Ich heiße Alexander FufaeV und hier schreibe ich über:

Fadenstrahlrohr-Experiment und wie Du damit spezifische Ladung herausfindest

Wichtige Formel

Formel: Spezifische Ladung eines geladenen Teilchens im Magnetfeld

$$\frac{q}{\class{brown}{m}} ~=~ \frac{2 \, U_{\text B}}{r^2 \, \class{violet}{B}^2}$$ $$q ~=~ \frac{2 \, \class{brown}{m} \, U_{\text B}}{r^2 \, \class{violet}{B}^2}$$ $$\class{brown}{m} ~=~ \frac{q \, r^2 \, \class{violet}{B}^2}{2 \, U_{\text B}}$$ $$U_{\text B} ~=~ \frac{q \, r^2 \, \class{violet}{B}^2}{2\class{brown}{m}}$$ $$\class{violet}{B} ~=~ \frac{1}{r} \sqrt{\frac{2 \, \class{brown}{m} \, U_{\text B}}{q}}$$ $$r ~=~ \frac{1}{\class{violet}{B}} \, \sqrt{ \frac{2 \, \class{brown}{m} \, U_{\text B}}{q} }$$

Formel umstellen

Was bedeuten diese Formelzeichen?

Elektrische Ladung

$$ q $$ Einheit $$ \mathrm{C} = \mathrm{As} $$

Elektrische Ladung des Teilchens (z.B. des Elektrons), das sich auf einer Kreisbahn in einem magnetischen Feld bewegt.

Das Verhältnis der Ladung $q$ zur Masse $m$ des Teilchens wird spezifische Ladung $ \frac{q}{m} $ genannt. Das Elektron hat beispielsweise eine spezifische Ladung $ \frac{q}{m} = - 1.758 \cdot 10^{11} \, \frac{\text C}{\text{kg} } $.

Masse

$$ \class{brown}{m} $$ Einheit $$ \mathrm{kg} $$

Masse des Teilchens.

Wenn das Teilchen ein Elektron ist, dann ist die Masse $ m = 9.1 \cdot 10^{-31} \, \text{kg} $.
Wenn das Teilchen ein Proton ist, dann ist die Masse $ m = 1.67 \cdot 10^{-27} \, \text{kg} $.

Natürlich kannst du auch andere geladene Teilchen haben...

Beschleunigungsspannung

$$ U_{\text B} $$ Einheit $$ \mathrm{V} $$

Beschleunigungsspannung, die beispielsweise bei der Elektronenkanone im Fadenstrahlrohr-Experiment eingestellt wird, um die Geschwindigkeit der Elektronen oder anderen geladenen Teilchen zu verändern.

Magnetische Flussdichte (B-Feld)

$$ \class{violet}{B} $$ Einheit $$ \mathrm{T} = \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{A} \, \mathrm{s}^2} $$

Magnetische Flussdichte beschreibt, wie stark das Magnetfeld ist, in dem sich das geladene Teilchen bewegt.

Radius

$$ r $$ Einheit $$ \mathrm{m} $$

Radius der Kreisbahn, auf der sich das geladene Teilchen bewegt. Durch Veränderung des Magnetfelds $\class{violet}{B}$ kannst du leicht den Radius $r$ der Kreisbahn größer oder kleiner machen.

Inhaltsverzeichnis

In einem Fadenstrahlrohr-Experiment können wir die Kreisbahn der geladenen Teilchen sichtbar machen, die in einem Magnetfeld aufgrund der Lorentzkraft abgelenkt werden.

Aufbau und Funktionsweise eines Fadenstrahlrohr-Experiments

Mit einer Elektronenkanone erzeugen wir einen einigermaßen geraden Elektronenstrahl. Die Elektronenkanone besteht aus einer Glühwendel, die mithilfe einer Heizspannung $ U_{\text H} $ erhitzt wird. Dadurch bildet sich eine Elektronenwolke an der Glühwendel aus. Mittels einer angelegte Beschleunigungsspannung $ U_{\text B} $ zwischen der Glühwendel und einer durchlässigen Anodenblende, werden die Elektronen beschleunigt. Nach dem Verlassen der Anodenblende (aus der Elektronenkanone) kommen die Teilchen mit der Geschwindigkeit $ \class{blue}{v} $ heraus. Auf diese Weise entsteht ein Elektronenstrahl.

Schematischer Versuchsaufbau vom Fadenstrahlrohr mit eingezeichneter Elektronen-Kreisbahn.

Der Elektronenstrahl befindet sich in einem Glaskolben mit einem Gas (zum Beispiel molekularer Wasserstoff, $\mathrm{H}_2$). Die fliegenden Elektronen werden an die "im Weg stehenden" $\mathrm{H}_2$-Moleküle durch Stöße einen Teil ihrer Energie abgeben. Die Atome werden deswegen energetisch angeregt. Nach einer sehr kurzen Zeit strahlen sie die erhaltene Energie in Form von sichtbarem Licht wieder ab. Auf diese Weise können wir die Elektronenbahn mit bloßen Augen sehen!

Der Gasdruck im Glaskolben sollte nicht zu groß gewählt sein, denn dann werden Elektronen zu stark von den Gasatomen abgebremst. Eine langsamere Geschwindigkeit führt zu einem größeren, verfälschten Kreisbahnradius. Deshalb wählst Du den Druck im Glaskolben so gering wie möglich, aber eben so, dass Du gerade noch eine sichtbare Anregung der Atome (ein Leuchten) erkennen kannst.

Jetzt würden wir einen geraden Elektronenstrahl sehen. Um die Elektronen auf eine Kreisbahn zu zwingen, platzieren wir den Glaskolben in eine Helmholtz-Spule. Sie besteht aus zwei runden, nebeneinander platzierten Spulen, durch die ein elektrischer Strom fließt. Dieser Strom erzeugt ein homogenes Magnetfeld $\class{violet}{B}$ zwischen den beiden Spulen, wo der Glaskolben platziert ist.

Eine Helmholtz-Spule.

Der Glaskolben ist dort so ausgerichtet, dass die Elektronenbewegung genau senkrecht zum Magnetfeld verläuft. Durch diese senkrechte Bewegung werden die Formeln deutlich einfacher.

Bewegte geladene Teilchen (Elektronen) im Magnetfeld erfahren eine Lorentzkraft $\class{green}{F}$, die die Elektronen auf eine Kreisbahn zwingt.

Entstehung der Kreisbewegung durch Lorentzkraft, die senkrecht zur Geschwindigkeit und zum Magnetfeld des Elektrons zeigt.

Richtung der Elektronenbewegung

Richte Deine Daumen, Zeigefinger und Mittelfinger wie hier gezeigt, um die Ablenkrichtung der Elektronen herauszufinden.

Die Richtung der Lorentzkraft bestimmst Du mit der Drei-Finger-Regel. Für negative Ladungen benutzt Du die linke Hand. Für positive Ladungen die rechte. Da wir hier mit Elektronen zu tun haben, nimmst Du also die linke Hand.

Daumen - zeigt in Bewegungsrichtung der Elektronen.
Zeigefinger - zeigt in Richtung des Magnetfelds.
Mittelfinger - zeigt (nach Ausrichtung des Daumens und des Zeigefingers) in Richtung der Lorentzkraft.

Wenn Du die Drei-Finger-Regel richtig angewendet hast, muss Dein Mittelfinger - in jeder Position des bewegten Elektrons - bei der kreisförmigen Bewegung in die Kreismitte zeigen. Die Lorentzkraft wirkt immer senkrecht zur Bewegungsrichtung der Ladung.

Spezifische Ladung eines Elektrons

Mit dem Fadenstrahlrohr-Experiment kannst du die spezifische Ladung $ \frac{q}{\class{brown}{m}} $ eines Elektrons (oder eines anderen geladenen Teilchens) herausfinden. Die spezifische Ladung ist das Verhältnis der Ladung $q$ zur Masse $ \class{brown}{m} $ des Teilchens. Warum ist diese Größe wichtig? Nun, manchmal kennst du entweder die Masse oder die Ladung des Teilchens nicht. In diesem Fall kannst du zumindest deren Verhältnis herausfinden.

Beispiel: Unterschied Ladung / spezifische Ladung

Die Elementarladung $ e = 1.6 \cdot 10^{-19} \, \mathrm{C} $ eines Elektrons und eines Protons ist zwar gleich, ihre spezifische Ladungen $q/\class{brown}{m}$ dagegen nicht! Und zwar, weil die Masse des Protons $\class{brown}{m_{\text p}}$ viel größer ist als die Masse des Elektrons $\class{brown}{m_{\text e}}$.

Da wir den Glaskolben im externen Magnetfeld so ausgerichtet haben, dass die Bewegungsrichtung der Elektronen und die Magnetfeldlinien genau orthogonal aufeinander stehen, können wir die folgende einfache Formel für die Lorentzkraft $\class{green}{F}$ (magnetische Kraft) benutzen:

$$ \begin{align} \class{green}{F} ~=~ q \, \class{blue}{v} \, \class{violet}{B} \end{align} $$

Die Lorentzkraft tut genau das, was normalerweise die Zentripetalkraft $F_{\text z}$ tut, nämlich einen Körper (bei uns ist das ein geladenes Teilchen) auf einer Kreisbahn halten. Wir können die Zentripetalkraft folgendermaßen berechnen:

$$ \begin{align} F_{ \text z} ~=~ \frac{\class{brown}{m} \, \class{blue}{v}^2}{ r } \end{align} $$

Zentripetalkraft bei einer Kreisbewegung.

Die Lorentzkraft IST in diesem Fall die Zentripetalkraft, weil beide das Elektron auf der Kreisbahn halten! Wir können daher die beiden Kräfte in Gl. 1 und 2 gleichsetzen:

$$ \begin{align} q \, \class{blue}{v} \, \class{violet}{B} ~=~ \frac{\class{brown}{m} \, \class{blue}{v}^2}{r} \end{align} $$

Forme Gl. 3 nach der spezifischen Ladung $q/\class{brown}{m}$ um:

$$ \begin{align} \frac{q}{\class{brown}{m}} ~=~ \frac{\class{blue}{v}}{r \, \class{violet}{B}} \end{align} $$

Perfekt! Die Stärke des Magnetfelds $ \class{violet}{B} $ ist uns bekannt, weil wir das Magnetfeld selbst einstellen. Den Radius $ r $ der entstandenen Kreisbahn können wir mit einem Lineal bestimmen oder abschätzen. Die Geschwindigkeit $ \class{blue}{v} $ kennen wir indirekt auch. Dazu müssen wir sie nur irgendwie mit der Beschleunigungsspannung $ U_{\text B} $ ausdrücken. Die Spannung wird mit einer Spannungsquelle eingestellt und legt die Geschwindigkeit fest.

Geschwindigkeit der Elektronen berechnen

Die gesamte kinetische Energie $ \frac{1}{2} \class{brown}{m} \, \class{blue}{v}^2 $ erhält das Elektron, nachdem es die Beschleunigungsspannung $ U_{\text B} $ in der Elektronenkanone durchlaufen hat. Diese elektrische Spannung beschleunigt das Teilchen auf die Geschwindigkeit $ \class{blue}{v} $. Nach der Beschleunigungsphase hat das Elektron seine elektrische Energie $q \, U_{\text B}$ komplett in kinetische Energie umgewandelt. Du kannst also die beiden Formeln für kinetische Energie und elektrische Energie gleichsetzen:

$$ \begin{align} \frac{1}{2} \, \class{brown}{m} \, \class{blue}{v}^2 ~=~ q \, U_{\text B} \end{align} $$

Stelle Gl. 5 nach der spezifischen Ladung $ \frac{q}{\class{brown}{m}} $ um:

$$ \begin{align} \frac{q}{\class{brown}{m}} ~=~ \frac{\class{blue}{v}^2}{2\, U_{\text B}} \end{align} $$

Nun kannst Du die spezifische Ladung aus Gl. 4 mit Gl. 6 gleichsetzen und nach der Geschwindigkeit umstellen:

$$ \begin{align} \class{blue}{v} ~=~ \frac{2\, U_{\text B}}{r \, \class{violet}{B}} \end{align} $$

Spezifische Ladung mittels Beschleunigungsspannung berechnen

Um die spezifische Ladung zu bekommen, die nur von experimentell zugänglichen, bekannten Größen abhängt, müssen wir die hergeleitete Formel für Geschwindigkeit 7 in Gl. 4 einsetzen:

$$ \begin{align} \frac{q}{\class{brown}{m}} ~=~ \frac{2 \, U_{\text B}}{r^2 \, \class{violet}{B}^2} \end{align} $$

Wir sind fertig! Du hast gelernt, wie ein Fadenstrahlrohr-Experiment aufgebaut ist, wie es funktioniert und wie du damit die spezifische Ladung eines geladenen Teilchens herausfinden kannst. In der nächsten Lektion schauen wir uns an, was die Lorentzkraft noch zu bieten hat: Wir werden damit ein Geschwindigkeitsfilter (WIEN-Filter) konstruieren können, mit dem wir die gewünschte Geschwindigkeit der geladenen Teilchen einstellen können.