Ich heiße Alexander FufaeV und hier schreibe ich über:

Gradient und wie Du die Richtungsableitung berechnest

Inhaltsverzeichnis

Notwendige Zutat: Skalarfunktion Hier lernst du, was skalare Funktionen sind und welche Rolle sie bei der Bildung des Gradienten spielen.
Gradient in einer Dimension Hier lernst du, dass der Gradient in 1d einfach eine partielle Ableitung ist.
Gradient in zwei Dimensionen Hier lernst du, wie Ableitungen in einer Dimension zu einer mehrdimensionalen Ableitung gemacht werden und welche Rolle dabei der Nabla-Operator spielt.
Gradient in drei Dimensionen
Gradient zeigt zum steilsten Anstieg Hier lernst du, wie mithilfe der Richtungsableitung nachvollzogen werden kann, warum der Gradientenvektor in Richtung des steilsten Anstiegs zeigt.
Richtungsableitung in 4 Schritten berechnen Hier lernst du, wie mit einem Gradienten die Richtung des steilsten Anstiegs bestimmt werden kann.
Übungen mit Lösungen

Der Gradient einer Skalarfunktion $f$ ist eine mehrdimensionale Ableitung der Funktion $f$. Im dreidimensionalen Fall bekommst du den Gradienten, wenn du den Nabla-Operator $\nabla$ auf die Skalarfunktion $f$ anwendest. Du wirst nach der Lektion verstehen, was damit gemeint ist.

Notwendige Zutat: Skalarfunktion

Eine dreidimensionale Skalarfunktion $f$ nimmt drei Argumente $x$, $y$ und $z$ an und spuckt eine Zahl (einen Skalar) heraus.

Die drei Variablen $x,y,z$ sind in der Physik üblicherweise Ortskoordinaten. Im Allgemeinen müssen sie nicht unbedingt Orte sein, sie können auch andere Größen repräsentieren, wie zum Beispiel radialen Abstand und zwei Winkel: $r,\theta,\varphi$. Wir nehmen hier zur Erklärung des Gradienten an, dass $x,y,z$ Ortskoordinaten darstellen.

Die Funktion $f(x,y,z)$ weist jedem Ort $(x,y,z)$ im Raum eine Zahl zu. Zum Beispiel könnte $f(x,y,z)$ eine Temperaturfunktion $T(x,y,z)$ sein, die jedem Ort im Raum eine Temperatur $T(x,y,z)$ zuweist.

Beispiel: Temperaturverteilung im Raum

Die Temperatur im Raum wird beispielhaft durch die folgende Funktion beschrieben:

$$ \begin{align} T(x,y,z) ~=~ y + z + 5 \end{align} $$

Dann ist zum Beispiel die Temperatur $T$ am Ort $(x,y,z) = (1,2,5)$:

$$ \begin{align} T(1,2,5) ~=~ 2 + 5 + 5 ~=~ 12 \end{align} $$

Das könnten dann beispielsweise 12 Grad Celsius sein. Am Ort $(x,y,z) = (0,0,0)$ ist die Temperatur dagegen:

$$ \begin{align} T(0,0,0) ~=~ 0 + 0 + 5 ~=~ 5 \end{align} $$

An diesem Beispiel siehst du außerdem, dass eine Funktion, wie 1, nicht explizit von $x$ (oder von $y$ oder $z$) abhängen muss, die Skalarfunktion kann aber trotzdem höherdimensional sein. Indem wir $x,y,z$ im Argument von $T(x,y,z)$ schreiben, deuten wir an, dass es eine dreidimensionale Skalarfunktion ist.

Um eine Skalarfunktion $ f $ besser veranschaulichen zu können, nehmen wir an, dass sie von zwei Ortskoordinaten $(x,y)$ abhängt, also zweidimensional ist. Dann kannst du dir $ f(x,y) $ wie eine gekrümmte Fläche mit Bergen und Tälern vorstellen (quasi als eine Landschaft).

Beispiel für eine Skalarfunktion $f(x,y)$ mit Bergen und Tälern.

