Nabla-Operator: Die 3 wichtigsten Anwendungen + 9 Rechenregeln

Zeige, dass der folgende Zusammenhang zwischen dem Nabla-Operator und einem Vektorfeld \(\boldsymbol{F}\) gilt: $$\nabla ~\times~ \left(\nabla \times \boldsymbol{F}\right) ~=~ \nabla \, \left(\nabla ~\cdot~ \boldsymbol{F}\right) ~-~ \left(\nabla \cdot \nabla \right) \, \boldsymbol{F}$$

Tipp: Schreibe zuerst die beiden Rotation-Operatoren in Indexnotation mit Levi-Civita-Symbol um. Wende dann die Idenität für Produkt von zwei Levi-Civita-Symbolen an.

Lösung zur Aufgabe #1

Da es sich um ein doppeltes Kreuzprodukt handelt, lässt sich diese Aufgabe in Indexnotation einfacher lösen! Dabei werden wir die Einsteinsche Summenkonvention benutzen.

Schreibe zuerst das äußere Kreuzprodukt mittels Levi-Civita-Symbol \( \varepsilon_{ijk} \) um: 1 \[ \boldsymbol{\hat{e}}_i \, \varepsilon_{ijk} \, \partial_j \, \left( \nabla \times \boldsymbol{F} \right)_k \]

Danach das zweite Kreuzprodukt, das in der Klammer steht, umschreiben: 2 \[ \boldsymbol{\hat{e}}_i \, \varepsilon_{ijk} \, \partial_j \, \varepsilon_{kmn} \, \partial_m \, F_n \]

Nun schreibst Du das Produkt zweier Levi-Civita-Symbole mittels Kronecker-Delta um: 3 \[ \varepsilon_{ijk} \, \varepsilon_{kmn} ~=~ \delta_{jn} \, \delta_{im} ~-~ \delta_{in} \, \delta_{jm} \]

Die Gleichung 3 eingesetzt in Gl. 2 ergibt: 4 \[ \boldsymbol{\hat{e}}_i \, \left( \delta_{jn} \, \delta_{im} ~-~ \delta_{in} \, \delta_{jm} \right) \, \partial_j \, \partial_m \, F_n \]

Multipliziere die Klammer in 4 aus und benutze die Rechenregeln von Kronecker-Delta: 5 \[ \boldsymbol{e}_m \, \partial_n \, \partial_m \, F_n ~-~ \boldsymbol{e}_n \, \partial_m \, \partial_m \, F_n \]

Schreibe anschließend die Gleichung 5, die in Indexnotation steht, in Vektornotation um (vertausche dazu die Faktoren, sodass Du dann besser siehst, was zusammengefasst werden kann): 6 \[ \boldsymbol{e}_m \, \partial_m \, \partial_n \, F_n ~-~ \partial_m \, \partial_m \, \boldsymbol{e}_n \, F_n \]

Wende die Definition des Skalarproduktes auf \( \partial_n \, F_n \) und \( \partial_m \, \partial_m \) an und schreibe die Summen \( \boldsymbol{e}_m \, \partial_m \) und \( \boldsymbol{e}_n \, F_n \) in Vektoren um, dann bekommst Du genau die herzuleitende Beziehung: \[ \nabla \, \left(\nabla ~\cdot~ \boldsymbol{F}\right) ~-~ \left(\nabla \cdot \nabla \right) \, \boldsymbol{F} \]

Nimm zwei skalare Funktionen \( f(x,y) \) und \( g(x,y) \). Zeige, dass die folgende Produktregel gilt: $$\nabla (f \, g) ~=~ f \, \nabla g ~+~ g \, \nabla f$$

Lösung zur Aufgabe #2

Zuerst definieren wir partielle Ableitungen \( \frac{\partial}{\partial i} := \partial_i \) mit \( i \in \{ x,y,z \}\) für eine kompakte Notation.

Laut der Quest sind die skalaren Funktionen \( f(x,y) \) und \( g(x,y) \) abhängig von nur zwei Variablen \( x, y \). Somit brauchst Du einen zweidimensionalen \( \nabla \)-Operator (die z-Komponente wird weggelassen): 1 \[ \nabla (f \, g) ~=~ \left[\begin{array}{c} \partial_x \left(f \, g\right) \\ \partial_y \left(f \, g\right) \end{array}\right] \]

Wende Produktregel für Ableitungen, also (a b)' = a b' + b a', auf die Komponenten von 1 an: 2 \[ \nabla (f \, g) ~=~ \left[\begin{array}{c} f \, \partial_x g + g \, \partial_x f\\ f \, \partial_y g + g \, \partial_y f \end{array}\right] \]

Ziehe den Summenvektor 2 in zwei Vektoren auseinander: \[ \nabla (f \, g) ~=~ f \, \left[\begin{array}{c} \partial_x g \\ \partial_y g \end{array}\right] ~+~ g \, \left[\begin{array}{c} \partial_x f\\ \partial_y f \end{array}\right] \]

Setze die Definition von \( \nabla \) ein: \[ \nabla (f \, g) ~=~ f \, \nabla g ~+~ g \, \nabla f \]

Berechne die magnetische Flussdichte \( \boldsymbol{B}(\boldsymbol{r}) ~=~ \nabla ~\times~ \boldsymbol{A}(\boldsymbol{r}) \) aus dem folgenden Vektorpotential \( \boldsymbol{A}\left(\boldsymbol{r}\right) \): $$\boldsymbol{A}(\boldsymbol{r}) ~=~ \frac{\boldsymbol{m} ~\times~ \boldsymbol{r}}{r^3}$$

Lösung zur Aufgabe #4

Die magnetische Flussdichte berechnest Du aus dem gegebenen Vektorpotential folgendermaßen: 1 \[ \boldsymbol{B}(\boldsymbol{r}) ~=~ \nabla ~\times~ \boldsymbol{A}(\boldsymbol{r}) \]

Setze zuerst das gegebene Vektorpotential in 1 ein: 2 \[ \boldsymbol{B}(\boldsymbol{r}) ~=~ \nabla ~\times~ \left( \frac{ \boldsymbol{m} ~\times~ \boldsymbol{r} }{ r^3 } \right) \]

Wie Du in 2 siehst: Es ist ein doppeltes Kreuzprodukt, welches Du berechnen musst, um auf die magnetische Flussdichte zu kommen. Diese Aufgabe meisterst Du am elegantesten mithilfe der Indexnotation. Schreibe deshalb das äußere Kreuzprodukt in 2 mittels Levi-Civita-Symbol \( \varepsilon_{ijk} \) um, und den Nabla-Operator \( \nabla \) als Differentialoperator mit einem Index \( \partial_j \): 3 \[ \boldsymbol{B}(\boldsymbol{r}) ~=~ \boldsymbol{\hat{e}}_i \, \varepsilon_{ijk} \, \partial_j \, r^{-3} \, \left( \boldsymbol{m} ~\times~ \boldsymbol{r} \right)_k \]

Den Betrag \( r ~=~ (x_1 x_1 + x_2 x_2 + x_3 x_3)^{1/2} \) des Ortsvektors \( \boldsymbol{r} \), kannst Du mit der Einsteinschen Summenkonvention auch folgendermaßen schreiben, wobei über den doppelt auftretenden Index \( s \) summiert wird: 4 \[ r ~=~ (x_s \, x_s)^{1/2} \] damit sieht das im Vektorpotential vorkommende \( r^{-3} \) so aus: 5 \[ r^{-3} ~=~ (x_s \, x_s)^{-3/2} \]

Wenn Du noch das andere Kreuzprodukt in Gl. 3 mittels Levi-Civita-Symbol \( \varepsilon_{klm} \) schreibst und Gl. 5 einsetzt, dann bekommst Du: 6 \[ \boldsymbol{B}(\boldsymbol{r}) ~=~ \boldsymbol{\hat{e}}_i \, \varepsilon_{ijk} \, \partial_j \, (x_s \, x_s)^{-3/2} \, \varepsilon_{klm} \, m_l \, x_m \]

Nun musst du den Differentialoperator \( \partial_j \) (Ableitung nach der Ortskoordinate \(x_j\)) anwenden, wobei du die Produktregel für Ableitungen berücksichtigen musst. Dabei kannst du die beiden Levi-Civita-Symbole und den Einheitsvektor ausklammern, da sie nicht von den Ortskoordinaten abhängen und somit aus Sicht des Differentialoperators Konstanten sind: 7 \[ \boldsymbol{B}(\boldsymbol{r}) ~=~ \boldsymbol{\hat{e}}_i \, \varepsilon_{ijk} \, \varepsilon_{klm} \left( m_l \, x_m \, \partial_j \, (x_s \, x_s)^{-3/2} ~+~ (x_s \, x_s)^{-3/2} \, \partial_j \, m_l \, x_m \right) \]

