Potentielle Energie: Fähigkeit Arbeit zu verrichten!
Wichtige Formel
Was bedeuten diese Formelzeichen?
Potentielle Energie
$$ W_{\text{pot}} $$ Einheit $$ \mathrm{J} $$Die Formel ist eine Näherung für die potentielle Energie, wenn der Körper nicht zu weit weg vom Planeten entfernt ist.
Fallbeschleunigung
$$ g $$ Einheit $$ \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2} $$Höhe
$$ h $$ Einheit $$ \mathrm{m} $$Bei der Angabe der potentiellen Energie ist es deshalb wichtig auch zu wissen, bezüglich welchen Nullpunkts wird die potentielle Energie gemessen. Bezüglich des Erdbodens, bezüglich des Meeresspiegels, bezüglich des Hausdaches etc.
Masse
$$ \class{brown}{m} $$ Einheit $$ \mathrm{kg} $$Inhaltsverzeichnis
Es gibt unterschiedliche Formen der potentiellen Energie. Ein Körper besitzt genau dann potentielle Energie, wenn er sich in einem sogennanten Kraftfeld befindet. Dies kann zum Beispiel ein elektrisches Feld oder Gravitationsfeld sein.
Gravitationsfeld unserer Erde ist ein mögliches Kraftfeld, das eine Auswirkung auf massebehaftete Körper hat. Das merkst Du daran, dass beispielsweise ein Ball zu Boden fällt und nicht einfach in der Luft schwebt. Ob der Ball dabei elektrisch geladen ist, hat keine Auswirkung auf die Stärke der gravitativen Anziehungskraft.
Elektrisches Feld entlang eines elektrischen Leiters führt dazu, dass die elektrischen Ladungen (Elektronen) durch den Leiter wandern und Deine Lampe zum Leuchten bringen.
Potentielle Energie im Gravitationsfeld
Um ein Gefühl dafür zu bekommen, wie groß die gravitative potentielle Energie ein Körper im Gravitationsfeld besitzt, nehmen wir beispielhaft einen Apfel. Lasse den Apfel aus 10 Meter Höhe in einen Haufen Sand fallen. Schau Dir dann die Tiefe des Einschlaglochs an. Wirf dann den Apfel aus 20 Metern Höhe und dann aus 50 Metern. Du wirst feststellen, dass das Einschlagloch umso tiefer ist, je größer die Anfangshöhe war, von der Du den Apfel geworfen hast. Es ist intuitiv klar, dass der Apfel, der aus einer größeren Höhe fiel, am Anfang die größte potentielle Energie besaß. Die Höhe über dem Erdboden können wir beispielsweise kurz und einprägsam mit \( h \) bezeichnen. Die Einheit der Höhe ist \( \text{m} \) (Meter).
Eine weitere Zutat für die Größe der potentielle Energie ist die Masse \( m \) (steht für englisches Wort "mass"). Du könntest das gleiche Experiment mit dem Apfel durchführen; jedoch immer einen dickeren Apfel (d.h. mit mehr Masse) hinunterwerfen. Natürlich solltest Du die unterschiedlich schweren Äpfel stets von der gleichen Höhe werfen, um zu sehen, ob die Masse einen Einfluss auf die Tiefe des Einschlaglochs hat! Du wirst feststellen, dass es keine Rolle für die Lochtiefe hat, ob Du eine doppelte Höhe oder doppelte Masse nimmst.
Was würde passieren, wenn Du das Experiment mit dem Apfel auf dem Mond durchführen würdest? Damit Du diese Frage beantworten kannst, musst Du wissen, welche weitere physikalische Größen die potentielle Energie im Gravitationsfeld beeinflussen. Aus dem obigen Beispiel ist es klar, dass die Höhe und die Masse des Körpers seine potentielle Energie beeinflusst, denn ein höher liegender Apfel bzw. ein schwererer Apfel verrichtet mehr Arbeit und verursacht damit ein tieferes Loch.
Die weißt, dass die Gravitationskraft \( F_{\text g} \), also die Kraft die auf einen Körper im Gravitationsfeld wirkt, das Produkt aus seiner Masse \( m \) und der Gravitationsbeschleunigung \( g \) ist: 1 \[ F_{\text g} ~=~ m \, g \] wobei ein Körper oberhalb unserer Mutter Erde eine Beschleunigung von \( 9.8 \, \frac{\text m}{\text{s}^2} \) erfährt. Das heißt: Innerhalb einer Sekunde, nimmt die Geschwindigkeit des fallenden Körpers um satte \( 9.8 \, \frac{\text m}{\text s} \) zu! Auf dem Mond ist das Gravitationsfeld schwächer, weshalb dort die Körper nicht so stark beschleunigt werden. Dort ist die Gravitationsbeschleunigung gerade mal \( 1.6 \, \frac{\text m}{\text{s}^2} \).
