Dielektrische Polarisation: Wie Ladungen in einem Dielektrikum verschoben werden

Ein Material, das nicht-leitend, aber polarisierbar ist, wird als Dielektrikum bezeichnet. Wenn ein Dielektrikum mit einer relativen Permittivität \( \varepsilon_{\text r} \) in einen Plattenkondensator eingebracht wird und den gesamten Raum zwischen den Platten ausfüllt, sinkt die Spannung \( U \) am Kondensator um den Faktor \( \varepsilon_{\text r} \), wenn der Kondensator von der Spannungsquelle getrennt ist. Da das homogene elektrische Feld \( \class{purple}{E} \) des Plattenkondensators proportional zur Spannung ist, sinkt das elektrische Feld ebenfalls um den gleichen Faktor \( \varepsilon_{\text r} \). Dieser Effekt wird durch die Polarisation des Dielektrikums verursacht.

Ein Dielektrikum besteht aus neutralen Atomen. Ein Atom besteht im Allgemeinen aus mehreren positiven und negativen Ladungen. Die positiven Ladungen innerhalb eines Atoms werden durch den positiven Ladungsschwerpunkt beschrieben, während die negativen Ladungen durch den negativen Ladungsschwerpunkt beschrieben werden. Da das Atom insgesamt neutral ist, liegen der positive und der negative Ladungsschwerpunkt am gleichen Ort.

Wenn ein Dielektrikum (wie Quarzglas, Keramik oder Wasser) in ein externes elektrisches Feld \( \class{purple}{\boldsymbol{E}} \) eines Plattenkondensators gebracht wird, verschieben sich die beiden Ladungsschwerpunkte innerhalb eines Atoms des Dielektrikums gegeneinander. Der negative Ladungsschwerpunkt wird von der positiven Kondensatorplatte angezogen, während der positive Ladungsschwerpunkt von der negativen Kondensatorplatte angezogen wird. Dadurch liegen die beiden Ladungsschwerpunkte nicht mehr am gleichen Ort, sondern haben einen Abstand \(r\) voneinander. Man sagt, dass ein elektrischer Dipol durch das externe elektrische Feld induziert wurde. Dieses Phänomen wird als dielektrische Polarisation bezeichnet.

Beachte, dass die elektrische Influenz bei elektrischen Leitern, wie Metallen, ebenfalls eine Verschiebung von Ladungen durch das externe elektrische Feld beschreibt. Allerdings können die negativen Ladungen in einem Leiter das Atom verlassen und sich im gesamten Leiter bewegen. Das ist der Unterschied zwischen Influenz und Polarisation.

Zwei entgegengesetzte Ladungen (die Ladungsschwerpunkte) mit dem Betrag \(q\), die sich in einem Abstand \( \boldsymbol{r} \) voneinander befinden, bilden einen elektrischen Dipol, der durch das folgende elektrische Dipolmoment \( \boldsymbol{d} \) beschrieben wird:

Hierbei zeigt der Verschiebungsvektor \( \boldsymbol{r} \) vom Minuspol zum Pluspol. Die Verschiebung ist unglaublich klein. Während die typische Größenordnung eines Atoms bei \(10^{-10} \, \mathrm{m}\) liegt, liegt die Verschiebung des Ladungsschwerpunkts in der Größenordnung von \(10^{-15} \, \mathrm{m}\). Wie können wir dann überhaupt den Effekt der Polarisation in unserem Alltag bemerken? Durch die schiere Anzahl der entstandenen Dipole im Material!

