Ich heiße Alexander FufaeV und hier schreibe ich über:

Plattenkondensator einfach erklärt

Grundlegender Aufbau

Plattenkondensator mit einer Spannung $U$ zwischen den beiden Elektroden. Abstand der Elektroden ist $d$ und die Fläche einer Elektrode ist $A$. Dazwischen ist ein Dielektrikum $\varepsilon_{\text r}$.

Ein Plattenkondensator besteht meist aus zwei runden oder rechteckigen leitenden Platten (genannt Elektroden), die jeweils einen Flächeninhalt $A$ haben und im Abstand $d$ zueinander sind.

Doch bis jetzt sind es nur zwei Platten. Erst, wenn elektrisch positive und negative Ladungen auf die beiden Platten gebracht werden, wird der Aufbau zu einem Plattenkondensator. Die eine Platte wird mit elektrisch positiven Ladungen aufgeladen, sodass die Gesamtladung auf dieser Platte $+Q$ beträgt. Die gegenüberliegende Platte wird mit genauso vielen Ladungen aufgeladen, aber mit negativen Ladungen. Die Gesamtladung auf dieser Platte ist somit $-Q$.

Die positiven und die negativen elektrischen Ladungen auf den getrennten Platten ziehen sich jetzt an. Wenn sie frei wären, würden sie sich einfach aufeinander zubewegen. Da die Platten aber in einem festen Abstand $d$ zueinander verbaut sind, können sie das nicht tun.

Wenn die beiden geladenen Platten mit einem leitenden Draht und einem Lämpchen verbunden werden, dann würde ein elektrischer Strom von der einen Platte zur anderen fließen und folglich das Lämpchen zum Leuchten bringen. Das Lämpchen wird solange leuchten, bis kein Ladungsunterschied auf den Platten mehr besteht. Mit einem Kondensator kannst du also elektrische Energie speichern. Das wäre die trivialste Anwendung eines Plattenkondensators. Doch der Plattenkondensator hat viel mehr Anwendungen. Eine weitere Anwedung wäre zum Beispiel ein Frequenzfilter. Dieser ist im Ladekabel beispielsweise deines Handys verbaut und ist dazu da, um die Mikroelektronik vor äußeren elektromagnetischen Störungen zu schützen. Frequenzfilter ist aber bei weitem nicht alles! Deshalb lohnt es sich die Physik eines Plattenkondensators etwas näher kennenzulernen.

Dielektrikum:
Ein Plattenkondensator kann mit einem nicht-leitenden Material (genannt Dielektrikum) gefüllt sein. Zum Beispiel könnte das Dielektrikum die Luft, Vakuum, Wasser, Holz, Keramik oder andere Nichtleiter sein. Dieses Dielektrikum wird durch die relative Permittivität $\varepsilon_{\text r}$ charakterisiert. Das Dielektrikum darf auf gar keinen Fall leitend sein, weil sonst die Ladungen durch das Dielektrikum auf die jeweils andere Platte übergehen würden und damit den Ladungsunterschied ausgleichen (das ist nicht der Sinn eines Kondensators). Das Dielektrikum ist nützlich, um die physikalischen Eigenschaften des Kondensators, wie z.B. seine Kapazität zu manipulieren.

Tabelle : Beispiele für relative Permittivität einiger Materialien
Dielektrikum	rel. Permittivität $\varepsilon_{\text r}$
Vakuum	1
Luft	1.0006
Wasser	80
Glas	6 bis 8

Elektrische Spannung zwischen den Platten

Elektrische Kraft $F$ auf eine Ladung $q$ im Plattenkondensator.

Wenn eine kleine Probeladung $q$, beispielsweise eine freibewegliche positive Ladung (nennen wir sie Probeladung) direkt an der positiven Platte platzierst, dann stößt die positive Platte die positive Probeladung ab und die negative Platte zieht sie an. Die freie Probeladung erfährt eine elektrische Kraft $F$ innerhalb des Plattenkondensators, die die kleine Ladung geradeaus zur negativen Platte beschleunigt. Die Ladung beschleunigt solange, bis sie an der gegenüberliegenden negativen Platte angekommen ist.

