Ich heiße Alexander FufaeV und hier schreibe ich über:

Wienfilter: So filterst Du Geschwindigkeiten der Teilchen

Wichtige Formel

Formel: Idealer Geschwindigkeitsfilter

$$\class{blue}{v} ~=~ \frac{1}{d} \, \frac{U}{\class{violet}{B}}$$ $$\class{blue}{v} ~=~ \frac{1}{d} \, \frac{U}{\class{violet}{B}}$$ $$\class{violet}{B} ~=~ \frac{ U }{ \class{blue}{v} \, d }$$ $$U ~=~ \class{blue}{v} \, \class{violet}{B} \, d$$ $$d ~=~ \frac{ U }{ \class{blue}{v} \, \class{violet}{B} }$$

Formel umstellen

Was bedeuten diese Formelzeichen?

Geschwindigkeit

$$ \class{blue}{\boldsymbol v} $$ Einheit $$ \frac{\mathrm m}{\mathrm s} $$

Geschwindigkeit der Ladungsträger, die den Wienfilter (also die Lochblende des Wienfilters) passieren.

Magnetische Flussdichte (B-Feld)

$$ \class{violet}{B} $$ Einheit $$ \mathrm{T} = \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{A} \, \mathrm{s}^2} $$

Homogenes Magnetfeld im Wienfilter, senkrecht zur Geschwindigkeitsrichtung.

Elektrische Spannung

$$ U $$ Einheit $$ \mathrm{V} = \frac{ \mathrm J }{ \mathrm C } = \frac{ \mathrm{kg} \, \mathrm{m}^2 }{ \mathrm{A} \, \mathrm{s}^3 } $$

Elektrische Spannung zwischen den Kondensatorplatten des Wienfilters.

Plattenabstand

$$ d $$ Einheit $$ \mathrm{m} $$

Abstand der beiden Kondensatorplatten.

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Inhaltsverzeichnis

Mit eine Geschwindigkeitsfilter, wie der Name schon sagt, ist es möglich unterschiedlich schnelle Teilchen nach ihrer Geschwindigkeit zu filtern. Dadurch erhälst du einen Teilchenstrahl, dessen Teilchen konstante Geschwindigkeit haben. Auf diese Weise kann der Teilchenstrahl weiter in einem Massenspektrometer eingesetzt werden, um mehr Informationen über die untersuchten Teilchen zu gewinnen.

Geschwindigkeitsfilter werden beispielsweise in der Forschung bei Teilchenbeschleunigern eingesetzt.

Wie ist ein Wienfilter aufgebaut?

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Grundsätzlicher Aufbau eines Geschwindigkeitsfilters: Plattenkondensator im Magnetfeld und eine Teilchenkanone.

Dazu brauchst Du zuerst mal ein Magnetfeld, welches zum Beispiel in den Bildschirm hinein gerichtet ist. Da hinein platzierst Du einen Plattenkondensator, und zwar so, dass das Magnetfeld parallel zu den Plattenflächen verläuft.

Außerdem brauchst Du eine Teilchenkanone, mit der Du geladene Teilchen in den Plattenkondensator hinein schießt. Das können negativ geladene oder positiv geladene Teilchen sein. Hauptsache sie SIND elektrisch geladen!

Im Folgenden werden geladene Teilchen betrachtet, die sich nach rechts - senkrecht - in den Plattenkondensator bewegen.

Was passiert mit Ladungen im Magnetfeld?

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Lorentzkraft auf ein Elektron im Magnetfeld

Wenn Du elektrisch geladene Teilchen (z.B. Elektronen) in ein - senkrecht zur Bewegung gerichtetes - Magnetfeld reinschießt, dann werden diese Teilchen kreisförmig abgelenkt, weil sie eine bestimmte Kraft erfahren.

Wie die im Magnetfeld bewegten Ladungen auf eine Kreisbahn gelenkt werden, kannst Du Dir mit einem Fadenstrahlrohr veranschaulichen.

Kreisbewegung aufgrund der Lorentzkraft

Bewegte geladene Teilchen im Magnetfeld erfahren Lorentzkraft $\class{green}{F}$, welche die Teilchen ablenkt.

$$ \begin{align} \class{green}{F} ~=~ q \, \class{blue}{v} \, \class{violet}{B} \end{align} $$

$q$: Ladung in C
$\class{blue}{v}$: Geschwindigkeit in m/s
$\class{violet}{B}$: Magnetische Flussdichte in T

Je größer die Ladung des Teilchens ist, je schneller es sich bewegt und je stärker das Magnetfeld ist, in dem das Teilchen bewegt wird, desto größer ist die ablenkende Lorentzkraft.

In welche Richtung werden Ladungen abgelenkt?

Richte Deine Daumen, Zeigefinger und Mittelfinger wie hier gezeigt.

Das verrät Dir die Merkregel - Drei-Finger-Regel.

Für negativ geladene Teilchen benutzt Du die linke Hand, für positiv geladene Teilchen die rechte Hand. So weit klar?

Beispiel: Bei einem negativ geladenen Elektron, welches sich von rechts ins Magnetfeld bewegt, gehst Du folgendermaßen vor:

Richte den Daumen in die Bewegungsrichtung: Nach rechts!
Richte den Zeigefinger in die Magnetfeldrichtung: In den Bildschirm hinein!
Strecke den Mittelfinger aus (unter einem 90 Grad Winkel zum Daumen und Zeigefinger): Nach unten!

Dein Teilchen wird also durch Lorentzkraft nach unten abgelenkt!

Bedenke: Wenn Du ein positives Teilchen reinschießt, dann ändert sich auch die Richtung der Lorentzkraft, sie zeigt beim obigen Beispiel dann - nach oben!

Was wirkt entgegen der Lorentzkraft?

Lass uns mal negative Teilchen verwenden und Magnetfeld zunächst ausschalten, um Lorentzkraft-Ablenkung zu verhindern.

Schalte dafür aber den Plattenkondensator so an, dass die obige Platte positiv und die untere negativ geladen ist. Das heißt: Dein negatives Teilchen wird von der oberen Platte angezogen, sodass es dorthin abgelenkt wird.

Elektrische Kraft $F_{\text e}$ - zieht die hineingeschossenen Ladungen - je nach Ladungsart - entweder zur positiven oder negativen Kondensatorplatte.

$$ \begin{align} F_{\text e} ~=~ q \, E \end{align} $$

$q$: Ladung in C
$E$: Elektrische Feldstärke in V/m

Hättest Du übrigens ein positives Teilchen verwendet, dann wäre die Ablenkung nach unten, weil die negative untere Platte das positive Teilchen anziehen würde.

Wie funktioniert ein Geschwindigkeitsfilter?

Negativ geladene Teilchen werden in den Plattenkondensator, in dem ein homogenes elektrisches Feld $E$ herrscht, hineingeschossen. Der Plattenkondensator befindet sich in einem homogenen Magnetfeld $\class{violet}{B}$, welches in den Bildschirm hinein zeigt und zu $E$ senkrecht steht. Was passiert wohl?

Die elektrische Kraft 2 wird die negativ geladenen Teilchen zum Pluspol des Plattenkondensators ziehen und die magnetische Kraft 1 nach Anwendung der Drei-Finger-Regel (linke Hand) in entgegengesetzte Richtung (zum Minuspol des Plattenkondensators).

Wenn die elektrische Kraft größer ist als die Lorentzkraft, dann wird das negative Teilchen zum Pluspol des Plattenkondensators abgelenkt. Wenn die magnetische Kraft größer ist, dann wird das Teilchen zum Minuspol gezogen (auch, wenn sich die negative Platte und das negative Teilchen abstoßen). Wenn die Kräfte genau gleich sind, wird das geladene Teilchen einfach geradeaus fliegen und dann gilt entsprechend die folgende Kräftegleichheit:

$$ \begin{align} q \, E ~=~ q \, \class{blue}{v} \, \class{violet}{B} \end{align} $$

Forme die Gleichung 3 nach der Geschwindigkeit um. Die Ladung $q$ kürzt sich dabei weg, d.h. die Geschwindigkeit der Teilchen ist unabhängig von ihrer konkreten Ladung:

$$ \begin{align} \class{blue}{v} ~=~ \frac{E}{\class{violet}{B}} \end{align} $$

Da es ein GeschwindigkeitsFILTER ist, musst Du andere Teilchen, die diese Gleichung nicht erfüllen, ausfiltern. Dazu packst Du einfach eine Abschirmung hinein, mit einem Loch in der Mitte. Dadurch können nur Teilchen durchkommen, die geradeaus fliegen. Und Du weißt, welche Geschwindigkeit sie haben... diese hast Du eben hergeleitet.

Die Gleichung 4 besagt: Wird also das elektrische Feld $E$ vergrößert, dann treten aus dem Spalt Teilchen, die eine größere Geschwindigkeit $\class{blue}{v}$ haben. Wird das E-Feld dagegen verkleinert, dann werden langsamere Teilchen aus dem Spalt austreten. Mit diesem einfachen Aufbau ist es also möglich, die gewünschte Teilchengeschwindigkeit einzustellen.

Das elektrische Feld kann ganz einfach variiert werden, weil dieser mit der elektrischen Spannung $U$ am Plattenkondensator linear zusammenhängt:

$$ \begin{align} E ~=~ \frac{U}{d} \end{align} $$

Hierbei ist $d$ der Abstand der beiden Kondensatorplatten. Die Spannung kann mit dem Regler an der Spannungsquelle angepasst werden, um die Geschwindigkeit anzupassen. Eine praktischere Formel für die Geschwindigkeit ergibt sich also, wenn 5 in 4 eingesetzt wird:

$$ \begin{align} \class{blue}{v} ~=~ \frac{1}{d} \, \frac{U}{\class{violet}{B}} \end{align} $$

Da nun die Geschwindigkeit hinter dem Spalt austretender Teilchen bekannt ist, können die herauskommenden Teilchen beispielsweise weiter mit einem Massenspektrometer verarztet werden, um die Teilchenmasse herauszufinden.

Geschwindigkeitsverteilung bei einem realen Wienfilter

Falls Dein Lehrer ein Physik-Gangster ist, wird er Dich auch nach einer maximalen Geschwindigkeitsabweichung $ \Delta v$ fragen.

Damit überhaupt nur Teilchen aus dem Spalt herauskommen, die genau die Geschwindigkeit nach Gl. 6 haben, muss die Spaltbreite theoretisch unendlich klein sein.

Praktisch hat der Spalt (bzw. Lochblende) jedoch eine endliche Breite $b$. Folglich können durch den Spalt auch Teilchen durchkommen, die nicht nur genau geradeaus mit der Geschwindigkeit 6 fliegen, sondern auch Teilchen, die leicht von der geraden Bahn abweichen.

Die hinter dem Spalt landenden Teilchen haben damit eine maximale Geschwindigkeit von $ \class{blue}{v} + \class{blue}{\Delta v} $ und eine minimale Geschwindigkeit von $ \class{blue}{v} - \class{blue}{\Delta v} $. Diese Abweichung $\class{blue}{\Delta v}$ ist gegeben durch die folgende Gleichung:

$$ \begin{align} \class{blue}{\Delta v} ~=~ \frac{m \, b}{q \, L^2 \, d^2} \, \frac{U^2}{\class{violet}{B}^3} \end{align} $$

In der nächsten Lektion benutzen wir den Wienfilter, um daraus ein Massenspektrometer zu bauen. Damit werden wir in der Lage sein die Masse eines geladenen Teilchens herauszufinden.

Übungen mit Lösungen

Nutze diese Formelsammlung, wenn du Probleme mit Physikaufgaben hast.

Aufgabe: Realer Wienfilter (schwer für Schüler!)

Im Folgenden wollen wir uns einen realen Wienfilter anschauen, der keine unendlich kleine Durchlassblende hat. Ein realer Wienfilter hat natürlich eine Blende, die eine endliche Ausdehnung $b$ hat. In der Praxis kommen also auch Ladungsträger durch die Lochblende, die ein bisschen von der geraden Bahn abgelenkt wurden.

Im Plattenkondensator des Geschwindigkeitsfilters ist ein homogenes elektrisches Feld $E_{\text z}$. Der Plattenkondensator befindet sich in einem Magnetfeld $B_{\text y}$, welches genau senkrecht zum elektrischen Feld verläuft.

Bezeichnen wir die Länge einer Kondensatorplatte mit $L$ und ihren Abstand zueinander mit $d$. An dem rechten Ende des Kondensators befindet sich eine Durchlassblende, also eine Abdeckung mit einem kleinen Loch der Breite $b$. Durch dieses Loch werden die betrachteten Ladungsträger hindurchwandern.

Bezeichnen wir die maximale Geschwindigkeitsabweichung als $ \Delta v $. Es kommen alle Ladungsträger durch die Lochblende durch, deren Geschwindigkeit $v$ zwischen den schnellsten und langsamsten Ladungsträgern liegt:

Die schnellsten Ladungsträger, die gerade noch so durch die Lochblende schaffen, haben eine Geschwindigkeit $ v_{\text x} + \Delta v $.
Die langsamsten Ladungsträger, die gerade noch so durch die Lochblende schaffen, haben eine Geschwindigkeit $ v_{\text x} - \Delta v $.

Leite die maximale Geschwindigkeitsabweichung $\class{blue}{\Delta v}$ her.

Lösung zur Aufgabe

Unser Ziel ist es die maximale Abweichung $ \Delta v$ von der geraden Bahn herzuleiten. Dazu betrachten wir einen Ladungsträger mit der positiven Ladung $ q $ ganz am Rand (bei $x=0$) zwischen den Kondensatorplatten (im Koordinatenursprung des gewählten Koordinatensystems). Um die Rechnung zu vereinfachen, wird die Geschwindigkeit $v_{\text z}$ in $z$-Richtung zum Zeitpunkt $t=0$ als Null gesetzt (Das ist die Zusatzgeschwindigkeit des Ladungsträgers aufgrund der Abelnkung entlang der z-Richtung). Dies ist die 1. Anfangsbedingung, die später in der Herleitung des Geschwindigkeitsintervalls gebraucht wird: 8 \[ v_{\text z}(t=0) = 0 \]

Außerdem wird das Koordinatensystem so gewählt, dass zum Zeitpunkt $t=0$ die örtliche Ablenkung (von der geraden Bahn) in $z$-Richtung Null ist. Dies wird die 2. Anfangsbedingung sein: 9 \[ z(t=0) = 0 \]

Als nächstes muss geklärt werden, welche Gesamtkraft $F$ ein Ladungsträger, der sich mit $ v_{\text{max}} $ bewegt, erfährt. Dazu wird einfach $ v_{\text{max}} $ statt nur $v_{\text x}$ in 4 berücksichtigt: 10 \[ F ~=~ - q \, \frac{U_{\text z}}{d} ~+~ q \, (v_{\text x} + \Delta v) \, B_{\text y} \]

Einfaches Ausmultiplizieren der Gleichung 10 ergibt einen zusätzlichen Kraftbetrag (der als $\Delta F$ bezeichnet wird) auf den Ladungsträger, der sich mit $ v_{\text{max}} $ bewegt: 11 \[ \Delta F ~=~ q \, \Delta v \, B_{\text y} \]

