Ich heiße Alexander FufaeV und hier schreibe ich über:

Newton-Axiome (Trägheitsprinzip, Aktionsprinzip, Wechselwirkungsprinzip)

Wichtige Formel

Formel: 2. Newton-Axiom

$$F = \class{brown}{m} \, \class{red}{a}$$ $$F = \class{brown}{m} \, \class{red}{a}$$ $$\class{brown}{m} ~=~ \frac{F}{\class{red}{a}}$$ $$\class{red}{a} = \frac{F}{\class{brown}{m}}$$

Formel umstellen

Was bedeuten diese Formelzeichen?

Kraft

$$ \boldsymbol{F} $$ Einheit $$ \mathrm{N} = \frac{\mathrm{kg} \, \mathrm{m}}{\mathrm{s}^2} $$

Die Kraft bewirkt, dass sich der Körper, auf den diese Kraft einwirkt, eine Beschleunigung erfährt.

Masse

$$ \class{brown}{m} $$ Einheit $$ \mathrm{kg} $$

Die Masse ist die Proportionalitätskonstante im zweiten Newton-Axiom. Sie bestimmt also wie gut sich ein Körper beschleunigen lässt, wie träge der ist.

Beschleunigung

$$ \class{red}{\boldsymbol a} $$ Einheit $$ \frac{\mathrm m}{\mathrm{s}^2} $$

Die Beschleunigung sagt aus, um wie viel sich die Geschwindigkeit des Körpers pro Sekunde ändert.

Inhaltsverzeichnis

Die Newton'schen Axiome der Bewegung sind drei grundlegende Prinzipien, die die Bewegung von Objekten beschreiben. Sie wurden vom berühmten Physiker Sir Isaac Newton formuliert und bilden die Grundlage für das Verständnis der klassischen Mechanik.

Für das Verständnis der Newton-Axiom brauchen wir drei folgende physikalische Größen:

Die Beschleunigung $ \class{red}{a} $ gibt an, wie schnell sich die Geschwindigkeit eines Körpers verändert. Sie wird in der Einheit $ \mathrm{m}/\mathrm{s}^2 $ (Meter pro Quadratsekunde) gemessen. Wenn ein Körper eine Beschleunigung von $ 5 \, \mathrm{m}/\mathrm{s}^2 $ erfährt, dann erhöht sich seine Geschwindigkeit jede Sekunde um $ 5 \, \mathrm{m}/\mathrm{s} $.
Die Masse $ \class{brown}{m} $ ist eine Eigenschaft des Körpers und wird in $ \mathrm{kg} $ (Kilogramm) gemessen. Diese physikalische Größe gibt an, aus wie viel Materie ein Körper besteht.
Die Kraft $ F $ ist eine physikalische Größe, die die Masse $ \class{brown}{m} $ des Körpers mit seiner Beschleunigung $ a $ in Verbindung bringt. Die Kraft wird in der Einheit $ \mathrm{N} $ (Newton) gemessen. Wenn du $ F = 1 \, \mathrm{N} $ Kraft auf einen ein Kilogramm schweren Körper ausübst, dann wird er mit $ 1 \, \mathrm{m}/\mathrm{s}^2 $ beschleunigt. Die Geschwindigkeit des Körpers nimmt mit der Zeit zu, solange diese Kraft auf ihn einwirkt!

1. Newton-Axiom: Trägheitsprinzip

Das erste Newton-Axiom besagt, dass ein Körper in Ruhe bleibt oder sich mit konstanter Geschwindigkeit $ \class{blue}{v} $ bewegt, solange keine äußeren Kräfte auf den Körper wirken. Mit anderen Worten: Ein Körper behält seinen Bewegungszustand bei, solange keine Kräfte darauf einwirken.

Wenn keine resultierende Kraft $ F $ auf einen ruhenden Körper ausgeübt wird, bleibt es ruhend: $ \class{blue}{v} = 0 $.
Wenn keine resultierende Kraft auf einen bewegten Körper wirkt: $ F = 0 $, dann wird sich dieser Körper weiter mit konstanter Geschwindigkeit bewegen: $ \class{blue}{v} = \mathrm{const} $. Wenn beispielsweise ein Fahrzeug mit $ \class{blue}{v} = 5 \, \mathrm{m}/\mathrm{s} $ fährt und diese Geschwindigkeit bleibt gleich, dann wirkt nach dem 1. Newton-Axiom auf das Fahrzeug keine resultierende Kraft.

Both at the time $t_1$ and at a later time $t_2$ the body has the same velocity $ \class{blue}{v} $ when there are no forces acting on the body.

Merksatz für das 1. Newton-Axiom

Ein Körper bleibt in Ruhe oder bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit, solange keine Kräfte auf ihn einwirken.

2. Newton-Axiom: Aktionsprinzip

Während das 1. Newton-Axiom etwas über eine unbeschleunigte Bewegung aussagt, geht es beim 2. Newton-Axiom um beschleunigte Bewegung.

Das zweite Axiom besagt, dass die Beschleunigung $ \class{red}{a} $ eines Körpers proportional zur resultierenden Kraft $ F $ ist und umgekehrt proportional zur Masse $ \class{brown}{m} $ des Körpers. Dieses Prinzip können wir mit einer einfach zu merkenden, folgenden Formel ausdrücken:

$$ \begin{align} F = \class{brown}{m} \, \class{red}{a} \end{align} $$

2. Newton-Axiom: Eine Kraft beschleunigt den Körper

Je größer die auf den Körper wirkende Kraft $ F $, desto größer ist die Beschleunigung $ \class{red}{a} $. Verdoppelst du die Kraft auf den Körper, dann wird der Körper doppelt so schnell beschleunigt.

Ein Körper mit einer größeren Masse $ \class{brown}{m} $ ist schwieriger zu beschleunigen als ein leichterer Körper. Wenn also auf einen schweren und einen leichten Körper eine gleich große Kraft ausgeübt wird, dann wird der leichte Körper mehr beschleunigt.

Merksatz für das 2. Newton-Axiom

Die Beschleunigung eines Objekts ist proportional zur resultierenden Kraft.

Beispiel: Beschleunigung eines Körpers berechnen

Auf einen Körper der Masse 5 kg wirkt eine Kraft von 10 Newton. Wir groß ist die resultierende Beschleunigung, die der Körper erfährt?

Stelle dazu das zweite Newton-Axiom 1 nach der Beschleunigung um und setze die gegebenen Werte ein:

$$ \begin{align} \class{red}{a} ~&=~ \frac{F}{\class{brown}{m}} \\\\
~&=~ \frac{10 \, \mathrm{N}}{ \class{brown}{ 5 \, \mathrm{kg} } } \\\\
~&=~ 2 \, \frac{ \mathrm m }{ \mathrm{s}^2} \end{align} $$

Das 2. Newton-Axiom lässt sich auch mit dem Impuls ("Wucht") $ p = \class{brown}{m} \, \class{blue}{v} $ eines Körpers ausdrücken. Der Impuls ist das Produkt der Masse des Körpers und seiner Geschwindigkeit. Die Geschwindigkeit eines beschleunigten Körpers ändert sich mit der Zeit. Bei einer gleichmäßigen Beschleunigung gilt: $ \class{red}{a} = \Delta v / \Delta t $. Anders gesagt: Innerhalb der Zeitspanne $ \Delta t $ hat sich die Geschwindigkeit um $ \Delta v $ verändert.

Die Änderung der Geschwindigkeit führt natürlich zu einer Änderung des Impulses:

$$ \begin{align} \Delta p ~=~ \class{brown}{m} \, \Delta v \end{align} $$

Wir nehmen an, dass die Masse bei dieser Geschwindigkeitsänderung gleich bleibt. Wenn wir nun $ \Delta v $ mit $ \Delta v = \class{red}{a} \, \Delta t $ ersetzen, bekommen wir folgende Gleichung:

$$ \begin{align} \Delta p ~=~ \class{brown}{m} \, \class{red}{a} \, \Delta t \end{align} $$

Nach dem 2. Newton-Axiom entspricht $ \class{brown}{m} \, \class{red}{a} $ einer resultierenden Kraft $ F $:

$$ \begin{align} \Delta p ~=~ F \, \Delta t \end{align} $$

Wenn wir nur noch $ \Delta t $ auf die linke Seite der Gleichung bringen, bekommen wir das 2. Newton-Axiom, das mit der zeitlichen Impulsänderung ausgedrückt ist:

$$ \begin{align} \frac{\Delta p}{\Delta t} ~=~ F \end{align} $$

Diese Formel besagt, dass eine Kraft, die auf einen Körper einwirkt, dazu führt, dass sich der Impuls des Körpers verändert.

