Ich heiße Alexander FufaeV und hier schreibe ich über:

Linear und zirkular polarisierte elektromagnetische Wellen

Inhaltsverzeichnis

Eine elektromagnetische Welle ist die Schwingung des elektrischen Feldes $ \boldsymbol{\class{purple}{E}} $ und des magnetischen Feldes $ \boldsymbol{\class{violet}{B}} $. Wir wollen das elektrische Feld $ \boldsymbol{\class{purple}{E}} $ polarisieren. Polarisation bedeutet: Wir schicken die elektromagnetische Welle durch einen metallischen Schlitz und schränken damit die Schwingung des elektrischen Feldes ein.

Das E-Feld hat im dreidimensionalen Raum drei Komponenten $ \class{purple}{E_{\text x}} $, $ \class{purple}{E_{\text y}} $ und $ \class{purple}{E_{\text z}} $. Nehmen wir an, dass jede der Komponenten eine periodische Welle im Vakuum ist, die sich in $ z $-Raumrichtung ausbreitet. Wir können das elektrische Feld also beispielsweise mit der Cosinus-Funktion beschreiben:

$$ \begin{align} \begin{bmatrix} \class{purple}{E_{\text x}} \\ \class{purple}{E_{\text y}} \\ \class{purple}{E_{\text z}} \end{bmatrix} ~=~ \begin{bmatrix} \class{purple}{E_{0 \text x}} \, \cos(\class{red}{\omega} \, t - \class{green}{k}\,z + \alpha) \\ \class{purple}{E_{0 \text y}} \, \, \cos(\class{red}{\omega} \, t - \class{green}{k}\,z + \beta) \\ \class{purple}{E_{0 \text z}} \, \, \cos(\class{red}{\omega} \, t - \class{green}{k}\,z + \gamma) \end{bmatrix} \end{align} $$

Hierbei ist $\boldsymbol{E}_0 = (E_{0 \text x}, E_{0 \text y}, E_{0 \text z}) $ die Amplitude des E-Feldes, $\omega$ die Kreisfrequenz, $k$ die Wellenzahl und $\alpha, \beta, \gamma$ ist eine zusätzliche Phase, um die Phasenverschiebung zwischen den einzelnen Vektorkomponenten zu kennzeichnen.

Da die elektromagnetische Welle eben ist, hängt 1 nur von einer Ortskoordinate ab (hier ist es die $z$-Koordinate). Und, da die Welle periodisch ist, wird sie durch eine Sinus- oder Cosinusfunktion beschrieben (hier ist es Cosinus). Außerdem breitet sich die Welle in $z$-Richtung aus.

Licht, also eine elektromagnetische Welle, kann zum Beispiel mit einem Polarisationsfilter polarisiert werden. Mathematisch heißt das, dass die E-Feldkomponente 1 je nach Polarisationsart, an bestimmte Bedingungen geknüpft ist. Lass uns dazu zwei wichtige Polarisationsarten und ihre Bedingungen anschauen, nämlich die lineare und zirkulare Polarisation.

Eine Bedingung, die beide Polarisationsarten erfüllen müssen, ist:

Bedingung #1 - für beide Polarisationsarten

Der Amplitudenvektor $\boldsymbol{E}_0 $ ist stets orthogonal zur Ausbreitungsrichtung $z$.

Damit fällt die $E_{\text z}$-Komponente des E-Feldes weg:

$$ \begin{align} \begin{bmatrix}E_{\text x} \\ E_{\text y} \\ E_{\text z} \end{bmatrix} ~=~ \begin{bmatrix}E_{0 \text x} \, \cos(\omega \, t - k\,z + \alpha) \\ E_{0 \text y} \, \, \cos(\omega \, t - k\,z + \beta) \\ 0 \end{bmatrix} \end{align} $$

Linear polarisierte Welle

Eine linear polarisierte E-Feld-Welle.

Eine linear polarisierte elektrische Welle muss neben der Bedingung #1 auch die folgende Bedingung erfüllen:

Bedingung #2 - für eine linear polarisierte ebene Welle

Die Feldkomponenten in $x$- und $y$-Richtung dürfen bei einer linear polarisierten Welle, keine Phasenverschiebung aufweisen.

Du fragst dich, warum das so sein muss? Weil das eine Definition ist! Wenn die beiden Bedingungen erfüllt sind, dann sprechen wir eben von linear polarisierten Wellen.

Nach der Bedingung #2 müssen die Phasen $\omega \, t - k\,z + \alpha$ und $\omega \, t - k\,z + \beta$ gleich sein. Dazu muss $ \alpha = \beta $ erfüllt sein. Lass uns zur Vereinfachung $ \alpha $ und $\beta$ am besten gleich Null setzen (Hauptsache, sie sind BEIDE gleich Null):

$$ \begin{align} \begin{bmatrix}E_{\text x} \\ E_{\text y} \\ E_{\text z} \end{bmatrix} ~=~ \begin{bmatrix}E_{0 \text x} \, \cos(\omega \, t - k\,z) \\ E_{0 \text y} \, \, \cos(\omega \, t - k\,z) \\ 0 \end{bmatrix} \end{align} $$

Diesen E-Feld-Vektor können wir natürlich auch kompakt notieren und bekommen:

$$ \begin{align} \boldsymbol{E} ~=~ \boldsymbol{E}_0 \, \cos(\omega \, t - k\,z) \end{align} $$

Zirkular polarisierte Welle

Bei einer zirkular polarisierten Welle ist die Phasenverschiebung $ \beta - \alpha $ zwischen den beiden E-Feldkomponenten nicht gleich Null, wie bei einer linear polarisierten Welle, sondern $\pm \pi/2$ (also 90 Grad).

