Ich heiße Alexander FufaeV und hier schreibe ich über:

Elektromagnetische Welle und ihre E-Feld und B-Feld-Komponente

Wichtige Formel

Formel: Wellengleichung (E-Feld)

$$\nabla^2 \, \class{purple}{\boldsymbol{E}} ~=~ \mu_0 \, \varepsilon_0 \, \frac{\partial^2 \class{purple}{\boldsymbol{E}}}{\partial t^2}$$

Was bedeuten diese Formelzeichen?

Elektrisches Feld (E-Feld)

$$ \class{purple}{\boldsymbol E} $$ Einheit $$ \frac{\mathrm{V}}{\mathrm{m}} = \frac{\mathrm{N}}{\mathrm{C}} = \frac{\mathrm{kg} \, \mathrm{m}}{\mathrm{A} \, \mathrm{s}^3} $$

Elektrisches Feld gibt die Kraft an, die auf eine elektrische Ladung wirken würde, wenn diese an einem Ort, wo das elektrische Feld herrscht, platziert wird.

Das Lösen der vektoriellen Wellengleichung mit den jeweiligen Randbedingungen ergibt das elektrische Feld. Eine einfache Lösung der Wellengleichung ergibt beispielsweise das E-Feld in Form von ebenen Wellen.

Elektrische Feldkonstante

$$ \varepsilon_0 $$ Einheit $$ \frac{\mathrm{As}}{\mathrm{Vm}} $$

Die elektrische Feldkonstante ist eine Naturkonstante, die in Gleichungen auftritt, die mit elektromagnetischen Feldern zu tun haben. Sie hat den folgenden experimentell bestimmten Wert: $$ \varepsilon_0 ~\approx~ 8.854 \, 187 \, 8128 ~\cdot~ 10^{-12} \, \frac{\mathrm{As}}{\mathrm{Vm}} $$

Magnetische Feldkonstante

$$ \mu_0 $$ Einheit $$ \frac{\mathrm{Vs}}{\mathrm{Am}} = \frac{ \mathrm{kg} \, \mathrm{m} }{ \mathrm{A}^2 \, \mathrm{s}^2 } $$

Die magnetische Feldkonstante ist eine Naturkonstante und hat den folgenden experimentell bestimmten Wert: $$ \mu_0 ~=~ 1.256 \, 637 \, 062 \, 12 ~\cdot~ 10^{-6} \, \frac{\mathrm{Vs}}{\mathrm{Am}} $$

Nabla-Operator

$$ \nabla $$ Einheit $$ \frac{1}{\mathrm m} $$

Ein Operator, der als $\nabla^2$ auf das elektrische Feld angewendet wird, um die Komponenten des E-Feldes nach den Ortskoordinaten zu differenzieren.

Anwendung von $\nabla^2$ auf das E-Feld ergibt wieder eine vektorielle Größe. Die erste Komponente dieser Vektorgröße ist: \[ \frac{\partial^2 E_x}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 E_x}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 E_x}{\partial z^2} ~=~ \mu_0 \, \varepsilon_0 \, \frac{\partial^2 E_x}{\partial t^2} \]

Inhaltsverzeichnis

Elektromagnetische Welle mit E-Feld und B-Feld Komponente.

Eine elektromagnetische Welle (kurz: EM-Welle) hat einen elektrischen Feldanteil $ \boldsymbol{E}(x,y,z,t) $ und einen magnetischen Feldanteil $ \boldsymbol{B}(x,y,z,t) $. Die beiden Feldanteile sind vektorielle Größen, die im dreidimensionalen Raum jeweils drei Komponenten besitzen. Es sind also dreidimensionale Vektorfelder:

$$ \begin{align} \boldsymbol{E} ~=~ \begin{bmatrix}E_{\text x}(x,y,z,t)\\ E_{\text y}(x,y,z,t) \\ E_{\text z}(x,y,z,t) \end{bmatrix}; ~~~ \boldsymbol{B} ~=~ \begin{bmatrix}B_{\text x}(x,y,z,t)\\ B_{\text y}(x,y,z,t) \\ B_{\text z} (x,y,z,t)\end{bmatrix} \end{align} $$

Beide Felder hängen im Allgemeinen von den Ortskoordinaten $x,y,z$ ab. Die Amplitude (Betrag des jeweiligen Vektors) ist also von Ort zu Ort unterschiedlich. Außerdem bleibt die Amplitude an einem bestimmten Ort nicht immer gleich, sondern ändert sich mit der Zeit $ t $. Die Felder hängen also auch von der Zeit ab.

