Ich heiße Alexander FufaeV und hier schreibe ich über:

Levi-Civita-Symbol und wie Du damit Kreuzprodukt & Spatprodukt schreibst

Neben dem Kronecker-Delta $\delta_{\class{blue}{i}\class{red}{j}}$ ist das Levi-Civita-Symbol ein sehr häufig auftretendes Symbol in der theoretischen Physik und zwar in allen Teilgebieten der Physik, angefangen bei der klassischen Mechanik bis hin zur Quantenfeldtheorie. Deshalb ist es wichtig zu verstehen, wie dieses Symbol funktioniert.

Mit dem Levi-Civita-Symbol, der manchmal auch Epsilon-Tensor genannt wird, kannst du beispielsweise...

Komplizierte Vektorgleichungen, wie mehrfach auftretende Kreuzprodukte, leicht umformen und vereinfachen
Gleichungen kompakter darstellen

Grundsätzlich wollen wir mithilfe des Levi-Civita-Symbols, Vektorgleichungen in Indexnotation schreiben, um sie leichter verarzten zu können.

Levi-Civita-Symbol wird mit einem kleinen griechischen Epsilon $\varepsilon$ notiert, der drei Indizes $\class{blue}{i}$, $\class{red}{j}$ und $\class{green}{k}$ trägt:

Levi-Civita-Symbol

\varepsilon_{ \class{blue}{i} \class{red}{j} \class{green}{k} }

Wie du die Indizes nennst, bleibt natürlich dir überlassen. Die Indizes nehmen unterschiedliche Werte an, je nach betrachteter Dimension. Wenn du mit dreidimensionalen Vektoren arbeitest, dann brauchst du ein Levi-Civita-Symbol, dessen Indizes $\class{blue}{i}$, $\class{red}{j}$ und $\class{green}{k}$ die Werte von 1 bis 3 annehmen:

Indizes des Levi-Civita-Symbols

\class{blue}{i},~ \class{red}{j},~ \class{green}{k} ~\in~ \{1,2,3\}

Das Levi-Civita-Symbol $\varepsilon_{ \class{blue}{i} \class{red}{j} \class{green}{k} }$ kann drei verschiedene Werte annehmen: +1, 0 oder -1. Das Symbol nimmt nur diese drei Werte an - keine anderen! Wann nimmt es welchen Wert an? Das hängt davon ab, wie die Indizes $\class{blue}{i} \class{red}{j} \class{green}{k}$, in Bezug auf die ursprüngliche Reihenfolge, angeordnet sind. Du hast also das Symbol $\varepsilon_{ \class{blue}{i} \class{red}{j} \class{green}{k} }$ und kannst die Indizes untereinander permutieren (vertauschen). Schauen wir uns das etwas genauer an.

Gerade und ungerade Permutationen der Indizes

Bevor du die Definition des Levi-Civita-Symbols verstehen kannst, musst du zuerst gerade und ungerade Permutationen seiner Indizes verstehen.

Was ist eine gerade Permutation?

Bei einer geraden (zyklischen) Permutation werden alle Indizes im Uhrzeigersinn oder gegen den Uhrzeigersinn gedreht. Bei dieser Permutation wechseln alle Indizes ihre Position.

Gerade Permutation der Indizes als Rotation der Indizes im Uhrzeigersinn.

Beispiele für gerade Permutationen

Eine gerade Permutation von ($\class{blue}{i},\class{red}{j},\class{green}{k}$) im Uhrzeigersinn ergibt ($\class{green}{k},\class{blue}{i},\class{red}{j}$). Siehst du, wie hier die Indizes rotiert wurden?
Eine gerade Permutation von ($\class{green}{k},\class{blue}{i},\class{red}{j}$) im Uhrzeigersinn ergibt ($\class{red}{j},\class{green}{k},\class{blue}{i}$).
Eine gerade Permutation von ($\class{red}{j},\class{green}{k},\class{blue}{i}$) würde wieder ($\class{blue}{i},\class{red}{j},\class{green}{k}$) ergeben. Denk dran, dass auch eine Drehung der Indizes gegen den Uhrzeigersinn eine gerade Permutation ist.

Was ist eine ungerade Permutation?

Bei einer ungeraden Permutation werden zwei Indizes untereinander vertauscht. Bei dieser Permutation wechseln nur zwei der drei Indizes ihre Position.

Beispiele für ungerade Permutationen

Eine ungerade Vertauschung von ($\class{blue}{i},\class{red}{j},\class{green}{k}$) ist ($\class{red}{j},\class{blue}{i},\class{green}{k}$). Hier wurden $\class{blue}{i}$ und $\class{red}{j}$ miteinander vertauscht, während $\class{green}{k}$ an der gleichen Stelle geblieben ist.
Eine weitere ungerade Permutation von ($\class{blue}{i},\class{red}{j},\class{green}{k}$) ist ($\class{green}{k},\class{red}{j},\class{blue}{i}$). Hier wurden $\class{blue}{i}$ und $\class{green}{k}$ vertauscht, während $\class{red}{j}$ an der gleichen Stelle geblieben ist.
Und die letzte mögliche ungerade Permutation von ($\class{blue}{i},\class{red}{j},\class{green}{k}$) ist ($\class{blue}{i},\class{green}{k},\class{red}{j}$). Hier wurde $\class{blue}{i}$ stehen gelassen, während $\class{green}{k}$ und $\class{red}{j}$ miteinander vertauscht wurden.