Gradient in einer Dimension

Du befindest dich an irgendeinem Ort $(x,y)$ auf dieser Landschaft (Funktion) und möchtest wissen, wie groß die Steigung wäre, wenn du beispielsweise in $x$-Richtung gehst. Die Steigung in $x$-Richtung ist die Ableitung der Funktion nach $x$:

$$ \begin{align} \frac{\partial f(x,y)}{\partial x} \end{align} $$

Wie finden wir die Steigung von der Landschaft $f(x,y)$ heraus, wenn wir in $y$-Richtung gehen? Wir leiten $f(x,y)$ nach $y$ ab und bekommen die Steigung in $y$-Richtung:

$$ \begin{align} \frac{\partial f(x,y)}{\partial y} \end{align} $$

Je nach dem, an welchem Ort $(x,y)$ wir sind, sind die Steigungen 2 und 3 natürlich unterschiedlich groß:

Auf dem Berg geht es in $x$ und $y$-Richtungen eher bergab - das heißt, dass beide Steigungen negativ sind und eher groß.
In einem Tal geht es bergauf - das heißt, dass beide Steigungen positiv sind und eher groß.
Und in einem Plateau ist die Landschaft flach - das heißt, dass die Steigungen in beide Richtungen Null sind.

Beispiel: Steigung in $x$-Richtung

Gegeben ist eine Landschaft, die durch die folgende Skalarfunktion beschrieben wird:

$$ \begin{align} f(x,y)~=~ x^2 + 3y \end{align} $$

Wir möchten wissen, wie steil ist es, wenn wir in $x$-Richtung gehen. Dazu bestimmen wir die Ableitung nach $x$:

$$ \begin{align} \frac{\partial f(x,y)}{\partial x} ~=~ 2x \end{align} $$

Die berechnete Steigung 7 in $x$-Richtung steigt also linear mit $x$ an und ist unabhängig an welchem Ort $y$ wir uns befinden. Wenn wir die Steigung am Ort $(x,y) = (2,1)$ bestimmen wollen, setzen wir diesen Ort in 7 ein:

$$ \begin{align} \frac{\partial f(2,1)}{\partial x} ~=~ 4 \end{align} $$

Was ist der Gradient in einer Dimension?

Der Gradient einer Funktion $f(x)$ in einer Dimension, ist die Ableitung von $f$ nach $x$. In einer Dimension ist der Gradient eine reine Zahl, nämlich die Steigung in $x$-Richtung.

Gradient in zwei Dimensionen

Was ist, wenn wir nicht nur die Steigung in $x$-Richtung, sondern auch in $y$-Richtung betrachten wollen? Dann müssen wir zwei Ableitungen der Funktion $f(x,y)$ betrachten:

$$ \begin{align} \frac{\partial f(x,y)}{\partial x} ~~~~~~ \frac{\partial f(x,y)}{\partial y} \end{align} $$

Wir können die Ableitungen separat betrachten oder wir können sie kombinieren, um daraus ein neues mathematisch Objekt zu schaffen, das in Physik und Mathematik nicht mehr wegzudenken ist, nämlich den Gradient in mehr als einer Dimension. In unserem Fall hier: In zwei Dimensionen.

Dazu schreiben wir die beiden Ableitungen 9 in einem Spaltenvektor auf:

$$ \begin{align} \begin{bmatrix} \frac{\partial f(x,y)}{\partial x} \\ \frac{\partial f(x,y)}{\partial y} \end{bmatrix} ~=~ \begin{bmatrix} \frac{\partial f}{\partial x} \\ \frac{\partial f}{\partial y} \end{bmatrix} \end{align} $$

Um 10 etwas kompakter zu halten, lassen wir $(x,y)$ Abhängigkeit weg, denken aber im Hinterkopf daran, dass $f$ trotzdem von $x$ und $y$ abhängen kann.

Indem wir die Ableitung in einer Spalte übereinander geschrieben haben, haben wir dadurch eine Vektorfunktion (auch Vektorfeld genannt) erhalten. Dieser Vektor hat einen Betrag und eine Richtung. Doch bevor wir uns anschauen, in welche Richtung der zweidimensionale Gradient 10 zeigt, schreiben wir ihn etwas um. Dazu ziehen wir die Funktion $f$ aus dem Vektor heraus:

$$ \begin{align} \begin{bmatrix} \frac{\partial f}{\partial x} \\ \frac{\partial f}{\partial y} \end{bmatrix} ~=~ \begin{bmatrix} \frac{\partial}{\partial x} \\ \frac{\partial}{\partial y} \end{bmatrix} \, f \end{align} $$

Der Vektor in Gl. 11 mit alleinstehenden Ableitungen ist ein sogenannter Operator. Alleinstehend macht ein derartiger Operator natürlich wenig Sinn. Ein Operator entfaltet erst dann seine Wirkung, wenn er auf eine Funktion angewendet wird, wie in diesem Fall auf die Skalarfunkion $f$. Dieser Operator in 11 wird als Nabla-Operator $\nabla$ bezeichnet:

$$ \begin{align} \nabla ~=~ \begin{bmatrix} \frac{ \partial }{ \partial{x} } \\ \frac{ \partial }{ \partial{y} } \end{bmatrix} \end{align} $$

Damit können wir den zwedimensionalen Gradient 11 auch folgendermaßen schreiben:

$$ \begin{align} \nabla \, f ~=~ \begin{bmatrix} \frac{ \partial f }{ \partial{x} } \\ \frac{ \partial f }{ \partial{y} } \end{bmatrix} \end{align} $$

Da der Gradient 13 ein Vektor (genauer: ein Vektorfeld) ist, wird er auch als Gradientenvektor oder Gradientenfeld bezeichnet.

Gradient in drei Dimensionen

In der Physik, die unsere dreidimensionale Welt beschreibt, ist der Gradient üblicherweise auch dreidimensional und sieht folgendermaßen aus:

$$ \begin{align} \nabla f ~=~ \begin{bmatrix} \frac{\partial f}{ \partial x} \\ \frac{ \partial f}{\partial y} \\ \frac{ \partial f}{ \partial z} \end{bmatrix} \end{align} $$

Hier haben wir lediglich die Funktion $f$ um die $z$-Abhängigkeit ergänzt und die Ableitung von $f$ nach $z$ als die dritte Komponente im Gradienten hinzugenommen.

Beispiel #1: Gradient einer Skalarfunktion

Gegeben ist eine zweidimensionale, skalare Funktion $ \varphi(x,y) = x^2 + 5xy $. Mit 'zweidimensional' ist gemeint, dass die Funktion nicht wie üblich von drei Ortskoordinaten $x,y,z$ abhängt, sondern nur von zwei $x,y$ und das diese nur in einer Ebene visualisiert wird. Auf diese Weise kann der Gradient - wie in der Abbildung - leichter veranschaulicht werden, weil das Ergebnis der Gradientenbildung in einer Ebene liegt (2d). Der Nabla-Operator kann also wegen der zweidimensionalität der Skalarfunktion auf zwei Komponenten reduziert werden:

$$ \begin{align} \nabla \varphi(x,y) ~=~ \begin{bmatrix} \frac{ \partial \varphi}{ \partial x} \\ \frac{ \partial \varphi}{ \partial y} \end{bmatrix} \end{align} $$

Ableiten der Skalarfunktion nach den jeweiligen Variablen ergibt folgendes Gradientenfeld:

$$ \begin{align} \nabla \varphi(x,y) ~=~ \begin{bmatrix} 2x+5y \\ 5x \end{bmatrix} \end{align} $$

So sieht das Gradientenfeld der Beispielfunktion aus.

Beispiel #2: Homogenes Gradientenfeld

Gegeben ist eine skalare Funktion $ \varphi(x) = x $, die nur von einer Ortskoordinate $x$ abhängt. Bilde den Gradienten:

$$ \begin{align} \nabla \varphi(x) ~=~ \begin{bmatrix} \frac{ \partial \varphi}{ \partial x} \\ \frac{ \partial \varphi}{ \partial y} \end{bmatrix} ~=~ \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} \end{align} $$

Das Gradientenfeld der Beispielfunktion ist ein homogenes Vektorfeld.

Das Vektorfeld ist an jedem Ort konstant ist, weil die Ableitung der obigen Skalarfunktion nach $x$ eine Konstante ergibt. Das Vektorfeld hat auch keinen Beitrag in $y$-Richtung, weil die Skalarfunktion nicht von $y$ abhängt und die Ableitung nach $y$ Null ist.

Beispiel #3: Lineares Gradientenfeld

Gegeben ist eine skalare Funktion $ \varphi(x) = x^2 $, die nur von der Koordinate $x$ abhängt. Bilde den Gradienten:

$$ \begin{align} \nabla \varphi(x) ~=~ \begin{bmatrix} \frac{ \partial \varphi}{ \partial x} \\ \frac{ \partial \varphi}{ \partial y} \end{bmatrix} ~=~ \begin{bmatrix} 2x \\ 0 \end{bmatrix} \end{align} $$

Das Gradientenfeld der Beispielfunktion nimmt linear mit $x$ zu.

