Ich heiße Alexander FufaeV und hier schreibe ich über:

Gleichmäßig beschleunigte (ungleichförmige) Bewegung

Wichtige Formel

Formel: Gleichmäßig beschleunigte Bewegung

$$x(t) ~=~ x_0 ~+~ \class{blue}{v_0} \, t ~+~ \frac{1}{2} \, \class{red}{a} \, t^2$$ $$x(t) ~=~ x_0 ~+~ \class{blue}{v_0} \, t ~+~ \frac{1}{2} \, \class{red}{a} \, t^2$$ $$x_0 ~=~ x ~-~ \class{blue}{v_0} \, t ~-~ \frac{1}{2} \, \class{red}{a} \, t^2$$ $$\class{blue}{v_0} ~=~ \frac{1}{t} \, \left( x - x_0 - \frac{\class{red}{a}\, t^2}{2} \right)$$ $$t ~=~ -\frac{\class{blue}{v_0}}{\class{red}{a}} \pm \sqrt{ \left( \frac{\class{blue}{v_0}}{\class{red}{a}} \right)^2 ~-~ \frac{2(x_0-x)}{\class{red}{a}} }$$ $$\class{red}{a} ~=~ \frac{2}{t^2} \, \left( x - x_0 - \class{blue}{v_0} \, t \right)$$

Formel umstellen

Was bedeuten diese Formelzeichen?

Position

$$ x(t) $$ Einheit $$ \mathrm{m} $$

Aktuelle Position $x(t)$ eines beschleunigten Objekts zum Zeitpunkt $t$ auf der $x$-Achse.

Anfangsposition

$$ x_0 $$ Einheit $$ \mathrm{m} $$

Position des Objekts zum Zeitpunkt $t = 0$. Üblich ist es die Anfangsposition $x_0 = 0$ zu setzen. Dann ist die Position $x(t)$ gleichzeitig die vom Körper zurückgelegte Strecke nach der Zeit $t$.

Anfangsgeschwindigkeit

$$ \class{blue}{v_0} $$ Einheit $$ \frac{\mathrm m}{\mathrm s} $$

Geschwindigkeit, mit der das Objekt den Beschleunigungsvorgang startet. Wenn das Objekt aus dem Ruhezustand startet, dann ist die Anfangsgeschwindigkeit $ v_0 = 0$.

Zeit

$$ t $$ Einheit $$ \mathrm{s} $$

Das ist die Zeit, während der das Objekt beschleunigt.

Beschleunigung

$$ \class{red}{\boldsymbol a} $$ Einheit $$ \frac{\mathrm m}{\mathrm{s}^2} $$

Gleichmäßige Beschleunigung des Objekts. Das heißt: Jede Sekunde erhöht sich die aktuelle Geschwindigkeit des Körpers um den Wert $a$.

Inhaltsverzeichnis

Ungleichförmige Bewegung eines Objekts (zum Beispiel eines Autos) bedeutet, dass sich das Objekt mit einer sich ändernden Geschwindigkeit fortbewegt. Im Gegensatz zur gleichförmigen Bewegung, bei der sich die Geschwindigkeit nicht verändert, beschleunigt das Objekt in diesem Fall oder es verlangsamt sich oder es ändert seine Richtung. Oft spricht man von der beschleunigten Bewegung und meint damit sowohl Verlangsamung, Beschleunigung oder Richtungsänderung.

Eine entscheidende physikalische Größe dieser Lektion ist die Beschleunigung $ \class{red}{a} $ (aus dem Englischen: acceleration). Die Beschleunigung wird in der Einheit $ \mathrm{m}/\mathrm{s}^2 $ (Meter pro Quadratsekunde) gemessen und gibt an, wie schnell sich die Geschwindigkeit eines Objekts mit der Zeit verändert.

Beispiel: Was bedeutet eine Beschleunigung von 5 m/s²?