Das \(m_l\) ist aus Sicht der partiellen Integration nach \(x_s\) ebenfalls nur eine Konstante. Die Ableitung \( \partial_j \, x_m \) ist nur dann 1, wenn \(j = m\) ist, und die Ableitung ergibt 0, wenn \(j \neq m\) ist. Also kannst du die Ableitung mithilfe des Kronecker-Deltas schreiben: \( \partial_j \, x_m ~=~ \delta_{jm} \), welches entweder 1 oder 0 ist, je nachdem, ob die Indizes gleich oder ungleich sind. Mit dieser Überlegung verwandelt sich Gleichung 7 zu: 8 \[ \boldsymbol{B}(\boldsymbol{r}) ~=~ \boldsymbol{\hat{e}}_i \, \varepsilon_{ijk} \, \varepsilon_{klm} \left( m_l \, x_m \, \partial_j \, (x_s \, x_s)^{-3/2} ~+~ (x_s \, x_s)^{-3/2} \, m_l \, \delta_{jm} \right) \]

Multipliziere die Klammern aus und fasse nach den Kronecker-Rechenregeln z.B. \( \varepsilon_{ijk}\delta_{jm} = \varepsilon_{imk} \) zusammen. Aus den Aufgaben zum Levi-Civita-Symbol kennen wir den Zusammenhang: \( \varepsilon_{imk}\varepsilon_{klm} = 2\delta_{il} \). Insgesamt haben wir dann Folgendes: 9 \[ \boldsymbol{B}(\boldsymbol{r}) ~=~ \boldsymbol{\hat{e}}_i \, \varepsilon_{ijk} \, \varepsilon_{klm} m_l \, x_m \, \partial_j \, (x_s \, x_s)^{-3/2} ~+~ \boldsymbol{\hat{e}}_i \, 2\delta_{il} \, m_l \, (x_s \, x_s)^{-3/2} \]

Fasse dann \( \delta_{il}\,m_l = m_i \) zusammen und rechne die Ableitung \( \partial_j \, (x_s \, x_s)^{-3/2} = -3x_j \, (x_s \, x_s)^{-5/2} \) aus. Wende anschließend die Identität \( \varepsilon_{ijk}\,\varepsilon_{klm} = \delta_{il}\delta_{jm} - \delta_{jl}\delta_{im} \) an: 10 \[ \boldsymbol{B}(\boldsymbol{r}) ~=~ -3\boldsymbol{\hat{e}}_i \, (\delta_{il}\delta_{jm} - \delta_{jl}\delta_{im}) \, m_l \, x_j \, x_m \, (x_s \, x_s)^{-5/2} ~+~ 2\boldsymbol{\hat{e}}_i \, \, m_i \, (x_s \, x_s)^{-3/2} \]

Multipliziere die Klammer aus und fasse Kronecker-Delta nach Deinem Wunsch zusammen: 11 \[ \boldsymbol{B}(\boldsymbol{r}) ~=~ -3\boldsymbol{e}_l \, m_l \, x_m \, x_m \, (x_s \, x_s)^{-5/2} ~+~ 3\boldsymbol{e}_m \, m_j \, x_j \, x_m \, (x_s \, x_s)^{-5/2} ~+~ 2\boldsymbol{\hat{e}}_i \, \, m_i \, (x_s \, x_s)^{-3/2} \]

An dieser Stelle kannst Du die Indizes wieder in Vektoren umwandeln. Mit \( \boldsymbol{\hat{e}}_i \, m_i ~=~ \boldsymbol{m} \) und \( x_m \, x_m = r^2 \) hast Du: 12 \[ \boldsymbol{B}(\boldsymbol{r}) ~=~ -3 \boldsymbol{m} r^2 \, r^{-5} ~+~ 3\boldsymbol{r}(\boldsymbol{m} \cdot \boldsymbol{r}) \, r^{-5} ~+~ 2 \boldsymbol{m} r^{-3} \]

Wegen \( r^2 \cdot r^{-5} = r^{-3} \) hebt sich der letzte Summand mit zwei der drei vorderen Termen weg. Was übrig bleibt, ist der gesuchte Ausdruck für die magnetische Flussdichte: 13 \[ \boldsymbol{B}(\boldsymbol{r}) ~=~ -3 \boldsymbol{r} \, \frac{\boldsymbol{m} \cdot \boldsymbol{r}}{r^5} ~-~ \frac{\boldsymbol{m}}{r^3} \]