Definition und Beispiele

Mit diesem Wissen bist du in der Lage die Definition des Levi-Civita-Symbols zu verstehen. Die Permutationen beziehen sich auf eine Startposition der Indizes. Hier nehmen wir $(\class{blue}{i}\class{red}{j}\class{green}{k}) = (123) $ als Startposition an. Dann verhält sich das Levi-Civita-Symbol folgendermaßen:

Werden die drei unterschiedlichen Indizes $\class{blue}{i}$, $\class{red}{j}$ und $\class{green}{k}$, in Bezug auf die Startposition $(123) $, gerade permutiert, so ist das resultierende Epsilon gleich 1.
Werden die drei unterschiedlichen Indizes $\class{blue}{i}$, $\class{red}{j}$ und $\class{green}{k}$, in Bezug auf die Startposition $(123)$, ungerade permutiert, so ist das resultierende Epsilon gleich -1.
Sobald mindestens zwei der Indizes gleich sind, so ist das resultierende Epsilon gleich 0.

Definition des Levi-Civita-Symbols

\varepsilon_{\class{blue}{i}\class{red}{j}\class{green}{k}} ~=~ \begin{cases} +1, & ~(\class{blue}{i}\class{red}{j}\class{green}{k}) \text{ is an even permutation of } (123)\\ -1, & ~(\class{blue}{i}\class{red}{j}\class{green}{k}) \text{ is an odd permutation of } (123) \\ ~~~0, & \text{min. 2 equal indices} \end{cases}

Beispiele

$\varepsilon_{112} ~=~ 0$, da die ersten beiden Indizes gleich sind.
$\varepsilon_{313} ~=~ 0$, da der erste und dritte Index gleich sind.
$\varepsilon_{222} ~=~ 0$, da alle drei Indizes gleich sind.
$\varepsilon_{123} + \varepsilon_{213} ~=~ 1 + (-1) ~=~ 0$, da beim ersten Epsilon die Indizes in der Startposition sind und die Indizes des zweiten Epsilons eine ungerade Permutation davon sind.
$\varepsilon_{123} \, \varepsilon_{231} ~=~ 1 \cdot 1 ~=~ 1$, da beim ersten Epsilon die Indizes in der Startposition sind und die Indizes des zweiten Epsilons gegen den Uhrzeigersinn gerade permutiert wurden.

Kreuzprodukt in Indexnotation

Kreuzprodukt von zwei Vektoren.

Einer der Vorteile der Definition 1 des Levi-Civita-Symbols ist, dass wir damit das Kreuzprodukt zweier Vektoren $\boldsymbol{a}$ und $\boldsymbol{b}$ in Indexnotation schreiben können, weil das Epsilon genau die Eigenschaften des Kreuzprodukts repräsentiert!

Betrachte das Kreuzprodukt $ \boldsymbol{a} ~\times~ \boldsymbol{b} $ zweier Vektoren $ \boldsymbol{a} = (a_1, a_2, a_3)$ und $ \boldsymbol{b} = (b_1, b_2, b_3) $:

Kreuzprodukt zweier Vektoren in Vektorschreibweise

\boldsymbol{a} ~\times~ \boldsymbol{b} ~=~ \begin{bmatrix} a_2\,b_3-a_3\,b_2 \\ a_3\,b_1-a_1\,b_3 \\ a_1\,b_2-a_2\,b_1 \end{bmatrix}

Das Ergebnis des Kreuzprodukts ist ein neuer Vektor, der senkrecht auf $ \boldsymbol{a} $ und $ \boldsymbol{b} $ steht. Diese Eigenschaft des Kreuzprodukts ist sehr nützlich, zum Beispiel bei der Beschreibung der Lorentzkraft, wo das Kreuzprodukt $\boldsymbol{v} ~\times~ \boldsymbol{B}$ zwischen der Geschwindigkeit $ \boldsymbol{v} $ der Ladung und des externen Magnetfelds $ \boldsymbol{B} $ relevant ist.

Wir können das Kreuzprodukt 2 auch in einer beliebigen Basis darstellen. Wählen wir zum Beispiel die übliche orthogonale Basis, mit den normierten und zueinander senkrecht stehenden Basisvektoren $ \boldsymbol{\hat{e}}_1 $, $ \boldsymbol{\hat{e}}_2 $ und $ \boldsymbol{\hat{e}}_3 $, die den dreidimensionalen Raum aufspannen:

Kreuzprodukt als Linearkombination der Basisvektoren

\boldsymbol{a} ~\times~ \boldsymbol{b} &~=~ (a_2\,b_3-a_3\,b_2) \, \boldsymbol{\hat e}_1 \\\\
&~+~ (a_3\,b_1-a_1\,b_3) \, \boldsymbol{\hat e}_2 \\\\
&~+~ (a_1\,b_2-a_2\,b_1) \, \boldsymbol{\hat e}_3

Das Kreuzprodukt 3, dargestellt in der orthogonalen Basis, können wir in Indexnotation folgendermaßen schreiben:

Kreuzprodukt in Indexnotation mittels Levi-Civita-Symbol

\boldsymbol{a} ~\times~ \boldsymbol{b} ~=~ \varepsilon_{\class{blue}{i}\class{red}{j}\class{green}{k}} \, \boldsymbol{\hat{e}}_{\class{blue}{i}} \, a_{\class{red}{j}} \, b_{\class{green}{k}}

Schau dir mal die Indizes genau an. Alle drei Indizes $\class{blue}{i}$, $\class{red}{j}$ und $\class{green}{k}$ kommen doppelt vor. Wir benutzen in 4 die Einstein-Summenkonvention, daher wird über doppelt auftretende Indizes summiert.