Das Dielektrikum besteht aus vielen Atomen. Jedes dieser Atome kann einen elektrischen Dipol bilden, wenn das Dielektrikum in ein externes elektrisches Feld platziert wird. Unter realen Bedingungen, wie zum Beispiel bei Zimmertemperatur, müssen nicht alle Atome des Dielektrikums einen Dipol bilden. Die physikalische Größe, die die Bildung und Ausrichtung dieser Dipole berücksichtigt, wird als Polarisation \( \class{red}{\boldsymbol{P}} \) bezeichnet. Die Polarisation \( \class{red}{\boldsymbol{P}} \) ist definiert als die Summe über alle \(N\) induzierten Dipolmomente \( \boldsymbol{d}_i \) in einem Dielektrikum pro Volumen \(V\) des Dielektrikums:

Die Polarisation \(\class{red}{\boldsymbol{P}}\) ist also die vektorielle Summe aller Dipolmomente \(\boldsymbol{d}_i\) pro Volumen \(V\) des Dielektrikums. Durch die Vektorsumme aller Dipolmomente ergibt sich die Richtung der Polarisation!

Die Polarisation in Gleichung 2 hat die Einheit einer Flächenladungsdichte: \( [\class{red}{\boldsymbol{P}}] = [\text{C}/\text{m}^2] \) (Coulomb pro Quadratmeter). Den anschaulichen Grund dafür wirst du gleich kennenlernen.

Das obige Beispiel verdeutlicht, dass für eine große (starke) Polarisation \(\class{red}{\boldsymbol{P}}\) des Dielektrikums eine möglichst parallele Ausrichtung aller Dipole erforderlich ist. In der Realität sind jedoch verschiedene Einflussfaktoren vorhanden, die die Ausrichtung der Dipole behindern können, wie zum Beispiel die Temperatur des Dielektrikums.

Im Folgenden wird jedoch angenommen, dass alle störenden Einflüsse, die die Dipolausrichtung beeinflussen, nicht vorhanden sind und das Dielektrikum ideal ist. Um beim Beispiel des Dielektrikums zwischen den Elektroden des Plattenkondensators zu bleiben: Alle Dipole des Dielektrikums richten sich parallel zum homogenen elektrischen Feld \( \class{purple}{\boldsymbol{E}} \) des Kondensators aus. Wenn die Spannung am Kondensator umgepolt wird, ändert sich die Richtung des elektrischen Feldes und die Dipole im Dielektrikum drehen sich auch sofort mit. Das wäre ein ideales System ohne Störeinflüsse!

Warum die Dipole in die gleiche Richtung zeigen wie das elektrische Feld, liegt an der Definition 1 des Dipolmoments \(\boldsymbol{d}\). Der Verschiebungsvektor \(\boldsymbol{r}\) zeigt definitionsgemäß vom Minuspol zum Pluspol des Dipols, also genau andersherum als die Definition der Richtung des elektrischen Feldes, die vom Pluspol zum Minuspol verläuft. Die Kondensatorplatte mit dem Pluspol zieht den Minuspol des Dipols an und die Kondensatorplatte mit dem Minuspol zieht den Pluspol des Dipols an. Daher richtet sich der Dipol so aus, dass das Dipolmoment \(\boldsymbol{d}\) in die gleiche Richtung wie das externe elektrische Feld zeigt. Deshalb wurde die Definition des Dipolmoments von Minus nach Plus gewählt und nicht andersherum.

Im elektrischen Feld, in dem alle \(N\) Dipole parallel zum E-Feld ausgerichtet sind und gleichen Betrag \( d \) haben (das heißt es handelt sich um Atome/Moleküle der gleichen Sorte), lässt sich die vektorielle Summe 2 vereinfachen:

Hierbei bezeichnen wir das Verhältnis \(N/V\) als Dipoldichte. Je größer die Dipoldichte der induzierten Dipole ist und je größer das Dipolmoment \( d \) eines Dipols ist, desto stärker wird das Material im externen elektrischen Feld polarisiert.

Kommen wir zurück zu der Frage, was es bedeutet, dass die Polarisation \( \class{red}{\boldsymbol{P}} \) die Einheit der Flächenladungsdichte hat \( \mathrm{C}/\mathrm{m}^2 \).

Durch die Verschiebung der Ladungsschwerpunkte im Dielektrikum entstehen an den Randflächen des Dielektrikums, die orthogonal zum externen E-Feld liegen (siehe Illustration 1), sogenannte Polarisationsladungen. Am Pluspol des Plattenkondensators befinden sich die negativen Ladungsschwerpunkte der am Rand liegenden Dipole, während am Minuspol des Plattenkondensators die positiven Ladungsschwerpunkte der am Rand liegenden Dipole zu finden sind.

