Alexander Fufaev
Ich heiße Alexander FufaeV und hier erkläre ich das folgende Thema:

Photoeffekt: So verstehst du das revolutionäre Experiment genau wie Einstein

Wichtige Formel

Formel: Photoelektrischer Effekt
Was bedeuten diese Formelzeichen?

Photonenenergie

Einheit
Die Energie eines Photons setzt sich zusammen aus der kinetischen Energie eines mithilfe des Photons herausgelösten Elektrons und der Austrittsarbeit des bestrahlten Materials. Aus der Photonenenergie lässt sich die Frequenz des Lichts bestimmen: $$ f~=~ \frac{ W_{\text p} }{ h } $$ wobei \(h\) das Wirkungsquantum ist.

Frequenz

Einheit
Frequenz der verwendeten Lichtquelle. Wird die Lichtfrequenz mit dem Wirkungsquantum \(h\) multipliziert, so ergibt sich die Energie \(W_{\text p}\) eines Photons.

Austrittsarbeit

Einheit
Austrittsarbeit ist die Energie, die aufgewendet werden muss, um ein Elektron aus einem Festkörper (z.B. aus einer Metallplatte) herauszuschlagen. In der Regel wird sie in Einheit "eV" (Elektronenvolt) angegeben und lässt sich mithilfe der Grenzfrequenz \( f_0 \) berechnen: $$ W = h\, f_0 $$

Grenzfrequenz

Einheit
Grenzfrequenz ist die Mindestfrequenz des Lichts, die notwendig ist, um Elektronen herauszuschlagen. Multipliziert mit dem Wirkungsquantum \(h\) ergibt sich die Austrittsarbeit: \(W = h \, \class{red}{f_0} \).

Geschwindigkeit

Einheit
Maximale Geschwindigkeit eines Elektrons, das von einem Photon herausgeschlagen wurde. Wird das Material mit Photonen mit einer größeren Photonenenergie \(W_{\text p}\) bestrahlt (bei konstant gehaltener Austrittsarbeit \(W\)), dann wird auch die Elektronengeschwindigkeit größer.

Elektronenmasse

Einheit
Ruhemasse des Elektrons. Es ist eine Naturkonstante mit dem Wert: $$ m_{\text e} = 9.109 \cdot 10^{-31} \, \mathrm{kg} $$

Wirkungsquantum (Planck-Konstante)

Einheit
Das Wirkungsquantum \( h \) (auch Planck-Konstante genannt) ist eine Naturkonstante aus der Quantenmechanik und hat den folgenden exakten Wert: $$ h ~=~ 6.626 \, 070 \, 15 ~\cdot~ 10^{-34} \, \mathrm{Js} $$
Energie-Frequenz-Diagramm beim Photoeffekt
Inhaltsverzeichnis
  1. Wichtige Formel
  2. Experiment: Aufbau zum Nachweis des Photoeffekts Hier lernst du, was du alles brauchst, um den photoelektrischen Effekt experimentell nachzuweisen.
  3. Lichtteilchen für den Beschuss der Elektrode Hier lernst du die Energie der Lichtteilchen kennen als wichtige Grundlage für den photoelektrischen Effekt.
  4. Gegenfeldmethode und die Spannung zwischen den Elektroden Hier lernst du, welche Auswirkung die Polarität der Spannung am Kondensator hat und wie sie beim Photoeffekt ausgenutzt wird.
  5. Herausgeschlagene Elektronen erzeugen Photostrom Hier lernst du, wie man überhaupt feststellt, dass Elektronen herausgelöst werden.
  6. Austrittsarbeit der bestrahlten Elektrode überwinden Hier wird die Bindung des Elektrons in der Elektrode erklärt, die durch die Austrittsenergie repräsentiert wird.
  7. Photoeffekt-Formel als Folge der Energieerhaltung Hier wird eine experimentell nützliche Formel für den Photoeffekt erklärt und hergeleitet.
  8. Energie-Frequenz-Diagramm beim Photoeffekt Hier wird der lineare Zusammenhang zwischen Energie und Frequenz erklärt und wie an diesem die Planck-Konstante, Austrittsarbeit und Grenzfrequenz abgelesen werden können.
  9. Photoeffekt zeigt Widersprüche zur Wellentheorie auf Hier findest du vier Widersprüche zur klassischen Wellentheorie, die das Experiment zum Photoeffekt aufzeigt.
  10. Übungen mit Lösungen

Der photoelektrische Effekt (kurz: Photoeffekt) ist ein Phänomen, bei dem das Licht Elektronen aus der Materie herausschlägt. Die revolutionäre Erklärung des Photoeffekts gelang es Albert Einstein im Jahr 1905. Seine Erklärung ebnete den Weg zur Quantenphysik und eröffnete viele moderne technische Anwendungen, wie Solarzellen und Lichtsensoren.

Das Ziel dieser Lektion ist es zu verstehen, wie der Photoeffekt genau erklärt und warum dieser durch die folgenden Formeln repräsentiert wird:

Experiment: Aufbau zum Nachweis des Photoeffekts

So sieht ein prinzipieller Versuchsaufbau für den Photoeffekt aus. Lichtquelle, Kondensator und Volt- bzw. Amperemeter.

Um den Photoeffekt nachzuweisen, brauchst Du grundsätzlich vier Dinge:

  1. Monochromatische Lichtquelle - damit erzeugst Du einfarbiges Licht (z.B. grünes Licht). Dafür eignet sich eine Dampflampe (z.B. Natrium- oder Quecksilberdampflampe).

  2. Plattenkondensator - besteht aus zwei Metallplatten (genannt Elektroden), an denen eine elektrische Spannung \(U\) angelegt werden kann. Für den photoelektrischen Effekt sollte es auch möglich sein, die Polarität der Spannung zu wechseln. Das heißt: Es sollte möglich sein eine Elektrode positiv und die andere negativ aufzuladen und andersherum.

  3. Amperemeter - ist ein Strommessgerät, mit dem den elektrischen Strom \(I_{\text P}\) zwischen den beiden Elektroden messen kannst.

  4. Voltmeter - ist ein Spannungsmessgerät, mit dem Du die eingestellte Spannung \(U\) zwischen den beiden Elektroden ablesen kannst.

Lichtteilchen für den Beschuss der Elektrode

Das Revolutionäre bei der Erklärung des Photoeffekts ist es, wenn wir annehmen, dass das Licht der verwendeten Lichtquelle sich nicht wellenartig, sondern teilchenartig ausbreitet. Wir nehmen an, dass das Licht aus ganz vielen Lichtteilchen besteht, die wir als Photonen bezeichnen.

Sobald wir mit der Lichtquelle eine der Elektroden bestrahlen, knallen auf die Elektrode viele Photonen drauf. Das kann den Photoeffekt auslösen, denn diese Lichtteilchen haben eine bestimmte Energie, die dann auf die Elektrode übertragen wird. Wir bezeichnen die Energie, die ein einzelnes Photon hat, als Photonenenergie \( W_{\text p} \). Beim monochromatischen Licht haben alle Photonen gleiche Energie. Diese Energiemenge, die ein Photon hat, ist entscheidend, ob es ein Elektron herausschlagen kann oder nicht.

