Ich heiße Alexander FufaeV und hier schreibe ich über:

Landau-Niveaus: Quantisierung der Zyklotronbahnen

Stell Dir ein geladenes Teilchen, welches sich senkrecht zum homogenen Magnetfeld $ \boldsymbol{B} = (0,0,B_ {\text z}) $ mit der Geschwindigkeit $ \boldsymbol{v} = (v_ {\text x},0,0) $ bewegt. Wegen der magnetischen Kraft (Lorentzkraft): 1 $$ \boldsymbol{F} ~=~ q\, \boldsymbol{v} ~\times~ \boldsymbol{B} $$ wird das Teilchen auf eine Kreisbahn abgelenkt. Diese Kreisbahn befindet sich - nach dieser Anordnung - in der x-y-Ebene, die senkrecht zum Magnetfeld $ \boldsymbol{B} $ ist.

Landau-Niveaus von einem geladenen (spinlosen) Teilchen im Magnetfeld.

Erhöhst Du nun das Magnetfeld, so wird nach der klassischen Gleichung (Zentripetalkraft = Lorentzkraft) die Kreisbahn kleiner (d.h. Kreisbahnradius wird kleiner)! Wegen der Landau-Quantisierung der Kreisbahn aber, kann das Teilchen jedoch NICHT beliebige Kreisbahnen durchfliegen, sondern nur diejenigen, bei denen es genau die Landau-Energie $ W_n $ hat:

Landau-Energieniveaus 2 $$ W_n ~=~ \hbar \, \frac{e \, B}{m} \left( n ~+~ \frac{1}{2} \right) $$

Hierbei bezeichnet man $ \omega_{\text c} = \frac{e \, B}{m} $ als Zyklotronfrequenz. Diese sagt aus, wie schnell as Teilchen die Kreisbahn durchläuft.

In z-Richtung (Richtung des Magnetfelds) kann sich das Teilchen frei bewegen. Die Energie ist in z-Richtung nicht quantisiert: 3 $$ W_{\text z} ~=~ \frac{p_{\text z}^2}{2m} $$ wobei $ p_{\text z} $ der nicht-quantisierte Impuls in z-Richtung ist, d.h. $ p_{\text z} $ und somit auch die Energie des Teilchens kann beliebige Werte annehmen.

Die Gesamtenergie eines (spinlosen) Teilchens ist also die Summe aus 2 und 3:

4 $$ W_{n}(p_{\text z}) ~=~ \hbar \, \omega_{\text c} \left( n + \frac{1}{2} \right) ~+~ \frac{p_{\text z}^2}{2m} $$