Alexander Fufaev
Ich heiße Alexander FufaeV und hier erkläre ich das folgende Thema:

Laplace-Entwicklung: Wie man die Determinante einer Matrix berechnet

Inhaltsverzeichnis
  1. Übungen mit Lösungen

Determinante - ist eine Zahl, die eine Matrix charakterisiert. An ihr kannst Du gewisse Eigenschaften einer Matrix erkennen, z.B. Drehmatrizen haben Determinante +1. Nicht-invertierbare Matrizen Determinante 0. In folgenden Fällen kann Determinante hilfreich sein:

  • Invertieren von Matrizen
  • Lösen von linearen Gleichungssystemen
  • Berechnung von Flächen und Volumina

Du kannst nur Determinanten von \(n\)×\(n\)-Matrizen - also von quadratischen Matrizen - berechnen; z.B. 3x3 oder 4x4-Matrizen. Die Determinante einer Matrix \( A \) notierst Du entweder so: \( det\left( A \right) \) oder so \( |A| \).

Determinante berechnen: Laplace-Formel

Bei der Berechnung einer Determinante mittels Laplace- Entwicklungstheorem, führst Du eine größere "Ausgangsdeterminante" auf nächst kleinere Determinante zurück. Dies machst Du mit allgemeiner Formel für sogenannte Zeilenentwicklung:

Laplace-Formel: Zeilenentwicklung \[ \det\left( A \right) ~=~ \underset{j=1}{\overset{n}{\boxed{+}}} \, (-1)^{i+j} \, a_{ij} \, \det(A_{ij}) \]

Oder mit der Formel für Spaltenentwicklung:

Laplace-Formel: Spaltenentwicklung \[ \det\left( A \right) ~=~ \underset{i=1}{\overset{n}{\boxed{+}}} \, (-1)^{i+j} \, a_{ij} \, \det(A_{ij}) \]

Die schrecklichen Formeln sagen Dir: Entwickle eine n×n-Matrix nach der i-ten Zeile (bei Zeilenentwicklung) oder nach der \(j\)-ten Spalte (bei Spaltenentwicklung). Erklären wir mal die Formel für Entwicklung nach einer Zeile:

  • \( (-1)^{i+j} \) - ist ein wechselndes Vorzeichen (+) oder (-)
  • \( a_{ij} \) - ist ein Matrix-Eintrag aus der \(i\)-ten Zeile und \(j\)-ten Spalte
  • \( |A_{ij}| \) - ist Determinante einer Untermatrix, die entsteht, wenn Du \(i\)-te Zeile und \(j\)-te Spalte streichst
  • \( \underset{j=1}{\overset{n}{\boxed{+}}} \) - Summenzeichen heißt: Du startest bei der ersten Spalte. Also setzt Du in die Laplace-Formel \(j\)=1 ein und multiplizierst alles. (Dabei ist \(i\) fest, nämlich die Nummer Deiner gewählten Zeile): \( (-1)^{i+1}a_{i1}|A_{i1}| \). Danach gehst Du zur nächsten Spalte \(j\)=2 über: \( (-1)^{i+2}a_{i2}|A_{i2}| \). Da über Variable \(j\) summiert wird, rechnest Du diese zwei Ausdrücke zusammen: \[ (-1)^{i+1}a_{i1}|A_{i1}| + (-1)^{i+2}a_{i2}|A_{i2}| \]. Das Gleiche machst Du mit allen weiteren Spalten, die noch übrig geblieben sind: \[ \text{det}\left( A \right) = (-1)^{i+1}a_{i1}|A_{i1}| + ... + (-1)^{i+n}a_{in}|A_{in}| \]

Auf diese Weise kann die Determinante einer Matrix mit Laplace-Entwicklung!

Beispiel: 3x3-Matrix Nehmen wir eine 3x3-Matrix \( M \). Das heißt: \(n\) (Maximale Anzahl von Spalten) ist 3. Nehmen wir mal an: Du hast Dich für Entwicklung nach der zweiten Zeile entschieden: i=2. Einsetzen in die Formel ergibt: \[ \text{det}\left( M \right) = \underset{i=1}{\overset{3}{\boxed{+}}} \,{(-1)^{2+j}m_{2j}|M_{2j}|} \]

So! Jetzt setzt Du \(j\)=1 und gehst bis zur letzten Spalte \(j\)=3. Dabei addierst Du alle Spalten \(j\) auf: \[ \text{det}\left( M \right) = (-1)^{2+1}m_{21}|M_{21}|+(-1)^{2+2}m_{22}|M_{22}|+(-1)^{2+3}m_{23}|M_{23}| \]

Die entstandenen Unterdeterminanten \( |M_{21}|, |M_{22}|, |M_{23}| \) berechnest Du mit der Laplace-Formel genauso; bis Du am Ende reine Zahlen hast, die Du zusammenrechnen kannst. Das Ergebnis ist Determinante \( \text{det}\left( M \right) \) der jeweiligen 3x3-Matrix.

Übungen mit Lösungen

Nutze diese Formelsammlung, wenn du Probleme mit Physikaufgaben hast.

Aufgabe #1: Determinante einer 2x2-Matrix

Betrachte die Determinante folgender 2x2-Matrix: $$ \begin{vmatrix}5 & 3 \\ -4 & 6 \end{vmatrix} $$

Lösung zur Aufgabe #1

Als erstes suchst Du Dir eine beliebige Spalte oder Zeile aus. Nehmen wir mal an, Du hast Dich für die erste Zeile der Matrix entschieden.

Bevor Du mit dem Rechnen anfängst, musst Du jedem Eintrag deiner ausgewählten Zeile ein bestimmtes Vorzeichen zuweisen. Beim ersten Eintrag der Matrix (oben links) steht ein Plus als Vorzeichen. Der nächste Eintrag, sowohl in der Zeile als auch in der Spalte bekommt ein entgegengesetztes Vorzeichen - Minus. Der nächste Eintrag in der Spalte und Zeile bekommen wieder das Vorzeichen Plus. So geht es abwechselnd immer weiter, je nach dem wie groß deine Matrix ist.

In deiner ausgewählten Zeile, fängst Du mit dem ersten Eintrag an: +5. Gedanklich streichst Du die Zeile und Spalte durch, in der sich 5 befindet. Dadurch erhälst Du eine kleinere Untermatrix, die aus allen übrigen, nicht durchgestrichenen Einträgen besteht.

In diesem 2x2-Beispiel ist es eine 1x1-Matrix, eine reine Zahl: 6. Nun multiplizierst Du +5 (mit dem zugewiesenen Vorzeichen Plus) mit der Determinante der Untermatrix: \( +5 \cdot \det(6) \). $$ +5 \cdot 6 ~=~ 30 $$

Jetzt gehst Du zum nächsten Eintrag Deiner ausgewählten Zeile über und streichst auch hier die Zeile und Spalte durch, in der sich +3 befindet. Achtung: hier bekommt +3 ein Minus-Vorzeichen, da der Eintrag +2 ein Vorzeichen Plus bekommen hat, also hast Du: -(+3)=-3. Insgesamt: $$ -3 \cdot (-4) ~=~ 12 $$

Jetzt nur noch beide Berechnungen zusammenrechnen und Du bekommst die Determinante der 2x2-Ausgangsmatrix: $$ 30 + 12 ~=~ 42 $$

Aufgabe #2: Determinante einer 3x3-Matrix

Bereche die Determinante einer 3x3-Matrix: $$ \begin{vmatrix}2 & 1 & 3 \\ 1 & 4 & -2 \\ 0 & -1 & 2 \end{vmatrix} $$

Lösung zur Aufgabe #2

Es muss Dir sofort die Null in der ersten Spalte bzw. dritten Zeile auffallen, denn wenn Du nun nach der 1.Spalte bzw. 3.Zeile mit dem Laplace'schen Entwicklungssatz entwickelst, kommst Du am schnellsten zum Ergebnis, weil dann ein Summand wegfällt. Lass uns einfach nach der 1.Spalte entwickeln.

Jeder Eintrag der Matrix bekommt ein bestimmtes Vorzeichen zugewiesen, wobei der ganz erste Matrixeintrag das Vorzeichen "Plus" bekommt.

In Deiner Beispielmatrix bekommt der erste Eintrag (also Zahl 2) das Vorzeichen Plus: +2. Da wir uns für die Entwicklung nach der 1.Spate entschieden haben, musst Du in jedem Fall die erste Spalte "gedanklich durchstreichen". Jetzt streichst Du noch die Zeile gedanklich durch, in der sich diese +2 befindet.

Danach multiplizierst Du +2 mit der Unterdeterminante (also mit nicht durchgestrichenen Einträgen): $$ +2~*~\begin{vmatrix}4 & -2 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} $$

Lasse weiterhin die 1.Spalte "gedanklich durchgestrichen". Jetzt gehst Du mit Deinem gedanklichen Durchstrich der 1.Zeile eine Zeile nach unten. Nun musst Du +1 mit der entstandenen Unterdeterminante multiplizieren. Das Vorzeichen des Schachbrettmusters wechselt immer. Also muss vor +1 noch ein Minus hin. +1 wird also zu -(+1)=-1. Multipliziere sie nun mit der entstandenen Unterdeterminante: \[ -1~*~\begin{vmatrix}1 & 3 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} \]

Der nächste Eintrag in Deiner ausgewählten ersten Spalte ist 0. Null multipliziert mit der Unterdeterminante ergibt wieder 0: \[ +0~*~\begin{vmatrix}1 & 3 \\ 4 & -2 \end{vmatrix} ~=~ 0 \]

Merkst Du hier, warum es sich lohnt nach den Spalten oder Zeilen zu entwickeln, die die meisten Nulle enthält?

Nun musst Du die Berechnungen addieren: \[ +2~*~\begin{vmatrix}4 & -2 \\ -1 & 2 \end{vmatrix}~-~1~*~\begin{vmatrix}1 & 3 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} \]

In der Summe stehen noch 2x2-Determinanten, die Du noch berechnen musst. Wie Du 2x2-Determinanten mit Laplace-Entwicklung berechnest, ist Dir hoffentlich klar!

Nach deren Berechnung bekommst Du die Determinante der 3x3 Ausgansmatrix: \[ 2*[4*2 - (-2)*(-1)] - 1*[1*2 -3*(-1)] ~=~ 7 \]

Aufgabe #3: Determinante einer 4x4-Matrix

Berechne die Determinante einer 4x4-Matrix: $$ \begin{vmatrix}-2 & -1 & 4 & 2 \\ 1 & 0 & 2 & 1 \\ 3 & 0 & -2 & -1 \\ 0 & 2 & 6 & 3 \end{vmatrix} $$

Lösung zur Aufgabe #3

In der Aufgabe zur 3x3-Matrix hast Du gelernt, dass es sich lohnt, nach einer Spalte bzw. Zeile zu entwickeln, die die meisten Nullen enthält; weil sich dann die Rechnung vereinfacht. Deshalb entscheide Dich in diesem 4x4-Beispiel für die schnellste Rechnung für die zweite Spalte.

Der erste Eintrag Deiner auserwählten Spalte ist 1, die sich in der ersten Zeile befindet; deshalb vernaschen sie! Zuerst streichst Du die Spalte und Zeile gedanklich durch, in der sich die 1 befindet. Vergiss dabei das "Schachbrettmuster" mit den Vorzeichen nicht! Die 1 steht an der Stelle, der ein Minus zugeordnet ist, weshalb aus der (-1) eine -(-1) = +1 wird. Multipliziere sie mit der jeweiligen Unterdeterminante (Einträge, die - gedanklich - nicht durchgestrichen sind): \[ +1~*~\begin{vmatrix}1 & 2 & 1 \\ 3 & -2 & -1 \\ 0 & 6 & 3 \end{vmatrix} \]

Als nächster Eintrag aus der von uns ausgesuchten Spalte ist: 0. Null multipliziert mit Etwas, ergibt wieder 0, weshalb folgende Verarztung wegfällt: \[ +0~*~\begin{vmatrix}-2 & 4 & 2 \\ 3 & -2 & -1 \\ 0 & 6 & 3 \end{vmatrix} \]

Analog bei der zweiten 0 in der dritten Zeile und zweiten Spalte: \[ -0~*~\begin{vmatrix}-2 & 4 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \\ 0 & 6 & 3 \end{vmatrix} \]

Der letzte Eintrag ist 2. Das Vorzeichen aus dem Schachbrettmuster von der 2 ist ein Plus. Multipliziert mit der Unterdeterminante, nach dem Durchstreichen zweiter Spalte und dritter Zeile, ergibt: \[ +2~*~\begin{vmatrix}-2 & 4 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \\ 3 & -2 & 1 \end{vmatrix} \]

Addition obiger Ausdrücke, ergibt die Determinante der Ausgangsmatrix: \[ +1~*~\begin{vmatrix}1 & 2 & 1 \\ 3 & -2 & -1 \\ 0 & 6 & 3 \end{vmatrix}~+~2~*~\begin{vmatrix}-2 & 4 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \\ 3 & -2 & -1 \end{vmatrix} \]

Das Problem ist: Es stehen jetzt 3x3-Determinanten in der Summe... Um sie loszuwerden, gehst Du analog wie bei der 4x4-Matrix vor und suchst Dir zuerst eine Spalte oder Zeile aus, nach der Du entwickeln möchtest.

Entscheide Dich beispielsweise für die erste Spalte! Du streichst also die erste Spalte und erste Zeile durch und rechnest: \[ +1~*~\begin{vmatrix}-2 & -1 \\ 6 & 3 \end{vmatrix} \]

Danach ist die 3 - mit dem Vorzeichen "Minus" - aus der zweiten Zeile dran: \[ -3~*~\begin{vmatrix}2 & 1 \\ 6 & 3 \end{vmatrix} \]

Der letzte Eintrag der Spalte ist 0: \[ +0~*~\begin{vmatrix}2 & 1 \\ -2 & -1 \end{vmatrix}~=~0 \]

Insgesamt steht für die eben berechnete Unterdeterminante der 3x3-Matrix: \[ +1~*~\begin{vmatrix}-2 & -1 \\ 6 & 3 \end{vmatrix}~-~3~*~\begin{vmatrix}2 & 1 \\ 6 & 3 \end{vmatrix} \]

Wie Du Determinante einer 2x2-Matrix mit Laplace berechnest, weißt Du hoffentlich schon...

Analog verarztest Du die zweite 3x3-Untermatrix: \[ -2~*~\begin{vmatrix}2 & 1 \\ -2 & -1 \end{vmatrix}~-~1~*~\begin{vmatrix}4 & 2 \\ -2 & -1 \end{vmatrix}~+~3~*~\begin{vmatrix}4 & 2 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} \]

Rechnest Du noch die entstandenen 2x2-Unterdeterminanten der ersten und zweiten 3x3-Matrix aus und addierst alles zusammen, dann steht da: \[ 1*[1*(-6 - (-6)) - 3*(6 - 6)] + 2*[-2*(-2 - (-2)) - 1*(-4 - (-4)) + 3*(4 - 4)] ~=~ 0 \]

Die Determinante der 4x4 Ausgangsmatrix ist also Null.