Wie viel Arbeit nun ein Körper verrichtet hat, hängt davon ab, über welche Strecke die Gravitationskraft eingewirkt hat. Im obigen Fall hat die Gravitationskraft über eine Strecke von 10 Metern auf den Apfel eingewirkt, dann 20 Meter und am Ende sogar 50 Meter. Die verrichtete Arbeit ist "Kraft multipliziert mit dem zurückgelegten Weg", wobei in unserem Fall der Weg die Höhe über dem Erdboden ist: 2 \[ \text{Verrichtete Arbeit} ~=~ F_{\text g} \, h ~=~ m \, g \, h \]
Wenn der Apfel aber noch nicht losgelassen, sondern auf der Höhe \( h \) gehalten wird, hat er ja noch keine Arbeit verrichten können. ABER, er könnte sie verrichten, wenn er losgelassen wird! Deshalb bezeichnen wir die Formel 2
in diesem Fall mit potentieller Energie. Der Apfel besitzt also ein "Potential" die durch 2
gegebene Arbeit zu verrichten:
An der Formel 3
kannst Du auch ablesen, welche physikalische Einheit die potentielle Energie hat:
4
\[ [W_{\text{pot}}] ~=~ \text{kg} \, \frac{\text m}{\text{s}^2} \, \text{m} ~=~ \frac{\text{kg} \, \text{m}^2}{\text{s}^2} \]
Um diese lange Einheit für Energie nicht ständig hinter jedem Ergebnis schreiben zu müssen, wird sie einfach mit einem großen \( \text{J} \) abgekürzt. Dieser Buchstabe steht für "Joule", zu Ehren eines schlauen Physikers.
Du hast eine 0.5 Liter Cola Flasche getrunken. Auf dem Flaschenetikett liest du ab, dass in dieser Menge Cola \(836 \, \text{kJ}\) Energie stecken. Du möchtest dich nun sportlich betätigen, um diese aufgenommene Energie wieder zu 'verbrennen'. Da du eben das Wissen über die potentielle Energie erworben hast, entschließt du dich fürs Bergsteigen. Du fragst dich also, wie hoch muss du nach oben klettern, bis du die \(836 \, \text{kJ}\) 'verbrannt' hast. Dazu benutzt du die Formel 3
für potentielle Energie und stellst sie nach der Höhe \(h\) um:
5
\[ h ~=~ \frac{W_{\text{pot}}}{m \, g} \]
Die zu verbrennende Energie beträgt \(W_{\text{pot}} = 836 \, \text{kJ} = 836 \cdot 10^3 \, \text{J}\). Deine Masse kennst du auch: \( m = 60 \, \text{kg}\). Die Gravitationsbeschleunigung \(g\) auf der Erde ist dir auch bekannt: \( g = 9.8 \, \frac{\text m}{\text{s}^2} \). Einsetzen der Werte in 5
ergibt die notwendige Höhe \(h\) fürs Loswerden der Energie der getrunken Cola:
5
\[ h ~=~ \frac{836 \cdot 10^3 \, \text{J}}{60 \, \text{kg} \cdot 9.8 \, \frac{\text m}{\text{s}^2}} ~=~ 1421 \, \text{m} \]
Viel Spaß beim Klettern!
Übungen mit Lösungen
Nutze diese Formelsammlung, wenn du Probleme mit Physikaufgaben hast.Aufgabe #1: Kalorien einer Limonade verbrennen
Du hast ein Glas Limonade mit einem Energiegehalt von \(200 \, \text{kCal}\) getrunken. Am nächsten Tag willst Du eine \(10 \, \text{kg} \) schwere Limonadenkiste den Berg hochschleppen, um die aufgenommenen Kalorien wieder zu verbrennen. Wie hoch musst Du dafür theoretisch die Kiste hochtragen?
Berücksichtige auch Deine Masse, indem Du annimmst, dass Du \(70 \, \text{kg} \) wiegst. Kinetische Energie, Wärme durch Reibung etc. können vernachlässigt werden.