Bevor die Probeladung auf die negative Platte stößt, hat sie durch die Beschleunigung eine Geschwindigkeit $v$ bekommen und damit auch kinetische Energie $W$ erhalten. Diese Bewegungsenergie, die die Probeladung gewonnen hat, indem sie sich von der einen geladenen Platte zur anderen bewegt hat, wird durch die elektrische Spannung $U$ zwischen den Platten charakterisiert. Elektrische Spannung $U$ zwischen zwei Platten ist die Energie $W$, die eine kleine Probeladung gewinnt, wenn sie sich von der einen zur anderen Platte bewegt, dividiert durch die Ladung $q$. Spannung $U$ ist also Energie pro Ladung.

Die Spannung $U$ zwischen den Platten und damit auch die gewonnene Energie $W$ der Probeladung kann beeinflusst werden, indem die Platten noch mehr elektrisch aufgeladen werden. Dazu wird die Ladung $Q$ auf beiden Platten vergrößert. Dadurch wird die elektrische Kraft $F$ auf die Probeladung größer. Die Probeladung würde dann noch mehr beschleunigen und dadurch eine größere Geschwindigkeit $v$ am Ende erreichen. Also eine größere kinetische Energie $W$ gewinnen. Verdoppelst du die elektrische Ladung $Q$, dann verdoppelt sich auch die elektrische Spannung $U$. Eine Probeladung $q$ würde dann also eine doppelt so große Energie $W$ beim Durchlaufen der Spannung $U$ gewinnen.

Elektrisches Potential im Plattenkondensator

Das Potential $\varphi$ zwischen den Elektroden bekommst Du durch Lösen der eindimensionalen Laplace-Gleichung. Das Ergebnis ist ein Potential $\varphi$, welches linear von der Ortskoordinate $x$ abhängt:

Potential zwischen den Elektroden

\varphi(x) ~=~ - \frac{U}{d} \, x ~+~ \varphi_1

Elektrisches Potential $\varphi$ eines Plattenkondensators. Die eine Elektrode wurde auf die Koordinate $x=0$ und die andere Elektrode auf die Koordinate $x=d$ gelegt.

Die Potentialdifferenz entspricht der elektrischen Spannung zwischen den Elektroden:

Spannung als Potentialdifferenz

U ~=~ \varphi_1 - \varphi_2

Wenn Du dann das elektrische Potential $\varphi$ hinter und zwischen den Elektroden in einem Diagramm ($\varphi$, $x$) aufzeichnest, dann bekommst Du im Bereich $x \le 0$, also bis zur ersten Elektrode, ein konstantes Potential $\varphi_1$. Auch hinter der zweiten Elektrode, also für $x \ge d$, ist das Potential konstant $\varphi_2$. Zwischen den Elektroden, also im Bereich zwischen $x=0$ und $x=d$ steigt das Potential linear von der einen Elektrode zur anderen Elektrode an.

Elektrisches Feld im Plattenkondensator

Egal, wo du die Probeladung $q$ innerhalb des Plattenkondensators platzierst, sie bewegt sich stets auf einer geraden Linie zur anderen Platte und erfährt überall die gleiche Kraft $F$. Ein Kraftfeld, also die Gesamtheit aller Kraftvektoren im Raum, ist zwischen den Kondensatorplatten homogen. Homogen bedeutet, dass die Probeladung an jedem Ort zwischen den Platten stets die gleiche Kraft erfährt.

Du kannst die Kraft auf eine Probeladung folgendermaßen berechnen:

Elektrische Kraft auf eine Ladung im Plattenkondensator

Wann ist die Kraft auf eine Probeladung größer?

Die Kraft $F$ auf eine Probeladung $q$ ist umso größer, je größer die Probeladung $q$ und die Spannung $U$ sind und je näher die Platten beeinander sind.

Elektrisches Feld $E$ eines Plattenkondensators. Die eine Elektrode wurde auf die Koordinate $x=0$ und die andere Elektrode auf die Koordinate $x=d$ gelegt.

Wird die Kraft 3 durch die Probeladung $q$ dividiert, dann ergibt sich die Größe elektrisches Feld $E := \frac{F}{q} $:

Elektrisches Feld zwischen Kondensatorplatten

Die typische Einheit des elektrischen Felds $ E $ ist $ \frac{\mathrm V}{\mathrm m} $ (Volt pro Meter) oder alternativ $ \frac{\mathrm N}{\mathrm C}$ (Newton pro Coulomb).

Das elektrische Feld ist also nichts anderes als Kraft pro Ladung. Das elektrische Feld in einem Plattenkondensator hängt nur von der Spannung $U$ und von dem Plattenabstand $d$ ab. Je größer die Spannung und je kleiner der Abstand, desto größer ist das elektrische Feld.