In 4 haben wir alle drei Komponenten des Kreuzprodukts in einer kompakten Gleichung notiert. Doch das Entscheidende ist hier nicht die Kompaktheit, sondern die durch die Indexnotation entstandene Kommutativität der einzelnen Faktoren. Das bedeutet: Du darfst die drei Faktoren in 4 untereinander vertauschen, wie du möchtest. Bei der Darstellung 3 kannst du das, wegen den ganzen Minus- und Pluszeichen, natürlich nicht. Anders gesagt: Wir haben mithilfe des Levi-Civita-Symbols alle Additionen und Subtraktionen der Ausdrücke in 3 geschickt versteckt, sodass wir jetzt nur noch kommutative Multiplikation haben.

Wir können auch die Komponenten 2 des Kreuzprodukts in Indexnotation schreiben, ohne die Basisvektoren konkret einzubeziehen. Das ist die sogenannte Komponentenschreibweise.

In der Komponentenschreibweise betrachten wir eine Komponente des Kreuzprodukts, die so allgemein notiert ist, dass sie stellvertretend für alle drei Komponenten steht. Dazu versehen wir das Kreuzprodukt mit einem Index $ \class{blue}{i} $, also etwa so: $ \left( \boldsymbol{a} ~\times~ \boldsymbol{b} \right)_{\class{blue}{i}} $. Damit ist gemeint: Du betrachtest die $ \class{blue}{i} $-te Komponente des Kreuzprodukts - also die erste, zweite oder dritte Komponente. Der Index $ \class{blue}{i} $ steht stellvertretend für 1, 2 oder 3.

Denk dran, dass die Komponente $ \left( \boldsymbol{a} ~\times~ \boldsymbol{b} \right)_{\class{blue}{i}} $ eines Vektors, eine reine Zahl ist, bei der der Basisvektor $ \boldsymbol{\hat{e}}_{\class{blue}{i}} $ nicht explizit auftaucht. In Komponentenschreibweise lautet das Kreuzprodukt folgendermaßen:

$\class{blue}{i}$-te Komponente des Kreuzprodukts in Indexnotation

\left( \boldsymbol{a} ~\times~ \boldsymbol{b} \right)_{\class{blue}{i}} ~=~ \varepsilon_{\class{blue}{i}\class{red}{j}\class{green}{k}} \, a_{\class{red}{j}} \, b_{\class{green}{k}}

Ob Du mit dem vollständigen Kreuzprodukt 4 oder mit nur einer Komponente 5 des Kreuzprodukts arbeiten möchtest, bleibt Dir überlassen!

Beispiel: Erste Komponente komplett ausschreiben

Lass uns mal überprüfen, ob die Indexnotation des Kreuzprodukts 5 überhaupt das richtige Ergebnis liefert. Dazu schreiben wir statt dem allgemein gehaltenen Index $ \class{blue}{i} $ die Zahl 1, die die 1. Komponente des Kreuzprodukts repräsentiert:

Erste Komponente des Kreuzprodukts in Indexnotation

\left( \boldsymbol{a} ~\times~ \boldsymbol{b} \right)_{\class{blue}{1}} ~=~ \varepsilon_{\class{blue}{1}\class{red}{j}\class{green}{k}} \, a_{\class{red}{j}} \, b_{\class{green}{k}}

Du hast also jetzt die Komponente, die wir ausrechnen möchten, festgelegt. Als nächstes müssen wir über $ \class{red}{j} $ und $ \class{green}{k} $ summieren. Um alle Fälle durchzugehen, setzen wir $ \class{red}{j} = 1 $ und gehen alle Fälle für $ \class{green}{k} =1,2,3 $ durch. Dann setzen wir $ \class{red}{j} = 2 $ und gehen alle Fälle für $ \class{green}{k} =1,2,3 $ durch und analog für $ \class{red}{j} = 3 $. Insgesamt müssen 3 * 3 = 9 Summanden herauskommen:

Erste Komponente des Kreuzprodukts komplett ausgeschrieben

\varepsilon_{\class{blue}{1}\class{red}{j}\class{green}{k}} \, a_{\class{red}{j}} \, b_{\class{green}{k}} &~=~ \varepsilon_{\class{blue}{1}\class{red}{1}\class{green}{1}} \, a_{\class{red}{1}} \, b_{\class{green}{1}} ~+~ \varepsilon_{\class{blue}{1}\class{red}{1}\class{green}{2}} \, a_{\class{red}{1}} \, b_{\class{green}{2}} ~+~ \varepsilon_{\class{blue}{1}\class{red}{1}\class{green}{3}} \, a_{\class{red}{1}} \, b_{\class{green}{3}} \\\\
&~+~ \varepsilon_{\class{blue}{1}\class{red}{2}\class{green}{1}} \, a_{\class{red}{2}} \, b_{\class{green}{1}} ~+~ \varepsilon_{\class{blue}{1}\class{red}{2}\class{green}{2}} \, a_{\class{red}{2}} \, b_{\class{green}{2}} ~+~ \varepsilon_{\class{blue}{1}\class{red}{2}\class{green}{3}} \, a_{\class{red}{2}} \, b_{\class{green}{3}} \\\\
&~+~ \varepsilon_{\class{blue}{1}\class{red}{3}\class{green}{1}} \, a_{\class{red}{3}} \, b_{\class{green}{1}} ~+~ \varepsilon_{\class{blue}{1}\class{red}{3}\class{green}{2}} \, a_{\class{red}{3}} \, b_{\class{green}{2}} ~+~ \varepsilon_{\class{blue}{1}\class{red}{3}\class{green}{3}} \, a_{\class{red}{3}} \, b_{\class{green}{3}}

Nach Definition des Levi-Civita-Symbols, sind von neun Termen nur zwei ungleich Null und zwar die mit unterschiedlichen Indizes:

Nur zwei Summand in Indexnotation verschwinden nicht

\varepsilon_{\class{blue}{1}\class{red}{j}\class{green}{k}} \, a_{\class{red}{j}} \, b_{\class{green}{k}} ~=~ \varepsilon_{\class{blue}{1}\class{red}{2}\class{green}{3}} \, a_{\class{red}{2}} \, b_{\class{green}{3}} ~+~ \varepsilon_{\class{blue}{1}\class{red}{3}\class{green}{2}} \, a_{\class{red}{3}} \, b_{\class{green}{2}}

Dabei ist $ \varepsilon_{\class{blue}{1}\class{red}{2}\class{green}{3}} ~= 1 $, weil es eine gerade Permutation ist. Und $ \varepsilon_{\class{blue}{1}\class{red}{3}\class{green}{2}} ~= -1 $, weil es eine ungerade Permutation ist. Einsetzen ergibt:

Erste Kreuzproduktkomponente mit benutzter Definition von Levi-Civita-Symbol

\varepsilon_{\class{blue}{1}\class{red}{j}\class{green}{k}} \, a_{\class{red}{j}} \, b_{\class{green}{k}} ~=~ a_{\class{red}{2}} \, b_{\class{green}{3}} ~-~ \, a_{\class{red}{3}} \, b_{\class{green}{2}}

Analog gehst Du mit der 2. und 3. Komponenten vor und erhältst so alle drei Komponenten des Ergebnisvektors des Kreuzprodukts.

Spatprodukt in Indexnotation mit Levi-Civita-Symbol

Spatprodukt veranschaulicht.

Mit dem Levi-Civita-Symbol lässt sich leicht zeigen, dass die folgenden Spatprodukte gleich sind (versuch das mal ohne Indexnotation zu bewerkstelligen):

Spatprodukte

\boldsymbol{a} \cdot \left( \boldsymbol{b} ~\times~ \boldsymbol{c} \right) &~=~ \boldsymbol{c} \cdot \left( \boldsymbol{a} ~\times~ \boldsymbol{b} \right) \\\\
&~=~ \boldsymbol{b} \cdot \left( \boldsymbol{c} ~\times~ \boldsymbol{a} \right)

Wenn du dir die Gleichungen genau anschaust, dann siehst du, dass die Vektoren zyklisch vertauscht werden, um zu einem äquivalenten Spatprodukt zu gelangen. Starten wir mit der linken Seite der Gleichung. Da es sich um ein Skalarprodukt zwischen $ \boldsymbol{a} $ und $ \left( \boldsymbol{b} ~\times~ \boldsymbol{c} \right) $ handelt, versiehst Du sowohl das Kreuzprodukt als auch den Vektor $ \boldsymbol{a} $ mit einem gleichen Index, zum Beispiel mit dem Index $ \class{blue}{i} $. Über diesen Index wird dann nach der Einstein-Summenkonvention summiert:

Spatprodukt in Komponentenschreibweise

a_{\class{blue}{i}} \, \left( \boldsymbol{b} ~\times~ \boldsymbol{c} \right)_{\class{blue}{i}}

Jetzt hast Du ein gewöhnliches Produkt von zwei Zahlen: $ a_{\class{blue}{i}} $ und $ \left( \boldsymbol{b} ~\times~ \boldsymbol{c} \right)_{\class{blue}{i}} $, weshalb das Skalarprodukt-Punkt weg ist. Auf diese Weise haben wir das Skalarprodukt in Indexnotation geschrieben.

