Ich heiße Alexander FufaeV und hier schreibe ich über:

Hall-Effekt: Eine Erklärung, wie Hall-Spannung entsteht

Wichtige Formel

Formel: Hall-Effekt

$$U_{\text H} ~=~ A_{\text H} \, \frac{I \, \class{violet}{B}}{d}$$ $$U_{\text H} ~=~ A_{\text H} \, \frac{I \, \class{violet}{B}}{d}$$ $$A_{\text H} ~=~ \frac{U_{\text H} \, d}{I \, \class{violet}{B}}$$ $$I ~=~ \frac{U_{\text H} \, d}{A_{\text H} \, \class{violet}{B}}$$ $$\class{violet}{B} ~=~ \frac{U_{\text H} \, d}{I \, A_{\text H}}$$ $$d ~=~ \frac{A_{\text H} \, I \, \class{violet}{B}}{U_{\text H}}$$

Formel umstellen

Was bedeuten diese Formelzeichen?

Hallspannung

$$ U_{\text H} $$ Einheit $$ \mathrm{V} $$

Diese elektrische Spannung stellt sich zwischen zwei Enden des Hall-Plättchens ein. Die Enden liegen senkrecht zur vorgegebenen Stromrichtung.

Hall-Konstante

$$ A_{\text H} $$ Einheit $$ \frac{\mathrm{m}^3}{\mathrm{As}} $$

Hall-Konstante ist eine Materialkonstante und hängt vom Material der verwendeten Probe ab. Genauer gesagt: von der Ladungsträgerdichte des Hall-Plättchens und der Polarität der Ladungsträger.

Elektrischer Strom

$$ \class{red}{\boldsymbol I} $$ Einheit $$ \mathrm{A} $$

Elektrischer Strom ist die Anzahl der Ladungen pro Sekunde, die die Hall-Probe (zwischen den beiden Enden) längs durchqueren.

Magnetische Flussdichte (B-Feld)

$$ \class{violet}{B} $$ Einheit $$ \mathrm{T} $$

Magnetische Flussdichte sagt aus, wie stark das externe Magnetfeld ist, welches senkrecht zur Hall-Probe (und damit zur Stromrichtung) angelegt ist.

Dicke

$$ d $$ Einheit $$ \mathrm{m} $$

Dicke der Probe, in der der Hall-Effekt untersucht wird. Dies kann zum Beispiel die Dicke eines rechteckigen Metallplättchens sein.

Inhaltsverzeichnis

Hall-Effekt ist ein sehr wichtiger physikalischer Effekt, der zur Messung von Magnetfeldern, Ladungsträgerdichten oder Hall-Konstanten von verschiedenen Materialien ausgenutzt wird.

Um den Hall-Effekt nachzuweisen, brauchst du vier Dinge:

Ein Plättchen
Externes Magnetfeld
Spannungsmessgerät
Strommessgerät

Plättchen wählen: Metall oder Halbleiter

Rechteckiges Hall-Plättchen und seine Abmessungen.

Beim Hall-Effekt nimmst Du ein leitendes Plättchen der Dicke $ d $ und der Breite $ h $.

Das Material des Hall-Plättchens ist ebenfalls wichtig. Meistens besteht es...

aus einem Metall (z.B. Aluminium, Cuprium, Argentium etc.)
oder aus einem Halbleiter (z.B. Silicium, Germanium) besteht.

Wenn das Plättchen ein Metall ist, dann sind dort in der Regel die Elektronen für die elektrische Leitung verantwortlich, sobald du eine elektrische Spannung an das Plättchen anlegen würdest. Eine Ausnahme stellt beispielsweise Aluminium dar. Im Aluminium sind nicht die Elektronen, sondern sogenannte Löcher für die elektrische Leitung verantwortlich.

Ein Loch ist im Gegensatz zum Elektron positiv geladen (mit positiver Elementarladung +e) und bedeutet: das Fehlen eines Elektrons! Diese Löcherleitung kann in Halbleitern realisiert werden, wenn Du den Halbleiter mit Elementen aus der 3. Hauptgruppe im Periodensystem gezielt verunreinigst. Dann hast Du einen p-dotierten Halbleiter, bei dem die Löcherleitung dominiert.

Strom durch das Plättchen schicken

Elektronenstrom durch das Hall-Plättchen.

Nach dem Du Dir ein passendes Plättchen ausgesucht hast, legst Du eine elektrische Spannung an die beiden Enden des Plättchens an (rechts und links). Dadurch bildet sich ein elektrischer Strom $ I $ aus, der von einem Ende des Plättchens zum anderen fließt. Wenn Du diesen Strom messen willst, musst Du natürlich noch ein Strommessgerät (ein Amperemeter) in Deinen Stromkreis einbauen.

Je nachdem, welches Material Du gewählt hast, ist der elektrische Strom entweder durch negativ geladene Elektronen oder durch positiv geladene Löcher dominiert.

Normalerweise ist die Bewegung der Ladungen im Plättchen ungeordnet (chaotisch). Durch eine von außen angelegte elektrische Spannung aber, zwingst Du die beweglichen Ladungen in eine bestimmte Richtung zu fließen (also zum entgegengesetzten Pol). Die Geschwindigkeit, mit der sie in eine festgelegte Richtung fließen, wird Driftgeschwindigkeit $ v $ genannt.

Diese elektrischen Ladungen bewegen sich mit einer bestimmten Driftgeschwindigkeit nach links oder nach rechts. Wenn sich Elektronen (bei der eingestellten Spannungspolarität) nach links bewegen, dann würden sich die Löcher (bei der selben Spannungspolarität) in entgegengesetzte Richtung bewegen - also in diesem Fall nach rechts.

Stromdurchflossenes Plättchen ins Magnetfeld platzieren

Platziere nun das Plättchen, durch das ein Strom fließt, in ein Magnetfeld $ B $. Richte das Plättchen am besten so aus, dass die magnetischen Feldlinien das Plättchen senkrecht - also unter einem 90° Winkel - durchdringen. So ist es einfacher den Hall-Effekt zu untersuchen.

Das Magnetfeld zeigt also entweder in die Ebene (Bildschirm) hinein oder heraus.

Ein in die Ebene hinein verlaufendes Magnetfeld.

Ein aus der Ebene heraus zeigendes Magnetfeld.

Was ist der Hall-Effekt und wie entsteht Hall-Spannung?

Lass uns Elektronen nehmen, um den Hall-Effekt zu erklären (die Erklärung funktioniert analog mit den Löchern). Die Elektronen sollen sich vom linken zum rechten Teil des Plättchens bewegen. Außerdem betrachten wir ein Magnetfeld $B$, das in die Ebene hineinzeigt.

Wir haben einen elektrischen Strom $I$, der aus negativ geladenen Elektronen besteht und sich durch ein Magnetfeld $B$ bewegt. Bewegte Elektronen erfahren im Magnetfeld eine magnetische Kraft $F_{\text m} $ (Lorentzkraft), die die Elektronen in den oberen oder unteren Teil des Plättchens ablenkt.

Drei-Finger-Regel der linken Hand zeigt dir die Richtung der magnetische Kraft.

Ob die Elektronen nach unten oder nach oben abgelenkt werden, hängt von der gewählten Richtung des Magnetfelds und der Stromrichtung ab. Die Drei-Finger-Regel verrät dir dann die Richtung der magnetischen Kraft. In unserem Fall:

Daumen zeigt nach links, weil sich die Elektronen nach links bewegen.
Zeigefinger zeigt in die Ebene (Bildschirm) hinein, weil das Magnetfeld in den Bildschirm hineinzeigt.
Der Mittelfinger zeigt in Richtung der magnetischen Kraft. Die Elektronen werden also in den oberen Teil des Plättchens abgelenkt.

Ein bewegtes Elektron im Hall-Plättchen erfährt eine magnetische und elektrische Kraft.

Die Elektronen sammeln sich allmählich im oberen Teil des Plättchens an. Im oberen Bereich gibt es also mehr Elektronen als im unteren Bereich. Oben hast Du also einen Elektronenüberschuss und unten einen Elektronenmangel.

