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Statistik: Erwartungswert und Standardabweichung

Inhaltsverzeichnis

Übungen mit Lösungen

Der Erwartungswert ist der theoretisch erwartete Mittelwert in einer Messung. Erwartungswert $ \class{red}{\mu} $ einer Zufallsgröße $X$ mit $n$ Messwerten $x_1$, $x_2$, $x_3$, ..., $x_n$ und zugehörigen Wahrscheinlichkeiten $p_1$, $p_2$, $p_3$, ..., $p_n$ diese Werte herauszubekommen ist gegeben durch die folgende Formel: $$ \class{red}{\mu} ~=~ x_1 \, p_1 ~+~ x_2 \, p_2 ~+~ ... ~+~ x_n \, p_n $$

In einem Experiment kennen wir die Wahrscheinlichkeiten nicht, daher verwenden wir für die Berechnung des Erwartungswerts den empirischen Mittelwert. Empirischer Mittelwert $\class{red}{\bar{x}}$ ist die Summe der Messwerte $x_1$, $x_2$, $x_3$, ..., $x_n$ dividiert durch die Anzahl der Messwerte $n$: $$ \class{red}{\bar{x}} ~=~ \frac{x_1 ~+~ x_2 ~+~ ... ~+~ x_n}{n} $$

Varianz $\sigma^2$ gibt die Summe der quadratischen Abweichungen $ (x_1 - \class{red}{\mu})^2 $, $ (x_2 - \class{red}{\mu})^2 $ und so weiter vom Erwartungswert $\class{red}{\mu}$: $$ \sigma^2 ~=~ (x_1 - \class{red}{\mu})^2 p_1 ~+~ (x_2 - \class{red}{\mu})^2 p_2 ~+~ ... ~+~ (x_n - \class{red}{\mu})^2 p_n $$

Die empirische Varianz $\sigma_{\text e}^2$ können wir in einem Experiment dann folgendermaßen berechnen: $$ \sigma_{\text e}^2 ~=~ \frac{(x_1 - \class{red}{\bar{x}})^2 ~+~ (x_2 - \class{red}{\bar{x}})^2 ~+~ ... ~+~ (x_n - \class{red}{\bar{x}})^2}{n-1}$$

Die Wurzel aus der Varianz ergibt die (Empirische) Standardabweichung $\sigma$ bzw. $\sigma_{\text e}$. Die Standardabweichung gibt an, wie stark die Messwerte $x_1$, $x_2$, $x_3$, ..., $x_n$ im Durchschnitt von dem Erwartungswert $\class{red}{\mu}$ bzw. Mittelwert $\class{red}{\bar{x}}$ abweichen: $$ \sigma ~=~ \sqrt{(x_1 - \class{red}{\mu})^2 p_1 ~+~ (x_2 - \class{red}{\mu})^2 p_2 ~+~ ... ~+~ (x_n - \class{red}{\mu})^2 p_n} $$ $$ \sigma_{\text e} ~=~ \sqrt{\frac{(x_1 - \class{red}{\bar{x}})^2 ~+~ (x_2 - \class{red}{\bar{x}})^2 ~+~ ... ~+~ (x_n - \class{red}{\bar{x}})^2}{n-1}}$$

Wenn $\class{red}{\bar{x}}$ der Mittelwert ist und die Messwerte normalverteilt sind, dann:

Im Bereich $\class{red}{\bar{x}} \pm \sigma$ liegen 68% aller Messwerte.
Im Bereich $\class{red}{\bar{x}} \pm 2\sigma$ liegen 95.4% aller Messwerte.
Im Bereich $\class{red}{\bar{x}} \pm 3\sigma$ liegen 99.7% aller Messwerte.

Die Standardabweichung $\sigma(\class{red}{\bar{x}})$ des Mittelwerts $\class{red}{\bar{x}}$ bei $n$ Messwerten ist gegeben durch die folgende Formel: $$ \sigma(\class{red}{\bar{x}}) ~=~ \frac{\sigma_{\text e}}{\sqrt{n}} $$

Die Verdopplung der Genauigkeit braucht eine Vervierfachung der Anzahl der Messwerte!

Bei Multiplikation $ \class{red}{\bar{x}_1} \cdot \class{red}{\bar{x}_2}$ und Division $\frac{\class{red}{\bar{x}_1}}{\class{red}{\bar{x}_2}}$ zweier Mittelwerte, addieren sich ihre relativen Fehler $f_1$ und $f_2$ zu einem gesamten relativen Fehler: $f = f_1 + f_2$.
Bei Addition $ \class{red}{\bar{x}_1} + \class{red}{\bar{x}_2}$ und Subtraktion $ \class{red}{\bar{x}_1} - \class{red}{\bar{x}_2}$ zweier Mittelwerte, addieren sich ihre absoluten Fehler $\Delta x_1$ und $\Delta x_2$ zu einem gesamten absoluten Fehler: $\Delta x = \Delta x_1 + \Delta x_2$.

Übungen mit Lösungen

Nutze diese Formelsammlung, wenn du Probleme mit Physikaufgaben hast.

Aufgabe #1: Mittelwert und Standardabweichung einer Messung

Es wurden 10 folgende Messwerte aufgenommen:

$ i $	Messwert $ x_i $
1	45.0
2	45.7
3	44.6
4	45.2
5	45.6
6	44.5
7	44.9
8	45.2
9	45.8
10	44.7

Wie groß ist der Mittelwert $ \bar{x} $ der Stichprobe?
Wie groß ist die empirische Standardabweichung $ s $ der Stichprobe?
Wie stark weicht der Mittelwert vom wahren Wert $ x $ ab, mit einer Sicherheit von 95%?

Tipps:

Benutze dazu die Formel für den Mittelwert.
Standardabweichung ist gegeben durch: \[ s ~=~ \sqrt{ \frac{1}{N-1} \sum_{i=1}^N (x_i - \bar x)^2 } \]
Benutze die sogenannte (Studentsche) t-Verteilung. Für Deinen Fall $ N = 10 $ ist $ t = 2.30 $. Berechne: \[ x ~=~ \bar{x} \pm \frac{s}{\sqrt N} \, t \]

Lösung zur Aufgabe #1.1

Mit der Formel für den Mittelwert: \[ \bar x ~=~ \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N x_i \] bekommst Du durch Einsetzen der 10 Messwerte aus der Tabelle: \[ \bar x ~=~ \frac{1}{10} \cdot (45.0 + 45.7 + 44.6 + 45.2 + 45.6 + 44.5 + 44.9 + 45.2 + 45.8 + 44.7) \] Eingetippt in den Taschenrechner, lautet der Mittelwert konkret $ \bar x ~=~ 45.12 $

Lösung zur Aufgabe #1.2

Mit der Formel für Standardabweichung aus den Lösungstipps: \[ s ~=~ \sqrt{ \frac{1}{N-1} \sum_{i=1}^N (x_i - \bar x)^2 } \] findest Du die empirische Standardabweichung der Stichprobe heraus. Benutze außerdem den in der Aufgabe #1.1 berechneten Mittelwert und die Messwerte aus der Tabelle: \[ s ~=~ \sqrt{ \frac{1}{9} \sum_{i=1}^{10} (x_i - 45.12)^2 } \]

Eingegeben in den Taschenrechner: \[ s ~=~ 0.463 \]

Lösung zur Aufgabe #1.3

Um herauszufinden wie stark der in Aufgabe #1.1 berechnete Mittelwert vom wahren Wert abweicht; und zwar mit einer Sicherheit von 95%, benutzt Du den t-Wert aus der t-Verteilung, der für Deine Stichprobe angemessen ist. Das heißt: $ N = 10 $ und $ P = 95 $%. Die t-Verteilung benutzt Du immer dann, wenn die Standardabweichung der Grundgesamtheit nicht bekannt ist. Die t-Verteilung ist also bei einer Stichprobe wie in dieser Aufgabe sinvoll.

Für Deinen Fall $ N = 10 $ und $ P = 95 $% ist $ t = 2.30 $. Mit der Formel aus dem Hinweis: \[ x ~=~ \bar{x} \pm \frac{s}{\sqrt N} \, t \] findest Du heraus, wie stark der wahre Wert $ x $ vom Mittelwert $ \bar{x} $ abweicht: \[ x ~=~ 45.12 \pm \frac{0.463}{\sqrt{10}} \cdot 2.30 \] Also um $ \pm 0.337 $.

Aufgabe #2: Häufigkeitsverteilung - relative Summenhäufigkeit

Aus einer Produktion wurde eine Stichprobe von 200 Kondensatoren entnommen, um eine Qualitätskontrolle der Kapazitäten $ C_i $ durchzuführen. Dabei wurden die Kapazitäten der Kondensatoren gemessen und in der folgenden Tabelle in Klassenmitten eingeteilt.

Klasse	Klassenmitte in $ \text{nF} $	Anzahl der Kondensatoren
1	841	3
2	842	4
3	843	3
4	844	10
5	845	2
6	846	35
7	847	70
8	848	50
9	849	23

Bestimme die relativen Häufigkeiten $ h_i $ in Prozent.
Bestimme die relativen Summenhäufigkeiten $ H_i $ in Prozent.

Tipps: Die relative Häufigkeit $ h_i $ sagt aus, welchen prozentualen Anteil machen die Kondensatoren einer Klassenmitte von der Gesamtzahl der Stichprobe aus.

Die relative Summenhäufigkeit $ H_i $ ist die Summe aller relativen Häufigkeiten bis zur $i$-ten Klassenmitte.

Lösung zur Aufgabe #2.1

Die relative Häufigkeit $ h_i $ berechnet sich bei einer Stichprobe von 200 Kondensatoren, folgendermaßen: \[ h_i ~=~ \frac{\text{Anzahl in einer Klasse}}{200} ~\cdot~ 100 \]

Zum Beispiel für die 1. Klasse: \begin{align} h_1 &~=~ \frac{3}{200} ~\cdot~ 100 \\\\ &~=~ \frac{3}{2} \, \% \\\\ &~=~ 1.5 \, \% \end{align}

Wenn du genauso für jede Klasse vorgehst, bekommst du folgende Tabelle mit relativen Häufigkeiten:

Klasse	Anzahl der Kondensatoren	Relative Häufigkeit $ h_i $ in %
1	3	1.5
2	4	2
3	3	1.5
4	10	5
5	2	1
6	35	17.5
7	70	35
8	50	25
9	23	11.5

Lösung zur Aufgabe #2.2

Um die relative Summenhäufigkeit $ H_n $ zu berechnen, summierst Du alle relativen Häufigkeiten $ h_i $ bis zur $n$-ten Klasse. \[ H_n ~=~ h_1 ~+~ h_2 ~+~...~+~ h_n \]

Zum Beispiel relative Summenhäufigkeit bis zur 3. Klasse: \begin{align} H_3 &~=~ h_1 + h_2 + h_3 \\\\ &~=~ 2.5\% + 2\% + 2.5\% \\\\ &~=~ 7\% \end{align}

Klasse	Anzahl der Kondensatoren	Relative Summenhäufigkeit $ H_n $ in %
1	3	2.5
2	4	3.5
3	3	5
4	10	10
5	2	11
6	35	28.5
7	70	63.5
8	50	88.5
9	23	100