Du hast außerdem vorher gelernt, dass die $ \class{blue}{i} $-te Komponente des Kreuzprodukts sich mit Hilfe des Levi-Civita-Symbols umschreiben lässt (siehe Gl. 5). Das nutzen wir aus, um das Kreuzprodukt in Indexnotation zu schreiben:

Spatprodukt in Indexnotation

a_{\class{blue}{i}} \, \left( \boldsymbol{b} ~\times~ \boldsymbol{c} \right)_{\class{blue}{i}} ~=~ a_{\class{blue}{i}} \, \varepsilon_{\class{blue}{i}\class{red}{j}\class{green}{k}} \, b_{\class{red}{j}} \, c_{\class{green}{k}}

Jetzt enthält das Spatprodukt 12 nur multiplikative Faktoren, weshalb wir die Faktoren vertauschen können, wie wir wollen! Platzieren wir beispielsweise das Levi-Civita-Symbol an den Anfang:

Spatprodukt in Indexnotation mit dem Levi-Civita-Symbol nach vorn gebracht

a_{\class{blue}{i}} \, \left( \boldsymbol{b} ~\times~ \boldsymbol{c} \right)_{\class{blue}{i}} ~=~ \varepsilon_{\class{blue}{i}\class{red}{j}\class{green}{k}} \, a_{\class{blue}{i}} \, b_{\class{red}{j}} \, c_{\class{green}{k}}

Als nächstes nutzen wir die Eigenschaft des Levi-Civita-Symbols aus: Bei einer geraden Vertauschung der Indizes bekommen wir das gleiche Levi-Civita-Symbol heraus. (Bei einer ungeraden Permutation der Indizes dagegen bekommen wir ein Minuszeichen vor dem Levi-Civita-Symbol).

Für die erste gerade Permutation 'rotierst' du die Indizes einmal im Kreis: $ \class{blue}{i}\class{red}{j}\class{green}{k} ~\rightarrow~ \class{green}{k}\class{blue}{i}\class{red}{j} $. Da sich am Ergebnis nichts ändert, ist die permutierte und die nicht-permutierte Version gleich:

Einmalige gerade Permutation der Indizes beim Levi-Civita-Symbol

\varepsilon_{\class{blue}{i}\class{red}{j}\class{green}{k}} \, a_{\class{blue}{i}} \, b_{\class{red}{j}} \, c_{\class{green}{k}} ~=~ \varepsilon_{\class{green}{k}\class{blue}{i}\class{red}{j}} \, a_{\class{blue}{i}} \, b_{\class{red}{j}} \, c_{\class{green}{k}}

Nächste gerade Permutation (also eine weitere Rotation) der Indizes $ \class{green}{k}\class{blue}{i}\class{red}{j} ~\rightarrow~ \class{red}{j}\class{green}{k}\class{blue}{i} $ ergibt einen weiteren Term, der den anderen beiden in 14 gleicht:

Zweimalige gerade Permutation der Indizes beim Levi-Civita-Symbol

\varepsilon_{\class{blue}{i}\class{red}{j}\class{green}{k}} \, a_{\class{blue}{i}} \, b_{\class{red}{j}} \, c_{\class{green}{k}} ~&=~ \varepsilon_{\class{green}{k}\class{blue}{i}\class{red}{j}} \, a_{\class{blue}{i}} \, b_{\class{red}{j}} \, c_{\class{green}{k}} \\\\
~&=~ \varepsilon_{\class{red}{j}\class{green}{k}\class{blue}{i}} \, a_{\class{blue}{i}} \, b_{\class{red}{j}} \, c_{\class{green}{k}}

Würdest Du die Indizes ein drittes Mal rotieren $ \class{red}{j}\class{green}{k}\class{blue}{i} ~\rightarrow~ \class{blue}{i}\class{red}{j}\class{green}{k} $, dann kommst Du zum Anfangszustand zurück. Es bringt also nichts, noch ein weiteres Mal eine gerade Vertauschung durchzuführen.

Sortieren wir am besten die Gl. 15 so, dass die Indizes an den Vektorkomponenten die gleiche Reihenfolge haben wie bei den Levi-Civita-Symbolen:

Spatprodukte in sortierter Indexnotation

\varepsilon_{\class{blue}{i}\class{red}{j}\class{green}{k}} \, a_{\class{blue}{i}} \, b_{\class{red}{j}} \, c_{\class{green}{k}} ~&=~ \varepsilon_{\class{green}{k}\class{blue}{i}\class{red}{j}} \, c_{\class{green}{k}} \, a_{\class{blue}{i}} \, b_{\class{red}{j}} \\\\
~&=~ \varepsilon_{\class{red}{j}\class{green}{k}\class{blue}{i}} \, b_{\class{red}{j}} \, c_{\class{green}{k}} \, a_{\class{blue}{i}}

Jetzt müssen wir nur noch die Definition 5 des Kreuzprodukts auf die drei Terme in 16 rückwärts anwenden, um ihre Vektorschreibweise zu erhalten:

Spatprodukte mit Kreuzprodukten in Vektorschreibweise

a_{\class{blue}{i}} \, \left( \boldsymbol{b} ~\times~ \boldsymbol{c} \right)_{\class{blue}{i}} ~&=~ c_{\class{green}{k}} \, \left( \boldsymbol{a} ~\times~ \boldsymbol{b} \right)_{\class{green}{k}} \\\\
~&=~ b_{\class{red}{j}} \, \left( \boldsymbol{c} ~\times~ \boldsymbol{a} \right)_{\class{red}{j}}

Bei jedem Term wird über ein Index summiert. Es handelt sich hier also um ein Skalarprodukt. Damit erhalten wir die Spatprodukte:

Hergeleitetes Spatprodukt

Wie du siehst: Das Levi-Civita-Symbol ist ein sehr nützliches Permutationssymbol, wenn es um Gleichungen geht, die Kreuzprodukte enthalten. Als nächstes solltest du ein bisschen selbst üben. Versuche mal die BAC-CAB-Regel mithilfe der Indexnotation und des Levi-Civita-Symbols zu beweisen.