Das Vektorfeld nimmt in $x$-Richtung linear zu. Das Vektorfeld hat wie im Beispiel #2 keinen Beitrag in $y$-Richtung.

Gradient zeigt zum steilsten Anstieg

Um zu verstehen, warum der Gradientenvektor $ \nabla f $ in Richtung des steilsten Anstiegs zeigt, nutzen wir die sogenannte Richtungsableitung aus. Dazu nehmen wir einen Einheitsvektor $\boldsymbol{v}$, der in irgendeine beliebige Richtung zeigt. Wichtig ist nur, dass er ein Einheitsvektor ist, also normiert ist.

Denk dran, dass der Betrag $ |\nabla f| $ eine Konstante ist, die wir nicht verändern können. Warum nicht? Weil $f$ fest vorgegeben ist. Wie schon gesagt, du kannst dir die Funktion $f$ wie eine Landschaft vorstellen, mit Hügeln und Tälern. Auf dieser Fläche befindet sich der Einheitsvektor $ \boldsymbol{v} $, dessen Richtung wir verändern und damit die Landschaft $f$ abtasten können.

Die Steigung des Schattens von $ \boldsymbol{v} $ auf der Ebene, bekommen wir mithilfe des folgenden Skalarprodukts:

$$ \begin{align} \nabla{f} ~\cdot~ \boldsymbol{ v } \end{align} $$

Das Skalarprodukt 19 ist die Richtungsableitung der Funktion $f$ in Richtung von $\boldsymbol{ v }$.

Das Ergebnis dieses Skalarprodukts ist eine reine Zahl, nämlich die Steigung in die Richtung von $\boldsymbol{ v }$. Wenn du beispielsweise $\boldsymbol{ v }$ als Einheitsvektor in $x$-Richtung wählst: $\boldsymbol{ v } = \boldsymbol{\hat e}_{\text x}$ , dann gibt das Skalarprodukt 19 die Steigung in $x$-Richtung an.

Die Frage ist, warum gibt 19 den steilsten Anstieg an? Wir können herumprobieren und verschiedene Einheitsvektoren $\boldsymbol{ v }$ in das Skalarprodukt 19 einsetzen. Den steilsten Anstieg hat derjenige Einheitsvektor $\boldsymbol{ v }$, der das größte Skalarprodukt 19 ergibt.

Statt mühselig alle denkbaren Einheitsvektor in 19 einzusetzen, gibt es einen raffinierteren Weg, die maximale Steigung in Richtung von $\boldsymbol{ v }$ herauszufinden. Dazu müssen wir das Skalarprodukt 19 etwas umschreiben. Dazu benutzen wir die geometrische Definition des Skalarproduktes:

Skalarprodukt mittels Winkel.

$$ \begin{align} \boldsymbol{a} ~\cdot~ \boldsymbol{b} ~=~ a \, b \, \cos(\theta) \end{align} $$

Damit können wir die Richtungsableitung 19 folgendermaßen schreiben:

$$ \begin{align} \nabla f ~\cdot~ \boldsymbol{v} ~=~ |\nabla f| \, v \, \cos(\theta) \end{align} $$

Hierbei ist das nicht-fett markierte $v$ der Betrag des Vektors $\boldsymbol{v}$. Jetzt ist es deutlich einfacher die maximale Steigung in Richtung von $\boldsymbol{ v }$ zu bestimmen. Wir haben angenommen, dass der Vektor $ \boldsymbol{v} $ normiert ist. Wenn er normiert ist, dann hat er den Betrag: $ v = 1$. Damit wird Gl. 21 zu:

$$ \begin{align} \nabla f ~\cdot~ \boldsymbol{v} ~=~ |\nabla f| \, \cos(\theta) \end{align} $$

Soweit so gut. Die einzige Möglichkeit, wie wir die Steigung variieren können, ist durch den Winkel $\theta$, der von den Vektoren $\nabla f$ und $\boldsymbol{v}$ eingeschlossen wird. Der Cosinus in Gl. 22 hat seinen größten Wert bei $\theta=0$: $ \cos(0) ~=~ 1 $. Setzen wir also $\theta=0$, um die größte Steigung zu bekommen:

$$ \begin{align} \nabla f ~\cdot~ \boldsymbol{v} ~=~ |\nabla f| \end{align} $$

Indem wir $\theta=0$ gesetzt haben, haben wir die Vektoren $ \nabla \, f $ und $ \boldsymbol{v} $ parallel zueinander ausgerichtet (siehe Illustration 5). Das heißt: Jetzt zeigt Vektor $ \boldsymbol{v} $ in die gleiche Richtung wie Vektor $ \nabla \, f $. Außerdem haben wir das Skalarprodukt 21, also die Steigung, maximal wie möglich gemacht. Und wie du in 21 siehst: Die maximale Steigung ist der Betrag $|\nabla f|$ des Gradientenvektors. Folglich zeigt der Gradientenvektor $\nabla f$ in Richtung größter Steigung!

Richtungsableitung in 4 Schritten berechnen

Wenn Du nicht die Richtung des steilsten Anstiegs 23 berechnen möchtest, sondern den Anstieg in eine beliebige Richtung $\boldsymbol{v}$, dann musst du folgenden Ausdruck berechnen:

$$ \begin{align} \nabla{f} ~\cdot~ \frac{\boldsymbol v}{v} \end{align} $$

Hierbei nehmen wir nicht mehr an, dass der Vektor $\boldsymbol{v}$ normiert sein muss. Daher müssen wir diesen stets normieren, indem wir durch den Betrag $|\boldsymbol{v}| =: v $ des Vektors teilen. Befolge folgenden 4 Schritte, um die Richtungsableitung in eine beliebige Richtung zu berechnen:

Berechne den Gradienten $ \nabla f $ einer gegebenen, skalaren Funktion $ f $.
Normiere den Vektor $ \boldsymbol{ v } $, in dem Du ihn durch seinen Betrag teilst: $ \boldsymbol{ v } / v $.
Bilde das Skalarprodukt zwischen dem Gradienten $ \nabla f $ und dem normierten Vektor $\boldsymbol{v}/v$.
Setze für die Variablen $ x, y, z $ konkrete Werte ein. Damit legst du den konkreten Ort $ (x, y, z) $ fest, an dem Du die Steigung in Richtung von $ \boldsymbol{v} $ berechnen möchtest.

Beispiel: Richtungsableitung berechnen

Du möchtest herausfinden, wie sich die folgende Funktion in Richtung $ \boldsymbol{ v } = (1,1,0) $ am Ort $ (0,1,0) $ ändert:

$$ \begin{align} f(x,y,z) ~=~ 2x^2 + 3y + xz \end{align} $$

Schritt #1: Berechne den Gradienten $ \nabla f $. Dazu leitest Du die gegebene Skalarfunktion 25 partiell nach jeder Ortskoordinate $x,y,z$ ab. Die Ableitungen stellen dann die drei Komponenten des Gradientenfeldes $ \nabla f $ dar:

$$ \begin{align} \nabla f ~=~ \begin{bmatrix} 4x+z \\ 3 \\ x \end{bmatrix} \end{align} $$

Schritt #2: Normiere den Vektor $ \boldsymbol{v} $, in dem Du den Vektor durch seinen Betrag $v $ dividierst:

$$ \begin{align} \frac{ \boldsymbol{ v } }{ v } ~=~ \frac{1}{\sqrt{1^2 + 1^2}} \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} ~=~ \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} \end{align} $$

Schritt #3: Anschließend berechnest Du die Richtungsableitung, in dem Du das Skalarprodukt zwischen dem Gradienten 26 und dem Einheitsvektor 27 bildest:

$$ \begin{align} \nabla{f} ~\cdot~ \frac{\boldsymbol v}{v} ~&=~ \begin{bmatrix} 4x+z \\ 3 \\ x \end{bmatrix} ~\cdot~ \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} \\\\
~&=~ \frac{1}{\sqrt{2}}(4x+z+3) \end{align} $$

Schritt #4: Setze den gewünschten konkreten Punkt $ (0,1,0) $ für $x,y,z$ in 28 ein, um an diesem Ort die Steigung in Richtung von $\boldsymbol{v}$ herauszufinden:

$$ \begin{align} \nabla{f} ~\cdot~ \frac{\boldsymbol v}{v} ~&=~ \frac{1}{\sqrt{2}}(4\cdot0+0+3) \\\\
~&=~ \frac{3}{\sqrt{2}} \end{align} $$

Übungen mit Lösungen

Nutze diese Formelsammlung, wenn du Probleme mit Physikaufgaben hast.