Sei \(Q_{\text p}\) die Gesamtladung aller am Rand liegenden Polarisationsladungen. Nur diese ist wichtig bei Untersuchung der Polarisation. Warum nur die Ladung der am Rand liegenden Ladungsschwerpunkte relevant ist, liegt daran, dass nur diese Randladungen keinen entgegengesetzt geladenen Partner zur Ladungskompensation finden (siehe Illustration 1). Im Inneren des Dielektrikums neutralisieren sich alle Dipole gegenseitig, sodass dort die Gesamtladung verschwindet. Übrig bleiben nur die Randladungen, also die Polarisationsladungen. Die Polarisationsladung \(Q_{\text p}\), die an einer Randfläche \(A\) des Dielektrikums liegt, kann mit der Flächenladungsdichte \(\sigma_{\text p}\) ausgedrückt werden. Die Flächenladungsdichte ist definiert als Ladung pro Fläche: \(\sigma_{\text p} = \frac{Q_{\text p}}{A} \).

Zwischen den entgegengesetzt geladenen Randflächen des Dielektrikums bildet sich ein elektrisches Feld \( \class{red}{\boldsymbol{E}_{\text p}} \) aus, das von der positiven zu der negativen Randfläche zeigt. Daher ist \( \class{red}{\boldsymbol{E}_{\text p}} \) entgegengesetzt zum externen Feld \( \class{purple}{\boldsymbol{E}} \) gerichtet. Mithilfe der ersten Maxwell-Gleichung lässt sich der Zusammenhang zwischen der Betrag \( \class{red}{E_{\text p}} \) des Polarisationsfeldes und der Flächenladungsdichte \( \sigma_{\text p} \) herstellen:

Jetzt verstehst du, warum die Polarisation \(\class{red}{\boldsymbol{P}}\) die Einheit der Flächenladungsdichte hat und eine Flächenladungsdichte IST.

Es kann leicht gezeigt werden, dass der Betrag der Polarisation \(\class{red}{ P }\) der Flächenladungsdichte der Polarisationsladungen entspricht: \(P = \sigma_{\text p} \). Da die Polarisation \(\class{red}{\boldsymbol{P}}\) jedoch entgegen dem Feld \( \class{red}{ \boldsymbol{E}_{\text p} } \) der Polarisationsladungen zeigt, sieht die Betragsgleichung 5 in vektorieller Form, ausgedrückt mit \(\class{red}{\boldsymbol{P}}\), folgendermaßen aus:

Im Gegensatz zu einem Metall, bei dem das externe E-Feld im Inneren komplett kompensiert wird (aufgrund der Influenz), bleibt bei einem Dielektrikum ein Restfeld \( \class{purple}{\boldsymbol{E}_{\text{m}}} \) übrig, das in die gleiche Richtung wie das externe E-Feld zeigt, da stets \( \class{purple}{\boldsymbol{E}} \geq \class{red}{\boldsymbol{E}_{\text p}} \) gilt. Das Restfeld \( \class{purple}{\boldsymbol{E}_{\text{m}}} \) (\( \class{purple}{\text{m}}\) steht für Material) ist das abgeschwächte externe Feld im Inneren des Materials und entspricht der Vektorsumme des externen Feldes und des Polarisationsfeldes:

Damit kann das E-Feld 7 im Dielektrikum mit der Polarisation \(\class{red}{\boldsymbol{P}}\) aus Gl. 6 ausgedrückt werden:

Das mittlere elektrische Feld \( \class{purple}{\boldsymbol{E}_{\text{m}}} \) im Dielektrikum erzeugt eine Kraft \( \boldsymbol{F}_{\text{m}} = q\, \class{purple}{\boldsymbol{E}_{\text{m}}} \) auf den positiven und negativen Ladungsschwerpunkt eines Dipols im Dielektrikum. Die anziehende Kraft \(-\boldsymbol{F}_{\text{m}}\) zwischen den entgegengesetzt geladenen Ladungsschwerpunkten wirkt der Kraft \(\boldsymbol{F}_{\text{m}}\) entgegen. Im Gleichgewicht, wenn die Dipole einen festen \(\boldsymbol{r}\) eingenommen haben, müssen die beiden Kräfte gleich groß sein, aber entgegengesetzt zueinander zeigen.

