Ich heiße Alexander FufaeV und hier schreibe ich über:

Fermi-Energie: Die maximale Energie eines Elektrons

Wichtige Formel

Formel: Freies Elektronengas in 3d

$$W_{\text F} ~=~ \frac{\hbar^2}{2\class{brown}{m}} \, \left(3\pi^2 \frac{N}{V}\right)^{2/3}$$ $$W_{\text F} ~=~ \frac{\hbar^2}{2\class{brown}{m}} \, \left(3\pi^2 \frac{N}{V}\right)^{2/3}$$ $$V ~=~ 3\pi^2 \, N \left( \frac{2\class{brown}{m}\, W_{\text F}}{ \hbar^2 } \right)^{-3/2} $$ $$N ~=~ \frac{V}{3\pi^2} \left( \frac{2\class{brown}{m}\, W_{\text F}}{ \hbar^2 } \right)^{3/2} $$ $$\class{brown}{m} ~=~ \frac{\hbar^2}{2 W_{\text F}} \, \left(3\pi^2 \frac{N}{V}\right)^{2/3}$$

Formel umstellen

Was bedeuten diese Formelzeichen?

Fermi-Energie

$$ W_{\text F} $$ Einheit $$ \mathrm{J} = \mathrm{Nm} = \frac{ \mathrm{kg} \, \mathrm{m^2} }{ \mathrm{s}^2 } $$

Fermi-Energie in einem Gas aus nicht-wechselwirkenden Fermionen (Fermi-Gas, z.B. Elektronengas). Fermi-Energie ist die höchste Energie, die ein Teilchen in einem Fermi-Gas haben kann, wenn das System nicht energetisch angeregt ist.

Volumen

$$ V $$ Einheit $$ \mathrm{m}^3 $$

Volumen, welches das Fermi-Gas (z.B. Elektronengas) einnimmt.

Teilchenzahl

$$ N $$ Einheit $$ - $$

Anzahl der Fermi-Teilchen im Fermi-Gas, z.B. die Anzahl der Elektronen in einem Elektronengas.

Masse

$$ \class{brown}{m} $$ Einheit $$ \mathrm{kg} $$

Masse des Fermi-Teilchens, z.B. die Masse eines Elektrons in einem Elektronengas.

Reduziertes Wirkungsquantum

$$ \hbar $$ Einheit $$ \mathrm{Js} = \frac{ \mathrm{kg} \, \mathrm{m}^2 }{ \mathrm{s} } $$

Reduziertes Wirkungsquantum ist eine Naturkonstante (der Quantenmechanik) und hat den Wert: $ \hbar ~=~ \frac{h}{2\pi} ~\approx~ 1.054 \cdot 10^{-34} \, \text{Js} $.

Betrachte einen quadratischen Potentialkasten mit den Abmessungen $ L_{\text x} $, $ L_{\text y} $ und $ L_{\text z} $. Sein Volumen beträgt also $ V ~=~ L_{\text x} \, L_{\text y} \, L_{\text z} $. Dieses Potential soll im Inneren Null sein, damit die Elektronen, die wir in den Potentialkasten reinwerfen, keine potentielle, sondern ausschließlich kinetische Energie aufweisen.

Fermi-Energie für Metall, Halbleiter und Isolator skizziert.

Fülle nun diesen Kasten mit $ N $ Elektronen (Fermionen) auf, die keine thermische Energie haben ($ T ~\approx~ 0 \, \text{K} $). Dabei nehmen wir als Vereinfachung an, dass sie nicht miteinander wechselwirken. Die diskreten Energien im Potentialtopf, werden von den Elektronen (angefangen bei der niedrigsten Energie) angenommen, bis alle $ N $ Elektronen im Potentialtopf sind. Dabei können wegen des Pauli-Prinzips nicht beliebig viele Elektronen den gleichen Zustand einnehmen. Deshalb müssen weitere Elektronen, die in den Potentialkasten reingeworfen werden, auf höherliegende Energiezustände ausweichen. Die höchste all dieser Energien ist die Fermi-Energie. Sie ist also gerade die Grenze zwischen den besetzten ($ W \leq W_{\text F}$) und unbesetzten ($ W \gt W_{\text F}$) Zuständen.

Je höher die Zahl der Elektronen in einem System (bzw. Elektronendichte), desto größer ist die Fermi-Energie.

Im reziproken Raum (k-Raum) ist die Energie (bei T = 0K) auf einer Kugeloberfläche konstant. Es gibt also eine sogenannte Fermi-Kugel im reziproken Raum, die alle besetzten Zustände einschließt. Sie hat den Radius, der dem Fermi-Wellenvektor $ k_{\text F} $ entspricht.

Jeder Zustand im dreidimensionalen reziproken Raum nimmt folgendes Volumen ein: 1 \[ V_{\text k} ~=~ \frac{(2\pi)^3}{L_{\text x} \, L_{\text y} \, L_{\text z}} ~=~ \frac{8\pi^3}{V} \]

Das Volumen der Fermi-Kugel ist gegeben durch: 2 \[ V_{\text F} ~=~ \frac{4}{3} \pi \, k_{\text F}^3 \]

Die Fermi-Kugel enthält ja alle besetzten Zustände, mit jeweils zwei Elektronen (spin up und spin down). Um also die Anzahl der Elektronen $ N $ im Potentialtopf herauszufinden, musst Du schauen, wie oft das Volumen eines Zustands in das Volumen der Fermi-Kugel hineinpasst (Faktor 2 kommt wegen der Spinentartung): 3 \[ N ~=~ 2* \frac{V_{\text F}}{V_{\text k}} ~=~ \frac{V}{3 \pi^2} \, k_{\text F}^3 \]

Da Du das Volumen $ V $ des Festkörpers und die Elektronenanzahl 3 kennst, kannst Du daraus die Elektronendichte berechnen: 4 \[ n ~=~ \frac{N}{V} ~=~ \frac{1}{3 \pi^2} \, k_{\text F}^3 \]

Mit der Teilchendichte 4 kannst Du beispielsweise den Fermi-Wellenvektor angeben, in dem Du 4 nach $ k_{\text F} $ umstellst:

Fermi-Wellenvektor 5 \[ k_{\text F} ~=~ (3\pi^2 \, n)^{1/3} \] Typische Größenordnung: $10^{10} \, \frac{1}{\text{m}} $

Mithilfe des Fermi-Wellenvektors 5 kannst Du weitere physikalische Fermi-Größen angeben:

Fermi-Energie eines freien Elektronengases 6 \[ W_{\text F} ~=~ \frac{\hbar^2}{2m} \, k_{\text F}^2 ~=~ \frac{\hbar^2}{2m} \, (3\pi^2 \, n)^{2/3} \] Typische Größenordnung: $ 4 \, \text{eV} $

Fermi-Temperatur 7 \[ T_{\text F} ~=~ \frac{W_{\text F}}{k_{\text B}} \] wobei $ k_{\text B} $ die Boltzmann-Konstante ist. Typische Größenordnung: $ 50 \, 000 \, \text{K} $

Fermi-Geschwindigkeit 8 \[ v_{\text F} ~=~ \frac{\hbar \, k_{\text F}}{m} \] Typische Größenordnung: $ 10^6 \, \frac{\text{m}}{\text{s}} $

Fermi-Wellenlänge 9 \[ \lambda_{\text F} ~=~ \frac{2\pi}{k_{\text F}} \] Typische Größenordnung: $10^{-10} \, \text{m} $ (Atomabstände sind auch in dieser Größenordnung)

Wie Du an all diesen Größen siehst, sind sie nur von der Elektronendichte abhängig!

Beispiel: Fermi-Energie eines einfachen Systems

Unendlich hoher eindimensionaler Potentialtopf, der mit $ N $ Elektronen aufgefüllt ist, hat folgende Fermi-Energie: 10 \[ W_{\text F} ~=~ \frac{\hbar^2}{2m} \, \left( \frac{N \, \pi}{2a} \right)^2 \]

Wie kommt man drauf? 1 bekommst Du durch Einsetzen der $ \frac{N}{2} $ Elektronen ($\frac{1}{2}$ kommt wegen der Spinentartung) in die Formel für Energie-Niveaus des unendlich hohen eindimensionalen Potentialtopfs 11 \[ W_n ~=~ \frac{\hbar^2}{2m} \, \left(\frac{n \, \pi}{a}\right)^2 \] welche durch Lösen der Schrödinger-Gleichung bestimmt wurde.

Warum sind manche Materialien transparent und andere nicht?

Die Antwort auf die Frage, ob ein Material durchsichtig oder undurchsichtig ist, liefert uns die sogenannte Bandlücke des Materials. Die Größe der Bandlücke des Festkörpers bestimmt, welches Licht vom Körper absorbiert wird und welches durchgelassen wird. Ohne genau auf die Bandlücke einzugehen, kann man sich dies so vorstellen.

Der Mensch sieht Licht im Bereich zwischen $ 400 \, \text{nm} $ und $ 700 \, \text{nm} $ Wellenlänge. Die Materialien, die das für uns sichbare Licht absorbieren, erscheinen uns undurchsichtig. Das sichtbare Licht kann dann nicht hinter das Material gelangen und von den Objekten hinter dem Material zurück ins Auge reflektiert werden. Das sichtbare Licht wird vom Material sozusagen "verschluckt". Silizium beispielsweise ist undurchsichtig, weil es eben sichtbares Licht absorbiert.

Wenn das Material dagegen das sichtbare Licht nicht absorbiert, geht das Licht durch das Material hindurch und wird an den dahinter liegenden Objekten zurück reflektiert, geht von der anderen Seite wieder durch das Material durch und landet anschließend im Auge. Die Objekte hinter dem Material sind auf diese Weise sichtbar. Das Material ist transparent.

Zinksulfat verschluckt lediglich UV-Licht (UV ist für uns eh nicht sichtbar). Für uns sichbares Licht dagegen lässt es durch. Deshalb erscheint Zinksulfat transparent.