Aufgabe #1: Gradient vom Betrag $r$ eines Ortsvektors

Gegeben ist Betrag eines Ortsvektors |$ \boldsymbol{r} $| = $ \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} $. Bestimme den Gradienten von |$ \boldsymbol{r} $|

Lösung zur Aufgabe #1

Betrag des Ortsvektors ist eine skalare Funktion. Wende darauf den Nabla-Operator an, d.h. leite Funktion |$ \boldsymbol{r} $| nach jeder Ortskomponente ($x,y,z$) ab: \[ \boldsymbol{\nabla}{|\boldsymbol{r}|}\left(x,y,z \right) ~=~ \left[ \frac{ \partial{|\boldsymbol{r}|} }{ \partial{x} }, \frac{ \partial{|\boldsymbol{r}|} }{ \partial{y} }, \frac{ \partial{|\boldsymbol{r}|} }{ \partial{z} } \right] \]

Rechne jede Komponente aus, dann bekommst Du:

1.Komponente: 2 \[ \frac{ \partial }{ \partial{x} } \, \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} ~=~ \frac{1}{2}\frac{2x}{ \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} } \]
2.Komponente: 3 \[ \frac{ \partial }{ \partial{y} } \, \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} ~=~ \frac{1}{2}\frac{2y}{ \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} } \]
3.Komponente: 4 \[ \frac{ \partial }{ \partial{z} } \, \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} ~=~ \frac{1}{2}\frac{2z}{ \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} } \]

2 und $ \frac{1}{2} $ kürzen sich weg. Am Ende steht folgendes Vektorfeld (wobei $ \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} $ ausgeklammert wurde): 5 \[ \boldsymbol{\nabla}{|\boldsymbol{r}|}\left(x,y,z \right) ~=~ \frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}} \left( x, y, z \right) \]

Dabei ist ($x,y,z$) ein Ortsvektor $\boldsymbol{r}$. Insgesamt ist der Gradient also: 6 \[ \frac{\boldsymbol{r}}{|\boldsymbol{r}|} := \boldsymbol{\hat{r}} \]

Das Ergebnis ist also ein Einheitsvektor $ \boldsymbol{\hat{r}} $ in Richtung $ \boldsymbol{r} $.

Aufgabe #2: Gradient von 1/r und 1/|r-r'| berechnen

In der Physik treten Gradienten wie $ \boldsymbol{\nabla}\frac{1}{r} $ und $ \boldsymbol{\nabla}\frac{1}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'|} $ (z.B. im elektrostatischen Potential) oft auf. Berechne die beiden Gradienten!

Berechne den Gradienten von $ \frac{1}{r} $.
Berechne den Gradienten von $ \frac{1}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'|} $

Lösung zur Aufgabe #2.1

Allgemein lautet der Gradient für $ \frac{1}{r} $: \[ \nabla \, \frac{1}{r} (x,y,z) ~=~ \left[ \frac{ \partial{r^{-1}} }{ \partial{x} }, \frac{ \partial{r^{-1}} }{ \partial{y} }, \frac{ \partial{r^{-1}} }{ \partial{z} } \right] \]

Der Betrag $ r $ ist im dreidimensionalen Fall: \[ r ~=~ \sqrt{ x^2 ~+~ y^2 ~+~ z^2 } \]

Leite $ \frac{1}{r} $ nach allen 3 Variablen partiell ab:

1. Komponente: \[ \frac{\partial \, r^{-1}}{\partial \, x} ~=~ -\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{-3/2} \, x \]
2. Komponente: \[ \frac{\partial \, r^{-1}}{\partial \, y} ~=~ -\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{-3/2} \, y \]
3. Komponente: \[ \frac{\partial \, r^{-1}}{\partial \, z} ~=~ -\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{-3/2} \, z \]

Damit ergibt sich der Gradient von $ \frac{1}{r} $, wobei $ \left(x,y,z\right) $ ausgeklammert wurde und $ \left(x,y,z\right) ~=~ \boldsymbol{r} $ ist: \[ \nabla \, \frac{1}{r} ~=~ -\frac{\boldsymbol{r}}{ \left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{3/2} } ~=~ -\frac{\boldsymbol{r}}{r^{3}} \]

Lösung zur Aufgabe #2.2

Um den Gradient von $ \frac{1}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'|} $ zu berechnen, musst Du erstmal herausfinden, ob der Gradient auf $ \boldsymbol{r} $ oder $ \boldsymbol{r}'$ wirkt. Wenn nichts dazu angegeben ist, wie z.B. durch Notation $ \nabla_{r'} $, dann bezieht sich Nabla $ \nabla $ auf $ \boldsymbol{r} $.