Übungen mit Lösungen

Nutze diese Formelsammlung, wenn du Probleme mit Physikaufgaben hast.

Aufgabe #1: Lorentzkraft mittels Levi-Civita-Symbol

In der Lorentzkraft findest du den Kreuzprodukt-Term $ \boldsymbol{v}\times{}\boldsymbol{B} $. Bestimme die Komponenten des Kreuzprodukts $ \boldsymbol{v}\times{}\boldsymbol{B} $ durch Ausnutzung des Levi-Civita-Symbols $\varepsilon_{ijk}$.

Hierbei sind $ \boldsymbol{v} $ und $ \boldsymbol{B} $ dreidimensionale Vektoren.

Lösung zur Aufgabe #1

Definition des Kreuzproduktes mittels Levi-Civita-Symbols ist (mit Einstein-Summenkonvention): 1 \[ \boldsymbol{v} ~\times~ \boldsymbol{B} ~=~ \varepsilon_{ijk} \, \boldsymbol{\hat{e}}_i \, v_j \, B_k \]

Betrachte einzelne Komponenten des Kreuzproduktes. Halte es allgemein und schreibte die $ i $-te Komponente hin. Dabei steht $i$ für die erste, zweite oder dritte Komponente: 2 \[ \left( \boldsymbol{v} ~\times~ \boldsymbol{B} \right)_i ~=~ \varepsilon_{ijk} \, v_j \, B_k \]

Um jede Komponente des Kreuzprodukts explizit auszurechnen, musst Du jede der drei Komponente explizit ausschreiben. Dazu schreibst Du die Summe aus. Zuerst die erste Komponente $ i ~=~ 1 $: 3 \[ \left( \boldsymbol{v} ~\times~ \boldsymbol{B} \right)_1 ~=~ \varepsilon_{1jk} \, v_j \, B_k \]

Du musst nicht alle möglichen 9 Summanden ausschreiben. Nach der Definition des Levi-Civita-Symbols fallen alle Summanden weg, die gleiche Indizes beinhalten, wie z.B. der Summan, der mit$ \varepsilon_{112} = 0 $ multipliziert ist. Es bleiben nur zwei Summanden mit drei unterschiedlichen Indizes übrig: 4 \[ \left( \boldsymbol{v} ~\times~ \boldsymbol{B} \right)_1 ~=~ \varepsilon_{123} \, v_2 \, B_3 ~+~ \varepsilon_{132} \, v_3 \, B_2 \]

Dabei ist nach der Definition des Levi-Civita-Symbols $ \varepsilon_{123} ~=~ 1 $ eine gerade und $ \varepsilon_{132} ~=~ -1 $ eine ungerade Permutation der Indizes: 5 \[ \left( \boldsymbol{v} ~\times~ \boldsymbol{B} \right)_1 ~=~ v_2 \, B_3 ~-~ v_3 \, B_2 \]

Damit hast du die erste Komponente des Kreuzprodukts bestimmt. Analog berechnest Du die 2. Komponente: 6 \[ \left( \boldsymbol{v} ~\times~ \boldsymbol{B} \right)_2 ~=~ v_3 \, B_1 ~-~ v_1 \, B_3 \]

Und die 3. Komponente: 7 \[ \left( \boldsymbol{v} ~\times~ \boldsymbol{B} \right)_3 ~=~ v_1 \, B_2 ~-~ v_2 \, B_1 \]

Und schon hast Du alle drei Komponenten des Kreuzprodukts, die nur noch zu einem Vektor zusammengefasst werden: 8 \[ \boldsymbol{v} ~\times~ \boldsymbol{B} ~=~ \left(\begin{array}{c}v_2 \, B_3 ~-~ v_3 \, B_2 \\ v_3 \, B_1 ~-~ v_1 \, B_3 \\ v_1 \, B_2 ~-~ v_2 \, B_1 \end{array}\right) \]

Aufgabe #2: Produkt von Levi-Civita-Symbolen

Das Produkt zweier Levi-Civita-Symbole lässt sich als Determinante einer 3x3-Matrix berechnen, in der Kronecker-Delta's mit verschieden Indizes stehen. Im Fall von einem gleichen Index vereinfacht sich diese auf eine 2x2-Matrix: $$ \varepsilon_{kij} \, \varepsilon_{kmn} ~=~ {\begin{vmatrix}\delta_{im}&\delta_{in} \\ \delta_{jm}&\delta_{jn} \end{vmatrix}} $$

Schau Dir die folgenden drei Fälle an:

Das Produkt der Levi-Civita-Symbole enthält einen gleichen Index $k$. Berechne also die Determinante der obigen 2x2-Matrix.
Setze dann die Indizes $i=m$ und rechne es nochmal aus. Was kommt in diesem Fall für die Determinante heraus? Du kannst das Ergebnis aus der ersten Teilaufgabe benutzen.
Setze die Indizes $j=n$ gleich. Nun sind alle Indizes der beiden Levi-Civita-Symbole gleich. Welches Ergebnis für die Determinante bekommst du jetzt? Du kannst das Ergebnis aus der zweiten Teilaufgabe benutzen.