Beispiel: Impulsänderung nach einer Krafteinwirkung

Auf einen Körper wirkt innerhalb von 3 Sekunden eine Kraft von 10 Newton. Welche Impulsänderung hat der Körper erfahren?

Stelle dazu Formel 6 nach der Impulsänderung $ \Delta p $ um und setze die gegebenen Werte ein:

$$ \begin{align} \Delta p ~&=~ F \, \Delta t \\\\
~&=~ 10 \, \mathrm{N} \cdot 3 \, \mathrm{s} \\\\
~&=~ 30 \, \frac{ \mathrm{kg} \cdot \mathrm{m} }{ \mathrm{s}} \end{align} $$

Wenn wir annehmen können, dass die Masse des Körpers während dieser Zeitspanne nicht verändert hat, hat diese Impulsänderung dazu geführt, dass sich die Geschwindigkeit des Körpers um $ 30 \, \frac{ \mathrm{m} }{ \mathrm{s}} $ verändert hat.

3. Newton-Axiom: Wechselwirkungsprinzip

Das dritte Newton-Axiom besagt, dass auf jede Kraft $ F_{\text{actio}} $ (Aktion) eine gleich große, entgegengesetzt gerichtete Kraft $ F_{\text{reactio}} $ (Reaktion) folgt. Wenn ein Körper A eine Kraft $ F_{\text{actio}} $ auf einen anderen Körper B ausübt (Aktion), wird der Körper B eine gleich große, aber entgegengesetzt gerichtete Kraft $ F_{\text{reactio}} $ auf den Körper A ausüben (Reaktion). Mit anderen Worten: Kräfte treten immer paarweise auf und wirken auf unterschiedliche Körper.

Das 3. Newton-Axiom lässt sich mit der folgenden Formel ausdrücken:

$$ \begin{align} F_{\text{actio}} ~=~ -F_{\text{reactio}} \end{align} $$

Beispiel: Rakete hebt ab

Eine Rakete übt auf den Treibstoff eine Kraft $F_{\text{actio}}$ aus. Nach dem dritten Newton-Axiom übt der ausgestoßene Treibstoff eine Gegenkraft $F_{\text{reactio}}$ auf die Rakete aus und sie hebt ab. Es ist sehr wichtig zu begreifen, dass die Kraft und die Gegenkraft NICHT auf denselben Körper wirken! Wenn sie das tun würden, würden sie sich gegenseitig aufheben und die resultierende Kraft wäre Null - die Rakete würde gar nicht abheben.

3. Newton-Axiom: Kraft am Treibstoff und Gegenkraft an der Rakete

Merksatz für das 3. Newton-Axiom

Jede Kraft $ F_{\text{actio}} $ verursacht eine gleich große, entgegengesetzt gerichtete Gegenkraft $ F_{\text{reactio}} $.

Beispiel für Kraft und Gegenkraft

Du übst auf eine Kiste eine Kraft von $ F_{\text{actio}} = 10 \, \mathrm{N} $ nach rechts aus, sodass sie nach rechts verschoben wird. Gemäß dem 3. Newton-Axiom gibt es eine gleich große Gegenkraft $ F_{\text{reactio}} = 10 \, \mathrm{N} $, die gleichen Betrag hat und von der Kiste auf dich ausgeübt wird und zwar in entgegengesetzte Richtung (nach links).

Wann ist ein Körper im Kräftegleichgewicht?

Ein Massepunkt ist genau dann im Kräftegleichgewicht, wenn die Summe aller auf den Körper wirkenden Kräfte $F_i$ sich zu Null addieren:

$$ \begin{align} F ~=~ F_1 + F_2 + ~... ~=~ 0 \end{align} $$

Wann versagen Newton-Axiome?

Newton-Mechanik funktioniert nicht, wenn Du eine beschleunigte oder krummlinige Bewegung beschreiben willst, obwohl Du selber in einem beschleunigten Bezugssystem bist. Dann treten nämlich sogenannte Trägheitskräfte auf, die keine reale Ursache haben und damit auch keine Gegenkraft ("Reactio") haben. Zusammengefasst: Newton-Axiome gelten nicht in Nicht-Inertialsystemen.

Außerdem versagen sie bei allzu hohen Geschwindigkeiten (siehe Relativitätstheorie). Aber auch im Mikrokosmos bei der Beschreibung atomarer Objekte.