Das Ziel ist es also folgende drei Ableitungen zu berechnen: \[ \nabla \, \frac{1}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'|} ~=~ \left[\begin{array}{c} \frac{\partial}{\partial x} |\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'|^{-1} \\ \frac{\partial}{\partial y} |\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'|^{-1} \\ \frac{\partial}{\partial z} |\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'|^{-1} \end{array}\right] \]

Mit $ \boldsymbol{r}(x,y,z) $ und $ \boldsymbol{r}'(x',y',z') $ ist: \[ \frac{1}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'|} ~=~ ((x-x')^2 ~+~ (y-y')^2 ~+~ (z-z')^2 )^{-\frac{1}{2}} \]

Die 1. Komponente ist die Ableitung nach $ x $ (denke an die äußere und innere Ableitung dabei): \[ \frac{\partial}{\partial x} \left( (x-x')^2 ~+~ (y-y')^2 ~+~ (z-z')^2 \right)^{-1/2} ~=~ -\frac{1}{2} \cdot \left( (x-x')^2 ~+~ (y-y')^2 ~+~ (z-z')^2 \right)^{-3/2} \cdot 2(x-x') \]

Die 2 kürzt sich weg und der Ausdruck lässt sich etwas schöner aufschreiben: \[ \frac{\partial}{\partial x}|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'|^{-1} ~=~ -\frac{x-x'}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'|^3} \]

Analog gehst Du mit der 2. und 3. Komponenten vor: \[ \frac{\partial}{\partial y}|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'|^{-1} ~=~ -\frac{y-y'}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'|^3} \] \[ \frac{\partial}{\partial z}|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'|^{-1} ~=~ -\frac{z-z'}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'|^3} \]

Das Ergebnis ist also: \[ \nabla \, \frac{1}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'|} ~=~ -\frac{1}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'|^3} \left(\begin{array}{c} x-x' \\ y-y' \\ z-z' \end{array}\right) ~=~ -\frac{\boldsymbol{r} - \boldsymbol{r}'}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'|^3} \]

Aufgabe #3: Richtungsableitung von der Betragsfunktion

Gegeben ist die folgende Betragsfunktion: $$|\boldsymbol{r}| ~=~ r ~=~ \sqrt{ x^2 ~+~ y^2 ~+~ z^2 }$$

Bestimme die Steigung am Ort [1,0,1] in Richtung $ \boldsymbol{v} $ = [2,2,1].

Lösung zur Aufgabe #3

Um die Steigung (Ableitung) der Funktion |$ \boldsymbol{r} $| an einem bestimmten Ort in gewisse Richtung zu berechnen, bedienst Du Dich folgender Formel für Richtungsableitung: \[ \frac{ \partial{|\boldsymbol{r}|} }{ \partial{\boldsymbol{v}_n} } ~=~ \boldsymbol{\nabla} \, |\boldsymbol{r}| ~\cdot~ \boldsymbol{v}_n \] wobei der Richtungsvektor $ \boldsymbol{v} $ normiert sein muss! Also: $ \boldsymbol{v}_n ~=~ \frac{1}{3} [2,2,1] $.

Den Gradienten von |$ \boldsymbol{r} $| hast Du in der Aufgabe #1 bereits berechnet: \[ \boldsymbol{\nabla} \, |\boldsymbol{r}| ~=~ \frac{1}{ \sqrt{x^2 ~+~ y^2 ~+~ z^2} } [x,y,z] \]

Setze in den Gradienten den Ort [1,0,1] ein, an dem Du die Richtungsableitung bestimmen willst: \[ \boldsymbol{\nabla} \, |\boldsymbol{r}| ~=~ \frac{1}{\sqrt{2}} [1,0,1] \]

Multipliziere den Gradientenvektor anschließend mit der Richtung in die Du die Steigung berechnen willst: \[ \frac{ \partial{|\boldsymbol{r}|} }{ \partial{\boldsymbol{v}_{n}} } ~=~ \frac{1}{\sqrt{2}}[1,0,1] ~\cdot~ \frac{1}{3} [2,2,1] \]

Das ergibt eine Steitung: \[ \frac{ \partial{|\boldsymbol{r}|} }{ \partial{\boldsymbol{v}_n} } ~=~ \frac{1}{\sqrt{2}} \]