y g \end{array}\right] ~+~ g \, \left[\begin{array}{c} \partial_x f\\ \partial_y f \end{array}\right] \]

Setze die Definition von $ \nabla $ ein: \[ \nabla (f \, g) ~=~ f \, \nabla g ~+~ g \, \nabla f \]

Aufgabe #3: Magnetfeld aus dem Vektorpotential berechnen

Berechne die magnetische Flussdichte $ \boldsymbol{B}(\boldsymbol{r}) ~=~ \nabla ~\times~ \boldsymbol{A}(\boldsymbol{r}) $ aus dem folgenden Vektorpotential $ \boldsymbol{A}\left(\boldsymbol{r}\right) $: $$\boldsymbol{A}(\boldsymbol{r}) ~=~ \frac{\boldsymbol{m} ~\times~ \boldsymbol{r}}{r^3}$$

Lösung zur Aufgabe #4

Die magnetische Flussdichte berechnest Du aus dem gegebenen Vektorpotential folgendermaßen: 1 \[ \boldsymbol{B}(\boldsymbol{r}) ~=~ \nabla ~\times~ \boldsymbol{A}(\boldsymbol{r}) \]

Setze zuerst das gegebene Vektorpotential in 1 ein: 2 \[ \boldsymbol{B}(\boldsymbol{r}) ~=~ \nabla ~\times~ \left( \frac{ \boldsymbol{m} ~\times~ \boldsymbol{r} }{ r^3 } \right) \]

Wie Du in 2 siehst: Es ist ein doppeltes Kreuzprodukt, welches Du berechnen musst, um auf die magnetische Flussdichte zu kommen. Diese Aufgabe meisterst Du am elegantesten mithilfe der Indexnotation. Schreibe deshalb das äußere Kreuzprodukt in 2 mittels Levi-Civita-Symbol $ \varepsilon_{ijk} $ um, und den Nabla-Operator $ \nabla $ als Differentialoperator mit einem Index $ \partial_j $: 3 \[ \boldsymbol{B}(\boldsymbol{r}) ~=~ \boldsymbol{\hat{e}}_i \, \varepsilon_{ijk} \, \partial_j \, r^{-3} \, \left( \boldsymbol{m} ~\times~ \boldsymbol{r} \right)_k \]

Den Betrag $ r ~=~ (x_1 x_1 + x_2 x_2 + x_3 x_3)^{1/2} $ des Ortsvektors $ \boldsymbol{r} $, kannst Du mit der Einsteinschen Summenkonvention auch folgendermaßen schreiben, wobei über den doppelt auftretenden Index $ s $ summiert wird: 4 \[ r ~=~ (x_s \, x_s)^{1/2} \] damit sieht das im Vektorpotential vorkommende $ r^{-3} $ so aus: 5 \[ r^{-3} ~=~ (x_s \, x_s)^{-3/2} \]

Wenn Du noch das andere Kreuzprodukt in Gl. 3 mittels Levi-Civita-Symbol $ \varepsilon_{klm} $ schreibst und Gl. 5 einsetzt, dann bekommst Du: 6 \[ \boldsymbol{B}(\boldsymbol{r}) ~=~ \boldsymbol{\hat{e}}_i \, \varepsilon_{ijk} \, \partial_j \, (x_s \, x_s)^{-3/2} \, \varepsilon_{klm} \, m_l \, x_m \]

Nun musst du den Differentialoperator $ \partial_j $ (Ableitung nach der Ortskoordinate $x_j$) anwenden, wobei du die Produktregel für Ableitungen berücksichtigen musst. Dabei kannst du die beiden Levi-Civita-Symbole und den Einheitsvektor ausklammern, da sie nicht von den Ortskoordinaten abhängen und somit aus Sicht des Differentialoperators Konstanten sind: 7 \[ \boldsymbol{B}(\boldsymbol{r}) ~=~ \boldsymbol{\hat{e}}_i \, \varepsilon_{ijk} \, \varepsilon_{klm} \left( m_l \, x_m \, \partial_j \, (x_s \, x_s)^{-3/2} ~+~ (x_s \, x_s)^{-3/2} \, \partial_j \, m_l \, x_m \right) \]

Das $m_l$ ist aus Sicht der partiellen Integration nach $x_s$ ebenfalls nur eine Konstante. Die Ableitung $ \partial_j \, x_m $ ist nur dann 1, wenn $j = m$ ist, und die Ableitung ergibt 0, wenn $j \neq m$ ist. Also kannst du die Ableitung mithilfe des Kronecker-Deltas schreiben: $ \partial_j \, x_m ~=~ \delta_{jm} $, welches entweder 1 oder 0 ist, je nachdem, ob die Indizes gleich oder ungleich sind. Mit dieser Überlegung verwandelt sich Gleichung 7 zu: 8 \[ \boldsymbol{B}(\boldsymbol{r}) ~=~ \boldsymbol{\hat{e}}_i \, \varepsilon_{ijk} \, \varepsilon_{klm} \left( m_l \, x_m \, \partial_j \, (x_s \, x_s)^{-3/2} ~+~ (x_s \, x_s)^{-3/2} \, m_l \, \delta_{jm} \right) \]

Multipliziere die Klammern aus und fasse nach den Kronecker-Rechenregeln z.B. $ \varepsilon_{ijk}\delta_{jm} = \varepsilon_{imk} $ zusammen. Aus den Aufgaben zum Levi-Civita-Symbol kennen wir den Zusammenhang: $ \varepsilon_{imk}\varepsilon_{klm} = 2\delta_{il} $. Insgesamt haben wir dann Folgendes: 9 \[ \boldsymbol{B}(\boldsymbol{r}) ~=~ \boldsymbol{\hat{e}}_i \, \varepsilon_{ijk} \, \varepsilon_{klm} m_l \, x_m \, \partial_j \, (x_s \, x_s)^{-3/2} ~+~ \boldsymbol{\hat{e}}_i \, 2\delta_{il} \, m_l \, (x_s \, x_s)^{-3/2} \]

Fasse dann $ \delta_{il}\,m_l = m_i $ zusammen und rechne die Ableitung $ \partial_j \, (x_s \, x_s)^{-3/2} = -3x_j \, (x_s \, x_s)^{-5/2} $ aus. Wende anschließend die Identität $ \varepsilon_{ijk}\,\varepsilon_{klm} = \delta_{il}\delta_{jm} - \delta_{jl}\delta_{im} $ an: 10 \[ \boldsymbol{B}(\boldsymbol{r}) ~=~ -3\boldsymbol{\hat{e}}_i \, (\delta_{il}\delta_{jm} - \delta_{jl}\delta_{im}) \, m_l \, x_j \, x_m \, (x_s \, x_s)^{-5/2} ~+~ 2\boldsymbol{\hat{e}}_i \, \, m_i \, (x_s \, x_s)^{-3/2} \]

Multipliziere die Klammer aus und fasse Kronecker-Delta nach Deinem Wunsch zusammen: 11 \[ \boldsymbol{B}(\boldsymbol{r}) ~=~ -3\boldsymbol{e}_l \, m_l \, x_m \, x_m \, (x_s \, x_s)^{-5/2} ~+~ 3\boldsymbol{e}_m \, m_j \, x_j \, x_m \, (x_s \, x_s)^{-5/2} ~+~ 2\boldsymbol{\hat{e}}_i \, \, m_i \, (x_s \, x_s)^{-3/2} \]

An dieser Stelle kannst Du die Indizes wieder in Vektoren umwandeln. Mit $ \boldsymbol{\hat{e}}_i \, m_i ~=~ \boldsymbol{m} $ und $ x_m \, x_m = r^2 $ hast Du: 12 \[ \boldsymbol{B}(\boldsymbol{r}) ~=~ -3 \boldsymbol{m} r^2 \, r^{-5} ~+~ 3\boldsymbol{r}(\boldsymbol{m} \cdot \boldsymbol{r}) \, r^{-5} ~+~ 2 \boldsymbol{m} r^{-3} \]

Wegen $ r^2 \cdot r^{-5} = r^{-3} $ hebt sich der letzte Summand mit zwei der drei vorderen Termen weg. Was übrig bleibt, ist der gesuchte Ausdruck für die magnetische Flussdichte: 13 \[ \boldsymbol{B}(\boldsymbol{r}) ~=~ -3 \boldsymbol{r} \, \frac{\boldsymbol{m} \cdot \boldsymbol{r}}{r^5} ~-~ \frac{\boldsymbol{m}}{r^3} \]