Energieerhaltungssatz (+ Beispiele: Freier Fall, Schiefe Ebene, Looping)
Wichtige Formel
Was bedeuten diese Formelzeichen?
Gesamtenergie
$$ W $$ Einheit $$ \mathrm{J} = \mathrm{Nm} = \frac{ \mathrm{kg} \, \mathrm{m^2} }{ \mathrm{s}^2 } $$Masse
$$ \class{brown}{m} $$ Einheit $$ \mathrm{kg} $$Geschwindigkeit
$$ \class{blue}{\boldsymbol v} $$ Einheit $$ \frac{\mathrm m}{\mathrm s} $$Höhe
$$ h $$ Einheit $$ \mathrm{m} $$Fallbeschleunigung
$$ g $$ Einheit $$ \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2} $$
Inhaltsverzeichnis
Was besagt der Energieerhaltungssatz?
Der Energieerhaltungssatz besagt, dass in einem abgeschlossenen System die Gesamtenergie \(W\) sich nicht verändert. Mit abgeschlossenem System ist gemeint, dass es von der Außenwelt perfekt isoliert ist und dadurch keine Energie mit der Außenwelt austauscht, z.B. indem es Wärme abstrahlt. Außerdem setzt die Abgeschlossenheit voraus, dass es keine Reibung gibt. Die Energie kann zwar ihre Form verändern, z.B. sich in kinetische oder potentielle Energieform umwandeln, aber insgesamt niemals größer oder kleiner werden! Erst, wenn diese Bedingungen erfüllt sind (zumindest näherungsweise), dann gilt der Energieerhaltungssatz.
In der Mechanik ist die Gesamtenergie \(W\) aus kinetischer Energie \(W_{\text{kin}}\) und potentieller Energie \(W_{\text{pot}}\) zusammengesetzt:
Die kinetische Energie \(W_{\text{kin}}\) ist bestimmt durch die Geschwindigkeit \(v\) des bewegten Systems und durch seine Masse \(m\): 1.1 $$ W_{\text{kin}} ~=~ \frac{1}{2}\,m\,v^2 $$
Die potentielle Energie ist ebenfalls durch die Masse \(m\) des Systems und und durch seine Höhe \(h\) über dem Erdboden bestimmt: 1.2 $$ W_{\text{pot}} ~=~ m\,g\,h $$ Hierbei ist \( g \) die Fallbeschleunigung des Körpers mit dem Wert auf der Erde: \( g = 9.8 \, \text{m}/\text{s}^2\). Diese Beschleunigung besagt, dass ein im Gravitationsfeld der Erde fallender Körper jede Sekunde seine Geschwindigkeit um 9.8 Meter pro Sekunde vergrößert.
Durch Einsetzen der kinetischen und potentiellen Energien sieht die Gesamtenergie folgendermaßen aus: 2 $$ W ~=~ \frac{1}{2}\,m\,v^2 ~+~ m\,g\,h $$
Freier Fall
Du kannst Energieerhaltung auf frei fallenden Körper anwenden, um beispielsweise seine Geschwindigkeit auf einer bestimmten Höhe zu berechnen.
