Ich heiße Alexander FufaeV und hier schreibe ich über:

Mechanische Arbeit - als physikalische Größe in der Physik

Wichtige Formel

Formel: Mechanische Arbeit

$$\Delta W ~=~ F \, \class{red}{s} \, \cos(\class{green}{\alpha})$$ $$\Delta W ~=~ F \, \class{red}{s} \, \cos(\class{green}{\alpha})$$ $$F ~=~ \frac{ \Delta W }{ \class{red}{s} \, \cos(\class{green}{\alpha}) }$$ $$\class{red}{s} ~=~ \frac{ \Delta W }{ F \, \cos(\class{green}{\alpha}) }$$ $$\class{green}{\alpha} ~=~ \arccos\left( \frac{ \Delta W }{ \class{red}{s} \, F } \right)$$

Formel umstellen

Was bedeuten diese Formelzeichen?

Arbeit

$$ \Delta W $$ Einheit $$ \mathrm{J} = \mathrm{Nm} = \frac{ \mathrm{kg} \, \mathrm{m^2} }{ \mathrm{s}^2 } $$

Das ist die Energie, die ein Körper (z.B. ein Rollwagen) gewinnt oder verliert, wenn AUF diesen oder VON diesem Körper eine Kraft $F$ ausgeübt wird.

Kraft

$$ \boldsymbol{F} $$ Einheit $$ \mathrm{N} = \frac{\mathrm{kg} \, \mathrm{m}}{\mathrm{s}^2} $$

Das ist die Kraft, die der Körper ausübt (Arbeit wird VOM Körper verrichtet) oder die auf den Körper ausgeübt wird (Arbeit wird AM Körper verrichtet).

Strecke

$$ \class{red}{s} $$ Einheit $$ \mathrm{m} $$

Strecke, entlang der, der Körper die Kraft $F$ ausübt oder entlang der, auf den Körper die Kraft $F$ ausgeübt wird. Wirkt beispielsweise auf den Körper die Kraft entlang einer längeren Strecke $s$ ein, dann ist die am Körper verrichtete Arbeit $\Delta W$ größer. Dadurch gewinnt der Körper an kinetischer Energie (Bewegungsenergie).

Winkel

$$ \class{green}{\alpha} $$ Einheit $$ - $$

Das ist der Winkel, der vom Kraftvektor $\boldsymbol{F}$ und dem Verschiebungsvektor $\class{red}{\boldsymbol{s}}$ eingeschlossen wird.

Steht der Kraftvektor orthogonal zum Verschiebungsvektor, also unter einem 90 Grad Winkel, dann ist der Cosinus Null und damit auch die verrichtete Arbeit $\Delta W$. Wenn dagegen der Kraftvektor parallel zum Verschiebungsvektor zeigt, ist die verrichtete Arbeit $\Delta W$ maximal, weil dann der Cosinus Eins (maximal) ist.

Kraft parallel zur Verschiebung

Kraft $F$ wirkt entlang des Wegs $s$ auf eine Rollkiste.

Betrachte zwei Orte im Raum, beispielsweise eine gerade Rennbahnstrecke mit einer Startposition und einer Zielposition. Bezeichne die Strecke zwischen diesen beiden Postionen als $s$. Nun wird genau am Startpunkt eine perfekt rollende Kiste platziert und von dir mit einer Kraft $F$, entlang der geraden Strecke, bis zum Zielpunkt geschoben. Die an der Kiste verrichtete Arbeit $W$ beträgt dann:

Arbeit (Kraft parallel zur Verschiebung) 1 \[ W ~=~ F \, s \]

Die Arbeit $W$ hat die Einheit der Energie [J] (Joule).

Wie viel ist ein Joule?Ein Joule ist die Energiemenge, die benötigt wird, um eine Sekunde lang, eine Leistung von einem Watt zu erbringen. Eine gewöhnliche Glühlampe besitzt zum Vergleich 100 Watt Leistung. Du bräuchtest also 100 Joule, um die Glühlampe eine Sekunde leuchten zu lassen.

Die Arbeit $W$ ist also eine Energiegröße. Was sagt diese Energiegröße aus? Um das Ganze besser zu verstehen, ist es wichtig anzunehmen, dass die rollende Kiste perfekt rollt, damit die Reibung keinen Einfluss auf die Bewegung der Kiste hat. Dann hat die entlang der Strecke $s$ geschobene Rollkiste mit der Kraft $F$ eine Energie von der Größe $F \, s$ gewonnen und zwar in Form von kinetischer Energie (Bewegungsenergie). Wäre die Reibungskraft nicht vernachlässigt worden, wäre die Rollkiste irgendwann zum Stehen geblieben und die gewonnene kinetische Energie $ F \, s $ hätte die Rollkiste irgendwann wieder verloren.

Die Arbeit ist also die Energiedifferenz zwischen der Energie $W_{\text{vor}}$, die der Körper VOR der Einwirkung der Kraft hatte und der Energie $W_{\text{nach}}$, die der Körper NACH der Einwirkung der Kraft hatte. Die an einem Körper verrichtete Arbeit $W$ ist die Energie, die der Körper durch die auf ihn einwirkende Kraft, gewinnt oder verliert.

Ist Arbeit positiv oder negativ?

Die Arbeit $W$ kann positiv oder negativ sein, je nach dem, ob die Energiedifferenz 2 \[ W ~=~ W_{\text{nach}} ~-~ W_{\text{vor}} \] positiv oder negativ ist.

Wenn die Energiedifferenz und damit auch die Arbeit positiv ist: $ W > 0 $, dann muss nach 2 die Energie $W_{\text{nach}}$ nach der Einwirkung der Kraft auf den Körper, größer geworden sein als die Energie $ W_{\text{vor}}$, die der Körper vor der Einwirkung der Kraft besaß: $ W_{\text{nach}} > W_{\text{vor}} $. Der Körper hat diese Energiemenge gewonnen. Wenn die verrichtete Arbeit $W > 0 $ positiv ist, dann hat dieser Körper die Energie $W$ gewonnen. Man sagt: Es wird Arbeit AM Körper verrichtet.

Wenn die Energiedifferenz und damit auch die Arbeit negativ ist: $ W < 0 $, dann muss nach 2 die Energie $W_{\text{nach}}$ nach der Einwirkung der Kraft auf den Körper, kleiner geworden sein als die Energie $ W_{\text{vor}}$, die der Körper vor der Einwirkung der Kraft besaß: $ W_{\text{nach}} < W_{\text{vor}} $. Wenn die verrichtete Arbeit $W < 0 $ negativ ist, dann hat dieser Körper die Energie $W$ verloren. Man sagt: Es wird Arbeit VOM Körper verrichtet.

Kraft NICHT parallel zur Verschiebung

Kraft $F$ wirkt nicht parallel zum Weg $s$ auf eine Rollkiste, sondern unter einem Winkel $\alpha$.

Was ist nun, wenn die zurvor im Beispiel betrachtete Kraft $F$, mit deren Hilfe die Energiemenge $W$ dem Rollkasten zugeführt wurde, NICHT parallel zur Verschiebung einwirkt? Dann kommt zusätzlich der Winkel $\alpha$ ins Spiel. Das ist der Winkel zwischen dem Kraftvektor und dem Vektor der Verschiebung, der eben in Richtung der Verschiebung zeigt, also entlang der Rennbahn in unserem Beispiel.

Arbeit (Kraft nicht parallel zur Verschiebung) 3 \[ W ~=~ F \, s \, \cos(\alpha) \]

Wenn der Winkel $\alpha = 0^{\circ} $ ist, dann sind der Kraftvektor und der Verschiebungsvektor parallel zueinander. Der Cosinus von Null Grad ist $\cos(0) = 1 $ und es ergibt sich der einfachste Fall, der durch die Formel 1 beschrieben wird. Die am Körper verrichtete Arbeit $W$ ist dann maximal.

Wenn der Winkel $\alpha = 90^{\circ} $ ist, dann sind der Kraftvektor und der Verschiebungsvektor orthogonal zueinander. Der Cosinus von 90 Grad ist $\cos(90) = 0 $ und damit wird nach 3 die am Körper verrichtete Arbeit ebenfalls Null. Also minimal! Im physikalischen Sinne wird am Körper keine Arbeit verrichtet, wenn die Kraft orthogonal zur Verschiebung wirkt.

Arbeit vektoriell formuliert

Die Arbeit $W$ lässt sich auch mithilfe des sogenannten Skalarprodukts '$\cdot$' zwischen dem Kraftvektor $\boldsymbol{F}$ und dem Verschiebungsvektor $\boldsymbol{s}$ ausdrücken:

Verrichtete Arbeit vektoriell 4 \[ W ~=~ \boldsymbol{F} ~\cdot~ \boldsymbol{s} \]

Auf diese Weise lässt sich die Arbeit im Raum, also in drei Dimensionen berechnen.

Beispiel: Wann keine Arbeit verrichtet wird... Wenn Du einen Koffer anhebst, dann verrichtest Du eine Arbeit am Koffer, in dem Du dem eine potentielle Energie (Höhenenergie) mittels Deiner Muskelkraft zuführst. Wenn Du dann aber mit dem angehobenen Koffer stehen bleibst oder mit dem anfängst zu gehen, dann verrichtest Du im physikalischen Sinne keine Arbeit, denn die Verschiebung $ \boldsymbol{s} $ des Koffers ist orthogonal zur Kraft $ \boldsymbol{F} $, die Du zum Anheben des Koffers aufwendest. Wenn zwei Vektoren orthogonal aufeinander stehen, dann verschwindet deren Skalarprodukt: 5 \[ W ~=~ \boldsymbol{F} ~\cdot~ \boldsymbol{s} ~=~ 0 \]