Tipp: Rechne zuerst die Kalorien in Joule um: \[ 1 \, \text{Cal} = 4.184 \, \text{J} \]
Lösung zur Aufgabe #1
Eine Kalorie entspricht folgender Menge an Joule: \[ 1 \, \text{Cal} = 4.184 \, \text{J}\]
Dann ist: \[ 200 \, \text{kCal} = 200 \cdot 4.184 \cdot 1000 \, \text{J} = 836800 \, \text{J} \]
Damit Du diese Enegie wieder loswirst, musst Du - nach der Formel für potentielle Energie - 1067 Meter die Kiste den Berg hochschleppen: \[ h = \frac{W}{m \, g} = \frac{836800 \, \text{J}}{(70\,\text{kg} + 10\,\text{kg}) \cdot 9.8 \, \frac{\text m}{\text{s}^2}} = 1067 \, \text{m} \]
Das entspricht ungefähr einem Kilometer.
Aufgabe #2: Potentielle Energie auf verschiedenen Höhen
Welche potentielle Energie hat ein Mensch, der 70 Kilogramm wiegt, wenn er auf das folgende Gebäude klettert:
- Schiefer Turm von Pisa, \(57 \, \mathrm{m}\).
- Eiffelturm, \(300 \, \mathrm{m}\).
- Burj Khalifa, \(828 \, \mathrm{m}\).
Lösung zur Aufgabe #2.1
Benutze die Formel für potentielle Energie: $$ W_{\text{pot}} = m \, g \, h $$
Setze die Masse \(m=70\,\mathrm{kg}\), die Fallbeschleunigung \( 9.8\,\frac{\mathrm m}{\mathrm{s}^2} \) sowie die Höhe des Schiefen Turms von Pisa \(h=57\,\mathrm{m}\) ein, um Deine potentielle Energie auf dieser Höhe herauszufinden: $$ \begin{aligned} W_{\text{pot}} ~&=~ 70\,\mathrm{kg} \cdot 9.8\,\frac{\mathrm m}{\mathrm{s}^2} \cdot 57\,\mathrm{m} \\\\ ~&=~ 39 102 \, \mathrm{J} \end{aligned} $$
Das sind ungefähr \( 39\,\mathrm{kJ} \). Beachte, dass \( 1\,\frac{\mathrm{kg} \, \mathrm{m}^2}{\mathrm{s}^2} = 1 \, \mathrm{J} \). $$ \begin{aligned} W_{\text{pot}} ~&=~ 70\,\mathrm{kg} \cdot 9.8\,\frac{\mathrm m}{\mathrm{s}^2} \cdot 57\,\mathrm{m} \\\\ ~&=~ 39 102 \, \mathrm{J} \end{aligned} $$
Lösung zur Aufgabe #2.2
Setze wie im Aufgabenteil 2.1 die Masse \(m=70\,\mathrm{kg}\), die Fallbeschleunigung \( 9.8\,\frac{\mathrm m}{\mathrm{s}^2} \) sowie die Höhe des Eiffelturms \(h=300\,\mathrm{m}\) in die Formel für potentielle Energie ein, um Deine potentielle Energie auf dieser Höhe herauszufinden: $$ \begin{aligned} W_{\text{pot}} ~&=~ 70\,\mathrm{kg} \cdot 9.8\,\frac{\mathrm m}{\mathrm{s}^2} \cdot 300\,\mathrm{m} \\\\ ~&=~ 205 800 \, \mathrm{J} \end{aligned} $$
Das sind ungefähr \( 206\,\mathrm{kJ} \). $$ \begin{aligned} W_{\text{pot}} ~&=~ 70\,\mathrm{kg} \cdot 9.8\,\frac{\mathrm m}{\mathrm{s}^2} \cdot 300\,\mathrm{m} \\\\ ~&=~ 205 800 \, \mathrm{J} \end{aligned} $$
Lösung zur Aufgabe #2.3
Setze wie im Aufgabenteil 2.1 die Masse \(m=70\,\mathrm{kg}\), die Fallbeschleunigung \( 9.8\,\frac{\mathrm m}{\mathrm{s}^2} \) sowie die Höhe des Burj Khalifa \(h=828\,\mathrm{m}\) in die Formel für potentielle Energie ein, um Deine potentielle Energie auf dieser Höhe herauszufinden: $$ \begin{aligned} W_{\text{pot}} ~&=~ 70\,\mathrm{kg} \cdot 9.8\,\frac{\mathrm m}{\mathrm{s}^2} \cdot 828\,\mathrm{m} \\\\ ~&=~ 568 008 \, \mathrm{J} \end{aligned} $$
Das sind ungefähr \( 568\,\mathrm{kJ} \). $$ \begin{aligned} W_{\text{pot}} ~&=~ 70\,\mathrm{kg} \cdot 9.8\,\frac{\mathrm m}{\mathrm{s}^2} \cdot 828\,\mathrm{m} \\\\ ~&=~ 568 008 \, \mathrm{J} \end{aligned} $$