Magnetischer Dipol im Magnetfeld
Wahrscheinlich kennst du bereits magnetische Dipole in Form eines Stabmagneten mit einem Nordpol und einem Südpol. Die magnetischen Feldlinien eines Stabmagneten verlaufen vom Nord- zum Südpol. Eine Kompassnadel, die im Magnetfeld des Stabmagneten platziert wird, richtet sich so aus, dass der Nordpol der Kompassnadel sich zum Südpol ausrichtet. Wird der Stabmagnet in zwei Hälften geteilt, so bilden sich bei bei den beiden ein Nord- und Südpol. Auch, wenn die erzeugten Stabmagnete hypotetisch weiter in zwei Hälften geteilt werden, so besitzten sie stets beide Pole.
Magnetisches Dipolmoment eines Kreisstroms
In der klassischen Elektrodynamik ist dieser winzige Stabmagnet eigentlich eine winzige stromdurchflossene Schleife. Ein kreisendes Elektron beispielsweise erzeugt so einen Kreisstrom, der als stromdurchflossene Schleife betrachtet werden kann. Eine bewegte Ladung erzeugt ein Magnetfeld. Ein Sammelsurium von solchen winzigen Kreisströmen richtet sich dann so aus, dass durch die gegenseitige Wechselwirkung der Stromschleifen, auf makroskopischer Ebene das Magnetfeld eines Stabmagneten entsteht. Es kann natürlich auch ein beliebig anders geformter Magnet sein.
Wo sich der Nord- bzw. Südpol der stromdurchflossenen Schleife befindet, kann mit der rechten Hand-Regel herausgefunden werden. Betrachte zum Beispiel eine kreisförmige Schleife, die von einem elektrischen Strom \(I\) durchflossen wird (technische Stromrichtung). Wird mit der rechten Hand die Schleife umschlossen, dann zeigt der ausgestreckte Daumen in Richtung des Südpols. Im Inneren der Schleife verlaufen die Magnetfeldlinien zum Südpol.
Der Kreisstrom umschließt einen Flächeninhalt \(A\). Diese Fläche wird repräsentiert durch einen Vektor \(\boldsymbol{A}\), der orthogonal auf der eingeschlossenen Fläche steht. Sein Betrag gibt den Flächeninhalt \(A\) der umschlossenen Fläche an und seine Richtung ist bestimmt durch die rechte-Hand-Regel.
Das Produkt des Stroms \(I\) mit dem Flächenorthogonalenvektor \(\boldsymbol{A}\) heißt magnetisches Dipolmoment \(\boldsymbol{\mu}\):
DIe Einheit des Dipolmoments ist: \([\mu] = \mathrm{A}\,\mathrm{m}^2 \). Das magnetische Dipolmoment zeigt in die gleiche Richtung wie der Flächenorthogonalenvektor \(\boldsymbol{A}\). Das Dipolmoment ist eine charakteristische Größe des magnetischen Dipols und es kommt wie du gleich sehen wirst, in wichtigen anderen Größen vor. Außerdem kommt es bei der Beschreibung von Para-, Dia- und Ferromagnetismus vor.
Dipol im externen Magnetfeld
Wird nun der magnetische Dipol in ein externes (erstmal homogenes) Magnetfeld \( \class{violet}{\boldsymbol{B}} \) gebracht, dann wechselwirkt der Dipol mit dem externen Magnetfeld. Der Dipol dreht sich. Warum sich der Dipol dreht, liegt an der Lorentzkraft (magnetische Kraft).
Betrachte dazu eine rechteckige Schleife in einem homogenen Magnetfeld. Die Schleife sei so aufgehängt, dass sie sich nur entlang einer Achse \(\text{C}\) drehen kann (siehe Illustration). In einem zu dieser Drehachse parallelen Leiterstück der Länge \(a\) fließt der Strom \(I\). Auf diesen stromdurchflossenen Leiter wirkt die Lorentzkraft \(\boldsymbol{F}\), deren Richtung mit der Drei-Finger-Regel bestimmt werden kann. In dem zweiten parallelen Leiterstück fließt der Strom in entgegengesetzte Richtung \(-I\), weshalb die Lorentzkraft ebenfalls entgegengesetzt wirkt.
Durch die entgegengesetzt wirkenden Kräfte auf beide Leiter, vollführt die rechteckige Schleife eine Drehung. Sobald das magnetische Dipolmoment \(\boldsymbol{\mu}\) in die gleiche Richtung zeigt wie das Magnetfeld \(\class{violet}{\boldsymbol{B}}\), dann hört die Schleife auf sich zu drehen, weil die Lorentzkraft jetzt an den Leiterstücken nach außen zieht.
Wenn das magnetische Dipolmoment \(\boldsymbol{\mu}\) in die entgegengesetzte Richtung zeigt wie das Magnetfeld \(\class{violet}{\boldsymbol{B}}\) (antiparallel), dann wirken die beiden Lorentzkräfte auf die Leiterstücke nach innen (in die Schleife hinein). Im perfekten Gleichgewicht würde sich die Schleife nicht drehen. Doch eine winzige Störung reicht schon aus, um die Schleife in Drehung zu versetzen, sodass sich \(\boldsymbol{\mu}\) und \(\class{violet}{\boldsymbol{B}}\) parallel ausrichten.
Ein magnetischer Dipol erfährt eine Drehung im homogenen externen Magnetfeld, bis das Dipolmoment und B-Feld parallel zueinander sind.
Drehmoment des Dipols
Die Drehung des Dipols erzeugt ein Drehmoment \(\boldsymbol{M}\). Das Drehmoment \(\boldsymbol{M}\) ist das Kreuzprodukt zwischen dem magnetischen Dipolmoment \(\boldsymbol{\mu}\) und dem externen Magnetfeld \(\class{violet}{\boldsymbol{B}}\). Damit ist \(\boldsymbol{M}\) aufgrund der Eigenschaft des Kreuzprodukts immer orthogonal zu \(\boldsymbol{\mu}\) und \(\class{violet}{\boldsymbol{B}}\).
Herleitung des Drehmoments. Der Betrag \(M\) des Drehmoments ist folglich:
Hierbei ist \(\varphi\) der von \(\mu\) und \(\class{violet}{B}\) eingeschlossene Winkel. Ist der Winkel \(\varphi = 0 \) (Dipolmoment und Magnetfeld sind parallel), dann verschwindet das Drehmoment. Auch bei \(\varphi = 180^{\circ} \) (Dipolmoment und Magnetfeld sind antiparallel) verschwindet das Drehmoment. Jedoch, wie bereits beschrieben, ist dies kein stabiles Gleichgewicht der Schleife im Magnetfeld. Bei \(\varphi = 90^{\circ} \) wird \(\sin(90^{\circ}) = 1\) und damit das Drehmoment maximal: \(\mu \, \class{violet}{B} \).
Potentielle Energie des Dipols
Die potentielle Energie \(W_{\mu}\) des magnetischen Dipols ist das Skalarprodukt zwischen dem Dipolmoment \(\boldsymbol{\mu}\) und dem externen Magnetfeld \(\class{violet}{\boldsymbol{B}}\).
Herleitung der potentiellen Energie eines magnetischen Dipols.
Sind \(\boldsymbol{\mu}\) und \(\class{violet}{\boldsymbol{B}}\) parallel zueinander ausgerichtet, dann ist die potentielle Energie minimal (der negativste Wert): \(-\mu \, \class{violet}{B}\). Genau deshalb kommt in der Gleichung ein Minus vor, um die potentielle Energie im stabilen Gleichgewicht zu minimieren. Diesen Zustand minimaler Energie versucht der Dipol durch Drehung im homogenen Magnetfeld zu erreichen.
Die maximale potentielle Energie dagegen hat der Dipol, wenn das Dipolmoment und das Magnetfeld antiparallel zueinander ausgerichtet sind. Dann ist das Skalarprodukt negativ, was insgesamt mit dem anderen Minus eine positive und maximale Energie des Dipols ergibt: \(\mu \, \class{violet}{B}\).
Die potentielle Energie des Dipols ist Null (aber nicht minimal!), wenn \(\boldsymbol{\mu}\) und \(\class{violet}{\boldsymbol{B}}\) orthogonal zueinander sind.
Ein auf den Winkel \(\varphi\) (zwischen \(\boldsymbol{\mu}\) und \(\class{violet}{\boldsymbol{B}}\)) ausgelenkter magnetischer Dipol hat nach Gl. 4
die folgende Energie:
Ohne Reibung bleibt die dem Dipol zugeführte Energie erhalten. Damit die Energie erhalten bleibt, muss der Dipol (wie bei einem ausgelenkten Pendel) um seine Gleichgewichtslage schwingen (\(\boldsymbol{\mu}\) und \(\class{violet}{\boldsymbol{B}}\) parallel). Im Fall der Reibung verliert der Dipol seine Energie und bleibt mit seinem Dipolmoment parallel zum Magnetfeld.
Ein magnetischer Dipol versucht in einem externen Magnetfeld seine potentielle Energie zu minimieren.
Kraft auf den Dipol
Die Kraft \(\boldsymbol{F}\) auf einen magnetischen Dipol ist der negative Gradient der potentiellen Energie:
Hierbei ist \(\nabla\) der Nabla-Operator, der die Ableitungen nach den Ortsvariablen enthält.
Unter der Annahme, dass \(\mu\) ortsunabhängig ist, kann die Kraft auf den Dipol auch folgendermaßen geschrieben werden:
Beachte, dass der Gradient eines Vektorfeldes: \(\nabla \class{violet}{\boldsymbol{B}}\) (im dreidimensionalen Fall) eine 3x3-Matrix ist. Diese Matrix gibt den Gradienten für jede Komponente \(\class{violet}{B}_{\text x}\), \(\class{violet}{B}_{\text y}\), \(\class{violet}{B}_{\text z}\) von \(\class{violet}{\boldsymbol{B}}\) an. Anschließend wird Vektor \(\boldsymbol{\mu}\) mit der Matrix multipliziert, was wieder einen Vektor ergibt. Dieser Vektor ist eine Kraft auf den magnetischen Dipol.
Ein homogenes Magnetfeld \(\class{violet}{\boldsymbol{B}}\) ist ortsunabhängig, weshalb der Gradient von \(\class{violet}{\boldsymbol{B}}\) (also Ortsableitungen) verschwinden: \( \nabla \class{violet}{\boldsymbol{B}} = 0 \). Damit verschwindet auch die Kraft auf den Dipol.
Ein magnetischer Dipol erfährt in einem externen homogenen Magnetfeld keine Kraft (aber sehr wohl eine Drehung).
In einem inhomogenen Magnetfeld dagegen ist \(\class{violet}{\boldsymbol{B}}\) ortsabhängig. Der Gradient \(\nabla \class{violet}{\boldsymbol{B}}\) ist NICHT Null und damit auch NICHT die Kraft. Da der Gradient in Richtung des steilsten Anstiegs des Magnetfeldes zeigt, zeigt die Kraft ebenfalls in Richtung, wo das Magnetfeld am meisten zunimmt.
Ein magnetischer Dipol bewegt sich in einem externen inhomogenen Magnetfeld, wo das B-Feld am größten ist und vollführt dabei eine Drehung, um seine potentielle Energie zu minimieren.
Atomarer magnetischer Dipol
In einem Hydrogenium-Atom (H-Atom) führt im Bohr-Atommodell das Elektron der Ladung \(q = -e \), der Masse \(m = m_{\text e}\) eine Kreisbewegung aus. Aufgrund dieser Kreisbewegung hat das Elektron sowohl ein Drehmoment (und damit auch einen Drehimpuls: \( \boldsymbol{L} = \boldsymbol{r} \times \boldsymbol{p} \) ) als auch ein magnetisches Dipolmoment. Der Drehimpuls \(\boldsymbol{L}\) und das magnetische Dipolmoment \(\boldsymbol{\mu}\) hängen folgendermaßen zusammen:
Der Proportionalitätsfaktor \(\frac{q}{2m}\) wird gyromagnetisches Verhältnis genannt. Dieses bestimmt das Verhältnis des magnetischen Dipolmoments zum Drehimpuls. Kleine Masse, große Ladung bedeutet: großes Dipolmoment, kleiner Drehimpuls. Große Masse, kleine Ladung bedeutet dagegen: kleines Dipolmoment, großer Drehimpuls.
Die Gleichung 8
beschreibt ein kreisendes atomares Teilchen rein klassisch. Quantenmechanisch (im Bohr-Atommodell) ist der Drehimpuls \(L\) quantisiert. \(L\) kommt als Vielfaches des reduzierten Wirkungsquantums \(\hbar\) vor: \(L = l \, \hbar \), mit \( l \) als eine ganzzahlige Quantenzahl. Im Grundzustand hat das Elektron im H-Atom den Drehimpuls \(L = \hbar\). Eingesetzt in den Betrag von 8
ergibt das folgenden Zusammenhang:
Gleichung 9
ist das kleinst mögliche magnetische Dipolmoment, das als Bohr-Magneton \(\mu_{\text B}\) bezeichnet wird.
Übungen mit Lösungen
Nutze diese Formelsammlung, wenn du Probleme mit Physikaufgaben hast.Aufgabe #1: Dipolmoment von einem rotierenden Zylinder
Ein mit der elektrischen Ladungsdichte \(\rho\) homogen geladener Hohlzylinder der Länge \(L\) rotiert mit der Winkelgeschwindigkeit \(\omega\) um seine Längsachse. Der Zylinder ist nicht unendlich dünn, sondern seine innere Wand hat den Radius \(r_{\text i}\) und die äußere Wand den Radius \(r_{\text e}\).
- Wie groß ist das magnetische Dipolmoment des Hohlzylinders?
- Welches magnetisches Moment hätte der Hohlzylinder, wenn er unendlich dünn wäre und eine Flächenladungsdichte \(\sigma\) tragen würde?
Lösung zur Aufgabe #1.1
Der Ausgang ist die Definition des magnetischen Dipolmoments für eine Stromschleife, die vom Strom \(I\) durchflossen wird und eine Fläche \(A\) einschließt: 1 \[ \mu = A \, I \]
Der rotierende homogen geladene Zylinder hat viele Stromschleifen, die sowohl von unterschiedlichen Strömen und unterschiedliche Flächen einschließen. Die Stromschleife mit dem Radius \(r_1\) erzeugt ein anderes Dipolmoment als eine Stromschleife mit dem Radius \(r_2\). Die Fläche und der Strom und damit auch das magnetische Moment ortsabhängig: 2 \[ \mu(r) = A(r) \, I(r) \]
Das Ziel dieser Aufgabe ist, das gesamte magnetische Dipolmoment herauszufinden und nicht nur das Dipolmoment von einem unendlich dünnen Zylinder mit Radius \(r\). Deshalb müssen alle Stromschleifen des Zylinders mithilfe eines Integrals aufsummiert werden. Bevor das getan wird, wird zuerst ein infinitesimales Dipolmoment \(\text{d}\mu\), welches von einem infinitesimalen Stromelement \(\text{d}I\) erzeugt wird, betrachtet. Und die Fläche \(A(r)\) ist die Fläche eines Kreises (\(\pi \, r^2 \)), dessen Radius natürlich variabel sein muss: 3 \[ \text{d}\mu = \pi \, r^2 \, \text{d}I \]
Das Stromelement kann mithilfe der Definition des elektrischen Stroms mit der infinitesimalen Ladung \(\text{d}Q\) pro Periodendauer \(T\) ausgedrückt werden. 4 \[ \text{d}\mu = \pi \, r^2 \, \frac{\text{d}Q}{T} \]
Nun kann die gegebene Winkelgeschwindigkeit \(\omega\) ins Spiel gebracht werden, denn die Periodendauer \(T\) hängt mit der Frequenz \(f\) reziprok zusammen (\( T = 1/f\)) und die Frequenz hängt mit der Winkelgeschwindigkeit lediglich über den Faktor \(2\pi\) zusammen \(\omega = 2\pi \, f \). Damit kann die Periodendauer mit der bekannten Winkelgeschwindigkeit ausgedrückt werden: 5 \[ \text{d}\mu = \pi \, r^2 \, \frac{\omega}{2\pi} \, \text{d}Q \]
Die Ladung ist nicht bekannt, muss deshalb ebenfalls ersetzt werden. Und hier kommt die gegebene Ladungsdichte \(\rho\) ins Spiel. Die auf dem Zylinder sitztende Gesamtladung ist die Ladungsdichte multipliziert mit dem Volumen des Zylinders (\(Q=\rho \, V\)). Da hier aber ein infinitesimale Ladung \( \text{d}Q \) betrachtet wird, ist das von dieser Ladung eingeschlossene Volumen ebenfalls infinitesimal: 6 \[ \text{d}\mu = \frac{\omega}{2} \, r^2 \, \rho \, \text{d}v \]
In den zum Problem passenden Zylinderkoordinaten ist \(\text{d}v = r \, \text{d}\varphi \, \text{d}r \, \text{d}z \): 7 \[ \text{d}\mu = \frac{\omega \, \rho}{2} \, r^2 \, r \, \text{d}\varphi \, \text{d}r \, \text{d}z \]
Das Integral über die z-Koordinate würde die Länge \(L\) des Zylinders ergeben und das Integral über die \(\varphi\)-Koordinate im Kreis herum würde \(2\pi\) ergeben: 8 \[ \text{d}\mu = \frac{\omega \, \rho}{2} \, r^3 \, 2\pi \, L \, \text{d}r \]
Nun muss lediglich über den Radius \(r\) von der inneren Wand bis zur äußeren Wand des Zylinders integriert werden: 9 \[ \int \text{d}\mu = \pi \omega \, \rho \, L \, \int^{r_{\text e}}_{r_{\text i}} r^3 \, \text{d}r \]
Das Integral ergibt: 10 \[ \mu = \pi \omega \, \rho \, L \, \left[ \frac{1}{4} \, r^4 \right]^{r_{\text e}}_{r_{\text i}} \]
Einsetzen der Integrationsgrenzen liefert das gesuchte gesamte magnetische Dipolmoment des Hohlzylinders: 11 \[ \mu = \frac{\pi}{4} \, \omega \, \rho \, L \, \left( r_{\text e}^4 - r_{\text i}^4 \right) \]
Lösung zur Aufgabe #1.2
Der Ausgang ist wie in Teilaufgabe #1.1 ebenfalls die Definition des magnetischen Dipolmoments einer Stromschleife: 12 \[ \mu = A \, I \]
Wie in der Gleichung 4
wird hier die Fläche \(A = \pi \, r^2 \) und der Strom \( I = Q/T\) ersetzt. Der Unterschied ist jetzt aber, dass aufgrund eines unendlich dünnen Hohlzylinders, es jetzt nur Stromschleifen mit dem Radius \(r\) gibt:
13
\[ \mu = \pi r^2 \, \frac{Q}{T} \]
Analog zur Gleichung 5
wird die Periodendauer ersetzt:
14
\[ \mu = \pi r^2 \, \frac{\omega}{2\pi} \, Q \]
Nun wird die Ladung \(Q\) mithilfe der gegebenen Flächenladungsdichte (Ladung pro Fläche) und der Fläche des Zylinders (Umfang MAL Höhe) ausgedrückt: 15 \[ \mu = \frac{\omega}{2} \, r^2 \, \lambda \, 2\pi \, r \, L \]
Damit ergibt sich das magnetische Dipolmoment eines rotierenden, unendlich dünnen, geladenen Hohlzylinders: 16 \[ \mu = \pi \, \omega \, \lambda \, L \, r^3 \]