Wenn Du annimmst, dass das Objekt mit der Startgeschwindigkeit \( v_0 = 0 \), von der Höhe \( h_0 \) fallen gelassen wurde, dann hat es eine Gesamtenergie, die genau der folgenden Höhenenergie entspricht: 3 $$ W ~=~ 0 ~+~ m \, g \, h_0 ~=~ m \, g \, h_0 $$
Die Bewegungsenergie ist offensichtlich Null, da das Objekt keine Anfangsgeschwindigkeit besitzt: 4 $$ \frac{1}{2} \, m ~\cdot~ 0^2 ~=~ 0 $$
Am Ende, als es an der Höhe \( h = 0 \) angekommen ist - kurz vor dem Aufprall, ist seine ganze Höhenenergie in Bewegungsenergie umgewandelt worden. Seine Gesamtenergie ist jetzt also: 5 $$ W ~=~ \frac{1}{2} \, m \, v^2 $$
Wegen der Energieerhaltung (Gesamtenergie ist gleich geblieben) kannst Du beide Energien 3
und 5
gleichsetzen:
6
$$ m \, g \, h_0 ~=~ \frac{1}{2} \, m \, v^2 $$
Forme 6
nach der Geschwindigkeit um und Du bekommst die maximale Geschwindigkeit, mit der der Körper am Boden aufprallt:
Schiefe Ebene
Energieerhaltungssatz kann auf eine schiefe Ebene angewendet werden, um die Geschwindigkeit des reibungslos herunterrutschenden Körpers auf einer bestimmten Höhe zu berechnen.
Oben auf der Ebene: Körper besitzt nur Höhenenergie
Ein Körper, der sich ganz oben auf der schiefen Ebene befindet und noch nicht losgelassen wird, besitzt keine kinetische Energie \( W_{\text{kin}} = 0 \) (weil er sich eben nicht bewegt). Hat dafür aber - weil er auf einer bestimmten Höhe \( h_0 \) über der Erde gehalten wird - eine potentielle Energie (Höhenenergie). Also ist seine Gesamtenergie NUR die potentielle Energie: 8 $$ W ~=~ 0 + W_{\text{pot}} ~=~ W_{\text{pot}} $$
Seine Gesamtenergie \( W \) ist also mithilfe von Gleichung 2
genau:
9
$$ W ~=~ m \, g \, h_0 $$
wobei die Geschwindigkeit in 2
einfach Null gesetzt wurde und für \( h \) wurde die Höhe der schiefen Ebene eingesetzt; weil sich oben auf der Ebene der Körper befindet und Du SEINE potentielle Energie wissen möchtest!
Körper wird losgelassen: Höhenenergie wird umgewandelt
Sobald Du den Körper loslässt, gleitet er die schiefe Ebene hinunter und verliert dabei an Höhe. Wir nehmen an, dass er reibungslos hinuntergleitet. Eine niedrigere Höhe bedeutet aber eine geringere Höhenenergie. Wo ist die Energie hin? Sie ist jedenfalls nicht in einem schwarzen Loch verschwunden!
Nach dem Energieerhaltungssatz muss diese verlorene Höhenenergie sich in Bewegungsenergie umgewandelt haben. Und das kannst Du sogar mit Deinen Augen sehen. Denn der Körper bewegt sich ja!
Der Körper ist jetzt also sowohl auf irgendeiner Höhe (ungleich Null) als auch in einer Bewegung (Geschwindigkeit ungleich Null). Die Bewegungsenergie ist nicht mehr Null. Die Gesamtenergie ist jetzt also zum Teil als kinetische und zum Teil als potentielle Energie vorhanden: 10 $$ W ~=~ W_{\text{kin}} ~+~ W_{\text{pot}} $$
Also konkret eingesetzt, ist seine Gesamtenergie: 11 $$ W ~=~ \frac{1}{2}\,m\,v^2 + m\,g\,h $$ dabei sind \( v \) seine aktuelle Geschwindigkeit und \( h \) seine aktuelle Höhe.
Welche Geschwindigkeit hat der Körper?
Du möchtest herausfinden, welche Geschwindigkeit der Körper auf irgendeiner beliebigen Höhe \( h \) auf der schiefen Ebene hat.
Du weißt, welche Gesamtenergie der Körper auf der schiefen Ebene besitzt. Sie entspricht nämlich - vom Wert her - der Höhenenergie: 12 $$ W ~=~ m \, g \, h_0 $$
Höhe \( h_0 \) ist dabei die maximale Höhe, die der Körper jemals besaß. Er war ganz oben auf der schiefen Ebene, also ist \( h_0 \) genau die Höhe der schiefen Ebene.
