Gradient und wie Du die Richtungsableitung berechnest

2d-Gradient einer skalaren Funktion

\nabla \varphi(x,y) ~=~ \begin{bmatrix} \frac{ \partial \varphi}{ \partial x} \\ \frac{ \partial \varphi}{ \partial y} \end{bmatrix}

Gradient einer quadratischen Beispielfunktion

\nabla \varphi(x,y) ~=~ \begin{bmatrix} 2x+5y \\ 5x \end{bmatrix}

So sieht das Gradientenfeld der Beispielfunktion aus.

Gradient ist konstant

\nabla \varphi(x) ~=~ \begin{bmatrix} \frac{ \partial \varphi}{ \partial x} \\ \frac{ \partial \varphi}{ \partial y} \end{bmatrix} ~=~ \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}

Das Gradientenfeld der Beispielfunktion ist ein homogenes Vektorfeld.

Gradient ist linear

\nabla \varphi(x) ~=~ \begin{bmatrix} \frac{ \partial \varphi}{ \partial x} \\ \frac{ \partial \varphi}{ \partial y} \end{bmatrix} ~=~ \begin{bmatrix} 2x \\ 0 \end{bmatrix}

Das Gradientenfeld der Beispielfunktion nimmt linear mit $x$ zu.

Übungen mit Lösungen

Nutze diese Formelsammlung, wenn du Probleme mit Physikaufgaben hast.

Aufgabe #1: Gradient vom Betrag $r$ eines Ortsvektors

Gegeben ist Betrag eines Ortsvektors |$ \boldsymbol{r} $| = $ \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} $. Bestimme den Gradienten von |$ \boldsymbol{r} $|

Lösung zur Aufgabe #1

Betrag des Ortsvektors ist eine skalare Funktion. Wende darauf den Nabla-Operator an, d.h. leite Funktion |$ \boldsymbol{r} $| nach jeder Ortskomponente ($x,y,z$) ab: \[ \boldsymbol{\nabla}{|\boldsymbol{r}|}\left(x,y,z \right) ~=~ \left[ \frac{ \partial{|\boldsymbol{r}|} }{ \partial{x} }, \frac{ \partial{|\boldsymbol{r}|} }{ \partial{y} }, \frac{ \partial{|\boldsymbol{r}|} }{ \partial{z} } \right] \]

Rechne jede Komponente aus, dann bekommst Du:

1.Komponente: 2 \[ \frac{ \partial }{ \partial{x} } \, \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} ~=~ \frac{1}{2}\frac{2x}{ \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} } \]
2.Komponente: 3 \[ \frac{ \partial }{ \partial{y} } \, \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} ~=~ \frac{1}{2}\frac{2y}{ \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} } \]
3.Komponente: 4 \[ \frac{ \partial }{ \partial{z} } \, \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} ~=~ \frac{1}{2}\frac{2z}{ \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} } \]

2 und $ \frac{1}{2} $ kürzen sich weg. Am Ende steht folgendes Vektorfeld (wobei $ \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} $ ausgeklammert wurde): 5 \[ \boldsymbol{\nabla}{|\boldsymbol{r}|}\left(x,y,z \right) ~=~ \frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}} \left( x, y, z \right) \]

Dabei ist ($x,y,z$) ein Ortsvektor $\boldsymbol{r}$. Insgesamt ist der Gradient also: 6 \[ \frac{\boldsymbol{r}}{|\boldsymbol{r}|} := \boldsymbol{\hat{r}} \]

Das Ergebnis ist also ein Einheitsvektor $ \boldsymbol{\hat{r}} $ in Richtung $ \boldsymbol{r} $.

Aufgabe #2: Gradient von 1/r und 1/|r-r'| berechnen

In der Physik treten Gradienten wie $ \boldsymbol{\nabla}\frac{1}{r} $ und $ \boldsymbol{\nabla}\frac{1}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'|} $ (z.B. im elektrostatischen Potential) oft auf. Berechne die beiden Gradienten!

Berechne den Gradienten von $ \frac{1}{r} $.
Berechne den Gradienten von $ \frac{1}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'|} $

Lösung zur Aufgabe #2.1

Allgemein lautet der Gradient für $ \frac{1}{r} $: \[ \nabla \, \frac{1}{r} (x,y,z) ~=~ \left[ \frac{ \partial{r^{-1}} }{ \partial{x} }, \frac{ \partial{r^{-1}} }{ \partial{y} }, \frac{ \partial{r^{-1}} }{ \partial{z} } \right] \]

Der Betrag $ r $ ist im dreidimensionalen Fall: \[ r ~=~ \sqrt{ x^2 ~+~ y^2 ~+~ z^2 } \]

Leite $ \frac{1}{r} $ nach allen 3 Variablen partiell ab:

1. Komponente: \[ \frac{\partial \, r^{-1}}{\partial \, x} ~=~ -\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{-3/2} \, x \]
2. Komponente: \[ \frac{\partial \, r^{-1}}{\partial \, y} ~=~ -\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{-3/2} \, y \]
3. Komponente: \[ \frac{\partial \, r^{-1}}{\partial \, z} ~=~ -\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{-3/2} \, z \]

Damit ergibt sich der Gradient von $ \frac{1}{r} $, wobei $ \left(x,y,z\right) $ ausgeklammert wurde und $ \left(x,y,z\right) ~=~ \boldsymbol{r} $ ist: \[ \nabla \, \frac{1}{r} ~=~ -\frac{\boldsymbol{r}}{ \left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{3/2} } ~=~ -\frac{\boldsymbol{r}}{r^{3}} \]

Lösung zur Aufgabe #2.2

Um den Gradient von $ \frac{1}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'|} $ zu berechnen, musst Du erstmal herausfinden, ob der Gradient auf $ \boldsymbol{r} $ oder $ \boldsymbol{r}'$ wirkt. Wenn nichts dazu angegeben ist, wie z.B. durch Notation $ \nabla_{r'} $, dann bezieht sich Nabla $ \nabla $ auf $ \boldsymbol{r} $.

Das Ziel ist es also folgende drei Ableitungen zu berechnen: \[ \nabla \, \frac{1}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'|} ~=~ \left[\begin{array}{c} \frac{\partial}{\partial x} |\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'|^{-1} \\ \frac{\partial}{\partial y} |\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'|^{-1} \\ \frac{\partial}{\partial z} |\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'|^{-1} \end{array}\right] \]

Mit $ \boldsymbol{r}(x,y,z) $ und $ \boldsymbol{r}'(x',y',z') $ ist: \[ \frac{1}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'|} ~=~ ((x-x')^2 ~+~ (y-y')^2 ~+~ (z-z')^2 )^{-\frac{1}{2}} \]

Die 1. Komponente ist die Ableitung nach $ x $ (denke an die äußere und innere Ableitung dabei): \[ \frac{\partial}{\partial x} \left( (x-x')^2 ~+~ (y-y')^2 ~+~ (z-z')^2 \right)^{-1/2} ~=~ -\frac{1}{2} \cdot \left( (x-x')^2 ~+~ (y-y')^2 ~+~ (z-z')^2 \right)^{-3/2} \cdot 2(x-x') \]

Die 2 kürzt sich weg und der Ausdruck lässt sich etwas schöner aufschreiben: \[ \frac{\partial}{\partial x}|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'|^{-1} ~=~ -\frac{x-x'}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'|^3} \]

Analog gehst Du mit der 2. und 3. Komponenten vor: \[ \frac{\partial}{\partial y}|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'|^{-1} ~=~ -\frac{y-y'}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'|^3} \] \[ \frac{\partial}{\partial z}|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'|^{-1} ~=~ -\frac{z-z'}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'|^3} \]

Das Ergebnis ist also: \[ \nabla \, \frac{1}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'|} ~=~ -\frac{1}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'|^3} \left(\begin{array}{c} x-x' \\ y-y' \\ z-z' \end{array}\right) ~=~ -\frac{\boldsymbol{r} - \boldsymbol{r}'}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'|^3} \]

Aufgabe #3: Richtungsableitung von der Betragsfunktion

Gegeben ist die folgende Betragsfunktion: $$|\boldsymbol{r}| ~=~ r ~=~ \sqrt{ x^2 ~+~ y^2 ~+~ z^2 }$$

Bestimme die Steigung am Ort [1,0,1] in Richtung $ \boldsymbol{v} $ = [2,2,1].

Lösung zur Aufgabe #3

Um die Steigung (Ableitung) der Funktion |$ \boldsymbol{r} $| an einem bestimmten Ort in gewisse Richtung zu berechnen, bedienst Du Dich folgender Formel für Richtungsableitung: \[ \frac{ \partial{|\boldsymbol{r}|} }{ \partial{\boldsymbol{v}_n} } ~=~ \boldsymbol{\nabla} \, |\boldsymbol{r}| ~\cdot~ \boldsymbol{v}_n \] wobei der Richtungsvektor $ \boldsymbol{v} $ normiert sein muss! Also: $ \boldsymbol{v}_n ~=~ \frac{1}{3} [2,2,1] $.

Den Gradienten von |$ \boldsymbol{r} $| hast Du in der Aufgabe #1 bereits berechnet: \[ \boldsymbol{\nabla} \, |\boldsymbol{r}| ~=~ \frac{1}{ \sqrt{x^2 ~+~ y^2 ~+~ z^2} } [x,y,z] \]

Setze in den Gradienten den Ort [1,0,1] ein, an dem Du die Richtungsableitung bestimmen willst: \[ \boldsymbol{\nabla} \, |\boldsymbol{r}| ~=~ \frac{1}{\sqrt{2}} [1,0,1] \]

Multipliziere den Gradientenvektor anschließend mit der Richtung in die Du die Steigung berechnen willst: \[ \frac{ \partial{|\boldsymbol{r}|} }{ \partial{\boldsymbol{v}_{n}} } ~=~ \frac{1}{\sqrt{2}}[1,0,1] ~\cdot~ \frac{1}{3} [2,2,1] \]

Das ergibt eine Steitung: \[ \frac{ \partial{|\boldsymbol{r}|} }{ \partial{\boldsymbol{v}_n} } ~=~ \frac{1}{\sqrt{2}} \]