Da in 11 zwei Unbekannte, $\Delta F$ und $\Delta v$, vorhanden sind, wird hier das 2. Newton-Axiom $\Delta F = m \, a_{\text z} $ ausgenutzt. Dabei ist $m$ die Masse des Ladungsträgers und $a_{\text z}$ die Beschleunigung durch die Felder im Plattenkondensator in z-Richtung. Es ergibt sich also die folgende Gleichung: 12 \[ m \, a_{\text z} ~=~ q \, \Delta v \, B_{\text y} \]

Um aus $a_{\text z}$ die Geschwindigkeit $v_{\text z}$ in z-Richtung zu bekommen, wird 12 über $t$ integriert: 13 \[ \int m \, a_{\text z} \, \text{d}t ~=~ \int q \, \Delta v \, B_{\text y} \, \text{d}t \]

Da die Integranden auf beiden Seiten zeitunabhängig sind, wird das Integral einfach zu: 14 \[ m \, v_{\text z} ~=~ q \, \Delta v \, B_{\text y} \, t + C_1 \]

Bei der Integration entehen hier natürlich zwei Integrationskonstanten, die zusammengefasst wurden zu $C_1$. Diese Konstante wird durch Einsetzen der 1. Anfangsbedingung 5 eliminiert:$C_1 =0$.

Leider ist $ v_{\text z} $ auch nicht bekannt, weshalb die Gleichung 14 nochmal über $t$ integriert wird: 15 \[ \int m \, v_{\text z} \text{d}t ~=~ \int q \, \Delta v \, B_{\text y} \, t \, \text{d}t \]

Das ergibt (inklusive Integrationskonstante $C_2$): 16 \[ m \, z ~=~ \frac{1}{2} \, q \, \Delta v \, B_{\text y} \, t^2 + C_2 \] Durch die 2. Anfangsbedingung wird die Konstante eliminiert: $C_2 = 0$.

Der Ort $z$ des Ladungsträgers in z-Richtung ist zu jedem Zeitpunkt also durch folgende Bahnkurve bestimmt: 17 \[ z(t) ~=~ \frac{1}{2 m} \, q \, \Delta v \, B_{\text y} \, t^2 \]

Nun ist bekannt, dass die Bewegung in z-Richtung durch die Lochblende eingeschränkt ist, d.h. der Ladungsträger kommt nur dann durch das Loch hindurch, wenn dieser maximal um $b/2$ in z-Richtung abgelenkt wurde: $ z(t) \le b/2 $. Die maximale Geschwindigkeit $v_{\text{max}}$ ergibt sich durch die maximale Ablenkung $ z(t) = b/2 $. Einsetzen in 17: 18 \[ \frac{b}{2} ~=~ \frac{1}{2 m} \, q \, \Delta v \, B_{\text y} \, t^2 \]

Die Zeit $t$, die der Ladungsträger braucht, um von dem einen Ende des Plattenkondensators bis zum anderen (also bis zur Lochblende) zu kommen, kann durch $ t \approx L/v $ angenähert werden, unter der Voraussetzung, dass $\Delta v$ viel kleiner ist als $v$. Einsetzen von $t$ in 18 sowie Einsetzen von 7 für die Geschwindigkeit $v$ und anschließendes Umstellen der Gleichung, ergibt die gesuchte Lösung für die Abweichung: 18 \[ \Delta v ~\approx~ \frac{m \, b}{q \, L^2 \, d^2} \, \frac{U_{\text z}^2}{B_{\text y}^3} \]

Damit können die Geschwindigkeit der austretenden Ladungsträger hinter der Lochblende der Breite $b$ m Bereich zwischen $v_{\text x}$ und 19 \[ v_{\text{max}} ~\approx~ v_{\text x} ~+~ \frac{m \, b}{q \, L^2 \, d^2} \, \frac{U_{\text z}^2}{B_{\text y}^3} \] liegen.

Falls das Loch praktisch unendlich klein ist, also ($b \approx 0$), dann vereinfacht sich 19 wie gewünscht zu: 20 \[ v_{\text{max}} ~=~ v_{\text x} \]