Quanten-Hall-Effekt (IQHE) an einer Hall-Bar
Betrachten wir Elektronen in einer dünnen Schicht eines Materials (genannt Hall-Bar) vor, die sich aufgrund ihrer räumlichen Begrenzung nur in zwei Dimensionen bewegen können. Diese auf zwei Dimensionen eingeschränkte Elektronen werden als zweidimensionales Elektronengas (2DEG) bezeichnet.
Wenn nun ein starkes senkrechtes Magnetfeld \( B \) auf diese Schicht wirkt, zwingt es die Elektronen auf kreisförmige Bahnen, wobei ihre Energie in diskrete, sogenannte Landau-Niveaus quantisiert wird.
Das Interessante an dem Quanten-Hall-Effekt ist, dass aufgrund der Verwendung eines zweidimensionalen Elektronengases und starker Magnetfelder andere physikalische Zusammenhänge zum Vorschein kommen, als beim klassischen Hall-Effekt. Bei dem letzten wird nämlich ein linearer Zusammenhang zwischen dem Querwiderstand \( \rho_{xy} \) und der magnetischen Flussdichte erwartet, sowie ein konstanter Längswiderstand \( \rho_{xx} \) über den ganzen Magnetfeld-Wertebereich.
Bei Einschränkung der Elektronenbewegung auf zwei Dimensionen sowie Verwendung starker Magnetfelder jedoch, bilden sich Plateaus (konstante \( \rho_{xy} \)-Werte) im Querwiderstand für bestimmte Wertebereiche des Magnetfeldes aus, genannt Hall-Plateaus. Und der Längswiderstand bleibt bei Änderung des Magnetfeldes überhaupt nicht konstant, sondern oszilliert, wobei er immer dann ein Minimum annimmt, wenn auch ein neues Hall-Plateau auftritt.
Aus dem Quanten-Hall-Effekt kann der Elementarwiderstand \( R_{\text K} \) (auch Von-Klitzing-Konstante genannt) ermittelt werden:
Was unterscheidet 2DEG im Kristall vom freien 2DEG im Magnetfeld?
Bei einem zweidimensionalen Elektronengas (2DEG) in einem senkrecht dazu angelegten externen Magnetfeld, müssen folgende Dinge berücksichtigt werden:
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Die Masse \( m \) des Eleketrons muss durch die effektive Bandmasse \( m^* \) ersetzt werden.
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In einem Kristall gibt es Defekte, an denen die Elektronen des 2DEG gestreut werden können, was zu einer Energieverschmierung (bzw. Verbreiterung der Delta-Peaks der Zustandsdichte) führt. Um die Landau-Niveaus zu beobachten, muss die folgende Bedingung erfüllt sein:
0Formel für Energieverschmierung\Delta W = \frac{\hbar}{\tau} \ll \hbar \, \omega_{\text c}0 -
Diese Bedingung kann mit einer großen Zyklotronfrequenz \( \omega_{\text c} = \frac{e \, B}{m^*} \) (d.h. starkes Magnetfeld) und tiefen Temperaturen (wegen Streuzeit \( \tau \)) erreicht werden.
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Das externe Magnetfeld hebt die Spin- und Valley-Entartung auf, was dazu führt, dass ein Landau-Niveau plötzlich zu mehreren Landau-Niveaus wird (2 wegen dem Spin und 2 wegen der Valley-Entartung).
Wie groß ist die Entartung des 2DEG im Magnetfeld?
Die Entartung \( p \) (also die Anzahl der Elektronen in einem Landau-Niveau) eines zweidimensionalen Elektronengases (2DEG), welches sich in einem externen Magnetfeld in z-Richtung befindet, ist gegeben durch die zweidimensionale Zustandsdichte \( D^{2\text d}(E) \) und die Zyklotronfrequenz \( \omega_{\text c} = \frac{e\,B}{m} \):
&~=~ \frac{e\, B}{h} \, L_{\text x} \, L_{\text y}
Mit dem magnetischen Fluss \( \Phi = B \, L_{\text x} \, L_{\text y} \) und dem magnetischen Flussquantum \( \Phi_0 = \frac{h}{e} \) ist die Entartung gegeben durch:
Die Entartung liegt typischerweise in der Größenordnung \( 10^{10} \).
Was passiert mit der Zustandsdichte, wenn die Entartung steigt?
Die Entartung \(p\) beim Quanten-Hall-Effekt ist gegeben durch:
Beim Quanten-Hall-Effekt wird die Entartung \(p\) durch ein stärkeres Magnetfeld \( B \) erhöht. Die Delta-Peaks, die die Zustandsdichte des zweidimensionalen Elektronengases (2DEG) im Magnetfeld ausmachen, wandern auseinander, bis einige Delta-Peaks aufgrund der stetigen Magnetfeld-Erhöhung oberhalb der Fermi-Energie landen. Die Anzahl der besetzten Landau-Niveaus nimmt ab, bis bei genügend großem B-Feld nur das unterste Landau-Niveau besetzt sein wird.
Was ist der Füllfaktor beim Quanten-Hall-Effekt?
Der Füllfaktor \( \nu \) sagt aus, wieviele Flussquanten \( \Phi_0 = \frac{h}{e} \) einem Elektron zukommen:
Hierbei ist \( N_{\text e} \) die Anzahl der Elektronen im zweidimensionalen Elektronengas (2DEG) und \( N_{\Phi} \) ist die Anzahl der Flussquanten \( \Phi_0 \), die in die Probe (Abmessungen des 2DEG) passen.
Außerdem sagt der Füllfaktor beim ganzzahligen Quanten-Hall-Effekt (IQHE) aus, was das höchste besetzte Landau-Niveau ist. Bei \( \nu = 1 \) ist also genau ein Landau-Niveau besetzt und jedem Elektron kommt genau ein Flussquant \( \Phi_0 \) zu.
Beim fraktionalen Quanten-Hall-Effekt (FQHE) treten auch fraktionale Füllfaktoren wie zum Beispiel \( \nu = 5/2 \) auf. Bei dem Beispiel kommen also den 5 Elektronen 2 Flussquanten zu. Beim IQHE ist der Füllfaktor eine positive ganze Zahl \( \nu = 1,2,3... \) mit einer hohen Genauigkeit von \( 10^{-9} \).