Ein Fahrzeug beschleunigt mit $ \class{red}{a} = 5 \, \mathrm{m}/\mathrm{s}^2 $. Anschaulich bedeutet das: Jede Sekunde erhöht sich die Geschwindigkeit des Fahrzeugs um 5 Meter pro Sekunde. Wenn das Fahrzeug zum Beispiel am Anfang die Geschwindigkeit $ 10 \, \mathrm{m}/\mathrm{s} $ hatte, dann hat es nach einer Sekunde eine Geschwindigkeit von $ 15 \, \mathrm{m}/\mathrm{s} $. Nach einer weiteren Sekunde $ 20 \, \mathrm{m}/\mathrm{s} $ und so weiter. Das Fahrzeug beschleunigt!

In dieser Lektion betrachten wir eine beschleunigte Bewegung des Objekts, bei der die Beschleunigung $ \class{red}{a} $ sich zeitlich nicht verändert, also konstant ist. Die Bewegung mit einer konstanten Beschleunigung wird gleichmäßig beschleunigte Bewegung genannt.

Positionsänderung bei beschleunigter Bewegung mit Startposition und Geschwindigkeit

Im Folgenden nehmen wir an, dass sich das Objekt auf einer geraden Strecke bewegt. Wir sagen dazu: Die Bewegung ist eindimensional. Die Position $ x(t) $ des ungleichförmig bewegten Objekts auf dieser Strecke zum Zeitpunkt $ t $ ist gegeben durch die folgende Formel:

$$ \begin{align} x(t) ~=~ x_0 ~+~ \class{blue}{v_0} \, t ~+~ \frac{1}{2} \, \class{red}{a} \, t^2 \end{align} $$

Das Objekt hat an der Anfangsposition $ x_0 $ angefangen mit der Beschleunigung $ \class{red}{a} $ zu beschleunigen (oder abzubremsen). Das war zum Zeitpunkt $ t = 0 $. An dieser Anfangsposition stand das Objekt nicht unbedingt still, sondern hatte bereits eine konstante Anfangsgeschwindigkeit $ \class{blue}{v_0} $. Diese wird während des Beschleunigungsvorgangs weiter zunehmen oder abbremsen.

Meistens wird die Anfangsposition des Beschleunigungsvorgangs auf Null gesetzt: $ x_0 = 0 $. Dann vereinfacht sich die Formel 1 zu der folgenden Formel:

$$ \begin{align} x(t) ~=~ \class{blue}{v_0} \, t ~+~ \frac{1}{2} \, \class{red}{a} \, t^2 \end{align} $$

Es kann natürlich auch sein, dass das Objekt vor der Beschleunigung stillstand. Es hatte also keine Anfangsgeschwindigkeit: $ \class{blue}{v_0} = 0 $. Dann vereinfacht sich Formel 2 weiter zu der folgenden Formel:

$$ \begin{align} x(t) ~=~ \frac{1}{2} \, \class{red}{a} \, t^2 \end{align} $$

Zurückgelegte Strecke bei beschleunigter Bewegung

Das Objekt, welches mit der Beschleunigung $ \class{red}{a} $ beschleunigt, legt innerhalb der Zeitspanne $ \class{brown}{\Delta t} = t_2 - t_1 $ die Strecke $ \class{green}{\Delta x} $ zurück:

$$ \begin{align} \class{green}{\Delta x} ~=~ \class{blue}{v_0} \, (t_2 - t_1) ~+~ \frac{1}{2} \, \class{red}{a} \, (t_2 - t_1)^2 \end{align} $$

Zurückgelegte Strecke eines beschleunigenden Teslas

Ein Tesla-Fahrzeug startet den Beschleunigungsvorgang mit einer Anfangsgeschwindigkeit von $ 10 \, \text{m}/\text{s} $ und einer gleichmäßigen Beschleunigung von $ 25 \, \text{m}/\text{s}^2 $. Welche Strecke hat das Fahrzeug nach 5 Sekunden zurückgelegt?