Du weißt aber auch - wegen der Energieerhaltung -, dass der Körper diese Gesamtenergie an jedem Punkt der schiefen Ebene besitzen wird. Sie geht ja nicht irgendwohin verloren. Sie wandelt sich nur in Bewegungsenergie um. Deshalb lautet die Energie-Gleichung für die aktuelle Höhe \( h \): 13 $$ W ~=~ m \, g \, h ~+~ \frac{1}{2} \, m \, v^2 $$
Die Gesamtenergie kennst Du! Setze sie ein: 14 $$ m \, g \, h_0 ~=~ m \, g \, h ~+~ \frac{1}{2} \, m \, v^2 $$
Forme 14
nur noch nach der aktuellen Geschwindigkeit um:
Auffälligkeiten an der Formel 10
:
- Geschwindigkeit ist unabhängig davon, wie schwer der Körper ist
- Geschwindigkeit ist unabhängig davon, ob der Körper schräg oder geradeaus zu Boden fällt.
Einsetzen der Gegebenheiten in die Formel ergibt: \(v\) ≈ 9m/s. Das sind \(v\) ≈ 32.4km/h, die der Skifahrer auf 6 Meter Höhe besitzen wird!
Ist das nicht unglaublich?
Du kannst - mithilfe der Energieerhaltung - die Geschwindigkeit des Objekts an jedem Punkt der schiefen Ebene berechnen! Und das ohne jeglicher Winkel, ohne Masse des Körpers, ohne irgendwelcher Kräfte...
Am Ende der schiefen Ebene: Körper besitzt nur Bewegungsenergie
Sobald der Körper am Ende der schiefen Ebene angelangt ist (bei der Höhe \(h\) = 0), besitzt er keine Höhenenergie mehr. Dafür aber steckt seine Gesamtenergie jetzt in der Bewegungsenergie drin: 16 $$ W ~=~ W_{\text{kin}} ~+~ 0 ~=~ W_{\text{kin}} $$
Kinetische Energie eingesetzt, also: 17 $$ W ~=~ \frac{1}{2}\,m\,v^2 $$
Du musst Dir das vorstellen, all seine Energie ist jetzt in Form der Bewegungsenergie, d.h. am Ende der Ebene besitzt der Körper seine maximal erreichbare Geschwindigkeit \( v_{\text{max}} \), wenn es aus der Höhe \( h_0 \) nach unten kam. Mithilfe von 12
kannst Du also seine maximale Geschwindigkeit herausfinden:
18
$$ v_{\text{max}} ~=~ \sqrt{ \frac{2 W}{m} } $$
Die Gesamtenergie \( W \) ist dabei die Energie, die der Körper ganz am Anfang hatte, bevor er die Ebene herunterrutschte. Und das ist genau die Höhenenergie \( W = m \, g \, h_0 \). Eingesetzt in 13
:
Wie Du an 19
siehst, brauchst Du lediglich die Anfangshöhe \( h_0 \) des Körpers, um seine maximale Geschwindigkeit herauszufinden!
Achterbahn: wie Du Looping lebend überwindest
Mithilfe des Energieerhaltungssatzes lassen sich einige nützliche Größen herausfinden, die für das Überleben eines Loopings notwendig sind, wie zum Beispiel die notwendige Geschwindigkeit der Achterbahn, um das Looping zu schaffen.
Der Energieerhaltungssatz besagt, dass die Gesamtenergie \( W \) eines abgeschlossenen (d.h. insbesondere reibungsfreien) Systems stets gleich bleibt. Die Summe \(W\) der potentiellen Enerige \( W_{\text{pot}} \) und der kinetischen Energie \(W_{\text{kin}}\) ist immer gleich groß und zwar für beliebige Positionen der Achterbahn auf der Loopingbahn.
Die Gleichung 2
kannst du beispielsweise dazu benutzen, um die Geschwindigkeit \(v\) auf einer beliebigen Höhe \(h\) der Achterbahn zu berechnen.