Lösung zur Aufgabe #2.1

Zur Berechnung der Determinante wurde Laplace-Entwicklungssatz verwendet. Entwickle beispielsweise nach der 1. Zeile. Das ergibt dann: 1 \[ \varepsilon_{kij} \, \varepsilon_{kmn} ~=~ \delta_{im} \, \delta_{jn} ~-~ \delta_{jm} \, \delta_{in} \]

Du hast eine wichtige Identität hergeleitet! Dabei ist $ \varepsilon_{kij} \, \varepsilon_{kmn} $ das Produkt zweier Levi-Civita-Symbole und die obige Identität ergibt sich genau dann, wenn die beiden Levi-Civita-Symbole einen gemeinsamen Index aufweisen. Mit dem Wissen kannst Du z.B. doppeltes Kreuzprodukt $ \boldsymbol{a}\times \left( \boldsymbol{b}\times\boldsymbol{c} \right) $ leicht umschreiben.

Lösung zur Aufgabe #2.2

Weisen Epsilons dagegen zwei gleiche Indizes auf, dann kannst Du in der obigen Identität z.B. $ i = m $ setzen und damit $ i $ durch $ m $ ersetzen: 2 \[ \varepsilon_{kmj} \, \varepsilon_{kmn} ~=~ \delta_{mm} \, \delta_{jn} ~-~ \delta_{jm} \, \delta_{mn} \]

Dabei ergibt $ \delta_{mm} = 3 $ nach den Rechenregeln von Kronecker-Delta. Und $ \delta_{jm} \, \delta_{mn} = \delta_{jn} $. Insgesamt also: 3 \[ \varepsilon_{kmj} \, \varepsilon_{kmn} ~=~ 2 \delta_{jn} \]

Lösung zur Aufgabe #2.3

Wenn alle Indizes übereinstimmen (d.h. neben $ i = m $ auch $ j = n $), dann hast Du: 4 \[ \varepsilon_{kmn} \, \varepsilon_{kmn} ~=~ 2 \delta_{nn} \]

Nach den Kronecker-Delta-Rechenregeln ist $ \delta_{nn} = 3 $. Also: 5 \[ \varepsilon_{kmn} \, \varepsilon_{kmn} ~=~ 6 \]

Aufgabe #3: BAC-CAB-Regel mit Indexnotation herleiten

Schreibe doppeltes Kreuzprodukt in die "BAC-CAB-Form" um: $$\boldsymbol{a} ~\times~ \left( \boldsymbol{b} ~\times~ \boldsymbol{c} \right) ~=~ \boldsymbol{b} \left( \boldsymbol{a} ~\cdot~ \boldsymbol{c} \right) ~-~ \boldsymbol{c} \left( \boldsymbol{a} ~\cdot~ \boldsymbol{b} \right)$$

Hierbei ist $\boldsymbol{a} ~\cdot~ \boldsymbol{c} $ das Skalarprodukt zwischen den Vektoren $\boldsymbol{a}$ und $\boldsymbol{c}$.

Tipp: Du darfst natürlich an die Aufgabe mit der Brechstange herangehen und die Vektoren ausmultiplizieren. Doch viel einfacher ist es, die Aufgabe mittels der mächtigen Indexnotation zu lösen. Alles, was Du dafür brauchst ist die folgende Definition des Kreuzprodukts in Indexnotation, die du in dieser Lektion kennengelernt hast und das Kronecker-Delta $\delta_{ij}$, mit $i, j \in \{ 1,2,3 \}$.

Hier noch ein Tipp für das Vorgehen: Schreibe zuerst das äußere Kreuzprodukt und dann das innere Kreuzprodukt in Indexnotation um. Drücke dann die Levi-Civita-Symbole mit Kronecker-Deltas aus. Benutze stets die Kronecker-Delta-Rechenregeln, um die Gleichungen zu vereinfachen.

Lösung zur Aufgabe #3

Schreibe zuerst eines der Kreuzprodukte in Indexnotation aus, in dem Du die Definition des Kreuzproduktes mithilfe des Levi-Civita-Symbols einsetzt. Ob Du zuerst das äußere oder das innere Kreuzprodukt umschreibst, spelt keine Rolle. Hier schreiben wir zuerst das äußere Kreuzprodukt um und zwar lassen wir die Summenzeichen weg, weil wir die Einstein-Summenkonvention verwenden. Beachte also, dass im Folgenden über doppelt auftretende Indizes summiert wird. Benutze nun den Hinweis: 1 \[ \boldsymbol{a} ~\times~ \left( \boldsymbol{b} ~\times~ \boldsymbol{c} \right) ~=~ \boldsymbol{e}_{i} \, \varepsilon_{ijk} \, a_j \, \left[ \boldsymbol{b} ~\times~ \boldsymbol{c} \right]_k \]

Hierbei bedeutet $\left[ \boldsymbol{b} ~\times~ \boldsymbol{c} \right]_k$ die $k$-te Komponente des Kreuzprodukts. Jetzt stehen da noch die Basisvektoren $ \boldsymbol{e}_i $. Damit ist 1 eine Vektorgleichung. Um sie in eine skalare Gleichung zu verwandeln, betrachte die $i$-te Komponente des doppelten Kreuzprodukts. So musst Du nicht die Basisvektoren $ \boldsymbol{e}_i $ mitschleppen: 2 \[ \left[ \boldsymbol{a} ~\times~ \left( \boldsymbol{b} ~\times ~ \boldsymbol{c} \right) \right]_i ~=~ \varepsilon_{ijk} \, a_j \, \left[ \boldsymbol{b} ~\times~ \boldsymbol{c} \right]_k \]

