Massenspektrometer: so bestimmst Du die Teilchenmasse

Mit einem Massenspektrometer ist es möglich die unbekannte Masse \( \class{brown}{m} \) eines geladenen Teilchens herauszufinden. Damit haben Massenspektrometer eine Vielzahl von konkreten Anwendungen:

• Massenspektrometer ermöglichen die Untersuchung der chemischen Zusammensetzung von Proben, um Verunreinigungen oder schädliche Substanzen zu erkennen.

• Massenspektrometer helfen bei der Analyse von Lebensmittelproben, zum Beispiel bei der Identifizierung von Schadstoffen, der Untersuchung von Boden-, Wasser- und Luftproben sowie bei der Analyse von Pestiziden, Toxinen und Rückständen in Lebensmitteln.

• Massenspektrometer werden in der forensischen Analytik eingesetzt. Sie helfen bei der Identifizierung von Drogen und Toxinen und damit bei der Aufklärung von Verbrechen.

• Massenspektrometer werden in der Archäologie benutzt, um das Alter von Gesteinen, Fossilien und archäologischen Artefakten zu bestimmen.

Die genannten Beispiele sind nur ein Bruchteil der möglichen Anwendungen eines Massenspektrometers. Wenn du später in einem dieser Bereiche arbeiten möchtest, ist es daher wichtig zu verstehen, wie ein Massenspektrometer funktioniert.

Eine Teilchenquelle liefert geladene Teilchen und diese werden zwischen die beiden Elektroden (Platten) des Plattenkondensators hineingeschossen. Durch das Einschalten des Kondensators bildet sich ein elektrisches Feld \( \class{purple}{E} \) zwischen den Platten aus. Jedes Mal, wenn ein geladenes Teilchen in dieses elektrische Feld gelangt, erfährt es eine elektrische Kraft \( F_{\text e} \). Diese Kraft bewirkt, dass das Teilchen entweder zur positiv geladenen Platte oder zur negativ geladenen Platte abgelenkt wird.

Die Stärke der Ablenkung, also die Größe der elektrischen Kraft, die eine Ladung \( q \) erfährt, hängt mit dem elektrischen Feld folgendermaßen zusammen:

Das elektrische Feld und damit die elektrische Kraft können wir experimentell mithilfe der Spannung \( U \) zwischen den Kondensatorplatten verändern. Die elektrische Kraft am Plattenkondensator hängt mit der Spannung folgendermaßen zusammen:

Als nächstes platzieren wir den Plattenkondensator in ein externes homogenes Magnetfeld \(\class{violet}{B}\). Unser Ziel ist es, nicht nur die Funktionsweise des Massenspektrometers zu verstehen, sondern auch eine konkrete Formel zu erhalten, mit der wir die Masse der eingeschossenen Teilchen berechnen können. Um sicherzustellen, dass die Formel am Ende nicht zu kompliziert wird, richten wir das Magnetfeld so aus, dass seine Feldlinien senkrecht zur Bewegungsrichtung der Teilchen und senkrecht zu den elektrischen Feldlinien des Plattenkondensators stehen (siehe Illustration 1).

Da sich nun zwischen den Platten des Plattenkondensators nicht nur ein elektrisches Feld, sondern auch ein magnetisches Feld befindet, erfährt das Teilchen zwischen den Platten zusätzlich eine magnetische Kraft \( F_{\text m} \) (auch als Lorentzkraft bekannt). Die Richtung dieser magnetischen Kraft und somit die Richtung, in die das Teilchen abgelenkt wird, kann mithilfe der Drei-Finger-Regel bestimmt werden.

Da wir angenommen haben, dass das Magnetfeld \( \class{violet}{B} \) und die Geschwindigkeit \( \class{blue}{v} \) des Teilchens senkrecht zueinander stehen, lässt sich die magnetische Kraft \( F_{\text m} \) auf das geladene Teilchen folgendermaßen berechnen:

Um eine gewünschte Geschwindigkeit \( \class{blue}{v} \) der Teilchen zu bekommen, die hinter der Lochblende landen, müssen das Magnetfeld und das elektrisches Feld justiert werden.

In der Lektion über den Geschwindigkeitsfilter haben wir gelernt, dass ein Teilchen, das die Lochblende passiert hat, im Geschwindigkeitsfilter weder von der elektrischen Kraft \( F_{\text e} \) noch von der magnetischen Kraft \( F_{\text m} \) abgelenkt wird. Das Teilchen fliegt geradeaus, da diese beiden Kräfte auf das Teilchen gleich sind, das heißt: \( F_{\text e} = F_{\text m} \). Dies ermöglicht es dem Teilchen, innerhalb des Plattenkondensators ungehindert durch die Lochblende zu fliegen.

Dieses Kräftegleichgewicht drücken wir mathematisch aus, indem wir die elektrische Kraft 2 mit der magnetischen Kraft 3 gleichsetzen:

Als nächstes müssen wir die Geschwindigkeit des Teilchens herausfinden, die hinter der Lochblende landen. Dazu stellen wir Gleichung 4 nach \(\class{blue}{v}\) um:

Das Magnetfeld hinter der Lochblende ist dasselbe wie im Plattenkondensator. Wenn das Teilchen den Geschwindigkeitsfilter verlässt, gelangt es in dieses Magnetfeld und erfährt die gleiche magnetische Kraft \( F_{\text m} \) wie im Geschwindigkeitsfilter. Hier außerhalb des Kondensators wirkt keine elektrische Kraft auf das Teilchen. Die magnetische Kraft lenkt das Teilchen nach unten oder nach oben ab. Nehmen wir an, es wird nach unten abgelenkt, wie in Illustration 1 gezeigt (die genaue Richtung der Ablenkung ist in unserem Fall nicht relevant).

Nach einem kurzen halbkreisförmigen Flug landet das Teilchen auf der Detektorplatte. Anhand des Auftrefforts des Teilchens auf der Detektorplatte kann der Abstand zwischen der Lochblende und dem Auftreffort abgelesen werden. Dieser Abstand entspricht genau dem Durchmesser \( 2r \) der Kreisbahn, die das Teilchen durchfliegt. Hierbei ist \( r \) der Radius der Kreisbahn, also die Hälfte des Abstands vom Auftreffort zur Lochblende.

Bei einer kreisförmigen Bewegung wirkt auf das Teilchen eine Zentripetalkraft (selbst, wenn das Teilchen nur einen Halbkreis durchläuft):

Die magnetische Kraft wirkt genauso zum Kreismittelpunkt wie die Zentripetalkraft. Damit IST die magnetische Kraft die Zentripetalkraft. Setze magnetische Kraft 3 mit der Zentripetalkraft 6 gleich:

Perfekt, denn damit haben wir den leicht messbaren Radius \( r \) und die Masse \( \class{brown}{m} \) des Teilchens ins Spiel gebracht.

Forme Gleichung 7 nach der Masse um:

Leider ist es nicht möglich die Geschwindigkeit \( \class{blue}{v} \) des Teilchens direkt zu messen. Genau aus diesem Grund haben wir die Gleichung 5 für die Geschwindigkeit aufgestellt. Diese können wir für \( \class{blue}{v} \) in Gleichung 8 einsetzen und damit die Geschwindigkeit eliminieren:

Wir sind fertig! Mit der Gleichung 9 können wir die Masse von geladenen Teilchen herausfinden. An der Gleichung kannst du auch ablesen, dass Ladungen, die weiter weg von der Lochblende landen eine größere Masse haben.

Zwei Punkte musst du noch beachten:

1. Um die Masse des Teilchens zu bestimmen, ist es notwendig, die Ladung \(q\) des Teilchens zu kennen. Andernfalls kann nur das Verhältnis von Ladung zur Masse, die sogenannte spezifische Ladung \( q/\class{brown}{m} \), berechnet werden.

2. Außerdem ist es nicht möglich, die Masse von ungeladenen Teilchen zu bestimmen, wie zum Beispiel von Neutronen. Neutrale Teilchen erfahren keine Ablenkung im Magnetfeld und daher kann ihre Masse nicht durch diese Methode ermittelt werden.

Mit diesem Wissen kannst du mit der forensischen Analytik anfangen. In der nächsten Lektion schauen wir uns eine weitere spannende Anwendung der Lorentzkraft an, nämlich den Hall-Effekt.