Da die im Gleichgewicht entstandene Verschiebung \(\boldsymbol{r}\) der Ladungsschwerpunkte sehr klein ist, kann die rücktreibende Kraft \(-\boldsymbol{F}_{\text{m}}\) (immer!) durch das Hooke-Gesetz angenähert werden.

Das Hooke-Gesetz besagt, dass die Rückstellkraft \(-\boldsymbol{F}_{\text{m}}\), die den Dipol in seinen unausgelenkten Zustand zurückbringen will, proportional zur Auslenkung \(\boldsymbol{r}\) ist: \( \boldsymbol{F}_{\text{m}} = -\alpha \, \boldsymbol{r} \).

Da \(-\boldsymbol{F}_{\text{m}}\) proportional zu \(\class{purple}{\boldsymbol{E}_{\text{m}}}\) ist, folgt aus dem Hooke-Gesetz, dass auch \(\boldsymbol{r}\) proportional zu \(\class{purple}{\boldsymbol{E}_{\text{m}}}\) ist. Gemäß Gl. 1 ist \(\boldsymbol{r}\) proportional zum Dipolmoment \(\boldsymbol{d}\), daher ist \(\boldsymbol{d}\) ebenfalls proportional zum Feld \(\class{purple}{\boldsymbol{E}_{\text{m}}}\):

Hierbei wird die Proportionalitätskonstante \( \class{blue}{\alpha} \) als Polarisierbarkeit bezeichnet. Diese Materialgröße sagt aus, wie leicht oder schwer es ist das untersuchte Dielektrikum zu polarisieren.

Um den Zusammenhang zwischen Polarisation \( \class{red}{\boldsymbol{P}} \) und dem elektrischen Feld \( \class{purple}{\boldsymbol{E}_{\text{m}}} \) im Dielektrikum herzustellen, kann Gl. 9 in Gl. 4 eingesetzt werden:

Da die Polarisation \(\class{red}{\boldsymbol{P}}\) und das E-Feld \( \class{purple}{\boldsymbol{E}_{\text m}} \) im Dielektrikum in Gl. 10 experimentell schwer zugänglich sind, kann die Polarisation mithilfe des experimentell besser zugänglichen extern angelegten elektrischen Feldes \( \class{purple}{\boldsymbol{E}} \) ausgedrückt werden. Dazu wird Gleichung 10 in Gleichung 8 eingesetzt:

Hierbei wird der Faktor \( \class{green}{\chi_{\text{e}}} := \frac{N \, \alpha}{V \, \varepsilon_0} \) als elektrische Suszeptibilität bezeichnet. Damit können wie Gl. 12 folgendermaßen schreiben:

Die elektrische Suszeptibilität \( \class{green}{\chi_{\text e}} \) hängt von der Dipoldichte \(N/V\) und von der Polarisierbarkeit \( \class{blue}{\alpha} \) des Dielektrikums ab. Die Suszeptibilität \( \class{green}{\chi_{\text e}} \) bestimmt gemäß Gleichung 12, wie stark das externe Feld \( \class{purple}{\boldsymbol{E}} \) im Dielektrikum abgeschwächt wird. Je größer die elektrische Suszeptibilität ist, desto schwächer ist das E-Feld im Dielektrikum.

• Im Grenzfall \(\class{green}{\chi_{\text e}} \rightarrow \infty\) ist das Dielektrikum ein Metall und sein Inneres ist feldfrei.
• Im Grenzfall \(\class{green}{\chi_{\text e}} \rightarrow 0\) wird das Dielektrikum zu einem Vakuum.

Die nachfolgende Tabelle zeigt Werte für die elektrische Suszeptibilität einiger Materialien: