Reziprokes Gitter

Das Ziel ist es, aus einem Bravais-Gitter ("reales" Gitter), welches alle Punkte 1 \[ \boldsymbol{R} ~=~ r_1 \, \boldsymbol{a}_1 + r_2 \, \boldsymbol{a}_2 +r_3 \, \boldsymbol{a}_3 ~~~\text{mit}~~~ r_1, r_2, r_3 ~\in~ \mathbb{Z} \] enthält und von Dir bekannten primitiven Gittervektoren aufgespannt wird, das dazugehörige reziproke Gitter zu konstruieren.

Betrachtest Du beispielsweise die Elektronendichte \( \rho (\boldsymbol{r}) \) in einem Kristall, welche die Periodizität des Bravais-Gitters dieses Kristalls erfüllt: 2 \[ \rho (\boldsymbol{r}) ~=~ \rho (\boldsymbol{r} + \boldsymbol{R}) \] dann kannst Du sie (weil sie periodisch ist) in einer Fourier-Reihe entwickeln: 3 \[ \rho (\boldsymbol{r}) ~=~ \sum_k \rho_k \, e^{i \boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{r}} \] mit \( \rho_k \) als Fourier-Koeffizienten und \( \Psi_k (\boldsymbol{r}) := e^{i \boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{r}} \) als ebene Wellen.

Gesucht sind also Wellenvektoren \( \boldsymbol{k} \), bei denen die ebene Welle unverändert bleibt, wenn sie um den Bravais-Gittervektor \( \boldsymbol{R} \) verschoben wird: 4 \[ \Psi_k (\boldsymbol{r}) = \Psi_k (\boldsymbol{r} + \boldsymbol{R}) \]

Wenn die ebene Welle diese Eigenschaft 4 hat, dann erfüllt sie die Periodizität des Bravais-Gitters. Welche Bedingungen müssen also die Wellenvektoren \( \boldsymbol{k} \) erfüllen, damit 4 gilt? Setze dazu die ebene Welle in 4 ein: 5 \[ e^{i \boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{r}} ~=~ e^{i \boldsymbol{k}\cdot(\boldsymbol{r} + \boldsymbol{R})} ~=~ e^{i \boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{r}} \, e^{i \boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{R}} \]

Damit 5 erfüllt ist, muss offensichtlich 6 \[ e^{i \boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{R}} ~=~ 1 \] gelten. Wenn Du 6 mit der Eulerformel umschreibst 7 \[ e^{i \boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{R}} ~=~ \cos(\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{R}) ~+~ i\, \sin(\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{R}) ~=~ 1 \] dann kannst Du leicht sehen, dass 8 \[ \boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{R} ~=~ 2\pi \, n ~~~\text{mit}~~~ n ~\in~ \mathbb{Z} \] gelten muss, damit 7 erfüllt ist, denn einsetzen ergibt: 9 \[ e^{i 2\pi \, n} ~=~ \cos(2\pi \, n) ~+~ 0 ~=~ 1 \]

Alle Wellenvektoren \( \boldsymbol{k} \), die Bedingung 8 erfüllen, setzen wir als \( \boldsymbol{k} := \boldsymbol{G} \), um sie von den Gittervektoren zu unterscheiden, die diese Bedingung NICHT erfüllen. Lass uns \( \boldsymbol{G} \) in irgendeiner Basis \( \{ \boldsymbol{b}_i \} \) darstellen: 10 \[ \boldsymbol{G} ~=~ g_1 \, \boldsymbol{b}_1 ~+~ g_2 \, \boldsymbol{b}_2 ~+~ g_3 \, \boldsymbol{b}_3 \]

Dabei sind \(g_1, g_2, g_3 \) Koordinaten bezüglich der gewählten Basis. Mithilfe von 10 wird 8 zu: 11 \[ \boldsymbol{G} \cdot \boldsymbol{R} ~=~ (g_1 \, \boldsymbol{b}_1 ~+~ g_2 \, \boldsymbol{b}_2 ~+~ g_3 \, \boldsymbol{b}_3) ~\cdot~ (r_1 \, \boldsymbol{a}_1 ~+~ r_2 \, \boldsymbol{a}_2 ~+~ r_3 \, \boldsymbol{a}_3) ~=~ 2\pi \, n \]

