Lineare Gleichungssysteme (LGS)

Die Unbekannte wird hier durch den Buchstaben \(\class{red}{x}\) repräsentiert. Du kannst diese Gleichung lösen, indem du sie nach \(\class{red}{x}\) umstellst: 1.1 \[ \class{red}{x} ~=~ 2 \]

Was habe ich davon, wenn ich \(\class{red}{x}\) weiß?

Nun, du musst immer dran denken, dass Mathematik an sich eine reine Sprache ist. Diese Sprache beschreibt die Natur erst dann, wenn wir die Natur einbeziehen. Wie ist das gemeint? Aus rein mathematischer Sicht ist \(\class{red}{x}\) eine abstrakte Zahl, die für beliebige Dinge stehen könnte. Damit diese Zahl \(\class{red}{x}\) eine physikalische Bedeutung hat, müssen wir ihr diese Bedeutung zuweisen. Wir könnten beispielsweise die Gleichung 1 als Ohmsches Gesetz interpretieren: 1.2 \begin{align} 10 &~=~ 5 \, \class{red}{x} \\\\ U &~=~ R \, \class{red}{I} \end{align} Nach dieser Interpretation würde dann die Spannung \( U \) den Wert 10 Volt haben. Der elektrische Widerstand \(R\) den Wert 5 Ohm. Und die Unbekannte \(\class{red}{x}\) würde dem elektrischen Strom \(\class{red}{I}\) entsprechen.

Wir können also den unbekannten Strom herausfinden, wenn wir die abstrakte Gleichung als Ohmsches Gesetz interpretieren und nach \(\class{red}{x}\) (also nach \(\class{red}{I}\)) auflösen. Dann bedeutet die herausgefundene Lösung \(\class{red}{x}=\class{red}{2}\), dass der Strom \( \class{red}{2} \) Ampere ist. Das ist nur ein sehr einfaches Beispiel dafür, dass Mathematik mit einer passenden Interpretation der Gleichungen, praktisch auf alle Fachgebiete anwendbar ist, egal ob Physik, Wirtschaft oder Biologie!

Was ist mit einer Gleichung mit zwei Unbekannten \(\class{red}{x}\) und \(\class{blue}{y}\)? 1.3 \[ 10 ~=~ 5\,\class{red}{x} ~+~ 2\, \class{blue}{y} \]

Wenn du diese Gleichung nach der Unbekannten \(\class{red}{x}\) umstellst, bekommst du: 1.4 \[ \class{red}{x} ~=~ \frac{10 ~-~ 2\,\class{blue}{y}}{5} \]

Hier hast du das Problem, dass \(\class{red}{x}\) von einer anderen Unbekannten \(\class{blue}{y}\) abhängt und du deshalb nicht konkret eine Zahl für \(\class{red}{x}\) ausrechnen kannst. EINE Gleichung mit ZWEI Unbekannten reicht also nicht aus, um beide Unbekannten \(\class{red}{x}\) und \(\class{blue}{y}\) konkret zu bestimmen. Denk dran, dass die Unbekannten beide Gleichungen erfüllen müssen, damit sie als Lösung gelten!

Um beide Unbekannten bestimmen zu können, brauchen wir eine zusätzliche Gleichung! Nehmen wir zum Beispiel diese Gleichung: 1.5 \[ 3 ~=~ 4\,\class{red}{x} ~+~ 6\, \class{blue}{y} \]

Beide Gleichungen 1.3 und 1.5 bilden ein Gleichungssystem, das wir so übereinander schreiben können: 1.6 \begin{align} 10 ~=~ 5\,\class{red}{x} ~+~ 2\, \class{blue}{y} \\\\ 3 ~=~ 4\,\class{red}{x} ~+~ 6\, \class{blue}{y} \end{align}

Doch was bedeutet es, wenn ein Gleichungssystem linear ist? Ein lineares Gleichungssystem hast du genau dann, wenn die Unbekannten, wie \(\class{red}{x}\) und \(\class{blue}{y}\), nur in Potenzen von 1 vorkommen. Es dürfen keine Ausdrücke wie beispielsweise \(\class{red}{x}^2\), \(\sqrt{\class{blue}{y}}\) oder \(\sin(\class{red}{x})\) vorkommen. Wenn sie aber doch vorkommen, dann hast du ein nicht-lineares Gleichungssystem. Diese behandeln wir hier erstmal nicht, weil sie deutlich komplizierter sind.