Dieser Ladungsunterschied verursacht ein elektrisches Feld $ E $, das definitionsgemäß vom Pluspol (unteren Teil) zum Minuspol (oberen Teil) zeigt. All weiteren Elektronen, die durch das Plättchen wandern, erfahren jetzt nicht nur eine magnetische, sondern auch eine elektrische Kraft $ F_{\text e} $. Diese wirkt auf die Elektronen nach unten, weil sie vom Pluspol angezogen werden.

Diese Ablenkungen passieren so lange, bis sich ein Kräftegleichgewicht einstellt.

$$ \begin{align} F_{\text e} ~=~ F_{\text m} \end{align} $$

Der obere und untere Teil des Plättchens entspricht quasi den entgegengesetzt geladenen Elektroden eines Plattenkondensators, die im Abstand $ h $ zueinander platziert sind. Hierbei ist $h$ gleichzeitig die Breite des Plättchens.

Das homogene E-Feld eines Plattenkondensators hängt mit der Spannung $U_{\text H}$ zwischen den Platten folgendermaßen zusammen:

$$ \begin{align} E ~=~ \frac{ U_{\text H} }{ h } \end{align} $$

Hierbei wird die Spannung $ U_{\text H} $ als Hall-Spannung bezeichnet. Im Gegensatz zum E-Feld, das im Inneren des Plättchens herrscht, kannst du die Hall-Spannung ganz einfach direkt mit einem Spannungsmessgerät messen.

Nach ein paar einfachen Schritten können wir die Formel für die Hall-Spannung herleiten:

$$ \begin{align} U_{\text H} ~=~ A_{\text H} \, \frac{I \, B}{ d } \end{align} $$

Hierbei ist $d$ die Dicke des Plättchens und $A_{\text H}$ eine sogenannte Hall-Konstante.

Was ist der Hall-Effekt?

Hall-Effekt ist die Entstehung einer elektrischen Spannung (Hall-Spannung) in einem Plättchen, das sich in einem Magnetfeld befindet und von einem Strom durchflossen wird.

Hallspannung aufgrund der Lorentzkraft auf Elektronen.

Hallspannung aufgrund der Lorentzkraft auf Löcher (positive Quasiteilchen).

Was ist die Hall-Konstante und wie bestimmte ich sie?

Hall-Konstante $ A_{\text H} $ ist eine Konstante, die abhängig vom verwendeten Material ist

$$ \begin{align} A_{\text H} ~=~ \frac{1}{n \, q} \end{align} $$

Die Hall-Konstante hängt von der Ladungsträgerdichte $ n $ ab. In unserem Fall also von der Anzahl der Leitungselektronen pro Volumen des Plättchens. Sie hängt aber auch von der Ladung $ q $ ab, die ein einzelner Ladungsträger hat. In unserem Fall ist $ q $ die negative Elementarladung $q = - e $. Die Hall-Konstante ist folglich negativ. Sie kann aber auch positiv sein, wenn für die Leitung nicht die Elektronen, sondern Löcher verantwortlich sind.

Mithilfe der hergeleiteten Formel 3 kannst du in einem Experiment die Hall-Konstante bestimmen. Den Strom kannst du mit einem Amperemeter messen, die Hall-Spannung mit einem Voltmeter, das Magnetfeld stellst du selbst ein und die Dicke des Plättchens kannst du mit einem Lineal ausmessen:

$$ \begin{align} A_{\text H} ~=~ \frac{U_{\text H} \, d}{I \, \class{violet}{B}} \end{align} $$

Sobald du die Hall-Konstante bestimmt hast, kannst du daraus nach Gl. 4 die Ladungsträgerdichte des verwendeten Plättchens herausfinden und anhand des Vorzeichens der Hall-Konstante weißt du, ob der Strom durch das Plättchen von Elektronen oder Löchern dominiert wird.

Tabelle : Beispiele für verschiedene Hall-Konstanten.
Material	Hall-Konstante $A_{\text H}$
Cuprium (Kupfer)	-5.3 · 10^-11 m³/C
Aluminium	+9.9 · 10^-11 m³/C
Argentium (Silber)	-8.9 · 10^-11 m³/C

Beachte außerdem, dass die Ladungsträgerdichte von der Temperatur des Plättchens abhängt und damit auch die Hall-Konstante.

Übungen mit Lösungen

Nutze diese Formelsammlung, wenn du Probleme mit Physikaufgaben hast.

Aufgabe #1: Magnetfeld im Hufeisenmagnet mit einer Hallsonde berechnen

Du möchstest wissen, wie stark das Magnetfeld im Inneren eines Hufeisenmagneten ist. Dazu musst Du die magnetische Flussdichte $ B $ bestimmen.

Dazu schiebst Du eine Hallsonde in den Hufeisenmagnet hinein. Die Hallsonde hat eine Hallkonstante $ A_{\text H} $ = 5·10^-7 m³/As und durch sie fließt ein elektrischer Strom $ I $ = 5A. Außerdem zeigt die Hallsonde eine Hallspannung von $ U_{\text H} $ = 25mV an. Die Abmessungen der Hallsonde sind: $ l $ = 3.5cm, $ d $ = 0.05mm und $ b $ = 3.5cm.

Lösung zur Aufgabe #1

Eine Hallsonde nutzt das Prinzip des Hall-Effekts aus, um die Stärke des Magnetfelds zu messen. Die Hall-Spannung ist Dir bekannt, also kannst Du die folgende Formel benutzen: 1 \[ U_{\text H} ~=~ A_{\text H} \, \frac{I \, B}{d} \]

Forme die Gleichung 1 nach der magnetischen Flussdichte $ B $ um: 2 \[ B ~=~ \, \frac{ U_{\text H} \, d }{ A_{\text H} \, I} \]

Setze nur noch die gegebenen Werte in 2 ein und Du bekommst die konkrete Stärke des Magnetfelds: 3 \[ \begin{align}B ~&=~ \frac{ 25\cdot 10^{-3} \, \text{V} ~\cdot~ 0.05\cdot 10^{-3} \, \text{m} }{ 5\cdot 10^{-7} \, \frac{\text{m}^3}{ \text{As} } ~\cdot~ 5 \, \text{A} } \\\\ ~&=~ 0.5 \, \text{T}\end{align} \]

Aufgabe #2: Magnetfeld im Hufeisenmagnet mit einer Hallsonde berechnen

Ein Silicium-Plättchen mit der Länge $ l = 1 \, \mathrm{cm}$, Breite $b = 1 \, \mathrm{mm}$ und Dicke $d =1 \, \mathrm{mm}$ wird von einem Strom $I = 3.36 \, \mathrm{A} $ in Längsrichtung durchflossen und zwar senkrecht zu einem Magnetfeld $B = 1 \, \mathrm{T}$. Das Plättchen hat eine Dichte von $n_{\text p} = 42 \cdot 10^{20} \, 1/\mathrm{m}^3 $ Defektelektronen.

Berechne Driftgeschwindigkeit $v$ der Defektelektronen.
Berechne die "Kraft" $ F_{\text L} $ auf ein positives Defektelektron.
Berechne die Hall-Spannung $ U_{\text H} $.

Lösung zur Teilaufgabe #2.1

Driftgeschwindigkeit ist Geschwindigkeit $ v $ mit der sich die Defektelektronen entlang des Plättchens bewegen. Dabei legen sie eine bestimmte Strecke, nämlich die Plättchenlänge $ l $ innerhalb einer gewissen Zeit $ t $ zurück, was genau der Definition der Geschwindigkeit entspricht: 1 \[ v ~=~ \frac{l}{t} \]

Die Defektelektronen bilden alle zusammen einen Stromfluss mit einer gewissen Stromstärke $ I $, die als Ladung pro Zeit definiert ist: 2 \[ I ~=~ \frac{Q}{t} \]

Wie viel Ladung $ Q $ innerhalb eines Zeitintervalls fließt weißt Du zwar nicht - aber, was Du weißt, ist, dass Gesamtladung $ Q $ sich Anzahl $ N $ der Ladungen multipliziert mit der Elementarladung $ e $ schreiben lässt: 3 \[ Q ~=~ N \, e \]

Die Anzahl $ N $ kennst Du leider auch nicht, aber dafür kennst Du das Volumen des Plättchens $ V ~=~ l \, b \, d $ und die Defektelektronen-Dichte $ n_{\text p} $. Um die Anzahl $ N $ der Defektelektronen in diesem Volumen zu berechnen, rechnest Du: 4 \[ \begin{align}N ~&=~ n_{\text p} \, V \\\\ ~&=~ n_{\text p} \, l \, b \, d \end{align} \]

Setze 4 in 3 ein und dann 3 in 2 und forme nach der Zeit um: 5 \[ t ~=~ \frac{ n_{\text p} \, l \, b \, d \, e}{I} \]

Jetzt kannst Du die Zeit 5 in die Geschwindigkeitsformel 1 einsetzen (dabei kürzt sich Länge l weg): 6 \[ v ~=~ \frac{ I }{ n_{\text p } \, b \, d \, e} \]

Wenn Du jetzt noch vorgegebene Werte einsetzt, erhälst Du die Geschwindigkeit der Elektronen: 7 \[ \begin{align} v ~&=~ \frac{ 3.36 \, \text{A} }{ 42*10^{20} \, \frac{1}{\text{m}^3} ~\cdot~ 0.001 \, \text{m} ~\cdot~ 0.001 \, \text{m} ~\cdot~ 1.6 \cdot 10^{-19} \, \text{C} } \\\\ ~&=~ 5000 \, \frac{\text m}{\text s} \end{align} \]

Lösung zur Teilaufgabe #2.2

Auf den elektrischen Strom $ I $, genauer gesagt auf die fließenden Ladungsträger, wirkt im Magnetfeld $ B $ die Lorentzraft$ F_{\text L} $, die die Ladungsträger des Stroms zum Plättchenrand ablenkt. Jedes einzelne erfährt eine Kraft von: 8 \[ F_{\text L} ~=~ e \, v \, B \]

Da es sich um Defektelektronen handelt, trägt jedes von ihnen die Elementarladung $ +e $. Einsetzen der gegebenen Werte (einschließlich der in (a) ermittelten Driftgeschwindigkeit) ergibt folgende Lorentzraft: 9 \[ \begin{align} F_{\text L} ~&=~ 1.6 \cdot 10^{-19} \, \text{C} ~\cdot~ 5000 \, \frac{\text m}{\text s} ~\cdot~ 1 \, \text{T} \\\\ ~&=~ 10^{-16} \, \text{N} \end{align}\]

Lösung zur Teilaufgabe #2.3

Hall-Spannung $ U_{\text H} $ stellt sich genau dann ein, wenn Lorentzkraft $ F_{\text L} $ komplett durch anziehende Kraft entgegesetzter Ladungen (elektrische Kraft) $ F_{\text e} ~=~ Q \, E $ neutralisiert wird. Es stellt sich also beim Wert der Hall-Spannung, ein Kräftegleichgewicht ein: 10 \[ Q \, v \, B ~=~ Q \, E \]

Da die Ladungsträger sich om oberen und unteren Ende des Plättchens sammeln, kann dies als eine Art Plattenkondensator aufgefasst werden. In diesem gilt: Elektrisches Feld $ E $ ist Spannung $ U_{\text H} $ (hier Hallspannung) pro Abstand $ b $ (welcher der Plättchenbreite entspricht): 11 \[ E ~=~ \frac{U}{b} \]

Setze nun 11 in 10 ein und forme nach der Hallspannung um: 12 \[ U_{\text H} ~=~ b \, v \, B \]

Setzte nur noch alle Werte (einschließlich der Driftgeschwindigkeit aus (a)) ein und Du bekommst die gesuchte Hall-Spannung: 13 \[ U_{\text H} ~=~ 0.001 \, \text{m} ~\cdot~ 5000 \, \frac{\text m}{\text s} ~\cdot~ 1 \, \text{T} ~=~ 5 \, \text{V} \]