Lorentzkraft: Wie Ladung im Magnetfeld abgelenkt wird

Die Erde hat einen Radius von 6370 Kilometer. Das Magnetfeld am Äquator hat ungefähr einen Wert von \( 30 \, \mu\text{T} \) und ist nach Norden gerichtet. Du möchtest ein Ion mit der Masse \( 352 \, u \) und der Ladung \( e \) dazu bringen, die Erde am Äquator auf einer Höhe von 30 Kilometern zu umkreisen.

1. In welche Richtung entlang des Äquators muss das Ion fliegen, damit es die Erde umkreist?
2. Mit welcher Geschwindigkeit muss sich das Ion bewegen, damit es auf der Kreisbahn bleibt? Berücksichtige dabei auch die Gravitationskraft. Du kannst klassisch rechnen und ein homogenes Gravitationsfeld annehmen.
3. Begründe, warum die Gravitationskraft auf das Ion nur eine geringe Rolle spielt.
4. Die Erde ist außerdem elektrisch negativ geladen und hat ein mittleres homogenes Magnetfeld von \( 130 \, \frac{ \mathrm V }{ \mathrm m } \). Muss dieses E-Feld mitberücksichtigt werden?

Tipp: Überlege, welche Kräfte auf das Ion wirken und stelle eine Gleichung für das Kräftegleichgewicht auf. Um die Geschwindigkeit zu bestimmen, musst du auf jeden Fall eine quadratische Gleichung lösen.

Lösung zur Teilaufgabe #1.1

Um die Bewegungsrichtung des Ions herauszufinden, benutze die Drei-Finger-Regel. Es geht hier um eine positive Ladung. Daher benutzt du dafür deine rechte Hand.

• Das Magnetfeld \( B \) der Erde zeigt am Äquator nach Norden. Richte deinen Zeigefinger nach Norden.
• Die Lorentzkraft \( F_{\text m} \) (magnetische Kraft) auf das Ion muss zur Erde hin zeigen, damit es um die Erde kreist. Richte deinen Mittelfinger zum Erdmittelpunkt hin.
• Der ausgestreckte Daumen zeigt dir dann die Richtung, in die sich das Ion bewegen muss.

Damit muss das Ion nach Westen fliegen, damit es um den Äquator herum abgelenkt wird. Würde das Ion nach Osten fliegen, so würde es weg von der Erde abgelenkt werden.

Lösung zur Teilaufgabe #1.2

Damit das Ion auf einer stabilen Kreisbahn mit dem Radius (6370 Kilometer Erdradius + 30 Kilometer Höhe) bleibt, muss die Lorentzkraft... $$ \class{green}{F} ~=~ q \, \class{blue}{v} \, \class{violet}{B} $$ und die Gravitationskraft... $$F_{\text g} ~=~ m \, g$$ müssen in der Summe genau der folgenden Zentripetalkraft entsprechen: $$F_{ \text z} ~=~ \frac{\class{brown}{m} \, \class{blue}{v}^2}{ r }$$

Die Zentripetalkraft ist eine Kraft, die zum Erdmittelpunkt hin wirkt und uns sagt, wie man eine stabile Kreisbahn mit Radius \(r\) und Geschwindigkeit \( v \) eines Teilchens der Masse \( m \) erhält. Die Rolle der Zentripetalkraft wird hier von der Lorentzkraft und der Gravitationskraft übernommen, da sie ebenfalls radial gerichtet sind.

Daraus ergibt sich die folgende Kräftegleichung: $$\begin{align}F_{\text z} &~=~ F_{\text m} ~+~ F_{\text g} \\\\ \frac{m}{r} \, v^2 &~=~ q \, v \, B ~+~ m \, g\end{align}$$

Wir müssen diese Kraftgleichung nach der Geschwindigkeit \( v \) umstellen. Hier hast du eine quadratische Gleichung, die du nicht eindeutignach \(v\) umstellen kannst. Diese Gleichung hat zwei Lösungen als mögliche Geschwindigkeiten. Wir bestimmen die beiden Lösungen \( v_1 \) und \( v_2 \) mit der pq-Formel.

Zu diesem Zweck wird die letzte Gleichung in eine geeignete Form umgewandelt: $$\begin{align}\frac{m}{r} \, v^2 ~-~ q \, v \, B ~-~ m \, g & ~=~ 0 \\\\ v^2 ~-~ \frac{r}{m} \, q \, v \, B ~-~ \frac{r}{\cancel m} \, \cancel{m} \, g & ~=~ 0 \\\\ v^2 ~-~ \frac{r \,q\, B}{m} \, v ~-~ r \, g & ~=~ 0 \end{align}$$

Im zweiten Schritt setzen wir alles auf die linke Seite und im dritten Schritt multiplizieren wir die gesamte Gleichung mit \( \frac{r}{m} \), um den Faktor vor \(v^2\) zu eliminieren. Jetzt haben wir den p-Wert \( - \frac{r \,q\, B}{m} \) und den q-Wert \( - r \, g \) für die pq-Formel: $$\begin{align}v_{1,2} & ~=~ -\frac{p}{2} ~\pm~ \sqrt{ \left(\frac{p}{2}\right)^2 ~-~ q } \\\\ v_{1,2} & ~=~ \frac{r \,q\, B}{2m} ~\pm~ \sqrt{ \left(\frac{r \,q\, B}{ 2m}\right)^2 ~+~ r \, g }\end{align}$$

Jetzt müssen wir nur noch die konkreten Werte einsetzen, um \(v_1\) und \(v_2\) zu bestimmen.

• Der Radius \(r \) ist gleich dem Erdradius plus der Höhe des Ions über der Erde: $$r ~=~ 6370 \, \text{km} ~+~ 30 \, \text{km} ~=~ 6400 \cdot 10^3 \, \text{m} $$
• Die Ladung \(q\) entspricht der Ladung des Ions:$$q ~=~ e ~=~ 1.60 \cdot 10^{-19} \, \text{C}$$
• Die Masse \(m\) entspricht der Masse des Ions:$$m ~=~ 352 \, u ~=~ 352 ~\cdot~ 1.66 \cdot 10^{-27} \, \text{kg}$$
• Das Magnetfeld \( B \) entspricht dem konstanten Erdmagnetfeld am Äquator: $$B ~=~ 30 \, \mu\text{T} ~=~ 30 \cdot 10^{-6} \, \text{T}$$
• Die Gravitationsbeschleunigung \( g \) auf der Erde ist:$$g ~=~ 9.8 \, \frac{\text m}{ \text{s}^2 }$$

Setzt man alle diese Werte ein, so erhält man: $$v_{1,2} ~=~ 26 \,286\,966.05 \, \frac{\text m}{ \text s } ~\pm~ 26\,286 \,967 \frac{\text m}{ \text s }$$

Wir erhalten die erste Lösung der quadratischen Gleichung, wenn wir die beiden Werte in der pq-Formel addieren: $$\begin{align}v_1 &~=~ 52\,573\,933 \, \frac{\text m}{ \text s } \\\\ &~\approx~ 5.2 \cdot 10^7 \, \frac{\text m}{ \text s }\end{align}$$

Die zweite Lösung erhält man, wenn man die beiden Werte in Gl. 12 subtrahiert: $$v_2 ~=~ -1.19 \, \frac{\text m}{ \text s }$$

Die Lösung \( v_2 \) ist keine gültige Lösung. Du kannst dies überprüfen, indem du \( v_2 \) in die pq-Formel einsetzt. \( v_1 \) ist dagegen eine gültige Lösung. Daher beträgt die erforderliche Geschwindigkeit: $$ v ~=~ 5.2 \cdot 10^7 \, \frac{\text m}{ \text s } $$

Lösung zur Teilaufgabe #1.3

Um zu begründen, warum die Gravitationskraft kaum eine Rolle spielt, kann man das Verhältnis zwischen der Gravitationskraft \( F_{\text g} \) und der Lorentzkraft \( F_{\text m} \) betrachten: $$\frac{ F_{\text g} }{ F_{\text m} } ~=~ \frac{ m \, g }{ q \, v \, B }$$

Das Einsetzen der Werte (einschließlich der in Übung b berechneten Geschwindigkeit) ergibt: $$\begin{align}\frac{ F_{\text g} }{ F_{\text m} } &~=~ \frac{ 5.73\cdot 10^{-24}\, \text{N} }{ 2.5\cdot 10^{-16} \, \text{N} } \\\\ &~\approx~ 2 \cdot 10^{-6} \, \%\end{align}$$

Die Gravitationskraft macht gerade mal 0.000002 % der Lorentzkraft aus und kann damit vernachlässigt werden.

Lösung zur Teilaufgabe #1.4

Um zu prüfen, ob das elektrische Feld der Erde berücksichtigt werden muss, können wir das Verhältnis der elektrischen Kraft \( F_{\text e} = e \, E \) auf das Ion zur Lorentzkraft berechnen: $$\frac{ F_{\text e} }{ F_{\text m} } ~=~ \frac{ e \, E }{ q \, v \, B }$$

Das elektrische Feld \( E ~=~ 130 \, \frac{ \text V }{ \text m } \) ist in der Übung gegeben. Das Einsetzen des E-Feldes ergibt: $$\begin{align}\frac{ F_{\text e} }{ F_{\text m} } &~=~ \frac{ 2.08 \cdot 10^{-17} \, \text{N} }{ 2.5\cdot 10^{-16} \, \text{N} } \\\\ &~\approx~ 8.3 \, \%\end{align}$$

Die elektrische Kraft macht 8.3% der Lorentzkraft aus und kann für ein genaueres Ergebnis mitberücksichtigt werden.

Ein Flugzeug mit der Spannweite \( b = 20 \, \text{m} \) fliegt mit einer Geschwindigkeit von \( v = 800 \, \text{km}/\text{h}\) in Nordrichtung. Die senkrechte Komponente des Erdmagnetfelds beträgt im Gebiet des Flugzeugs \( B = 10 \, \mu \text{T} \).

1. Wie groß ist die Lorentzkraft \(F_{\text m}\) auf ein Elektron im Flugzeug?
2. Wie groß ist die elektrische Spannung \(U\) zwischen den Flügelspitzen?
3. Ist die in Teilaufgabe 2.2 berechnete Spannung überhaupt messbar?

Tipps: Zur Teilaufgabe 2.1: Wie ist die Lorentzkraft definiert? Zur Teilaufgabe 2.2: Betrachte hier die Lorentzkraft und die elektrische Kraft. Wie hängen elektrisches Feld mit der Spannung zusammen? Zur Teilaufgabe 2.3: Betrachte das Bezugssystem des Spannungsmessgeräts.

Lösung zur Teilaufgabe #2.1

Der magnetische Anteil der Lorentzkraft ist: \[ F_{\text m} = q \, v \, B \]

Einsetzen der gegebenen Werte ergibt die folgende Lorentzkraft: \begin{align} F &~=~ - 1.6 \cdot 10^{-19} \, \text{C} ~\cdot~ 800 \cdot \frac{10^3}{3600} \, \frac{\text m}{\text s} ~\cdot~ 10 \cdot 10^{-6} \, \text{T} \\\\ &~=~ - 3.6 \cdot 10^{-22} \, \text{N} \end{align}

Lösung zur Teilaufgabe #2.2

Die elektrische Kraft und das elektrische Feld \(E\) hängen folgendermaßen zusammen: \[ F_{\text e} = q \, E \]

Im Kräftegleichgewicht sind die ablenkende magnetische Kraft (rechte Seite) und die entgegengesetzt wirkende elektrische Kraft (linke Seite) gleich: \[ q \, E = q \, v \, B\]

Zusammen mit der elektrischen Spannung \( U = E \, b \) folgt: \[ U = b \, v \, B\]

Einsetzen der gegebenen Werte ergibt die folgende Spannung zwischen den beiden Flugzeugflügeln: \[ U = 0.04 \, \text{V} = 40 \, \text{mV} \]

Lösung zur Teilaufgabe #2.3

Die in Aufgabe 2.2 berechnete Spannung von \(40 \, \text{mV}\) ist im Flugzeug nicht messbar, denn aus Sicht eines mit dem Flugzeug mitgeführten Spannungsmessgeräts sind die Ladungsträger des Flugzeugs in Ruhe. Das Spannungsmessgerät bewegt sich ja mit dem Flugzeug mit, folglich gibt es keinen Stromfluss aufgrund der Lorentzkraft und folglich kann keine Spannung gemessen werden.