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Newton-Gravitationsgesetz: Anziehungskraft zwischen Massen

Wichtige Formel

Formel: Newton-Gravitationsgesetz

$$F_{\text g} ~=~ G \, \class{brown}{M} \, \frac{\class{brown}{m}}{r^2}$$ $$F_{\text g} ~=~ G \, \class{brown}{M} \, \frac{\class{brown}{m}}{r^2}$$ $$r ~=~ \sqrt{ G \, \frac{ \class{brown}{M} \, \class{brown}{m} }{ F_{\text g} } }$$ $$\class{brown}{M} ~=~ \frac{1}{G} \, \frac{ F_{\text g} }{\class{brown}{m}} \, r^2$$ $$\class{brown}{m} ~=~ \frac{1}{G} \, \frac{ F_{\text g} }{\class{brown}{M}} \, r^2$$ $$G ~=~ \frac{ F_{\text g} }{\class{brown}{M} \, \class{brown}{m}} \, r^2$$

Formel umstellen

Was bedeuten diese Formelzeichen?

Gravitationskraft

$$ F_{\text g} $$ Einheit $$ \mathrm{N} = \frac{\mathrm{kg} \, \mathrm{m}}{\mathrm{s}^2} $$

Es ist die Kraft, die die Masse $ \class{brown}{m_1} $ auf die Masse $ \class{brown}{m_2} $ ausübt und andersherum.

Abstand

$$ r $$ Einheit $$ \mathrm{m} $$

Abstand zwischen den Massen $ \class{brown}{M} $ und $ \class{brown}{m} $. Je größer der Abstand ist, desto kleiner ist die Anziehungskraft $ F_{\text g} $.

Masse

$$ \class{brown}{M} $$ Einheit $$ \mathrm{kg} $$

Die Masse des ersten Körpers.

Masse

$$ \class{brown}{m} $$ Einheit $$ \mathrm{kg} $$

Die Masse des zweiten Körpers.

Gravitationskonstante

$$ G $$ Einheit $$ \frac{\mathrm{N} \, \mathrm{m}^2}{\mathrm{kg}^2} = \frac{\mathrm{m}^3}{\mathrm{kg} \, \mathrm{s}^2} $$

Die Gravitationskonstante ist eine Naturkonstante, die in Gleichungen vorkommt, die die Wechselwirkung zwischen den Massen beschreiben. Sie hat den folgenden experimentell bestimmten Wert: $$ G ~\approx~ 6.674 \, 30 ~\cdot~ 10^{-11} \, \frac{ \mathrm{m}^3 }{ \mathrm{kg} \, \mathrm{s}^2 } $$

Inhaltsverzeichnis

Hast du dich jemals gefragt, warum ein Pfirsich 🍑 von einem Baum auf die Erde fällt und nicht ins Weltall fliegt? Diese alltägliche Beobachtung, die wir für selbstverständlich annehmen, ist eng mit einem der grundlegendsten Gesetze der Physik verbunden - dem Newtonschen Gravitationsgesetz. Dieses Gesetz, das von Isaac Newton im 17. Jahrhundert formuliert wurde, beschreibt die Anziehungskraft zwischen Objekten im Universum, die eine Masse haben. Also alle Objekte, die du kennst.

Dieses Gesetz, ist super einfach und gleichzeitig so universall! Es ermöglicht uns viele Beobachtungen quantitativ zu verstehen:

Die Bewegung der Himmelskörper und warum der Mond nicht auf die Erde fällt.
Die Bewegung von Satelliten, um so etwas wie Google Maps zu ermöglichen.
Die Flugbahnen von Asteroiden, um sie rechtzeitig abzuschießen, bevor sie die Menschheit auslöschen.
Die Struktur ganzer Galaxien, um zu verstehen wie dieses Universum entstand.
Die Flugbahnen von Bällen.
Den Start einer SpaceX-Rakete von Elon Musk.

Schauen wir uns ein alltägliches Beispiel an. Wirf einen Ball in die Luft. Was passiert als nächstes? Der Ball fliegt hoch von der Erde weg, wird mit der Höhe immer langsamer, bis er für einen kurzen Moment in der Luft stehen bleibt und fällt schließlich zurück auf den Boden. Dieses scheinbar einfache Ereignis ist tatsächlich das Ergebnis einer unsichtbaren Kraft, die auf den Ball wirkt - der Gravitationskraft und von der Erde auf den Ball ausgeübt wird.

