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Quanten-Hall-Effekt (IQHE) an einer Hall-Bar

Inhaltsverzeichnis

Was unterscheidet 2DEG im Kristall vom freien 2DEG im Magnetfeld? Hier lernst Du, was ein freies zweidimensionales Elektronengas im B-Feld von einem 2DEG aus Kristallelektronen unterscheidet.
Wie groß ist die Entartung des 2DEG im Magnetfeld? Hier lernst du, was die Entartung eines Landau-Niveaus eines 2DEG im B-Feld ist und wie du sie mit dem magnetischen Fluss berechnest.
Was passiert mit der Zustandsdichte, wenn die Entartung steigt? Hier lernst Du, wie die Entartung beim Quanten-Hall-Effekt definiert ist, und wie sich die Zustandsdichte verändert, wenn die Entartung zunimmt.
Was ist der Füllfaktor beim Quanten-Hall-Effekt? Hier lernst Du, was der Füllfaktor beim Quanten-Hall-Effekt (FQHE und IQHE) ist und, was dieser über Flussquanten aussagt.

Betrachten wir Elektronen in einer dünnen Schicht eines Materials (genannt Hall-Bar) vor, die sich aufgrund ihrer räumlichen Begrenzung nur in zwei Dimensionen bewegen können. Diese auf zwei Dimensionen eingeschränkte Elektronen werden als zweidimensionales Elektronengas (2DEG) bezeichnet.

Wenn nun ein starkes senkrechtes Magnetfeld $ B $ auf diese Schicht wirkt, zwingt es die Elektronen auf kreisförmige Bahnen, wobei ihre Energie in diskrete, sogenannte Landau-Niveaus quantisiert wird.

Das Interessante an dem Quanten-Hall-Effekt ist, dass aufgrund der Verwendung eines zweidimensionalen Elektronengases und starker Magnetfelder andere physikalische Zusammenhänge zum Vorschein kommen, als beim klassischen Hall-Effekt. Bei dem letzten wird nämlich ein linearer Zusammenhang zwischen dem Querwiderstand $ \rho_{xy} $ und der magnetischen Flussdichte erwartet, sowie ein konstanter Längswiderstand $ \rho_{xx} $ über den ganzen Magnetfeld-Wertebereich.

Resistivität-Magnetfeld-Diagramm beim klassischen Hall-Effekt

Bei Einschränkung der Elektronenbewegung auf zwei Dimensionen sowie Verwendung starker Magnetfelder jedoch, bilden sich Plateaus (konstante $ \rho_{xy} $-Werte) im Querwiderstand für bestimmte Wertebereiche des Magnetfeldes aus, genannt Hall-Plateaus. Und der Längswiderstand bleibt bei Änderung des Magnetfeldes überhaupt nicht konstant, sondern oszilliert, wobei er immer dann ein Minimum annimmt, wenn auch ein neues Hall-Plateau auftritt.

Resistivität-Magnetfeld-Diagramm - Quanten-Hall-Effekt (IQHE)

Aus dem Quanten-Hall-Effekt kann der Elementarwiderstand $ R_{\text K} $ (auch Von-Klitzing-Konstante genannt) ermittelt werden:

$$ \begin{align} R_{\text K} ~=~ \frac{h}{e^2} ~\approx~ 25 \, 812. 807 \, \Omega \end{align} $$

Was unterscheidet 2DEG im Kristall vom freien 2DEG im Magnetfeld?

Bei einem zweidimensionalen Elektronengas (2DEG) in einem senkrecht dazu angelegten externen Magnetfeld, müssen folgende Dinge berücksichtigt werden:

Die Masse $ m $ des Eleketrons muss durch die effektive Bandmasse $ m^* $ ersetzt werden.
In einem Kristall gibt es Defekte, an denen die Elektronen des 2DEG gestreut werden können, was zu einer Energieverschmierung (bzw. Verbreiterung der Delta-Peaks der Zustandsdichte) führt. Um die Landau-Niveaus zu beobachten, muss die folgende Bedingung erfüllt sein:

$$ \begin{align} \Delta W = \frac{\hbar}{\tau} \ll \hbar \, \omega_{\text c} \end{align} $$
Diese Bedingung kann mit einer großen Zyklotronfrequenz $ \omega_{\text c} = \frac{e \, B}{m^*} $ (d.h. starkes Magnetfeld) und tiefen Temperaturen (wegen Streuzeit $ \tau $) erreicht werden.
Das externe Magnetfeld hebt die Spin- und Valley-Entartung auf, was dazu führt, dass ein Landau-Niveau plötzlich zu mehreren Landau-Niveaus wird (2 wegen dem Spin und 2 wegen der Valley-Entartung).

Wie groß ist die Entartung des 2DEG im Magnetfeld?

Die Entartung $ p $ (also die Anzahl der Elektronen in einem Landau-Niveau) eines zweidimensionalen Elektronengases (2DEG), welches sich in einem externen Magnetfeld in z-Richtung befindet, ist gegeben durch die zweidimensionale Zustandsdichte $ D^{2\text d}(E) $ und die Zyklotronfrequenz $ \omega_{\text c} = \frac{e\,B}{m} $:

$$ \begin{align} p ~&=~ \hbar \, \omega_{\text c} \, D^{2\text d}(E) \\\\
&~=~ \frac{e\, B}{h} \, L_{\text x} \, L_{\text y} \end{align} $$

Mit dem magnetischen Fluss $ \Phi = B \, L_{\text x} \, L_{\text y} $ und dem magnetischen Flussquantum $ \Phi_0 = \frac{h}{e} $ ist die Entartung gegeben durch:

$$ \begin{align} p = \frac{\Phi}{\Phi_0} \end{align} $$

Die Entartung liegt typischerweise in der Größenordnung $ 10^{10} $.

Was passiert mit der Zustandsdichte, wenn die Entartung steigt?

Die Entartung $p$ beim Quanten-Hall-Effekt ist gegeben durch:

$$ \begin{align} p ~=~ \frac{\Phi}{\Phi_0} ~=~ \frac{B \, A}{\Phi_0} \end{align} $$

Beim Quanten-Hall-Effekt wird die Entartung $p$ durch ein stärkeres Magnetfeld $ B $ erhöht. Die Delta-Peaks, die die Zustandsdichte des zweidimensionalen Elektronengases (2DEG) im Magnetfeld ausmachen, wandern auseinander, bis einige Delta-Peaks aufgrund der stetigen Magnetfeld-Erhöhung oberhalb der Fermi-Energie landen. Die Anzahl der besetzten Landau-Niveaus nimmt ab, bis bei genügend großem B-Feld nur das unterste Landau-Niveau besetzt sein wird.

Was ist der Füllfaktor beim Quanten-Hall-Effekt?

Der Füllfaktor $ \nu $ sagt aus, wieviele Flussquanten $ \Phi_0 = \frac{h}{e} $ einem Elektron zukommen:

$$ \begin{align} \nu = \frac{N_{\text e}}{N_{\Phi}} \end{align} $$

Hierbei ist $ N_{\text e} $ die Anzahl der Elektronen im zweidimensionalen Elektronengas (2DEG) und $ N_{\Phi} $ ist die Anzahl der Flussquanten $ \Phi_0 $, die in die Probe (Abmessungen des 2DEG) passen.

Außerdem sagt der Füllfaktor beim ganzzahligen Quanten-Hall-Effekt (IQHE) aus, was das höchste besetzte Landau-Niveau ist. Bei $ \nu = 1 $ ist also genau ein Landau-Niveau besetzt und jedem Elektron kommt genau ein Flussquant $ \Phi_0 $ zu.

Beim fraktionalen Quanten-Hall-Effekt (FQHE) treten auch fraktionale Füllfaktoren wie zum Beispiel $ \nu = 5/2 $ auf. Bei dem Beispiel kommen also den 5 Elektronen 2 Flussquanten zu. Beim IQHE ist der Füllfaktor eine positive ganze Zahl $ \nu = 1,2,3... $ mit einer hohen Genauigkeit von $ 10^{-9} $.