Bedingung #2 - für eine zirkular polarisierte Welle

Die $E_{\text x}$ und $E_{\text y}$ Komponenten sind um 90 Grad gegeneinander phasenverschoben.

Wenden wir die Definition auf das E-Feld 2 an:

$$ \begin{align} \begin{bmatrix}E_{\text x} \\ E_{\text y} \\ E_{\text z} \end{bmatrix} ~=~ \begin{bmatrix}E_{0 \text x} \, \cos(\omega \, t - k\,z) \\ E_{0 \text y} \, \, \cos\left(\omega \, t - k\,z - \frac{\pi}{2}\right) \\ 0 \end{bmatrix} \end{align} $$

Da Cosinus und Sinus auch um 90 Grad phasenverschoben sind, kann die zweite E-Feldkomponente in 5 mit Sinus ersetzt werden:

$$ \begin{align} \begin{bmatrix}E_{\text x} \\ E_{\text y} \\ E_{\text z} \end{bmatrix} ~=~ \begin{bmatrix}E_{0 \text x} \, \cos(\omega \, t - k\,z) \\ E_{0 \text y} \, \sin(\omega \, t - k\,z) \\ 0 \end{bmatrix} \end{align} $$

Eine weitere Bedingung, die eine zirkular polarisierte Welle erfüllen muss, ist:

Bedingung #3 - für eine zirkular polarisierte Welle

Die Amplituden $E_{0 \text x}$ und $E_{0 \text y}$ müssen gleich sein: $ E_{0 \text x} = E_{0 \text y} := E_0$.

Mit der zweiten Bedingung wird E-Feld 6 zu:

$$ \begin{align} \begin{bmatrix}E_{\text x} \\ E_{\text y} \\ E_{\text z} \end{bmatrix} ~=~ E_0 \, \begin{bmatrix}\cos(\omega \, t - k\,z) \\ \sin(\omega \, t - k\,z) \\ 0 \end{bmatrix} \end{align} $$

Das E-Feld 7 entspricht genau der Form der Polardarstellung. Wenn sich also die Zeit $t$ ändert, dann rotiert der E-Feldvektor $\boldsymbol{E}$ in der $x$-$y$-Ebene (siehe Illustration 2). Daher kommt die Bezeichnung "zirkular". Entlang der $z$-Achse rotiert der E-Feldvektor somit spiralenförmig.

A right-circular polarized E-field wave.

Wird die zirkular polarisierte ebene Welle orthogonal zur $x$-$y$-Ebene betrachtet, sodass sich die Welle auf den Beobachter zu bewegt, so dreht sich der E-Feldvektor für den Beobachter linksherum. Deshalb wird der E-Feldvektor 7 als eine links-zirkular polarisierte Welle (oder kurz: $\sigma^{-}$-Welle) bezeichnet.

$$ \begin{align} \boldsymbol{E} ~=~ E_0 \, \begin{bmatrix} \cos(\omega \, t - k\,z) \\ \sin(\omega \, t - k\,z) \\ 0 \end{bmatrix} \end{align} $$

Werden Cosinus und Sinus in 7 vertauscht, so dreht sich der Feldvektor für den beschriebenen Beobachter rechtsherum, so wie in der Illustration 2 gezeigt. Diese Welle wird als rechts-zirkular polarisierte Welle (oder kurz: $\sigma^{+}$-Welle) bezeichnet:

$$ \begin{align} \boldsymbol{E} ~=~ E_0 \, \begin{bmatrix} \sin(\omega \, t - k\,z) \\ \cos(\omega \, t - k\,z) \\ 0 \end{bmatrix} \end{align} $$

Jetzt solltest du ein theoretisch Verständnis über die Definitionen von linear und zirkular polarisierten ebenen Wellen haben.

Wie kann experimentell überprüft werden, ob eine Welle transversal ist?

Im Gegensatz zu Longitudinalwellen können Transversalwellen polarisiert werden. Das kannst du beispielsweise ausnutzen, um nachzuweisen, dass sich eine elektromagnetische Welle transversal ausbreitet. Dazu schickst du die Welle durch einen Polarisationsfilter, der eine Welle linear in x-Richtung polarisiert. Wenn die Welle tatsächlich transversal ist, dann wird sie nach dem Durchlaufen des Polarisationsfilters linear in x-Richtung polarisiert sein.

Nach dem Durchlaufen des ersten Polarisators schickst du die Welle durch den zweiten Polarisator (auch Analysator genannt). Dieser polarisiert die Welle linear in y-Richtung. Dieser lässt nur den Anteil der Welle durch, der in y-Richtung schwingt.

Wenn die Welle nach dem Durchlaufen des Analysators nicht mehr detektiert werden kann, dann war es eine Transversalwelle. Nach dem Durchlaufen des ersten Polarisators besaß sie nur eine Komponente in x-Richtung. Nach dem Durchlaufen des Analysators wurde sie ausgelöscht.
Wenn die Welle nach dem Durchlaufen des Analysators detektiert werden kann, dann war es eine Longitudinalwelle.