Du kannst dein LGS umformen, ohne die Lösung des LGS zu beeinflussen. Es gibt drei nützliche Operationen, die dir später beim Lösen des LGS behilflich sein können:

1. Du darfst eine Gleichung des LGS mit einem Faktor (der nicht Null sein darf) multiplizieren.
   Du darfst also beim LGS 2 \begin{align} 10 &~=~ 5\,\class{red}{x} ~+~ 2\, \class{blue}{y} \\\\ 3 &~=~ 4\,\class{red}{x} ~+~ 6\, \class{blue}{y} \end{align} die erste Gleichung auf beiden Seiten beispielsweise mit 2 multiplizieren. Dann bekommst du: 2.1 \begin{align} 20 &~=~ 10\,\class{red}{x} ~+~ 4\, \class{blue}{y} \\\\ 3 &~=~ 4\,\class{red}{x} ~+~ 6\, \class{blue}{y} \end{align} Du darfst das so oft wie du willst machen! Die zweite Gleichung darfst du natürlich auch mit irgendeinem Faktor multiplizieren (nicht mit Null natürlich). Du kannst auch durch einen Faktor teilen, um beispielsweise die Koeffizienten vor dem \(\class{red}{x}\) und \(\class{blue}{y}\) kleiner zu machen. Mit kleineren Zahlen lässt sich ja etwas leichter rechnen!
2. Du darfst die Gleichungen des LGS vertauschen
   Das LGS 2.2 \begin{align} 10 &~=~ 5\,\class{red}{x} ~+~ 2\, \class{blue}{y} \\\\ 3 &~=~ 4\,\class{red}{x} ~+~ 6\, \class{blue}{y} \end{align} könntest du auch so notieren: 2.3 \begin{align} 3 &~=~ 4\,\class{red}{x} ~+~ 6\, \class{blue}{y}\\\\ 10& ~=~ 5\,\class{red}{x} ~+~ 2\, \class{blue}{y} \end{align}
3. Eine Gleichung zur anderen addieren oder subtrahieren
   Zum Beispiel kannst du beim LGS 2.4 \begin{align} 10 &~=~ 5\,\class{red}{x} ~+~ 2\, \class{blue}{y} \\\\ 3 &~=~ 4\,\class{red}{x} ~+~ 6\, \class{blue}{y} \end{align} die erste Gleichnung modifizieren, indem du sie komponentenweise mit der zweiten Gleichung addierst, \(10 +3 = 13 \), dann \(5\,\class{red}{x} + 4\,\class{red}{x} = 9\,\class{red}{x} \) und dann \(2\,\class{blue}{y} + 6\,\class{blue}{y} = 8\,\class{blue}{y} \) ergibt eine neue erste Gleichung: \( 13 ~=~ 9\,\class{red}{x} ~+~ 8\,\class{blue}{y} \). Damit lautet das umgeformte LGS: 2.5 \begin{align} 13 &~=~ 9\,\class{red}{x} ~+~ 8\, \class{blue}{y} \\\\ 3 &~=~ 4\,\class{red}{x} ~+~ 6\, \class{blue}{y} \end{align}

Du kannst das LGS 3 \begin{align} 10 ~=~ 5\,\class{red}{x} ~+~ 2\, \class{blue}{y} \\\\ 3 ~=~ 4\,\class{red}{x} ~+~ 6\, \class{blue}{y} \end{align} graphisch veranschaulichen. Die Unbekannten \(\class{red}{x}\) und \(\class{blue}{y}\) stellen dabei die beiden Achsen dar. Du hast zwei Unbekannte, also spannst du damit einen zweidimensionalen Raum auf. Wie zeichnest du beispielsweise die erste Gleichung von 2 ein? Das kannst du folgendermaßen machen:

1. Stelle die Gleichung zum Beispiel nach \(\class{blue}{y}\) um: 3.1 \[ \class{blue}{y} ~=~ \frac{10 - 5\,\class{red}{x}}{ 2 } \]
2. Jetzt hast du quasi eine Funktion \(\class{blue}{y}(\class{red}{x})\), die von \(\class{red}{x}\) abhängt und die du, wie gewohnt, einzeichnen kannst. Das heißt: Du setzt verschiedene Werte in \(\class{red}{x}\) ein. Da die Gleichungen linear sind, reicht es zwei Werte einzusetzen, zum Beispiel \(\class{red}{x} = \class{red}{0}\) und \(\class{red}{x} = \class{red}{1}\). Dadurch bekommst du die dazugehörigen \(\class{blue}{y}\)-Werte: 3.2 \begin{align} \class{blue}{y}(\class{red}{0}) &~=~ \frac{10 - 5\cdot \class{red}{0}}{ 2 } ~=~ \class{blue}{5}\\\\ \class{blue}{y}(\class{red}{1}) &~=~ \frac{10 - 5\cdot \class{red}{1}}{ 2 } ~=~ \class{blue}{2.5} \end{align} Du musst also die Punkte \((\class{red}{0}, \, \class{blue}{5})\) und \((\class{red}{1},\,\class{blue}{2.5})\) einzeichnen.
3. Verbinde die beiden Punkte miteinander.

Graphisch gesehen, stellt ein lineares Gleichungssystem mit zwei Unbekannten, eine gerade Linie (kurz: Gerade) dar.

Genauso gehst du mit der zweiten Gleichung vor. Dann bekommst du zwei Geraden, die sich in einem Punkt schneiden:

Dieser Schnittpunkt ist die Lösung des LGS. Durch das Ablesen der \(\class{red}{x}\)-Koordinate bekommst du den Wert \( \class{red}{x} = \class{red}{2.455} \) und durch das Ablesen der \(\class{blue}{y}\)-Koordinate von diesem Schnittpunkt, bekommst du den Wert \( \class{blue}{y} = \class{blue}{-1.136}\). Wie du siehst, es ist recht einfach ein einfaches LGS graphisch zu lösen!

Was passiert eigentlich, wenn es keinen Schnittpunkt gibt? Das passiert genau dann, wenn die beiden Geraden parallel zu einander verlaufen.

Schau dir mal beispielsweise dieses LGS an: 4 \begin{align} 2\,\class{red}{x} ~+~ 3 \, \class{blue}{y} &~=~ 6 \\\\ 4\,\class{red}{x} ~+~ 6 \, \class{blue}{y} & ~=~ 9 \end{align}

Multipliziere die erste Gleichung mit 2. Dann bekommst du: 4.1 \begin{align} 4\,\class{red}{x} ~+~ 6 \, \class{blue}{y} &~=~ 12 \\\\ 4\,\class{red}{x} ~+~ 6 \, \class{blue}{y} & ~=~ 9 \end{align} Und hier siehst du einen Widerspruch in deinem LGS: Der Ausdruck \(4\,\class{red}{x} ~+~ 6 \, \class{blue}{y}\) auf der rechten Seite ergibt bei der ersten Gleichung 12 und bei der zweiten Gleichung 9. Das ist unmöglich! Das siehst du deutlich, wenn du die zweite Gleichung von der ersten abziehst, also \( 4\,\class{red}{x} - 4\,\class{red}{x} = 0\), dann \( 6\,\class{blue}{y} - 6\,\class{blue}{y} = 0\) und dann \( 12 - 9 = 3\). Die erste Gleichung lautet dann: \( 0 + 0 = 3 \), was unmöglich ist!

Und, was passiert, wenn die beiden Geraden direkt übereinander liegen?