Das Newtonsche Gravitationsgesetz beschreibt die Gravitationskraft $ F_{\text g} $ zwischen einem Objekt der Masse $ \class{brown}{M} $ und einem anderen Objekt der Masse $ \class{brown}{m} $, die aufgrund ihrer Massen aufeinander wirken. Es besagt, dass jede Masse im Universum eine anziehende Kraft $ F_{\text g} $ auf jede andere Masse ausübt. Das bedeutet, dass nicht nur die Erde den Ball anzieht, sondern auch der Ball die Erde anzieht - eine gegenseitige Wechselwirkung.

Gravitationskraft zwischen zwei Massen

Die Formel, mit der du das Verständnis über die gravitative Anziehungskraft erlangen kannst, sieht folgendermaßen aus:

$$ \begin{align} F_{\text g} ~=~ G \, \class{brown}{M} \, \frac{\class{brown}{m}}{r^2} \end{align} $$

Hierbei ist $ G = 6.674 \cdot 10^{-11} \, \frac{\mathrm{m}^3}{ \mathrm{kg} \ \mathrm{s}^2 } $ die Gravitationskonstante. Es ist eine Naturkonstante und legt fest, wie stark sich zwei Massen von einem Killogramm in einem Abstand von einem Meter anziehen. Sie legt also die Stärke der Gravitation in unserem Universum fest:

$$ \begin{align} F_{\text g} ~&=~ G \, \frac{ \class{brown}{1 \, \mathrm{kg}} \cdot \class{brown}{1 \, \mathrm{kg}} }{ 1 \, \mathrm{m}^2 } \\\\

~&=~ G \, \frac{ \class{brown}{1 \, \mathrm{kg}^2} }{ 1 \, \mathrm{m}^2 } \\\\

~&=~ 6.674 \cdot 10^{-11} \, \frac{\mathrm{m}^3}{ \class{brown}{\mathrm{kg}} \ \mathrm{s}^2 } \cdot \frac{ \class{brown}{1 \, \mathrm{kg}^2} }{ 1 \, \mathrm{m}^2 } \\\\

~&=~ 6.674 \cdot 10^{-11} \, \frac{ \class{brown}{\mathrm{kg}} \cdot \mathrm{m} }{ \mathrm{s}^2 } \\\\

~&=~ 6.674 \cdot 10^{-11} \, \mathrm{N} \end{align} $$

Die beiden Massen ziehen sich, wie du siehst, mit einer sehr kleinen Gravitationskraft von $ 6.674 \cdot 10^{-11} \, \mathrm{N} $ an.

Beispiel: Gravitationskraft zwischen der Erde und der Sonne

Die Erde bewegt sich nicht auf einer perfekten Kreisbahn um die Sonne, sondern auf einer elliptischen Bahn. Der Abstand der Erde zur Sonne variiert also zeitlich. Der Punkt auf der Erdumlaufbahn, an dem die Erde der Sonne am nächsten ist, wird Perihel genannt, während der Punkt, an dem die Erde der Sonne am weitesten entfernt ist, Aphel genannt wird.

Wie groß ist die Anziehungskraft, die von der Sonne auf die Erde ausgeübt wird, wenn die Erde im Perihel ist?
Wie groß ist die Anziehungskraft, die von der Sonne auf die Erde ausgeübt wird, wenn die Erde im Aphel ist?

Die Masse der Erde ist $ \class{brown}{5.972 \cdot 10^{24} \, \mathrm{kg}} $. Die Masse der Sonne ist $ \class{brown}{1.989 \cdot 10^{30} \, \mathrm{kg}} $. Der Abstand der Erde zur Sonne im Perihel ist $ 1.47 \cdot 10^{8} \, \mathrm{m} $. Die Gravitationskraft, die von der Sonne auf die Erde im kleinsten Abstand ausgeübt wird, ist:

$$ \begin{align} F_{\text g} ~&=~ 6.674 \cdot 10^{-11} \, \frac{\mathrm{m}^3}{ \mathrm{kg} \ \mathrm{s}^2 } ~\cdot~ \class{brown}{1.989 \cdot 10^{30} \, \mathrm{kg}} ~\cdot~ \frac{ \class{brown}{5.972 \cdot 10^{24}\,\mathrm{kg}} }{ 1.47 \cdot 10^{8} \, \mathrm{m} } \\\\
~&=~ 3.67 \cdot 10^{28} \, \mathrm{N} \end{align} $$