Die von Einstein aufgestellte Lichtquantenhypothese besagt, dass wir die Energie \( W_{\text p} \) eines einzelnen Photons herausfinden können, wenn wir die Lichtfrequenz \(\class{violet}{f}\) mit dem Wirkungsquantum \(h\) (auch Planck-Konstante genannt) multiplizieren:

Vier Photonen mit einer unterschiedlichen Frequenz \( f \) haben unterschiedliche Energie.

Das Wirkungsquantum \( h = 6.626 \cdot 10^{-34} \, \mathrm{Js} \) ist eine Naturkonstante, die immer dann in den Gleichungen vorkommt, wenn die Natur Quanteneffekte zeigt. In unserem Fall zeigt das Licht einen Quantencharakter, indem es in 'kleinen Portionen' auftritt.

Da das Wirkungsquantum \(h\) sich nicht ändert, kannst du an der Gleichung 2 ablesen, dass allein die Lichtfrequenz \( f \) darüber entscheidet, wie groß die Energie \( W_{\text p} \) eines Photons ist.

Frequenz legt Photonenenergie fest

Je größer die Lichtfrequenz \(f\) des Lichts ist, desto größer ist die Energie eines Photons.

Manchmal ist statt der Lichtfrequenz \(f\), die Lichtwellenlänge \( \class{violet}{\lambda} \) ("Lamm-da!") bekannt. Aber das ist kein Problem, denn die Frequenz ist mit der Wellenlänge durch die Lichtgeschwindigkeit \( c \) folgendermaßen verknüpft: \( f = c / \lambda \). Wenn statt der Lichtfrequenz \( f \) die Lichtwellenlänge \( \lambda \) gegeben ist, dann kannst du die Photonenenergie 2 so mithilfe der Wellenlänge ausdrücken:

Die Lichtgeschwindigkeit ist ebenfalls wie das Wirkungsquantum eine Naturkonstante und hat folgenden Wert:

An der Gleichung 3 kannst Du erkennen, dass Photonen mit einer kleineren (kürzeren) Wellenlänge eine größere Energie tragen! Die Farbe des Lichts ist durch die Lichtwellenlänge bestimmt. Rotes Licht beispielsweise hat eine größere Wellenlänge als blaues Licht. Die Photonen des roten Lichts haben eine kleinere Energie als die Photonen des blauen Lichts.

Photonen mit unterschiedlicher Wellenlänge
Lichtwellenlänge kann alternativ zur Lichtfrequenz benutzt werden, um die Energie eines Photons herauszufinden. Größte Wellenlänge stellt hier das rote Licht dar.
Tabelle : Beispiele für Lichtwellenlängen, dazugehörige Frequenzen, Energien und Farben.
Wellenlänge \(\lambda\) Frequenz \(f\) Energie eines Photons \(W_{\text p}\)
780 nm 3.8 × 1014 Hz 2.5 × 10-19 J
546 nm 5.5 × 1014 Hz 3.6 × 10-19 J
435 nm 6.9 × 1014 Hz 4.6 × 10-19 J
400 nm 7.5 × 1014 Hz 5 × 10-19 J
365 nm (UV-Licht) 8.2 × 1014 Hz 5.4 × 10-19 J

Viele Photonen, die durch die Lichtquelle erzeugt wurden, fliegen mit der Lichtgeschwindigkeit auf die Elektrodenoberfläche zu und werden von ihr absorbiert. Wenn ein Photon eine genüngend große Energie hat, kann es ein Elektron herauslösen. Hierbei müssen wir zwei wichtige Fragen klären:

  • Woher weiß ich, dass Elektronen herausgelöst werden? Schließlich kann ich sie nicht mit bloßem Auge sehen.

  • Was heißt hier 'genügend große Energie'?

Lies weiter und du wirst diese Fragen nicht mehr haben.

Gegenfeldmethode und die Spannung zwischen den Elektroden

Damit wir diese Fragen überhaupt beantworten können, müssen wir erstmal den Plattenkondensator passend einstellen.

Wird zwischen die beiden Elektroden eine elektrische Spannung \(U\) angelegt, so können die Elektroden auf zwei Arten polarisiert sein:

  1. Die bestrahlte Elektrode ist negativ geladen und die gegenüberliegende Elektrode ist positiv geladen. In diesem Fall würde ein aus der bestrahlten Elektrode herausgelöstes Elektron von der gegenüberliegenden positiven Elektrode angezogen. Mit dieser Polarität wird die Spannung als Beschleunigungsspannung \(U_{\text B}\) bezeichnet (siehe Illustration 4).

  2. Die bestrahlte Elektrode ist positiv geladen und die gegenüberliegende Elektrode ist negativ geladen. In diesem Fall würde ein aus der bestrahlten Elektrode herausgelöstes Elektron von der gegenüberliegenden negativen Elektrode abgestoßen. Mit dieser Polarität wird die Spannung als Gegenspannung \(U_{\text G}\) (oder Bremsspannung) bezeichnet (siehe Illustration 5). Wird zur Untersuchung des Photoeffekts eine Gegenspannung eingesetzt, so spricht man in diesem Zusammenhang von der Gegenfeldmethode.

Was ist der Unterschied zwischen der Beschleunigungs- und Gegenspannung beim Photoeffekt?

Die Beschleunigungsspannung \(U_{\text B}\) würde ein herausgelöstes Elektron zur gegenüberliegenden Elektrode beschleunigen. Die Gegenspannung \(U_{\text G}\) würde ein herausgelöstes Elektron abbremsen.

Kondensator mit eingestellter Beschleunigungsspannung beim Photoeffekt
Angelegte Beschleunigungsspannung beschleunigt Elektronen zur gegenüberliegenden Elektrode.
Photoeffekt: Gegenspannung Visier das Bild an!
Angelegte Gegenspannung bremst Elektronen ab, sodass sie Schwierigkeit haben die gegenüberliegende Elektrode zu erreichen.

Bewegt sich ein Elektron von der einen geladenen Elektrode zur anderen, so gewinnt oder verliert es potentielle (elektrische) Energie, je nachdem, ob Beschleunigungsspannung oder Gegenspannung eingestellt ist. Das Elektron mit der Elementarladung \(e\) gewinnt / verliert betragsmäßig folgende elektrische Energie \(W_{\text e}\), wenn es die Spannung \( U \) durchläuft:

Wie an 4 zu sehen, verliert / gewinnt ein Elektron mehr Energie, wenn eine größere Spannung \(U\) eingestellt wird.

  • Elektron gewinnt Energie \( e \, U_{\text B} \), wenn die Beschleunigungsspannung \( U_{\text B} \) zwischen den Elektroden eingestellt wird. Das Elektron wird zur gegenüberliegenden Elektrode beschleunigt.

  • Elektron verliert Energie \( e \, U_{\text G} \), wenn die Gegenspannung \( U_{\text G} \) zwischen den Elektroden eingestellt wird. Das Elektron wird von der gegenüberliegenden Elektrode abgebremst.

Herausgeschlagene Elektronen erzeugen Photostrom

Um festzustellen, ob Elektronen herausgelöst werden, brauchen wir ein Amperemeter, das den elektrischen Strom zwischen den beiden Elektroden misst. Wird nun die Elektrode mit einer genügend großen Lichtfrequenz bestrahlt, so zeigt das Amperemeter einen von Null verschiedenen Strom an. Das ist genau der elektrische Strom, der dazu dient, nachzuweisen, dass das Licht die Elektronen herausschlägt.

Was ist ein Photostrom?

Ein elektrischer Strom, der durch herausgeschlagene Elektronen verursacht wird, heißt Photostrom \(I_{\text p}\).

Wenn wir das Licht ausschalten, dann sinkt der Photostrom auf Null. Wenn wir das Licht wieder einschalten, dann zeigt das Amperemeter einen von Null verschiedenen Wert an. Den Photostrom \(I_{\text p}\) zwischen den beiden Elektroden kannst du grundsätzlich auf zwei Weisen beeinflussen:

  1. Lichtintensität verändern: Du kannst beispielsweise mittels einer Blende die Intensität des einfallenden Lichtes regulieren und somit die Anzahl der Photonen variieren, die auf die Elektrode fallen. Dadurch ändert sich auch die Anzahl der herausgeschlagenen Elektronen. Verdopplung der Lichtintensität und damit die Verdopplung der Photonenanzahl, ergibt einen doppelt so großen Photostrom.

  2. Spannung verändern: Mithilfe einer größeren Beschleunigungsspannung kannst Du langsamere Elektronen beschleunigen, sodass auch sie die gegenüberliegende Elektrode erreichen und damit zum höheren Photostrom beitragen. Mithilfe einer größeren Gegenspannung dagegen, kannst du auch schnellere Elektronen abbremsen, sodass sie die gegenüberliegende Elektrode nicht erreichen und damit der Photostrom sinkt.

Bei einer abgestellten Spannungsquelle kannst du mit passender Lichtfrequenz trotzdem einen Photostrom messen, denn manche Elektronen fliegen direkt nach dem Herauslösen gerade in Richtung der gegenüberliegenden Elektrode. Bedenke jedoch, dass nicht alle herausgelösten Elektronen - bei ausgeschalteter Spannung - auf der gegenüberliegenden Elektrode landen. Der gemessene Photostrom ist nicht maximal! Der Grund dafür ist, dass manche Elektronen schräg aus der bestrahlten Elektrode austreten und die gegenüberliegende Elektrode verfehlen.

Photoeffekt: Strom-Spannung-Diagramm
Beim Photoeffekt nimmt der Photostrom mit der Beschleunigungsspannung zu und erreicht eine Sättigung, weil alle Elektronen bereits 'eingesaugt' werden.

Wie kannst du es erreichen, dass ALLE herausgeschlagenen Elektronen auf der Elektrode landen? Oder anders gesagt: Wie kannst du den Photostrom maximieren? Hier kommt die zuvor kennengelernt Beschleunigungsspannung ins Spiel! Erhöhe die Beschleunigungsspannung \(U_{\text B}\). Dadurch wird die gegenüberliegende Platte noch stärker positiv geladen. Das resultiert natürlich in einer größeren Anziehungskraft auf alle herausgeschlagenen Elektronen. Erhöhe die Spannung, solange sich der Photostrom \(I_{\text p}\) auch erhöht. Wenn du die Spannung so hochdrehst, dass der Photostrom am Amperemeter sich nicht mehr ändert, das heißt, in Sättigung geht, dann landen alle Elektronen auf der gegenüberliegenden Elektrode. Die elektrische Anziehungskraft der gegenüberliegenden Elektrode auf die Elektronen wird so groß, dass selbst die schräg heraustretenden Elektronen, 'eingesaugt' werden. Der Photostrom erreicht einen maximal möglichen Wert \(I_{\text{max}}\).

Beispiel: Wie viele Elektronen werden herausgelöst?

Aus dem gemessenen maximalen Photostrom \( I_{\text{max}} \) kannst Du die Anzahl \( N \) der herausgelösten Elektronen herausfinden. Der elektrische Strom sagt ja aus, wie viel Ladung \( Q \) pro Zeit \( t \) durch das Amperemeter geht. Die Ladung \( Q = N \, e \) ist ein Vielfaches der Elementarladung \( e = 1.6 \cdot 10^{-19} \, \mathrm{C} \). Stelle nach der Anzahl um, dann bekommst du:

Innerhalb einer Sekunde \( t = 1 \, \mathrm{s} \) bei einem gemessenen Photostrom \( I_{\text{max}} = 0.5 \, \mathrm{A} \), landen so viele Elektronen auf der gegenüberliegenden Platte:

Es müssen mindestens so viele Photonen auf die Platte getroffen sein, weil ja jedes Elektron von genau einem Photon herausgeschlagen wird. Übertrieben viele! BAM! BAM! BAM!

Austrittsarbeit der bestrahlten Elektrode überwinden

Im Experiment zum Photoeffekt wird festgestellt, dass nicht jedes Licht in der Lage ist, Elektronen herauszuschlagen. Die Elektronen können sich zwar innerhalb der metallischen Elektrode frei bewegen, aber sie können nicht aus der Elektrode heraus, weil sie an sie gebunden sind. Diese Bindung des Elektrons an die Elektrode kann überwunden werden, wenn man dem Elektron so viel Energie zuführt, dass es aus der Bindung herausgerissen werden kann. Wenn du aber dem Elektron nicht genügend Energie zuführst, dann bleibt es natürlich weiterhin gebunden und wird nicht aus der Elektrode heraustreten.

Was ist Austrittsarbeit?

Die Energie \(W\), die notwendig ist, um ein Elektron aus einer Metallelektrode herauszuschlagen, wird als Austrittsarbeit (oder Austrittsenergie) bezeichnet.

Die Austrittsarbeit \(W\) ist unterschiedlich, je nach dem, aus welchem Material die Elektrode besteht. Eine Elektrode aus Nickelium hat eine größere Austrittsarbeit als eine Elektrode aus Aluminimum. Die Elektronen sind an die Nickelium-Elektrode stärker gebunden als an die Aluminium-Elektrode. Folglich wird es schwieriger sein, Elektronen aus der Nickelium-Elektrode herauszulösen. Hier ein paar Beispiele für verschiedene Materialien:

Tabelle : Beispiele für Austrittsarbeiten verschiedener Materialien aus denen die bestrahlte Elektrode besteht.
Material Austrittsarbeit in Joule Austrittsarbeit in Elektronenvolt
Cesium (Cs) 3.1 × 10-19 J 1.94 eV
Natrium (Na) 3.6 × 10-19 J 2.28 eV
Aluminium (Al) 6.7 × 10-19 J 4.20 eV
Zinkium (Zn) 7 × 10-19 J 4.34 eV
Platinium (Pt) 8.6 × 10-19 J 5.36 eV
Wovon hängt die Austrittsarbeit ab?

Austrittsarbeit \(W\) hängt vom verwendeten Material der bestrahlten Elektrode ab.

Du hast wahrscheinlich an der Tabelle 2 gemerkt, dass die Austrittsarbeit nicht nur in Joule (J), sondern auch in Elektronenvolt (eV) angegeben wurde. Das ist eine typische kompakte Energieeinheit, in der die Austrittsarbeit beim Photoeffekt und anderen quantenmechanischen Effekten angegeben wird.

  • Dividiere die Energie in Joule (J) durch den Wert der Elementarladung \( 1.6 \cdot 10^{-19} \), um sie in Elektronenvolt (eV) anzugeben.

  • Multipliziere die Energie in Elektronenvolt (eV) mit dem Wert der Elementarladung \( 1.6 \cdot 10^{-19} \), um sie in Joule (J) umzurechnen.

Wie lieferst Du denn dem Elektron diese notwendige Energie? Also wie überwindest Du diese Austrittsarbeit und damit auch die Bindung des Elektrons an die Elektrode? Genau jetzt kommen Photonen ins Spiel. Du hast ja gelernt, dass das Photon eine Energie \( W_{\text p} \) trägt, die durch die Lichtfrequenz \( f \) bzw. Lichtwellenlänge \( \lambda \) bestimmt ist. Es gibt nun zwei Möglichkeiten, die eintreten können:

  1. Photonenenergie ist kleiner als die Austrittsarbeit: \(W_{\text p} < W \).
    In diesem Fall kann das Photon kein Elektron herauslösen.

  2. Photonenenergie ist größer als die Austrittsarbeit: \(W_{\text p} \geq W \).
    In diesem Fall schlägt ein Photon ein Elektron heraus.

Austrittsarbeit mit Grenzfrequenz oder Grenzwellenlänge ausdrücken

Nehmen wir mal an, dass wir Photonen benutzen, deren Energie \(W_{\text p}\) kleiner als die Austrittsarbeit \(W\) ist. Es können damit also keine Elektronen herausgelöst werden. Was musst du tun, um die Photonenenergie größer als die Austrittsarbeit zu machen? Schau dir die Gleichung 2 und 3 an. Du musst einfach das Licht mit einer größeren Frequenz \(f\) (kleinere Wellenlänge \(\lambda\)) einsetzen.

Wenn du die Lichtfrequenz \(f\) erhöhst, kommst du irgendwann bei der sogenannten Grenzfrequenz \(f_0\) an.

Was ist Grenzfrequenz?

Die Frequenz, die das Licht mindestens haben muss, um Elektronen herauszuschlagen, heißt Grenzfrequenz \(\class{red}{f_0}\).

Nach 2 entspricht die Photonenenergie \( h \, f_0 \) genau der Austrittsarbeit \(W\).

Wenn du es schaffst, die Lichtfrequenz \(f_0\) (Grenzfrequenz) einzustellen, dann kannst du mithilfe der Gleichung 7 eine wichtige Eigenschaft des bestrahlten Materials herausfinden, nämlich seine Austrittsarbeit.

Offensichtlich ist die Grenzfrequenz \(f_0\) unterschiedlich, je nach dem, welches Material bestrahlt wird. Schließlich haben unterschiedliche Materialien unterschiedliche Austrittsarbeiten. Für Nickelium-Elektrode ist die Grenzfrequenz größer als für Aluminium-Elektrode, weil die Elektronen in der Nickelium-Elektrode stärker gebunden sind (Nickelium hat eine größere Austrittsarbeit).

Mithilfe der allgemeinen Beziehung \( c = \lambda \, f\) zwischen der Wellenlänge und der Frequenz, kannst du die Austrittsarbeit 7 auch mithilfe der Grenzwellenlänge \(\lambda_0\) ausdrücken.

Was ist Grenzwellenlänge?

Die Grenzwellenlänge \(\lambda_0\) ist die Wellenlänge des Lichts, ab der die Elektronen aus dem Elektrodenmaterial herausgelöst werden können.

Tabelle : Grenzfrequenz und Grenzwellenlänge für einige Materialien der bestrahlten Elektrode.
Material Grenzfrequenz \(f_0\) Grenzwellenlänge \(\lambda_0\)
Cesium (Cs) 4.7 × 1014 Hz 641 nm
Natrium (Na) 5.5 × 1014 Hz 545 nm
Aluminium (Al) 1 × 1015 Hz 297 nm
Zinkium (Zn) 1.1 × 1015 Hz 285 nm

Äquivalent zu den beiden obigen Bedingungen für Photonenenergie und Austirttsarbeit, können zwei Bedingungen für Frequenz \(f\) und Grenzfrequenz \(f_0\) aufgestellt werden:

  1. Lichtfrequenz ist kleiner als die Grenzfrequenz: \(f < f_0 \).
    In diesem Fall kann das Photon kein Elektron herauslösen.

  2. Lichtfrequenz ist größer als die Grenzfrequenz: \(f \geq f_0 \).
    In diesem Fall schlägt ein Photon ein Elektron heraus.

Photoeffekt-Formel als Folge der Energieerhaltung

Was ist aber, wenn Du eine höhere Frequenz des Lichts nimmst als die Grenzfrequenz \( f_0 \)? Oder äquivalent dazu: Was ist, wenn die Photonenenergie echt größer ist als die Austrittsarbeit: \( W_{\text p} \gt W \)? Ein Teil der Photonenenergie (nämlich \( W \)) wird fürs Überwinden der Bindung des Elektrons gebraucht, um es aus der Elektrode herauszulösen. Diese Austrittsenergie \(W\) ziehen wir von der Photonenenergie ab. Es bleibt aber noch eine Restenergie über:

Wo steckt diese Restenergie? Sie kann ja schließlich nach dem Energieerhaltungssatz nicht einfach ins Nichts verschwinden!

Wenn wir Licht mit ausreichend großer Frequenz verwenden, dann beobachten wir im Experiment, dass das Amperemeter einen von Null verschiedenen Strom anzeigt: \( I_{\text p} \neq 0 \). So wie es aussieht, haben herausgelöste Elektronen noch eine Geschwindigkeit in Richtung der gegenüberliegenden Elektrode. Und da haben wir unsere Restenergie! Die nach dem Herauslösen übrig gebliebene Energie \( \Delta W \) wird dem Elektron in Form von kinetischer Energie \( W_{\text{kin}} \) (Bewegungsenergie) mitgegeben. Die Restenergie ist die kinetische Energie des herausgelösten Elektrons: \( W_{\text{kin}} = \Delta W \).

Je größer die Photonenenergie \( W_{\text p} \) und je kleiner die Austrittsarbeit \( W \) des Materials, desto schneller sind die herausgelösten Elektronen.

Du kannst die Photonenergie 2 in 10 einsetzen:

Um die konkrete Geschwindigkeit \( v \) der herausgelösten Elektronen herauszufinden, setzt du für \(W_{\text{kin}}\) die klassische Formel für kinetische Energie ein:

Hierbei ist \( m_{\text e} ~=~ 9.109 \cdot 10^{-31} \, \text{kg} \) die Ruhemasse des Elektrons. Umgestellt nach der Photonenenergie, bekommst du die berühmte Formel für den photoelektrischen Effekt, für die Albert Einstein den Nobelpreis bekam:

Wohin verschwindet die Energie des Photons?

Die Photonenenergie \(h\,f\) wird zum Teil zur Überwindung der Austrittsarbeit \(W\) benutzt und die Restenergie dem Elektron als kinetische Energie mitgegeben.

Die Geschwindigkeit \(v\) in 13 ist nicht direkt messbar, deshalb drücken wir sie mit der messbaren Größe aus und zwar mithilfe der Gegenspannung \( U_{\text G}\).

Dazu musst du die Gegenspannung im Experiment ganz langsam erhöhen und dabei beobachten, wie der Photostrom sinkt. Es erreichen auf diese Weise immer weniger Elektronen die gegenüberliegende Elektrode. Irgendwann kommst du bei einem Wert der Gegenspannung an, bei dem die Abstoßungskraft der gegenüberliegenden Elektrode so groß ist, dass kein einziges Elektron mehr die Elektrode erreicht. Der Photostrom ist auf Null gesunken. Hiermit hast du die letzten schnellsten Elektronen abgebremst. Bei diesem Wert der Gegenspannung hat das schnellste Elektron die Energie \(e \, U_{\text G}\) verloren. Diese verlorene Energie entspricht gerade seiner kinetischen Energie:

Du darfst auf diese Weise die kinetische Energie in 13 mit \(e \, U_{\text G}\) ersetzen:

Mithilfe von 15, kannst du bei gegebener Lichtfrequenz/Wellenlänge und auf dem Voltmeter abgelesener Gegenspannung, die Austrittsarbeit des Materials herausfinden. Oder bei gegebener Austrittsarbeit und Gegenspannung die Lichtfrequenz / Lichtwellenlänge herausfinden.

Beachte jedoch, dass du die Gegenspannung nicht weiter erhöhen darfst, damit die Gleichung 14 gilt. Weiteres Erhöhen der Gegenspannung ändert nichts mehr am Photostrom, weil dieser schon Null ist. Du musst genau den Gegenspannungswert einstellen, bei dem der Photostrom gerade noch so Null wird!

Energie-Frequenz-Diagramm beim Photoeffekt

Energie-Frequenz-Diagramm beim Photoeffekt
Photoeffekt ergibt linearen Zusammenhang zwischen kinetischer Energie \( W_{\text{kin}} \) der herausgelösten Elektronen und Lichtfrequenz \( f \). An der Geraden können Grenzfrequenz \( f_{0} \), Austrittsarbeit \( W \) und Wirkungsquantum \( h \) abgelesen werden.

Du kannst die Gleichung 11 graphisch veranschaulichen:

Auf der \(y\)-Achse wird kinetische Energie \( W_{\text{kin}} \) und auf der \(x\)-Achse die Lichtfrequenz \( f \) aufgetragen.

Wenn du dir die Gleichung 16 genau anschaust, dann erkennst du, dass es eine Geradengleichung von der Form \( y = mx+b \) ist. In unserem Fall gilt:

  • \(y\)-Achse ist die kinetische Energie: \( y = W_{\text{kin}}\).

  • \(x\)-Achse ist die Lichtfrequenz: \(x = f\).

  • Die Steigung \(m\) der Geraden ist das Wirkungsquantum: \( m = h \).

  • \(y\)-Achsenabschnitt \(b\) ist die negative Austrittsarbeit: \( b = -W \).

Wenn du in Gl. 16 die kinetische Energie Null setzt: \( W_{\text{kin}} = 0 \), um den Schnittpunkt der Geraden mit der \(x\)-Achse zu bekommen, wirst du nach dem Umformen feststellen, dass der Schnittpunkt der Grenzfrequenz \( f_0 \) entspricht (siehe Illustration 6).

Mit diesem Wissen bist du in der Lage mithilfe des photoelektrischen Effekts das Wirkungsquantum \(h\) zu bestimmen.

Wie die Steigung einer Geraden bestimmt werden kann, kennst du hoffentlich aus der Mathematik:

In unserem Fall entspricht die Steigung dem Wirkungsquantum: \( m = h\). Dabei sind \(y_{2}\) und \(y_{1}\) zwei beliebige Werte \(W_{\text{kin,1}}\) und \(W_{\text{kin,2}}\) für kinetische Energie der Elektronen. Und \(x_{2}\), \(x_{1}\) sind dazugehörige Lichtfrequenzen \(f_2\), \(f_1\). Also kannst du Gleichung 17 für unseren Fall umschreiben:

Blöderweise ist die kinetische Energie der Elektronen nicht direkt experimentell zugänglich. Da du das Experiment in einem Plattenkondensator durchführst, kannst du diesen ausnutzen, um die kinetische Energie mit einer experimentell zugänglichen Größe umzuschreiben. Diese Größe ist die Gegenspannung \(U_{\text G}\) zwischen den beiden Elektroden.

Die kinetische Energie entspricht in diesem Fall der elektrischen Energie: \(W_{\text{kin}}=e \, U_{\text G}\). Hier ist \(U_{\text G}\) die Gegenspannung, die zur vollständigen Abbremsung der jeweiligen Elektronen notwendig ist. Setze elektrische Energie in 18 ein:

Untersuche also den Photoeffekt mit zwei unterschiedlichen, bekannten Lichtfrequenzen \(f_1\) und \(f_2\), lies dabei die dazugeörigen Gegenspannungen \(U_{\text{G},1}\) und \(U_{\text{G},2}\) ab. Benutze 19 um das Wirkungsquantum \(h\) experimentell zu bestimmen.

Photoeffekt zeigt Widersprüche zur Wellentheorie auf

Das, was im Experiment zum Photoeffekt beobachtet wird, kann nicht mit der Annahme erklärt werden, dass das Licht wellenartig ist.

Nach der klassischen Vorstellung müssten Elektronen mit jeder Lichtfrequenz \( f \) herausgelöst werden können. So etwas wie eine Grenzfrequenz \( f_0 \) existiert nicht in der Wellentheorie des Lichts. Dies widerspricht jedoch dem, was im Experiment beobachtet wird.

Widerspruch zur Wellentheorie #1

Beim Photoeffekt tritt eine Grenzfrequenz \( f_0 \) auf. Photonen mit kleinerer Lichtfrequenz \( f \) als die Grenzfrequenz können keine Elektronen herausschlagen!

Nach der klassischen Wellentheorie könntest du die Metallplatte mit einer beliebigen Lichtfrequenz \( f \) einfach länger bestrahlen, um der Elektrode mehr Energie zuzuführen. Der Photoeffekt würde dann nach einer Zeitverzögerung eintreten. Im Experiment beobachten wir aber kein solches Verhalten: Egal wie lange du die Metallplatte bestrahlst, es treten keine Elektronen aus, wenn die Lichtfrequenz zu klein ist.

Widerspruch zur Wellentheorie #2

Die Bestrahlungsdauer spielt keine Rolle; Elektronen werden ohne Zeitverzögerung herausgeschlagen, wenn die Lichtfrequenz ausreichend ist. Photoeffekt tritt entweder sofort oder gar nicht ein!

Nach der klassischen Wellentheorie müsste die kinetische Energie der Elektronen \( W_{\text{kin}} \) mit steigender Lichtfrequenz \( f \) abnehmen, da im klassischen Wellenbild folgende Proportionalität gilt: \( W_{\text{kin}} \sim 1/f^2 \). Die kinetische Energie müsste sogar quadratisch abnehmen. Was man aber beim Experiment zum Photoeffekt feststellt, ist eine Zunahme und keine Abnahme der kinetischen Energie.

Widerspruch zur Wellentheorie #3

Die kinetische Energie der herausgelösten Elektronen ist umso größer, je größer die benutzte Lichtfrequenz \( f \) ist!

Außerdem sollte die kinetische Energie nach der klassischen Vorstellung mit der Amplitude des einfallenden Lichts quadratisch zunehmen: \( W_{\text{kin}} \sim A^2 \). Das Experiment zeigt aber ein anderes Verhalten: Eine Erhöhung der Amplitude \(A\) (Lichtintensität erhöhen) hat keinen Einfluss auf die kinetische Energie der Elektronen.

Widerspruch zur Wellentheorie #4

Beim Photoeffekt ist die kinetische Energie der herausgelösten Elektronen unabhängig von der benutzten Lichtintensität!

Nun hast du alle wichtigen Punkte über den Photoeffekt kennengelernt. Wenn du nicht alles verstanden hast, lohnt es sich noch das Video über den Photoeffekt anzuschauen. In der nächsten Lektion widmen wir uns einem weiteren wichtigen Experiment zu, das die Quantenmechanik groß gemacht hat, nämlich dem Franck-Hertz-Experiment.

Übungen mit Lösungen

Nutze diese Formelsammlung, wenn du Probleme mit Physikaufgaben hast.

Aufgabe #1: Wie groß ist der Photostrom?

Beim Photoeffekt bestrahlst Du eine der Platten des Plattenkondensators mit Licht der Intensität \( I_1 ~=~ 10^6 \, \frac{ \text{Photonen} }{ \mathrm{s} \cdot \mathrm{m}^2 } \) (Photonen pro Sekunde pro Quadratmeter). Dabei misst Du mit dem am Plattenkondensator angeschlossenen Amperemeter einen Photostrom \( I_{\text P1} ~=~ 2 \, \mathrm{mA} \).

Wenn Du die Kondensatorplatte stattdessen mit einer anderen Lichtintensität \( I_2 ~=~ 2.5 \cdot 10^6 \, \frac{ \text{Photonen} }{ \mathrm{s} \cdot \mathrm{m}^2 } \) bestrahlst, welchen Photostrom \( I_{\text P2} \) wirst Du dann messen?

Annahme: Der Photostrom nimmt proportional mit der Lichtintensität zu.

Tipp: Dreisatzrechnung. Wenn der Strom proportional zur Intensität ist, dann bedeutet das: \( I_{\text P} ~=~ k \cdot I \), wobei \(k\) eine Konstante ist, deren Wert hier keine Rolle spielt und \( I \) allgemein die Intensität des Lichts bezeichnet.

Lösung zur Aufgabe #1

Da der Photostrom linear mit der Lichtintensität zunimmt, ist das Verhältnis zwischen Photostrom und Intensität immer gleich: \[ \frac{ I_{\text{P1}} }{I_1} ~=~ \frac{ I_{\text{P2}} }{I_2} \]

Stelle die Gleichung nach dem gesuchten Photostrom um: \[ I_{\text{P2}} ~=~ \frac{I_2}{I_1} ~\cdot~ I_{\text{P1}} \]

Setze nur noch die in der Aufgabenstellung gegebenen Werte ein, um den gesuchten Photostrom konkret zu berechnen: $$\begin{align} I_{\text{P2}} &~=~ \frac{ 2.5 \cdot 10^6 \, \, \frac{ \text{Photonen} }{ \mathrm{s} \cdot \mathrm{m}^2 } }{ 10^6 \, \frac{ \text{Photonen} }{ \mathrm{s} \cdot \mathrm{m}^2 } } ~\cdot~ 2 \, \mathrm{mA} \\\\ &~=~ 5 \, \mathrm{mA} \end{align}$$

Aufgabe #2: Austrittsarbeit und Geschwindigkeit der Elektronen bestimmen

Du bestrahlst eine Metallplatte mit blauem Licht der Frequenz \( 6.9 \cdot 10^{14} \, \text{Hz}\). Mit der Gegenfeldmethode bringst du den Photostrom auf \( I_{\text P} = 0 \, \text{A} \) und misst dabei eine Gegenspannung von \( 0.59 \, \text{V} \).

  1. Wie groß ist die Austrittsarbeit \(W\) der Metallplatte in Joule (J) und in Elektronenvolt (eV)?
  2. Wie groß ist die Geschwindigkeit der schnellsten Elektronen?

Lösung zur Aufgabe #2.1

Benutze die von Einstein aufgestellte Energiebilanz: 1 $$ h \, f ~=~ e \, U_{\text G} ~+~ W $$

Forme die Gleichung nach der gesuchten Austrittsarbeit um: $$ W ~=~ h \, f ~-~ e \, U_{\text G} $$

Setze Lichtfrequenz \( f \), Gegenspannung \( U_{\text G} \) und die Planck-Konstante \( h = 6.626 \cdot 10^{-34} \, \mathrm{Js} \) und die Elementarladung \( e = 1.6 \cdot 10^{-19} \, \mathrm{C} \) ein, um die Austrittsarbeit \( W \) konkret auszurechnen: \begin{align} W &~=~ 6.626 \cdot 10^{-34} \, \text{Js} ~\cdot~ 6.9 \cdot 10^{14} \, \text{Hz} ~-~ 1.6 \cdot 10^{-19} \, \text{C} ~\cdot~ 0.59 \, \text{V} \\\\ &~=~ 3.626 \cdot 10^{-19} \, \text{J} \end{align}

Um die Austrittsarbeit, die in Joule angegeben ist, in Elektronenvolt umzurechnen, müssen wir lediglich die Austrittsarbeit durch den Wert der Elementarladung teilen: \begin{align} W &~=~ \frac{ 3.626 \cdot 10^{-19} \, \text{J} }{ 1.6\cdot10^{-19} } \\\\ &~=~ 2.27 \, \text{eV} \end{align}

Das Photon muss also mindestens diese Energie (Austrittsarbeit) aufweisen, um ein Elektron herauszulösen!

Lösung zur Aufgabe #2.2

Photoeffekt: Gegenspannung Visier das Bild an!
Elektronen werden durch eine abstoßende negative Platte abgebremst.

Die herausgetretenen Elektronen wandern zur gegenüberliegenden Metallplatte, die bei der Gegenfeldmethode negativ geladen ist. Das heißt: Die negativ geladenen Elektronen werden von der negativ geladenen Platte abgestoßen. Mithilfe der Gegenspannung, können wir negative Ladung auf der Platte variieren und damit die Abstoßungskraft vergrößern oder verringern. Bei der Gegenfeldmethode ist es unser Ziel, die Gegenspannung \( U_{\text G} \) so einzustellen, dass die Abstoßungskraft gerade mal so groß ist (nicht kleiner und nicht größer), dass sogar die schnellsten Elektronen die positive Platte nicht mehr erreichen können. Dieser Wert der Gegenspannung wird dazu verwendet, um die Geschwindigkeit der schnellsten Elektronen herauszufinden. Und dieser Wert ist in der Aufgabe gegeben!

Setz die elektrische Energie \( e \, U_{\text G} \), die ein Elektron mit der Ladung \( e \) bekommt, wenn es die Spannung \( U_{\text G} \) durchläuft, mit der kinetischen Energie \( \frac{1}{2} \, m \, v^2 \) gleich: $$ e \, U_{\text G} ~=~ \frac{1}{2} \, m \, v^2 $$

Stelle nach der Geschwindigkeit \( v \) um: $$ v ~=~ \sqrt{ \frac{ 2 e \, U_{\text G} }{ m } } $$

Die Masse des Elektrons steht in der Formelsammlung: \( m = 9.109 \cdot 10^{-31} \, \mathrm{kg} \). Setze gegebene Werte ein: $$\begin{align} w &~=~ \sqrt{ \frac{ 2 ~\cdot~ 1.6 \cdot 10^{-19} \, \text{C} ~\cdot~ 0.59 \, \text{V} }{ 9.109 \cdot 10^{-31} \, \mathrm{kg} } } \\\\ &~=~ 455 \, 266.45 \, \frac{\mathrm m}{\mathrm s} \end{align}$$

Aufgabe #3: Gegenspannung beim Photoeffekt berechnen

Eine Natriumplatte mit der Austrittsarbeit \(W = 2.3 \, \mathrm{eV} \) wird mit Licht der Wellenlänge \(\lambda = 300 \, \mathrm{nm} \) bestrahlt.

Welche Gegenspannung \( U_{\text G} \) musst du einstellen, um den Photostrom komplett zu unterbinden?

Lösung zur Aufgabe #3

Benutze die von Albert Einstein aufgestellte Energiebilanz, bei der die Gesamtenergie \( h \, f \) eines Photons auf das Elektron übertragen wird, wobei ein Teil davon, nämlich die Austrittsarbeit \( W \), zum Herauslösen des Elektrons aufgewendet wird: $$ h \, f ~=~ e \, U_{\text G} ~+~ W $$

Forme die Gleichung nach der gesuchten Gegenspannung um: 2 $$ U_{\text G} ~=~ \frac{h \, f ~-~ W }{ e } $$

Jetzt musst Du nur die richtigen Werte einsetzen, wobei du noch entweder die Wellenlänge \( 300 \, \mathrm{nm} = 300 \cdot 10^{-9} \, \mathrm{m} \) in Frequenz \( f \) umrechnen musst oder die die Beziehung \( c = \lambda \, f \) nach \( \lambda \) umstellen und in 2 einsetzen musst. Wir entscheiden uns mal beispielshaft für den ersten Weg: 3 \begin{align} f &~=~ \frac{ c }{ \lambda } \\\\ &~=~ \frac{ 3 \cdot 10^8 \, \frac{\mathrm m}{ \mathrm s} }{ 300 \cdot 10^{-9} \, \text{m} } \\\\ &~=~ 10^{15} \, \text{Hz} \end{align}

Die Austrittsarbeit, die in Elektronenvolt (eV) gegeben ist, rechnen wir in die SI-Einheit Joule (J) um. Dazu müssen wir lediglich den gegebenen Wert in Elektronenvolt mit dem Wert der Elementarladung \( e ~=~ 1.6 \cdot 10^{-19} \, \text{C} \) multiplizieren: 4 \begin{align} W &~=~ 2.3 \, \text{eV} \\\\ &~=~2.3 ~\cdot~ 1.6 \cdot 10^{-19} \, \text{C} \, \text{V} \\\\ &~=~ 3.68 \cdot 10^{-19} \, \text{J} \end{align}

Hierbei entspricht die Einheit \( \text{C} \, \text{V} \) der Einheit Joule. Dann haben wir noch die Naturkonstante (Wirkungsquantum) \( h \), die den Wert \( 6.626 \cdot 10^{-34} \, \text{Js} \) hat. Alles in 2 einsetzen, ergibt: $$\begin{align} U_{\text G} &~=~ \frac{ 6.626 \cdot 10^{-34} \, \text{Js} ~\cdot~ 10^{15} \, \text{Hz} ~-~ 3.68 \cdot 10^{-19} \, \text{J} }{ 1.6 \cdot 10^{-19} \, \text{C} } \\\\ &~=~1.84 \, \text{V} \end{align}$$

Aufgabe #4: Planck-Wirkungsquantum mit Gegenspannung bestimmen

Eine Photokathode (eine der beiden Kondensatorplatten) wird in zwei Experimenten mit jeweils monochromatischem Licht bestrahlt, um den Photoeffekt auszulösen.

Im ersten Experiment, wird die Photokathode mit der Wellenlänge \( \lambda_1 = 231 \, \mathrm{nm} \) bestrahlt. Die herausgelösten Elektronen wandern zur gegenüberliegenden Platte und erzeugen einen Photostrom. Diesen bringst du auf Null, indem du eine Gegenspannung von \( U_1 = 0.96 \, \mathrm{V} \) anlegst.

Im zweiten Experiment, wird die Photokathode mit der Wellenlänge \( \lambda_2 = 150 \, \mathrm{nm} \) bestrahlt. Den hervorgerufenen Strom kompensierst du, indem du eine Gegenspannung von \( U_2 = 3.85 \, \mathrm{V} \) anlegst.

  1. Bestimme mit Hilfe dieser Messergebnisse die Naturkonstante: Wirkungsquantum \( h \) in Joulesekunden (Js).
  2. Bestimme mit der ermittelten Planck-Konstanten die Austrittsarbeit \(W \) der Photokathode in Joule (J) und in Elektronenvolt (eV).
  3. Bestimme die Grenzfrequenz \( f_0 \) und die Grenzwellenlänge \( \lambda_0 \).

Lösung zur Aufgabe #4.1

Du hast zwei unabhängige Experimente gemacht. Das heißt: Damit kannst du zwei Gleichungen aufstellen, die du benutzen kannst, um die Planck-Konstante \( h \) zu bestimmen.

Erstes Experiment: Die Bestrahlung einer Metallplatte mit der Wellenlänge \( \lambda_1 \) hat Elektronen aus der Platte herausgelöst, die mit Hilfe der Gegenspannung gestoppt wurden. Setze die Wellenlänge \( \lambda_1 \) und die dazugehörige Gegenspannung \( U_1 \) in die Formel für den Photoeffekt ein: 1 $$ h \, f_1 ~=~ e \, U_1 ~+~ W $$

Hierbei wurde die kinetische Energie als \( e \, U_1 \) ausgedrückt. Die Lichtfrequenz \( f_1\), mit der wir die Photokathode bestrahlen ist nicht bekannt, aber das ist kein Problem, weil wir Lichtfrequenz \( f_1\) in Lichtwellenlänge \( \lambda_1\) mithilfe der Formel \( c = \lambda_1 \, f_1\) ineinander umrechnen können. Forme diese Formel nach der Frequenz um: \( f_1 = \frac{c}{ \lambda_1 } \) und setze sie in Gl. 1 ein: 2 $$ h \, \frac{c}{ \lambda_1 } ~=~ e \, U_1 ~+~ W $$

Und schon ist unsere erste Gleichung fertig. Wenn du sie genau anschaust, dann siehst du, dass sie ZWEI Unbekannten hat, nämlich die gesuchte Naturkonstante \( h \) als auch die Austrittsarbeit \( W\) der Photokathode. Wenn du die Gleichung nach \( h \) umstellen würdest, könntest du \( h \) nicht konkret ausrechnen, weil du eben die Austrittsarbeit \( W = h \, f_0 \) nicht kennst. Hierbei ist \( f_0\) die Grenzfrequenz, die ebenfalls nicht gegeben ist. Daher ist eine zweite Gleichung aus dem Photoeffekt-Experiment dringend notwendig.

Zweites Experiment: Gehe in diesem Fall analog wie bei dem ersten Experiment vor. Setze die Wellenlänge \( \lambda_2 \) und die dazugehörige Gegenspannung \( U_2 \) in die Photoeffekt-Formel ein. Wir drücken außerdem die Frequenz \(f_2\) mit der gegebenen Wellenlänge aus: 3 $$ h \, \frac{c}{ \lambda_2 } ~=~ e \, U_2 ~+~ W $$

Wenn du jetzt die Gl. 3 von Gl. 2 abziehst, eliminierst du damit die unbekannte Austrittsarbeit \( W \): $$\begin{align} h \, \frac{c}{ \lambda_1 } ~-~ h \, \frac{c}{ \lambda_2 } &~=~ e \, U_1 ~-~ e \, U_2 ~+~ W ~-~ W \\\\ h \, \frac{c}{ \lambda_1 } ~-~ h \, \frac{c}{ \lambda_2 } &~=~ e \, U_1 ~-~ e \, U_2 \\\\ h \, c \, \left( \frac{1}{ \lambda_1 } ~-~ \frac{1}{ \lambda_2 } \right) &~=~ e \, \left( U_1 ~-~ U_2 \right) \end{align}$$

Im letzten Schritt wurde auf der linken Seite \( h \, c \) ausgeklammert und auf der rechten Seite die Elementarladung \( e \). Nun hält uns nichts mehr davon ab, nach der gesuchten Planck-Konstanten \( h \) umzustellen: $$ h ~=~ \frac{e}{c} \, \frac{ U_1 ~-~ U_2 }{ \frac{1}{ \lambda_1 } ~-~ \frac{1}{ \lambda_2 } } $$

Setze nur noch konkrete Werte ein. Hierbei ist \( c = 3 \cdot 10^8 \, \frac{\mathrm m}{\mathrm s} \) und \( e = 1.6 \cdot 10^{-19} \, \mathrm{C} \): $$\begin{align} h ~&=~ \frac{ 1.6 \cdot 10^{-19} \, \mathrm{C} }{ 3 \cdot 10^8 \, \frac{\mathrm m}{\mathrm s} } \, \frac{ 0.96 \, \mathrm{V} ~-~ 3.85 \, \mathrm{V} }{ \frac{1}{ 231 \cdot 10^{-9} \, \mathrm{m} } ~-~ \frac{1}{ 150 \cdot 10^{-9} \, \mathrm{m} } } \\\\ &~=~ 6.59 \cdot 10^{-34} \, \mathrm{Js} \end{align}$$

Wenn du die Planck-Konstante in deiner Formelsammlung anschaust, dann siehst du, dass der ermittelte Wert gut mit dem exakten Wert \( h ~=~ 6.626 \, 070 \, 15 \,\cdot \, 10^{-34} \, \text{Js} \) übereinstimmt.

Lösung zur Aufgabe #4.2

Da wir jetzt die Planck-Konstante \( h \) in (a) bestimmt haben, können wir daraus die Austrittsarbeit \( W \) bestimmen. Es gibt verschiedene Wege das zu erreichen. Der einfachste Weg ist es, die aufgestellte Photoeffekt-Gleichung aus dem ersten Experiment zu nehmen: $$ h \, \frac{c}{ \lambda_1 } ~=~ e \, U_1 ~+~ W $$

Und diese Gleichung dann nach \( W \) umzustellen: $$ W ~=~ h \, \frac{c}{ \lambda_1 } ~-~ e \, U_1 $$

Konkrete Werte einsetzen, ergibt: $$\begin{align} W ~&=~ 6.59 \cdot 10^{-34} \, \mathrm{Js} ~\cdot~ \frac{ 3 \cdot 10^8 \, \frac{\mathrm m}{\mathrm s} }{ 231 \cdot 10^{-9} \, \mathrm{m} } ~-~ 1.6 \cdot 10^{-19} \, \mathrm{C} ~\cdot~ 0.96 \, \mathrm{V} \\\\ &~=~ 7.02 \cdot 10^{-19} \, \mathrm{J} \end{align}$$

Um den Joule-Wert in Elektronenvolt (eV) umzurechnen, müssen wir nur das Ergebnis durch die Elementarladung \( e = 1.6 \cdot 10^{-19} \, \mathrm{C} \) teilen: $$ W ~=~ 4.39 \, \mathrm{eV} $$

Lösung zur Aufgabe #4.3

Um die Grenzfrequenz \( f_0 \) zu berechnen, benutzen wir den Zusammenhang zwischen der Austrittsarbeit \( W \) und der Grenzfrequenz: $$ W ~=~ h \, f_0 $$

Stelle nach \(f_0\) um und setze konkrete Werte ein: $$\begin{align} f_0 ~&=~ \frac{W}{h} \\\\ &~=~ \frac{ 7.02 \cdot 10^{-19} \, \mathrm{J} }{ 6.59 \cdot 10^{-34} \, \mathrm{Js} } \\\\ &~=~ 1.07 \cdot 10^{15} \, \frac{1}{\mathrm s} \\\\ &~=~ 1.07 \cdot 10^{15} \, \mathrm{Hz} \end{align}$$

Das entspricht der folgenden Grenzwellenlänge $$\begin{align} \lambda_0 ~&=~ \frac{c}{f_0} \\\\ &~=~ \frac{ 3 \cdot 10^8 \, \frac{\mathrm m}{\mathrm s} }{ 1.07 \cdot 10^{15} \, \mathrm{Hz} } \\\\ &~=~ 2.8 \cdot 10^{-7} \, \mathrm{m} \\\\ &~=~ 280 \, \mathrm{nm} \end{align}$$