$$ \begin{align} \class{green}{\Delta x} ~&=~ \class{blue}{v_0} \, (t_2 - t_1) ~+~ \frac{1}{2} \, \class{red}{a} \, (t_2 - t_1)^2 \\\\
~&=~ \class{blue}{10 \, \frac{\text m}{\text s}} \cdot \class{brown}{5 \, \text{s}} ~+~ \frac{1}{2} \cdot \class{red}{25 \, \text{m}/\text{s}^2} \cdot (\class{brown}{5 \, \text{s}} )^2 \\\\
~&=~ 362.5 \, \text{m} \end{align} $$

Hierbei wurde der Startzeitpunkt $ t_1 = 0 $ gesetzt und der Endzeitpunkt $ t_2 = 5 \, \mathrm{s} $, sodass $ \class{brown}{\Delta t} = 5 \, \mathrm{s} $.

Wenn das Objekt den Beschleunigungsvorgang aus dem Stillstand ( $ \class{blue}{v_0} = 0 $ ) gestartet hat, dann kannst du die zurückgelegte Strecke des Objekts folgendermaßen berechnen:

$$ \begin{align} \class{green}{\Delta x} ~=~ \frac{1}{2} \, \class{red}{a} \, ( t_2 ~-~ t_1 )^2 \end{align} $$

Zurückgelegte Strecke eines Objekts während einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung

Geschwindigkeit in Abhängigkeit von der Zeit und Position

Die Geschwindigkeit $ \class{blue}{v(}t\class{blue}{)} $ eines beschleunigenden Objekts lässt sich in Abhängigkeit von der Zeit $ t $ folgendermaßen berechnen:

$$ \begin{align} \class{blue}{v(}t\class{blue}{)} ~=~ {\class{blue}{v_0}} ~+~ \class{red}{a} \, t \end{align} $$

Die Geschwindigkeit $ \class{blue}{v(}x\class{blue}{)} $ eines beschleunigenden Objekts lässt sich auch in Abhängigkeit von der aktuellen Position $ x $ des Objekts berechnen:

$$ \begin{align} \class{blue}{v(}x\class{blue}{)} ~=~ \sqrt{ {\class{blue}{v_0}}^2 ~+~ 2 \class{red}{a} \,(x - x_0) } \end{align} $$

Verschiedene Geschwindigkeiten an verschiedenen Positionen bei beschleunigter Bewegung

Beispiel: Geschwindigkeit nach einer bestimmten Strecke

Ein Fahrzeug hat von 0 auf $ 27.8 \, \mathrm{m}/\mathrm{s} $ (100 km/h) innerhalb von 4 Sekunden beschleunigt und dabei eine Strecke von 200 Metern zurückgelegt. Welche Geschwindigkeit hat das Fahrzeug nach diesen 200 Metern?

Die zurückgelegte Strecke von $x_0$ bis $x$ ist: $ x - x_0 = 200 \, \mathrm{m} $. Eine Beschleunigung von 0 auf $ 27.8 \, \mathrm{m}/\mathrm{s} $ entspricht einer Beschleunigung $ \class{red}{a} = \frac{ 27.8 \, \mathrm{m}/\mathrm{s} }{ 4 \, \mathrm{s} } = 6.95 \, \mathrm{m}/\mathrm{s}^2 $. Die Anfangsgeschwindigkeit ist in diesem Fall $ \class{blue}{v_0} = 0 $. Einsetzen der Werte ergibt:

$$ \begin{align} \class{blue}{v(}x\class{blue}{)} ~&=~ \sqrt{ {\class{blue}{v_0}}^2 ~+~ 2 \class{red}{a} \,(x - x_0) } \\\\
~&=~ \sqrt{ 2 \cdot \class{red}{6.95 \, \mathrm{m}/\mathrm{s}^2} \cdot 200 \, \mathrm{m} } \\\\
~&=~ \class{blue}{52.7 \, \frac{ \mathrm{m} }{ \mathrm{s} }} \end{align} $$