Das Skalarprodukt 11 kannst Du auch in Matrixschreibweise folgendermaßen ausdrücken: 12 \[ \begin{pmatrix} g_1 & g_2 & g_3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \boldsymbol{b}_1 \cdot \boldsymbol{a}_1 & \boldsymbol{b}_1 \cdot \boldsymbol{a}_2 & \boldsymbol{b}_1 \cdot \boldsymbol{a}_3 \\ \boldsymbol{b}_2 \cdot \boldsymbol{a}_1 & \boldsymbol{b}_2 \cdot \boldsymbol{a}_2 & \boldsymbol{b}_2 \cdot \boldsymbol{a}_3 \\ \boldsymbol{b}_3 \cdot \boldsymbol{a}_1 & \boldsymbol{b}_3 \cdot \boldsymbol{a}_2 & \boldsymbol{b}_3 \cdot \boldsymbol{a}_3 \end{pmatrix} \, \begin{pmatrix} r_1 \\ r_2 \\ r_3 \end{pmatrix} ~=~ 2\pi \, n \]

Wenn Du mir nicht glaubst, dann kannst Du 11 und 12 ausmultiplizieren und feststellen, dass tatsächlich 11 = 12 ist.

Die Basis \( \{ \boldsymbol{b}_i \} \) ist beliebig, also lass uns sie möglichst einfach wählen, am besten so, dass die Matrix in 12 genau die Einheitsmatrix multipliziert mit \( 2\pi \) ergibt: 13 \[ \begin{pmatrix} \boldsymbol{b}_1 \cdot \boldsymbol{a}_1 & \boldsymbol{b}_1 \cdot \boldsymbol{a}_2 & \boldsymbol{b}_1 \cdot \boldsymbol{a}_3 \\ \boldsymbol{b}_2 \cdot \boldsymbol{a}_1 & \boldsymbol{b}_2 \cdot \boldsymbol{a}_2 & \boldsymbol{b}_2 \cdot \boldsymbol{a}_3 \\ \boldsymbol{b}_3 \cdot \boldsymbol{a}_1 & \boldsymbol{b}_3 \cdot \boldsymbol{a}_2 & \boldsymbol{b}_3 \cdot \boldsymbol{a}_3 \end{pmatrix} ~=~ 2\pi \, \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \]

Wann ist dies genau der Fall? Na, wenn die Basis \( \{ \boldsymbol{b}_i \} \) genau orthogonal zur Basis \( \{ \boldsymbol{a}_j \} \) ist: 14 \[ \boldsymbol{b}_i ~\cdot~ \boldsymbol{a}_j ~=~ 2\pi \delta_{ij} \] mit \( \delta_{ij} \) als Kronecker-Delta. Und \( 2\pi \) in 14 bzw. 13 wurde aus 12 mitgenommen. Der Grund dafür ist, dass dann 15 \[ \begin{pmatrix} g_1 & g_2 & g_3 \end{pmatrix} \, \begin{pmatrix} r_1 \\ r_2 \\ r_3 \end{pmatrix} ~=~ g_1\,r_1 + g_2\,r_2 + g_3\,r_3 ~=~ n \] übrig bleibt und NUR \( n \) ergibt. Dann kannst Du sofort sagen, dass \( g_1, g_2, g_3 \) ebenfalls ganze Zahlen sein müssen, weil \(r_1, r_2, r_3 \) und das Ergebnis \( n \) es AUCH sind! Mit 14 hast Du also eine einache Basis \( \{ \boldsymbol{b}_i \} \) der reziproken Gittervektoren festgelegt und mit 15 die dazugehörigen Koordinaten \( g_1, g_2, g_3 \) als ganze Zahlen identifiziert. Und, weil es ganze Zahlen sind, stellt das reziproke Gitter 10 wieder ein Bravais-Gitter dar (weil es ja von der gleichen Form ist wie 1).

Wie sehen denn die reziproken Basisvektoren \( \boldsymbol{b}_i \) konkret aus? Sie lassen sich aus der bekannten Basis \( \{ \boldsymbol{a}_j \} \) des Bravais-Gitters 1 und von uns gewählten Bedingung 14 an die reziproke Basis berechnen.

Aus der Bedingung 14 folgt für den ersten reziproken Gittervektor \( \boldsymbol{b}_1 \): 16 \[ \boldsymbol{b}_1 \cdot \boldsymbol{a}_2 ~=~ \boldsymbol{b}_1 \cdot \boldsymbol{a}_3 ~=~ 0 \] weil die jeweiligen Basisvektoren orthogonal zueinander sind. Damit kann \( \boldsymbol{b}_1 \) mithilfe des Kreuzprodukts folgendermaßen ausgedrückt werden: 17 \[ \boldsymbol{b}_1 ~=~ C \, \boldsymbol{a}_2 \times \boldsymbol{a}_3 \] weil das Ergebnis des Kreuzprodukts senkrecht auf \( \boldsymbol{a}_2 \) und \( \boldsymbol{a}_3 \) steht und damit parallel zu \( \boldsymbol{b}_1 \) ist, sodass 17 skalarmultipliziert mit \( \boldsymbol{a}_1 \) (wegen 14) Folgendes ergibt: 18 \[ \boldsymbol{a}_1 \cdot \boldsymbol{b}_1 ~=~ C \, \boldsymbol{a}_1\cdot (\boldsymbol{a}_2 \times \boldsymbol{a}_3) ~=~ 2\pi \]

Dabei ist \( C \) eine Konstante, die noch bestimmt werden muss. Du weißt im Allgemeinen ja nicht, wie \( \boldsymbol{b}_1 \) mit \( \boldsymbol{a}_2 \times \boldsymbol{a}_3 \) genau zusammenhängen. Um \( C \) zu bestimmen, musst Du einfach die Gleichung 18 nach \( C \) umformen: 19 \[ C ~=~ \frac{2 \pi }{\boldsymbol{a}_1 \cdot (\boldsymbol{a}_2 \times \boldsymbol{a}_3) } \]

Dabei ist \( \boldsymbol{a}_1\cdot (\boldsymbol{a}_2 \times \boldsymbol{a}_3) \) ein Spatprodukt und gibt das von \( \boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2, \boldsymbol{a}_3 \) aufgespanntes Volumen an, welches wir mit \( V_{\text R} \) bezeichnen: 20 \[ C ~=~ \frac{2 \pi }{V_{\text R}} \]

Setze 20 in 17 ein und Du bekommst den ersten reziproken Gittervektor:

Analog gehst Du mit \( \boldsymbol{b}_2 \) und \( \boldsymbol{b}_3 \) vor. Oder Du vertauschst zyklisch die Vektoren, was viel schneller geht:

Die Spatprodukte im Nenner von \( \boldsymbol{b}_2 \) und \( \boldsymbol{b}_3 \) bekommst Du ebenfalls leicht aus dem Spatprodukt in \( \boldsymbol{b}_1 \) - durch zyklische Vertauschung der Basisvektoren. Aber wozu?! Die Spatprodukte sind ja in allen drei Fällen gleich dem Volumen: 23 \[ \boldsymbol{a_1}\cdot (\boldsymbol{a}_2 \times \boldsymbol{a}_3) ~=~ \boldsymbol{a}_2\cdot (\boldsymbol{a}_3 \times \boldsymbol{a}_1) ~=~ \boldsymbol{a}_3\cdot (\boldsymbol{a}_1 \times \boldsymbol{a}_2) ~=~ V_{\text R} \]

Damit hast Du die Basis des dreidimensionalen reziproken Gitters konkret festgelegt!