Da das Kraftfeld homogen ist, ist auch das elektrische Feld im Plattenkondensator homogen. Statt an jedem Ort zwischen den Platten einen Kraftvektor zu zeichnen, wird das elektrische Feld oft mit Feldlinien veranschaulicht. In Fall eines Plattenkondensators sind die Feldlinie gerade parallele Linien, die von der einen zur anderen Platten verlaufen. Solche geraden Linien zeichnen ein homogenes E-Feld aus. Auf so einer geraden Linie bewegt sich dann eine Probeladung.

Elektrische Feldlinien am Plattenkondensator verlaufen parallel zueinander. Hinter den Elektroden heben sich die Felder weg, wobei zwischen den Elektroden sich das Feld verstärkt.

Die elektrischen Feldlinien verlaufen definitionsgemäß von der positiven Platte weg und zur negativen Platte hin. Folglich treten die Feldlinien aus der positiv geladenen Platte aus beiden Seiten heraus. Und die Feldlinien gehen auf beiden Seiten in die negativ geladene Platte hinein.

Die Feldlinien der negativen und positiven Platte zeigen hinter den Platten in entgegengesetzte Richtungen und heben sich somit weg.

Wo ist der Plattenkondensator feldfrei?

Der Plattenkondensator ist außerhalb der Elektroden feldfrei!

Die Feldlinien zwischen den Elektroden dagegen zeigen in die gleiche Richtung, weshalb sich das elektrische Feld zwischen den Elektroden verstärkt.

Zeichnest Du den Verlauf des elektrischen Feldes hinter und zwischen den Elektroden in einem Koordinatensystem ($E$,$x$) auf, dann ist das E-Feld bis zur ersten Platte bei $x=0$ Null. Das E-Feld hinter der zweiten Platte, die bei $x=d$ ist, ist ebenfalls Null. Zwischen den Elektroden, also im Bereich zwischen $x=0$ und $x=d$, hat das E-Feld einen konstanten Wert $U/d$.

Elektrische Kapazität des Plattenkondensators

Die Spannung $U$ ist nach 4 proportional zum elektrischen Feld $E$, womit auch die Ladung $Q$ proportional zur Spannung ist:

Definition der Kapazität

Q ~=~ C \, U

Die Proportionalitätskonstante $C$ wird elektrische Kapazität genannt. Sie hat die Einheit $ \left[\frac{\text{As}}{\text V}\right] = [\text{F}] $ (Farad).

Die Kapazität ist von Kondensator zu Kondensator unterschiedlich. Sie hängt von seiner Geometrie ab, also hier vom Plattenabstand $d$ und von der Plattenfläche $A$. Außerdem ist die Kapazität davon abhängig, mit welchem Material der Raum zwischen den Platten gefüllt ist. Wenn zwischen den Platten ein Vakuum oder zumindest nur Luft ist, dann ist die relative Permittivität $\varepsilon_{\text r} = 1 $ und die Kapazität berechnet sich folgendermaßen:

Formel: Kapazität des Plattenkondensators

C ~=~ \varepsilon_0 \, \frac{A}{d}

Hierbei ist $\varepsilon_0$ die elektrische Feldkonstante, die vor allem für die richtige Einheit der Kapazität sorgt. Das ist eine Naturkonstante mit dem Wert: $\varepsilon_0 = 8.854 \cdot 10^{-12} \, \frac{\text{As}}{\text{Vm}} $.

Wenn zwischen den Elektroden statt Vakuum ein anderes Dielektrikum eingesetzt wird, wie z.B. Keramik, dann kann die dadurch veränderte Kapazität des Kondensators durch die relative Permittivität $\varepsilon_{\text r}$ berücksichtigt werden. Die Kapazität ändert sich um den Faktor $\varepsilon_{\text r}$:

Kapazität eines Plattenkondensators

Welcher Plattenkondensator hat die größte Kapazität?

Um eine möglichst große Kapazität des Plattenkondensators zu erreichen, muss seine Plattenfläche $A$ vergrößert und der Plattenabstand $d$ verkleinert werden. Wird noch ein Dielektrikum mit großer relativer Permittivität $\varepsilon_{\text r}$ zwischen den Platten eingesetzt, so kann die Kapazität weiter vergrößert werden.

Beispiel: Kapazität des Plattenkondensators berechnen

Ein Plattenkondensator mit der Plattenfläche $A = 1 \, \text{cm}^2$ und dem Plattenabstand $d = 1 \, \text{mm} $ hat die Kapazität:

Beispielrechnung für Kapazität

C &~=~ 8.854 \cdot 10^{-12} \, \frac{\text{As}}{\text{Vm}} ~\cdot~ \frac{ 0.0001 \, \text{m}^2 }{0.001 \, \text{m}} \\\\
&~=~ 8.854 \cdot 10^{-13} \, \text{F}

Die Kapazität von $0.8854 \, \text{pF} $ (Pikofarad) ist eine sehr kleine Größe. Eine große Kapazität ist gar nicht so einfach zu realisieren. Selbst, wenn der Plattenkondensator zusätzlich ins nicht-leitende Wasser eingetaucht wird, dann wird sich seine Kapazität nur um den Faktor 80 erhöhen. Es bleibt trotzdem eine sehr kleine Kapazität.

Elektrische Energie im Feld des Plattenkondensators

Integrierst Du die Spannung über die Ladung, dann bekommst Du die Energie $W_{\text{e}}$, die notwendig ist, um auf die Elektroden die Ladung $Q$ zu bringen:

Elektrische Energie - Plattenkondensator

Gespeicherte Energie im Plattenkondensator.

Beispiel: Elektrische Energie des Plattenkondensators berechnen

Ein Kondensator hat die Kapazität $ C = 10 \, \text{nF} $ und wird mithilfe einer Batterie auf $1.5 \, \text{V} $ aufgeladen. Die elektrische Energie des Kondensators beträgt also:

Beispielrechnung für Energie des Plattenkondensators

W_{\text{e}} &~=~ \frac{1}{2} ~\cdot~ 10 \cdot 10^{-9} \, \text{F} ~\cdot~ (1.5 \, \text{V})^2 \\\\
&~=~ 11.25 \, \text{nJ}

Die Gleichung 9 kann auch mithilfe des vom E-Feld zwischen den Elektroden eingeschlossenen Volumens $V$ ausgedrückt werden:

Elektrische Energie mittels Volumen

Die Gleichung 11 kann so interpretiert werden, dass die elektrische Energie des Plattenkondensators nicht irgendwie in den Elektroden ist, sondern im elektrischen Feld zwischen den Elektroden gespeichert ist, weil für die Energie nämlich nur das vom Feld eingeschlossene Volumen entscheidend ist.

Übungen mit Lösungen

Nutze diese Formelsammlung, wenn du Probleme mit Physikaufgaben hast.

Aufgabe #1: Bestimmte Kapazität eines Plattenkondensators realisieren

Kondensatoren werden durch die Angabe der elektrischen Kapazität charakterisiert. Sie sagt Dir, wie gut ein Kondensator elektrische Ladung "speichern" kann. Das Ziel der modernen Technik ist es meistens: Möglichst kleine Kondensatoren mit möglichst großer Kapazität herzustellen, damit so ein Bauelement auch in Dein Handy hineinpasst.

Du willst einen Plattenkondensator haben, der eine Kapazität von $ C = 0.5 \, \text{nF} $ (Nano-Farad) hat. Die Fläche einer Kondensatorplatte ist vorgegeben auf $ A = 12 \, \text{cm}^2 $.

Wie groß musst Du den Abstand $ d $ der Platten wählen, um diese Kapazität zu erreichen?
Was kannst Du noch tun, um die vorgegebene Kapazität zu erreichen, wenn der Plattenabstand auf $ d = 1.5 \, \text{mm} $ festgelegt wird?

Lösung zur Aufgabe #1.1

Wir benutzen die folgende Formel: $$C ~=~ \varepsilon_{\text r} \, \varepsilon_{\text 0} \, \frac{A}{d}$$

Unter der Annahme eines Vakuums (oder auch Luft für eine Näherung) beträgt die relative Permittivität $ \varepsilon_{\text r} \approx 1 $. Setze das ein und forme nach dem gesuchten Plattenabstand $ d $ um: $$d = \varepsilon_{\text 0} \, \frac{A}{C}$$