Gleichung 2 sagt uns jetzt also, wie wir die $i$-te Komponente des doppelten Kreuzprodukts berechnen können. Schreibe auch das innen stehende Kreuzprodukt $ \boldsymbol{b}\times\boldsymbol{c} $ in Indexnotation um: $\boldsymbol{e}_k \, \varepsilon_{kmn} \, b_m \, c_n $. Beachte, dass Du hier keinen Vektor hast, sondern die $k$-te Komponente von diesem Vektor! Der Basisvektor $ \boldsymbol{e}_k $ wird also weggelassen: 3 \[ \left[ \boldsymbol{a} ~\times~ \left( \boldsymbol{b} ~\times ~ \boldsymbol{c} \right) \right]_i ~=~ \varepsilon_{ijk} \, a_j \, \varepsilon_{kmn} \, b_m \, c_n \]

Du darfst die Indizes von $b_m$ und $c_n$ frei wählen, beachte nur, dass sie nicht mit $i$, $j$ oder $k$ übereinstimmen dürfen. Hier siehst Du hoffentlich schon den Vorteil der Indexnotation! Du hast das doppelte Kreuzprodukt so umgeschrieben, dass Du nur reine Zahlen in der Gleichung 3 hast. Das heißt: Du darfst jetzt alle möglichen Klammern weglassen und Faktoren hin und her vertauschen. Das erlauben dir das Kommutativ- und Assoziativgesetz der Multiplikation. (Mit Ausnahme von Operatoren, wie z.B. einem Differentialoperator, der eine Ableitung darstellt. Schon klar, dass es falsch wäre den Differentialoperator vorzuziehen und dann etwas ganz anderes abzuleiten... aber zum Glück kommen in Deinem Fall keine Operatoren vor!) Also kann die rechte Seite von 3 auch folgendermaßen aussehen: 4 \[ \varepsilon_{ijk} \, \varepsilon_{kmn} \, a_j \, b_m \, c_n\]

Wie Du siehst, kommt im Produkt der beiden Levi-Civita-Symbols ein gleicher Index $k$ vor. Da könntest Du eine wichtige Identität anwenden, die wir in den Aufgaben der Kronecker-Delta-Lektion hergeleitet haben: 4.1 \[ \varepsilon_{kij} \, \varepsilon_{kmn} ~=~ \delta_{im} \, \delta_{jn} ~-~ \delta_{jm} \, \delta_{in} \]

Um die Identät 4.1 auf 4 anwenden zu können, musst Du zuerst die Levi-Civita-Symbole in die gleiche Form bringen wie in der Identität.

Aus der Definition des Levi-Civita-Symbols weißt Du, dass eine gerade Vertauschung von Indizes des Levi-Civita-Symbols ($ ijk ~\rightarrow~ kij ~\rightarrow~ jki $) nichts am Ergebnis ändert. Gerade vertauschen bedeutet alle Indizes "in eine Richtung zu rotieren". Vertausche also die Indizes in 4, um die beiden Levi-Civita-Symbole in die gleiche Form zu bringen, wie bei 4.1. Dann bekommst Du: 5 \[ \varepsilon_{kij} \, \varepsilon_{kmn} \, a_j \, b_m \, c_n\]

Jetzt darfst Du die Identät 4.1 in 5 einsetzen: 6 \[ \left( \delta_{im} \, \delta_{jn} ~-~ \delta_{jm} \, \delta_{in} \right) \, a_j \, b_m \, c_n\]

Multipliziere die Klammer in 6 aus und wende die Rechenregeln von Kronecker-Delta an: 7 \[ \delta_{im} \, \delta_{jn} \, a_j \, b_m \, c_n ~-~ \delta_{jm} \, \delta_{in} \, a_j \, b_m \, c_n ~=~ a_n \, b_i \, c_n ~-~ a_m \, b_m \, c_i \]

Dabei stellen Summen $ a_m \, b_m $ und $ a_n \, c_n $ die Skalarprodukte in Indexnotation dar. Schreibe diese Skalarprodukte wieder in vektorielle Form um. Schreibe auch am besten die linke Seite aus 3 wieder hin, um zu schauen, wie weit Du gekommen bist: 8 \[ \left[ \boldsymbol{a} ~\times~ \left( \boldsymbol{b} ~\times ~ \boldsymbol{c} \right) \right]_i ~=~ b_i \, \left( \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{c} \right) ~-~ c_i \, \left( \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} \right) \]

Das ist also die Gleichung für die $i$-te Komponente des Vektors (des doppelten Kreuzproduktes). Wenn Du den Basisvektor $ \boldsymbol{e}_i $, den Du am Anfang weggelassen hast, wieder miteinbeziehst, bekommst Du eine Gleichung in Vektorschreibweise. Diese kannst Du Dir gleich als BAC-CAB-Regel merken: 9 \[ \boldsymbol{a} ~\times~ \left( \boldsymbol{b} ~\times ~ \boldsymbol{c} \right) ~=~ \boldsymbol{b} \, \left( \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{c} \right) ~-~ \boldsymbol{c} \, \left( \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} \right) \]