Wenn Du aber wissen möchtest, ob Du es mit der Geschwindigkeit \(v\) schaffst die Loopingbahn lebend zu überwinden, dann musst Du auch etwas über die wirkenden Kräfte wissen, nämlich: die Fallkraft \( F_{\text g} \), die Dich stets in Richtung des Erdbodens zieht und die Zentrifugalkraft \( F_{\text z} \), die Dich beim Looping in den Sitz des Wagens und den Wagen auf die feste Schiene drückt. Das ist auch der Grund, warum Du nicht einfach herunter stürzt.
Nötige Geschwindigkeit berechnen
Wenn Du die notwendige Geschwindigkeit zur Überwindung der Loopingbahn berechnen möchtest, musst Du den höchsten Punkt des Loopings betrachten, also da, wo Du genau kopfüber stehst! Einzige Information, die Du hast, ist: Radius der Loopingbahn und die Tatsache, dass bei einer Kreisbewegung auf der Erde zwei grundsätzliche Kräfte auf das gedrehte Objekt einwirken. Die nach unten ziehende Schwerkraft \(F_{\text g}\) und die vom Loopingmittelpunkt wegzeigende Zentrifugalkraft \(F_{\text z}\).
Am höchsten Punkt ist die Zentrifugalkraft genau entgegengesetzt der Schwerkraft gerichtet. Damit Du nicht herunterfällst, muss die Zentrifugalkraft mindestens genau so groß sein wie die Schwerkraft: 22 $$ \frac{m \, v^2}{r} ~\geq~ m \, g $$
Forme Ungleichung 22
nach der Geschwindigkeit \(v\) um. Das ergibt die Bedingung für die Geschwindigkeit zur Überwindung des Loopings:
23
$$ v ~\geq~ \sqrt{g \, r} $$
Jetzt musst Du nur noch die Gravitationsbeschleunigung \( g \) (auf der Erde \( g = 9.8 \text{m}/\text{s}^2 \)) und den konkreten Radius der Loopingbahn \( r \) in 6
einsetzen, um die Mindestgeschwindigkeit herauszubekommen:
Mindestgeschwindigkeit am höchsten Punkt, mit der Du Loopingbahn lebend überwindest.
24
$$ v_{\text{min}} ~=~ \sqrt{g \, r} $$
Die Frage ist: Welche Geschwindigkeit \( v_{\text{unten}} \) musst Du unten, also auf der Höhe \( h_{\text{a}} = 0 \) haben, um \( v_{\text{min}} \) am höchsten Punkt des Loopings zu erreichen? Dazu setzt Du die Energie am unteren Punkt des Loopings (das ist nur die kinetische Energie) mit der Gesamtenergie (kinetisch + potentiell) am oberen Punkt gleich: 25 $$ \frac{1}{2} \, m \, v_{\text{unten}}^2 ~+~ m \, g \,*\, 0 ~=~ \frac{1}{2} \, m \, v_{\text{min}}^2 ~+~ m \, g \, h_{\text{b}} $$
Am unteren Punkt des Loopings ist die Höhe Null und damit auch die potentielle Energie Null, \(m \, g \,*\, 0 = 0\): 26 $$ \frac{1}{2} \, m \, v_{\text{unten}}^2 ~=~ \frac{1}{2} \, m \, v_{\text{min}}^2 ~+~ m \, g \, h_{\text{b}} $$
Da du die Geschwindigkeit \(v_{\text{unten}}\) herausfinden möchtest, stelle 26
nach \( v_{\text{unten}} \) um:
27
$$ v_{\text{unten}} ~=~ \sqrt{ v_{\text{min}}^2 + 2g\,h_{\text{b}} } $$
Setze in 27
den Durchmesser \( h_{\text{b}} = 2r \) und die Mindestgeschwindigkeit 24
ein:
28
$$ v_{\text{unten}} ~=~ \sqrt{ \sqrt{gr}^2 + 4g\,r } $$
Mindestgeschwindigkeit beim Hereinfahren in den Looping, um Mindestgeschwindigkeit \( v_{\text{min}} \) am höchsten Punkt \( h_{\text{b}} \) zu erreichen und somit nicht auf den Popo zu fallen.