Durchschnittsgeschwindigkeit

Bei einer beschleunigten Bewegung ändert sich natürlich die Geschwindigkeit des Objekts von einem Zeitpunkt zum nächsten. Oder anders gesagt: An der Positionen $x_1$ zum Zeitpunkt $t_1 $ hat es die Geschwindigkeit $ \class{blue}{v_1} $ und an der Position $x_2$ zum Zeitpunkt $t_2$ hat das Objekt eine andere Geschwindigkeit $ \class{blue}{v_2} $. Du kannst eine konstante Durchschnittsgeschwindigkeit $ \class{blue}{\bar v} $ berechnen, die das Objekt zwischen den Positionen $x_2$ und $x_1$ besaß:

$$ \begin{align} \class{blue}{\bar v} ~=~ \frac{x_2 - x_1}{t_2 - t_1} \end{align} $$

Weg-Zeit-Diagramm und Durchschnittsgeschwindigkeit

Die Durchschnittsgeschwindigkeit ist die Strecke $ \class{green}{\Delta x} = x_2 - x_1 $, die innerhalb der Zeitspanne $ \class{brown}{\Delta t} = t_2 - t_1 $ zurückgelegt wurde.

Beispiel: Durchschnittsgeschwindigkeit eines Tesla-Fahrzeugs

Ein Tesla-Fahrzeug fährt 300 Kilometer (300 000 Meter) in einer Gesamtzeit von 5 Stunden (18 000 Sekunden). Mit welcher Durchschnittsgeschwindigkeit ist das Fahrzeug gefahren?

$$ \begin{align} \class{blue}{\bar v} ~&=~ \frac{ \class{green}{\Delta x} }{ \class{brown}{\Delta t} } \\\\
~&=~ \frac{ \class{green}{ \class{green}{300 \, \mathrm{km}}} }{ \class{brown}{5 \, \mathrm{h}} } \\\\
~&=~ \class{blue}{60 \, \mathrm{km} / \mathrm{h}} \end{align} $$

In SI-Einheiten entspricht das einer Durchschnittsgeschwindigkeit von $ \class{blue}{16.7 \, \mathrm{m} / \mathrm{s}} $.

Beschleunigte Bewegung in einem Diagramm

Wenn du die Position $x$ des ungleichförmig bewegten Objekts in Abhängigkeit von der Zeit $t$ in einem Diagramm einträgst, also die Funktion $x(t)$ aus Gl. 1, dann bekommst du ein Weg-Zeit-Diagramm einer beschleunigten Bewegung, so wie in der Illustration 5 gezeigt. Die Wegfunktion $ x(t) $ ist eine nach oben oder nach unten geöffnete Parabel.

Weg-Zeit-Diagramm bei einer beschleunigten Bewegung

In dem Weg-Zeit-Diagramm sind zwei mögliche Fälle der ungleichförmigen Bewegung gezeigt, je nachdem ob die Beschleunigung $a$ positiv oder negativ ist:

Wenn die Beschleunigung positiv ist: $ a > 0 $, dann beschleunigt das Objekt. Seine Geschwindigkeit nimmt zu. Bei einem beschleunigenden Objekt ist die Parabel nach oben geöffnet.
Wenn die Beschleunigung negativ ist: $ a < 0 $, dann bremst das Objekt ab. Seine Geschwindigkeit $v$ nimmt ab und wird zu einem bestimmten Zeitpunkt Null: $v=0$. Die Beschleunigung ist zu diesem Zeitpunkt ebenfalls Null: $a = 0$. Bei einem bremsenden Objekt ist die Parabel nach unten geöffnet.

Wie sieht der Graph aus, wenn du die Geschwindigkeit $\class{blue}{v(}t\class{blue}{)}$ eines ungleichförmig bewegten Objekts in Abhängigkeit von der Zeit $t$ aufträgst? Dann bekommst du ein Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm mit einer Geraden, so wie in der Illustration 6 gezeigt. Die konstante Steigung dieser Geraden ist das Verhältnis der Geschwindigkeitsänderung $ \Delta v $ zu der Zeitspanne $ \class{brown}{\Delta t} $, die für diese Geschwindigkeitsänderung notwendig war. Die Steigung entspricht also der konstanten Beschleunigung.

Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm bei einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung