Ich heiße Alexander FufaeV und hier erkläre ich das folgende Thema:

Plattenkondensator: Herleitung für Potential, Feld, Ladung & Kapazität

Inhaltsverzeichnis

Plattenkondensator mit einer Spannung $U$ zwischen den beiden Elektroden. Abstand der Elektroden ist $d$ und die Fläche einer Elektrode ist $A$. Dazwischen ist ein Dielektrikum $\varepsilon_{\text r}$.

Wir wollen hier elektrisches Potential, elektrisches Feld und elektrische Kapazität herleiten.

Elektrisches Potential im Plattenkondensator

Im Folgenden wird das elektrische Potential $\varphi$ zwischen zwei Kondensatorplatten hergeleitet. Die Plattenfläche beträgt $A$ und die Platten sind im Abstand $d$ zueinander.

Für die Herleitung des Potentials, wird die Poisson-Gleichung benutzt:

$$ \begin{align} \nabla^2 \, \varphi ~=~ \frac{\partial^2 \varphi}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 \varphi}{\partial y^2 }+\frac{\partial^2 \varphi}{\partial z^2} ~=~ - \frac{\rho}{\varepsilon_0} \end{align} $$

Da zwischen den Platten keine Ladungen vorhanden sind, ist die Ladungsdichte $\rho$ (Ladung pro Volumen) im Inneren Null. Die Poisson-Gleichung vereinfacht sich zur Laplace-Gleichung:

$$ \begin{align} \nabla^2 \, \varphi ~=~ \frac{\partial^2 \varphi}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 \varphi}{\partial y^2 }+\frac{\partial^2 \varphi}{\partial z^2} ~=~ 0 \end{align} $$

Die dreidimensionale Laplace-Gleichung 2 kann auf den eindimensionalen Fall reduziert werden, weil die Platten homogen geladen sind und das Potential $\varphi$ somit unabhängig von der $y$- und $z$-Koordinaten ist:

$$ \begin{align} \frac{\partial^2 \varphi}{\partial x^2} ~=~ 0 \end{align} $$

Um also das elektrostatische Potential $\varphi$ im Inneren des Plattenkondensators zu finden, muss die Differentialgleichung 3 gelöst werden. Dies ist jedoch ganz einfach, denn die zweite örtliche Ableitung einer Funktion, die Null ergibt, ist eine lineare Funktion:

$$ \begin{align} \varphi(x) = a \, x ~+~ b \end{align} $$

Hierbei sind $a$ und $b$ Konstanten. Das diese Form von $\varphi$ richtig sein muss, kann leicht durch zweimaliges Differenzieren nach $x$ überprüft werden. Es kommt Null heraus, wie die Laplace-Gleichung 3 verlangt.

Jetzt muss noch die Steigung $a$ und der y-Achsenabschnitt $b$ der Funktion $\varphi(x)$ bestimmt werden, weil sie noch unbekannt sind. Dazu werden die Randbedingungen des Problems ausgenutzt.

Randbedingung #1: Die erste Kondensatorplatte ist bei $x=0$ platziert und hat dort das konstante Potential $\varphi_1$.
Randbedingung #2: Die zweite Kondensatorplatte ist bei $x=d$ platziert und hat dort das konstante Potential $\varphi_2$.

Nun wird die erste Randbedingung in 4 eingesetzt:

$$ \begin{align} \varphi_1 = b \end{align} $$

Damit wurde $b$ bestimmt. Hierbei stellt $b$ also das Potential an der ersten Platte dar. Jetzt muss noch die zweite Randbedingung benutzt werden. Setze sie in 4 ein:

$$ \begin{align} \varphi_2 = a \, d + b \end{align} $$

In 6 kommt $b$ vor. Dieses wurde in 5 aber schon bestimmt. Also, einsetzen:

$$ \begin{align} \varphi_2 = a \, d + \varphi_1 \end{align} $$

Die Potentiale $\varphi_1$ und $\varphi_2$ sind aber auch nicht bekannt. Was jedoch bekannt ist, ist die angelegte elektrische Spannung $U$ zwischen den Kondensatorplatten! Sie ist gegeben durch die Potentialdifferenz:

$$ \begin{align} U = \varphi_1 - \varphi_2 \end{align} $$

In 7 muss nur noch $\varphi_1$ auf die linke Seite der Gleichung gebracht werden, dann kann die Spannung 8 dort eingesetzt werden:

$$ \begin{align} -U = a \, d \end{align} $$

Die Spannung $U$ und der Abstand $d$ der Platten sind bekannt und damit ist auch die Steigung bekannt:

$$ \begin{align} a = -\frac{U}{d} \end{align} $$

Elektrisches Potential $\varphi$ eines Plattenkondensators. Die eine Elektrode wurde auf die Koordinate $x=0$ und die andere Elektrode auf die Koordinate $x=d$ gelegt.

Jetzt müssen nur noch die herausgefundenen Konstanten 5 und 10 in die Potentialgleichung 4 eingesetzt werden, um das Potential im Inneren des Kondensator vollständig zu bestimmen:

$$ \begin{align} \varphi_x = - \frac{U}{d} \, x ~+~ \varphi_1 \end{align} $$

Wie verhält sich das Potential im Plattenkondensator?

Das Potential im Plattenkondensator nimmt linear von der positiv geladenen zur negativ geladenen Platte ab.

Elektrisches Feld im Plattenkondensator

Um das elektrische Feld mithilfe der bekannten Spannung $U$ auszudrücken, wird (im eindimensionalen Fall) die Ortsableitung des Potentials (Gradientengleichung) ausgenutzt:

$$ \begin{align} E = -\frac{\partial \varphi}{\partial x} \end{align} $$

Differenzieren des vorher bestimmten Potentials 11 ergibt das elektrische Feld im Inneren des Kondensators:

$$ \begin{align} \class{purple}{E} ~=~ \frac{U}{d} \end{align} $$

WIe ändert sich das E-Feld, wenn Plattenabstand verkleinert wird?

Je kleiner der Plattenabstand bei konstant gehaltener Spannung ist, desto größer ist das elektrische Feld zwischen den Platten.

Elektrische Kapazität des Plattenkondensators

Im Folgenden wird die elektrische Kapazität $C$ des Plattenkondensators hergeleitet, die darüber aussagt, wie gut der Plattenkondensator die elektrische Ladung 'speichern' kann.

Das elektrische Feld $E$ einer geladenen Platte ist gegeben durch:

$$ \begin{align} E = \frac{\sigma}{\varepsilon_0} \end{align} $$

Hierbei stellt $\sigma = Q/A$ die Flächenladungsdichte der geladenen Platte dar. Also ist $ \sigma $ Ladung $Q$ pro Plattenfläche $A$:

$$ \begin{align} E = \frac{1}{\varepsilon_0} \, \frac{Q}{A} \end{align} $$

Das elektrische Feld ist nach 15 proportional zur Ladung. Und da das elektrische Feld nach 13 auch proportional zur Spannung ist, ist die Spannung proportional zur Ladung. Die Proportionalitätskonstante $C$ heißt die elektrische Kapazität:

$$ \begin{align} Q = C \, U \end{align} $$

Im Falle eines Plattenkondensators ist die Ladung $Q$ auf der Platte unbekannt; auch die Kapazität $C$ ist nicht bekannt. Nur die Spannung $U$ wird durch eine Spannungsquelle vorgegeben und ist damit bekannt. Das Ziel ist es also, die Ladung des Kondensators herauszufinden, um daraus dann die übrige Unbekannte, nämlich die Kapazität $C$, berechnen zu können.

Setze dazu 15 in 13 ein, um eine Gleichung für $Q$ zu haben, die nur bekannte Größen enthält. Forme also nach dem Gleichsetzen nach $Q$ um:

$$ \begin{align} Q = \varepsilon_0 \, \frac{A}{d} \, U \end{align} $$

Jetzt nur noch 17 in 16 einsetzen und nach der Kapazität umstellen:

$$ \begin{align} C = \varepsilon_0 \, \frac{A}{d} \end{align} $$

Wie kann die Kapazität eines Plattenkondensators vergrößert werden?

Die elektrische Kapazität eines Plattenkondensators ist umso größer, je größer die Plattenfläche ist und je kleiner der Plattenabstand ist.