Schau dir mal beispielsweise dieses LGS an: 4.2 \begin{align} 8\,\class{red}{x} ~+~ 12 \, \class{blue}{y} &~=~ 24 \\\\ 2\,\class{red}{x} ~+~ 3 \, \class{blue}{y} & ~=~ 6 \end{align}

Wenn du dir die Koeffizienten genau anschaust, dann siehst du, dass die erste Gleichung ein Vielfaches der zweiten Gleichung ist. Multipliziere einfach die zweite Gleichung mit 4, dann siehst du das: 4.3 \begin{align} 8\,\class{red}{x} ~+~ 12 \, \class{blue}{y} &~=~ 24 \\\\ 8\,\class{red}{x} ~+~ 12 \, \class{blue}{y} & ~=~ 24 \end{align} Du hast hier also graphisch gesehen, zwei Geraden, die direkt übereinander liegen. Es gibt also in diesem Fall unendlich viele Schnittpunkte der beiden Geraden, also unendlich viele Lösungen.

Wenn die obigen beide Fälle nicht eintreten, dann kannst du davon ausgehen, dass das LGS eine eindeutige Lösung hat!

Natürlich muss dein LGS nicht aus zwei Gleichungen bestehen. Es kann auch aus drei Gleichungen bestehen und auch mehr als zwei Variablen \(\class{red}{x}\), \(\class{blue}{y}\) enthalten. Hier ist zum Beispiel ein etwas komplexeres LGS mit drei Gleichungen und drei Variablen: 5 \begin{align} 2\,\class{red}{x} ~-~ 3 \, \class{blue}{y} ~+~ \class{green}{z} &~=~ -10 \\\\ \class{red}{x} ~+~ 2 \, \class{blue}{y} ~-~ 2\,\class{green}{z} & ~=~ 6 \\\\ 3\,\class{red}{x} ~-~ \class{blue}{y} ~+~ 3\,\class{green}{z} & ~=~ -16 \end{align}

Eine Gleichung mit drei Variablen \(\class{red}{x}\), \(\class{blue}{y}\) und \(\class{green}{z}\) ergibt keine Gerade, wenn du sie graphisch darstellst, sondern eine Ebene im dreidimensionalen Raum. Bei einem LGS, das aus drei Gleichungen mit drei Variablen besteht, bekommst du also graphisch drei Ebenen. Auch hier bilden die Schnittpunkte der Ebenen, Lösungen des LGS.

Ein LGS mit vier Variablen \(\class{red}{x_1}\), \(\class{blue}{x_2}\), \(\class{green}{x_3}\) und \(\class{violet}{x_4}\) kannst du nicht mehr graphisch darstellen, weil du dafür einen vierdimensionalen Raum bräuchtest: 5.1 \begin{align} 4\,\class{red}{x_1} ~-~ 3 \, \class{blue}{x_2} ~+~ 5\,\class{green}{x_3} ~+~ 6\, \class{violet}{x_4} &~=~ 40 \\\\ 5\,\class{red}{x_1} ~-~ 6 \, \class{blue}{x_2} ~+~ 6\,\class{green}{x_3} ~+~ 5\, \class{violet}{x_4} &~=~ 35 \\\\ 4\,\class{red}{x_1} ~-~ 9 \, \class{blue}{x_2} ~+~ 2\,\class{green}{x_3} ~+~ 3\, \class{violet}{x_4} &~=~ 15 \end{align} Hier siehst du auch, dass die Variablen etwas anders geschrieben wurden. Die Variablen wurden nummeriert, indem sie mit einem Index versehen wurden. Auf diese Weise gehen einem die Buchstaben nicht aus, wenn man komplexere LGS betrachtet.

Lass uns an ein paar Beispiele durchgehen und schauen, wie einfache LGS gelöst werden können.

Kompliziertere Gleichungssysteme mit mehr als drei Gleichungen lassen sich systematisch mit dafür vorgesehenen Algorithmen lösen, wie zum Beispiel mit dem Gauß-Verfahren, das du in einer anderen Lektion lernst.