29
$$ v_{\text{unten}} ~=~ \sqrt{5g \, r} $$
Achterbahn mit Looping: ohne Absturz
Final Destination Situation: Der Motorantrieb der Achterbahn ist kaputtgegangen und Du befindest Dich gerade auf einem Achterbahn-Berg mit einer Geschwindigkeit nahe Null (\(v_{\text{start}} = 0 \)) und bist kurz davor herunterzurollen. Reicht die Höhe des Berges aus, um den Looping zu überwinden? Berechne dazu die Höhe \(h_{\text{min}}\), auf der Du dich mindestens befinden musst.
In diesem Fall hättest Du nur potentielle Energie: \( m \, g \, h_{\text{min}} \). Diese wird sich - bis zum höchsten Punkt des Loopings - zum Teil in kinetische Energie umwandeln: 30 $$ m \, g \, h_{\text{min}} ~=~ \frac{1}{2} \, m \, v_{\text{min}}^2 ~+~ m \, g \, h_{\text{b}} $$
Setze \( h_{\text{b}} = 2r \) und Mindestgeschwindigkeit 24
in 30
ein:
31
$$ m \, g \, h_{\text{min}} ~=~ \frac{1}{2} \, m \, \sqrt{gr}^2 ~+~ m \, g \, 2r $$
Jetzt musst Du nur noch 31
nach \( h_{\text{min}} \) auflösen und Du bekommst:
Mindesthöhe des Achterbahn-Berges, von der Du starten musst, um den Looping zu schaffen.
32
$$ h_{\text{min}} ~=~ \frac{5}{2} r $$
Die Mindesthöhe ist nur abhängig vom Radius der Loopingbahn; ganz egal, ob Du dich auf dem Mars oder Jupiter befindest. Die Mindesthöhe befindet sich also immer ein\(\frac{1}{4}\) des Looping-Durchmessers über dem höchsten Punkt der Loopingbahn.
Übungen mit Lösungen
Nutze diese Formelsammlung, wenn du Probleme mit Physikaufgaben hast.Aufgabe #1: Maximale Fallgeschwindigkeit
Ein Nokia 6310 wird von einem 20 Meter hohen Turm fallen gelassen. Mit welcher Geschwindigkeit prallt es am Boden auf?
Handy-Gewicht: 111 Gramm.
Lösung zur Aufgabe #1
Auf der Höhe \( h = 20 \, \text{m} \) hat das Handy eine potentielle Energie, die sich durch die folgende Formel berechnen lässt: $$ W_{\text{pot}} ~=~ \class{brown}{m} \, g \, h $$
Beim Fallen nimmt die Höhe ab. Weil die Höhe abnimmt, nimmt dementsprechend nach der Formel 1
auch die potentielle Energie ab. Die Energie kann nach dem Energieerhaltungssatz nicht verloren gehen; vor allem weil Luftreibung vernachlässigt wird! Aus diesem Grund muss sich die potentielle Energie in eine andere Energieform umwandeln. Man kann an der zunehmenden Fallgeschwindigkeit des Handys feststellen, dass sie sich in kinetische Energie umwandelt. Die kinetische Energie kannst Du folgendermaßen berechnen:
$$ W_{\text{kin}} ~=~ \frac{1}{2} \, \class{brown}{m} \, \class{blue}{v}^2 $$
Das Ziel der Aufgabe ist es, herauszufinden, welche Geschwindigkeit das Handy auf der Höhe \( h = 0 \) (am Erdboden) erreicht. An diesem Punkt besitzt das Handy keine potentielle Energie mehr, dafür ist aber seine kinetische Energie maximal. Nach der Energieerhaltung müssen die beiden Energiebeiträge 1
und 2
zu jeder Zeit gleich sein:
$$ m \, g \, h ~=~ \frac{1}{2} \, m \, v^2 $$
Forme nach der Geschwindigkeit \( v \) um: $$ v ~=~ \sqrt{2g\,h} $$
Setze nur noch die gegebene Höhe \( h \) ein. Die Fallbeschleunigung beträgt \( 9.8 \, \frac{\text m}{\text{s}^2} \). Wie Du an 4
siehst, ist die Masse des Handys zur Berechnung nicht notwendig:
$$ v ~=~ \sqrt{2 \cdot 9.8 \, \frac{\text m}{\text{s}^2} \cdot 20 \, \text{m}} ~=~ 19.8 \,\frac{\text m}{\text s} $$
Aufgabe #1: Höhe, die ein Ball maximal erreicht
Ein 0.2 kg schwerer Ball wird mit einer Geschwindigkeit von \( 20 \, \frac{\text m}{\text s} \) nach oben geworfen.
Welche maximale Höhe \(h\) erreicht der Ball? (Reibung kann vernachlässigt werden.)
Lösung zur Aufgabe #2
Der Ball bekommt beim Hochwerfen eine Bewegungsenergie \(W_{\text{kin}}\). Ihr Wert ist abhängig von der Geschwindigkeit und der Masse des Balls. Die Bewegungsenergie des Balls beträgt: 1 \[ W_{\text{kin}} ~=~ \frac{1}{2} \, m \, v^2 \]
Da - wegen dem Energieerhaltungssatz - diese Bewegungsenergie nicht einfach irgendwohin verschwinden kann, wird sie in Höhenenergie \( W_{\text{pot}} \) umgewandelt. Das heißt: Je weiter der Ball nach oben fliegt, desto weniger Bewegungsenergie besitzt er (er wird langsamer), DAFÜR ABER bekommt er eine größere Höhenenergie (potentielle Energie). Befindet sich der Ball auf der Höhe \(h\), dann hat er folgende potentielle Energie: 2 \[ W_{\text{pot}} ~=~ m \, g \, h \]
Nach dem Energieerhaltungssatz muss also die Gesamtenergie des Balls entweder in seiner Bewegungsenergie und/oder der Höhenenergie stecken. Wenn \( W_{\text{pot}} \) maximal ist, ist \( W_{\text{kin}} \) Null. Und andersherum. Der Ball kann also maximal bis zur Höhe \( h \) fliegen, wo er seine ganze Bewegungsenergie in Höhenenergie umgewandelt hat (wäre dies nicht so, so wär der Ball noch höher geflogen). Jetzt steckt die ganze Bewegungsenergie des Balls in seiner Höhenenergie: 3 \[ W_{\text{pot}} ~=~ W_{\text{kin}} \]
Setze die konkreten Formeln in 3
ein:
4
\[ m \, g \, h ~=~ \frac{1}{2} \, m \, v^2 \]
und forme nach der gesuchten maximalen Höhe um:
5
\[ h ~=~ \frac{v^2}{2g} \]
Wie Du siehst, die erreichte Höhe des Balls ist unabhängig von seiner Masse \( m \), da sie sich weggekürzt hat. Das heißt: Du könntest auch ein ganzes Auto mit einer Geschwindigkeit von 20 \( \frac{\text m}{\text s} \) nach oben werfen, es würde die gleiche Höhe wie der Ball erreichen!
Setze nur noch die gegebenen Werte ein und Du erhälst die konkrete Höhe: 5 \[ h ~=~ \frac{ (20 \, \frac{\text m}{\text s})^2 }{2 * 9.8 \, \frac{\text m}{\text s} } ~=~ 20.4 \, \text{m} \]