Der Abstand der Erde zur Sonne im Aphel (größter Abstand) ist $ 1.52 \cdot 10^{8} \, \mathrm{m} $. Die auf die Erde wirkende Gravitationskraft im Aphel ist damit:

$$ \begin{align} F_{\text g} ~&=~ 6.674 \cdot 10^{-11} \, \frac{\mathrm{m}^3}{ \mathrm{kg} \ \mathrm{s}^2 } ~\cdot~ \class{brown}{1.989 \cdot 10^{30} \, \mathrm{kg}} ~\cdot~ \frac{ \class{brown}{5.972 \cdot 10^{24}\,\mathrm{kg}} }{ 1.52 \cdot 10^{8} \, \mathrm{m} } \\\\
~&=~ 3.43 \cdot 10^{28} \, \mathrm{N} \end{align} $$

Die Erde wird also ungefähr 7% stärker angezogen, wenn sie sich im Perihel befindet, als wenn die Erde sich im Aphel befindet.

Gravitationskraft zwischen mehr als zwei Objekten

Unser Universum besteht natürlich nicht nur aus zwei Objekten. Wenn wir zum Beispiel die Erde betrachten, wird sie nicht nur vom nächsten Nachbarn, dem Mond, angezogen, sondern auch von der Sonne und allen anderen Planeten im Sonnensystem. Genau genommen wird sie von allen Massen im Universum angezogen. Einige Massen sind jedoch so weit entfernt ($r$ ist groß), dass ihre Anziehungskraft praktisch Null ist und vernachlässigt werden kann.

Aber im Fall der Erde ist nicht nur die Anziehungskraft des Mondes nicht vernachlässigbar, sondern auch die der Sonne. Nehmen wir mal an, dass die Erde von zwei Himmelskörpern, von der Sonne und vom Mond angezogen wird. (Die anderen Planeten vernachlässigen wir vorerst.)

Wie groß ist die gesamte Anziehungskraft $ F_{\text g} $ auf die Erde und wohin wird die Erde hingezogen? Zur Sonne hin? Zum Mond hin? Irgendwohin dazwischen? Um diese Fragen zu beantworten, brauchst du das Superpositionsprinzip. Es besagt, dass die gesamte Anziehungskraft $ F_{\text g} $ auf die Erde, die vektorielle Summe der einzelnen Anziehungskräfte ist:

$$ \begin{align} \boldsymbol{F}_{\text g} ~&=~ \boldsymbol{F}_{\text m} ~+~ \boldsymbol{F}_{\text s} \\\\
~&=~ \begin{bmatrix} F_{\text{m1}} \\ F_{\text{m2}} \\ F_{\text{m3}} \end{bmatrix} ~+~ \begin{bmatrix} F_{\text{s1}} \\ F_{\text{s2}} \\ F_{\text{s3}} \end{bmatrix} \end{align} $$

Hierbei ist der Vektor $ \boldsymbol{F}_{\text m} $ die Anziehungskraft des Mondes auf die Erde und der Vektor $ \boldsymbol{F}_{\text s} $ die Anziehungskraft der Sonne auf die Erde. Beachte, dass es NICHT die Summe der Beträge, sondern die Summe der Vektoren ist! Um die Anziehungskraft auf die Erde zu bestimmen, musst du dich als erstes mit Vektoraddition auskennen. Kurz zusammengefasst, wie du das zeichnerisch machst:

Anziehungskraft von drei Massen - Addition der einzelnen Kräfte zur Gesamtkraft

Zeichne die Kraftvektoren $ \boldsymbol{F}_{\text m} $ und $ \boldsymbol{F}_{\text s} $. Ihre Länge entspricht dem Betrag und die Richtung ist von der Erde weg zum jeweiligen Körper, also in Richtung des Mondes und in Richtung der Erde, so wie in der Illustration 2 gezeigt.
Verschiebe die Kraft $ \boldsymbol{F}_{\text m} $ parallel, sodass der Anfang von $ \boldsymbol{F}_{\text m} $ an der Spitze von $ \boldsymbol{F}_{\text s} $ ist.
Verschiebe die Kraft $ \boldsymbol{F}_{\text s} $ parallel, sodass der Anfang von $ \boldsymbol{F}_{\text s} $ an der Spitze von $ \boldsymbol{F}_{\text m} $ ist.
Es entsteht ein Kräfteparallelogramm. Die Gesamtkraft $ \boldsymbol{F}_{\text g} $ zeigt entlang der Diagonale so wie in der Illustration 2 gezeigt.

Wie die genaue Vektoraddition funktioniert, lernst du in einer anderen Lektion. Dieses Kapitel sollte nur verdeutlichen, dass das Gravitationsgesetz natürlich nicht nur auf die Anziehung zwischen zwei Massen beschränkt ist.

Gravitationsfeld und die Gravitationsbeschleunigung

Das Gravitationsfeld $ g $, das durch einen Körper der Masse $ \class{brown}{M} $ verursacht wird, ist die Gravitationskraft $ F_{\text g} $ pro Masse. Anders gesagt: Das Gravitationsfeld gibt an, welche Gravitationskraft eine kleine Probemasse $ \class{brown}{m} $ (z.B. ein Ball) erfahren würde, wenn es in einem Abstand $ r $ zur großen Masse $ \class{brown}{M} $ platziert wird.

Das Gravitationsfeld bekommen wir, indem wir die Gravitationskraft 1 durch die Probemasse $ \class{brown}{m} $ teilen:

$$ \begin{align} g ~=~ G \, \class{brown}{M} \, \frac{1}{r^2} \end{align} $$

Das Gravitationsfeld hat die Einheit der Kraft pro Masse, also N/kg (Newton pro Kilogramm). In SI-Einheiten entspricht das $ \mathrm{m}/\mathrm{s}^2 $ (Meter pro Quadratsekunde). Das Gravitationsfeld ist also ein Beschleunigungsfeld und gibt an, welche Gravitationsbeschleunigung eine Probemasse im Abstand $r$ von der Masse $ \class{brown}{M} $ erfahren würde. Wenn eine kleine Probemasse in der Nähe einer großen Masse (z.B. Planet) ist, dann spürt sie ungefähr die gleiche Gravitationsbeschleunigung, unabhängig davon, wo sie in der Nähe der großen Masse platziert wird. In diesem Fall wird die Gravitationsbeschleunigung üblicherweise im Deutschen als Fallbeschleunigung genannt.

Beispiel: Fallbeschleunigung auf der Erde

Die Fallbeschleunigung $ g $, die ein Ball oder eine andere Probemasse in der Nähe der Erdoberfläche erfährt, lässt sich mithilfe der Erdmasse $ \class{brown}{M = 5.972 \cdot 10^{24} \, \mathrm{kg}} $ und des Erdradiuses $ r = 6.371 \cdot 10^{6} \, \mathrm{m} $ bestimmen. Setze die Werte in Gl. 6 ein:

$$ \begin{align} g ~&=~ 6.674 \cdot 10^{-11} \, \frac{\mathrm{m}^3}{ \class{brown}{\mathrm{kg}} \ \mathrm{s}^2 } \cdot \frac{ \class{brown}{5.972 \cdot 10^{24} \, \mathrm{kg}} }{ (6.371 \cdot 10^{6} \, \mathrm{m})^2 } \\\\

~&=~ 9.8 \, \frac{\mathrm{m}}{ \mathrm{s}^2 }
\end{align} $$

Tabelle : Fallbeschleunigung nicht weit über der Oberfläche des Himmelskörpers. Für den Abstand des Himmelskörpers zur Probemasse wurde der Radius des jeweiligen Himmelskörpers verwendet.
Himmelskörper	Fallbeschleunigung $ \class{red}{g} $
Mars	3.7
Venus	8.9
Erde	9.8
Jupiter	24.8
Sonne	274

Gravitationspotential und potentielle Energie im Gravitationsfeld

Die potentielle Energie (Gravitationsenergie) $ W_{\text{pot}} $ einer Probemasse $ \class{brown}{m} $, die sich im Abstand $ r $ von der großen Masse $ \class{brown}{M} $ befindet, bekommst du, wenn du die Gravitationskraft 1 durch $ r $ teilst:

$$ \begin{align} W_{\text{pot}} ~=~ -G \, \class{brown}{M} \, \frac{\class{brown}{m}}{r} \end{align} $$

Die potentielle Energie ist negativ (hat ein Minuszeichen), damit die Probemasse $ \class{brown}{m} $ eine kleinere („negativere“) potentielle Energie hat, wenn sie sich näher zur Masse $ \class{brown}{M} $ befindet. Es ist nur eine Konvention, die die Physiker so festgelegt haben. Wenn du nur an dem Betrag der potentiellen Energie interessiert bist, dann kannst du das Minuszeichen weglassen.

Die potentielle Energie einer Probemasse (z.B. eines Balls) im Gravitationsfeld eines anderen Körpers (z.B. eines Planeten) lässt sich mithilfe der Gravitationsbeschleunigung $ g $ ausdrücken. Multipliziere dazu in Gl. 6 beide Seiten mit dem Radius $ r $, dann bekommst du folgende Gleichung:

$$ \begin{align} g \, r ~=~ G \, \class{brown}{M} \, \frac{1}{r} \end{align} $$

Jetzt kannst du die rechte Seite der Gl. 8 mit $ \class{brown}{m} \, g \, r $ ersetzen:

$$ \begin{align} W_{\text{pot}} ~=~ -\class{brown}{m} \, g \, r \end{align} $$

Wenn wir für die Gravitationsbeschleunigung $ g $ einen Näherungswert für die Erde benutzen, dann sprechen wir von der Fallbeschleunigung und $ r $ entspricht in diesem Fall der Höhe (nennen wir sie $ h $) über dem Erdboden:

$$ \begin{align} W_{\text{pot}} ~=~ \class{brown}{m} \, g \, h \end{align} $$

Das Minuszeichen haben wir weggelassen, weil hier nur der Betrag der potentiellen Energie angegeben ist.

Das Gravitationspotential $ V $ ist potentielle Energie $ W_{\text{pot}} $ pro Masse $ \class{brown}{m} $. Teile also Gleichung 7, um das Gravitationspotential zu bekommen:

$$ \begin{align} V ~=~ \frac{W_{\text{pot}}}{\class{brown}{m}} ~=~ -G \, \class{brown}{M} \, \frac{1}{r} \end{align} $$

Der Vorteil des Gravitationspotentials gegenüber der potentiellen Energie ist, dass es unabhängig ist von der Probemasse $ \class{brown}{m} $.

Was ist der Unterschied zwischen Masse und Gewicht?

Masse $m$ ist die Eigenschaft eines Körpers. Gewicht dagegen ist eine umgangssprachliche Abkürzug für Gewichtskraft $F_\text{g}$. Diese hängt von der Masse $m$ folgendermaßen ab: $ F_\text{g} ~=~ m \, g $.

Was ist der Unterschied zwischen schwerer und träger Masse?

Träge Masse $ \class{brown}{m_\text{t}} $ steckt im Newton-Axiom: $F~=~\class{brown}{m_\text{t}} \, a$. Träge Masse leistet einen Widerstand gegen die Änderung des Bewegungszustandes eines Körpers. Der Bewegungszustand ändert sich bei Richtungsänderung oder bei Beschleunigung des Körpers. Schwere Masse $ \class{brown}{m_\text{s}} $ bezieht sich auf die Gravitation und beeinflusst, wie stark die Gravitationskraft $F_\text{g} ~=~ \class{brown}{m_\text{s}} \, g$ ist. Hierbei ist $g$ die Gravitationsbeschleunigung.

Experimente haben gezeigt, dass träge Masse $ \class{brown}{m_\text{t}} $ und schwere Masse $ \class{brown}{m_\text{s}} $ mit einer Genauigkeit von $10^{-13}$ übereinstimmen und somit als gleich angenommen werden: $\class{brown}{m_\text{t}} = \class{brown}{m_\text{s}} $.