Setze die gegebenen Werte ein, nämlich $ C = 0.5 \, \text{nF} = 0.5 \cdot 10^{-9} \, \text{F} $ und $ A = 12 \, \text{cm}^2 = 12 \cdot 10^{-4} \, \text{m}^2 $ sowie $ \varepsilon_{\text 0} = 8.8 \cdot 10^{-12} \, \frac{\text{As}}{\text{Vm}} $: $$\begin{align}d ~&=~ 8.8 \cdot 10^{-12} \, \frac{\mathrm{As}}{\mathrm{Vm}} ~\cdot~ \frac{12 \cdot 10^{-4} \, \mathrm{m}^2}{0.5 \cdot 10^{-9} \, \mathrm{F}} \\\\ ~&=~ 2.1 \cdot 10^{-5} \, \text{m} ~=~ 0.021 \, \mathrm{mm}\end{align}$$

Wie Du am Ergebnis siehst: Die Platten müssen sehr nah beieinander liegen, um gerade noch so eine kleine Kapazität von $ C = 0.5 \, \text{nF} $ zu erreichen.

Lösung zur Aufgabe #1.2

Da der in Aufgabe 1.1 ermittelte Plattenabstand $ d = 0.021 \, \text{mm} $ unglaublich klein ist, lässt sich die gewünschte Kapazität auf einem alternativen Weg erreichen, ohne, dass der Abstand so klein gemacht werden muss. In dieser Aufgabe wollen wir zumindest einen Abstand von $ d = 1.5 \, \text{mm} $ haben.

Dazu musst Du, wenn Du Dir die erste Formel in Aufgabe 1.1 anschaust, ein passendes Dielektrikum auswählen (also ein bestimmtes Material zwischen den Kondensatorplatten), welches mit der relativen Permittivität $ \varepsilon_{\text r} $ charakterisiert wird. Forme die erste Formel in Aufgabe 1.1 nach $ \varepsilon_{\text r} $ um: $$\varepsilon_{\text r} = \frac{C \, d}{\varepsilon_{\text 0} \, A}$$

Setze die gegebenen Werte ein (unteranderem den gewünschten Abstand $ d = 1.5 \, \text{mm} = 1.5 \cdot 10^{-3} \, \text{m} $): $$\begin{align}\varepsilon_{\text r} ~&=~ \frac{0.5 \cdot 10^{-9} \, \text{F} ~\cdot~ 1.5 \cdot 10^{-3} \, \text{m}}{8.8 \cdot 10^{-12} \, \frac{\text{As}}{\text{Vm}} ~\cdot~ 12 \cdot 10^{-4} \, \text{m}^2} \\\\ ~&\approx~ 89\end{align}$$

Diesen Wert hat ungefähr reines Wasser. Du müsstest also den Plattenkondensator ins reine Wasser eintauchen, um die gewünschte Kapazität von $ 0.5 \, \text{nF} $ mit Plattenabstand von $ 1.5 \, \text{mm} $ zu erreichen.

Aufgabe #2: Ladung in einer Gewitterwolke

Wie viel Ladung $Q$ steckt in einer Gewitterwolke, deren Fläche $A = 1 \, \text{km}^2 $ beträgt und sich ein elektrisches Feld $E$ - von der Größe $ 3 \cdot 10^6 \, \text{V}/\text{m} $ - zwischen dem oberen und unteren Teil der Wolke aufgebaut hat? Gewitterwolke und Erde als Plattenkondensator

Lösung zur Aufgabe #2

Nimm an, dass sich oberer und unterer Teil der Wolke wie zwei Kondensatorplatten verhalten. Dann gilt für die elektrische Spannung: 1 \[ U ~=~ E \, d \]

Die Kapazität $ C $ eines Plattenkondensators ist durch die folgende Formel gegeben: 2 \[ C ~=~ \varepsilon_0 \, \frac{A}{d} \]

Allgemein gilt, dass die Ladung proportional zur Spannung ist, wobei die Proportionalitätskonstante die Kapazität ist: 3 \[ Q ~=~ C \, U \]

Setze 1 und 2 in 3 ein und kürze den Abstand $ d $: 4 \[ Q ~=~ \varepsilon_0 \, A \, E \]

Einsetzen der konkreten Werte aus der Aufgabenstellung ergibt die ungefähre Ladungsmenge in einer Gewitterwolke: 5 \begin{align} Q &~=~ 8.854 \cdot 10^{-12} \, \frac{\text{As}}{\text{Vm}} ~\cdot~ 10^6 \, \text{m}^2 ~\cdot~ 3 \cdot 10^6 \, \frac{\text{V}}{\text{m}} \\\\ &~=~ 26.6 \, \text{C} \end{align}