Wie sich die elektromagnetische Welle genau örtlich und zeitlich verändert, also wie sie sich im Raum bewegt und ausbreitet, wird durch die beiden folgenden Wellengleichungen beschrieben:

$$ \begin{align} \nabla^2 \, \class{purple}{\boldsymbol{E}} ~=~ \mu_0 \, \varepsilon_0 \, \frac{\partial^2 \class{purple}{\boldsymbol{E}}}{\partial t^2} \end{align} $$

$$ \begin{align} \nabla^2 \, \class{violet}{\boldsymbol{B}} ~=~ \mu_0 \, \varepsilon_0 \, \frac{\partial^2 \class{violet}{\boldsymbol{B}}}{\partial t^2} \end{align} $$

Die beiden Wellengleichungen, sind partielle Differentialgleichungen zweiter Ordnung und lassen sich aus den Maxwell-Gleichungen im ladungsfreien Raum herleiten. Sie wurden für den ladungs- und stromfreien Raum hergeleitet und gelten dementsprechend auch nur unter diesen Bedingungen.

'Ladungsfrei' bedeutet, dass die elektrische Ladungsdichte an jedem Ort Null ist: $\rho = 0$.
'Stromfrei' bedeutet, dass die elektrische Stromdichte an jedem Ort Null ist: $\boldsymbol{j}$.

In den Wellengleichungen kommt der Laplace-Operator $\nabla^2$ vor. Wenn du ihn ausschreibst, dann sieht er folgendermaßen aus:

$$ \begin{align} \nabla^2 ~=~ \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2} \end{align} $$

Die elektrische Feldkonstante $\varepsilon_0$ sowie die magnetische Feldkonstante $\mu_0$ sorgen beispielsweise dafür, dass beide Seiten der Wellengleichung die gleiche Einheit haben.

Die allgemeine Form einer Wellengleichung sieht folgendermaßen aus:

$$ \begin{align} \nabla^2 \, \boldsymbol{F} ~=~ \frac{1}{{v_{\text p}}^2} \, \frac{\partial^2 \boldsymbol{F}}{\partial t^2} \end{align} $$

Hierbei ist $ \boldsymbol{F} $ ein beliebiges Vektorfeld, das die Wellengleichung erfüllt und $ v_{\text p} $ ist die Phasengeschwindigkeit der Welle. Sie gibt an, wie schnell sich die Welle im Raum fortbewegt.

Phasengeschwindigkeit gibt hier an, wie schnell sich ein Wellenberg von A nach B bewegt.

Wenn du die EM-Wellengleichung 2 oder 3 mit der allgemeinen Form einer Wellengleichung 4 vergleichst, dann findest du heraus, wie Phasengeschwindigkeit $ v_{\text p} $ einer elektromagnetischen Welle mit den beiden Feldkonstanten: $ \varepsilon_0 $ und $ \mu_0 $ zusammenhängt:

$$ \begin{align} \mu_0 \, \varepsilon_0 ~=~ \frac{1}{{v_{\text p}}^2} \end{align} $$

Umgestellt nach der Phasengeschwindigkeit $ v_{\text p} $ ergibt dies:

$$ \begin{align} v_{\text p} &~=~ \frac{1}{\sqrt{ \mu_0 \, \varepsilon_0 }} \\\\
&~=~ 3 \cdot 10^8 \, \frac{\mathrm m}{ \mathrm s} \\\\
&~=~ c \end{align} $$

Was ist die Phasengeschwindigkeit einer elektromagnetischen Welle?

Die Phasengeschwindigkeit einer EM-Welle entspricht der Lichtgeschwindigkeit $ c $. Elektromagnetische Wellen breiten sich mit Lichtgeschwindigkeit aus.

Du kannst also die beiden Wellengleichungen 2 und 3 auch mittels der Lichtgeschwindigkeit $ c $ ausdrücken:

$$ \begin{align} \nabla^2 \, \boldsymbol{E} &~=~ \frac{1}{c^2} \, \frac{\partial^2 \boldsymbol{E}}{\partial t^2} \\\\
\nabla^2 \, \boldsymbol{B} &~=~ \frac{1}{c^2} \, \frac{\partial^2 \boldsymbol{B}}{\partial t^2} \end{align} $$

Schreiben wir mal beispielsweise die Wellengleichung für den E-Feldanteil aus, um ihre Struktur besser nachvollziehen zu können:

$$ \begin{align} \begin{bmatrix} \frac{\partial^2 E_{\text x}}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 E_{\text x}}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 E_{\text x}}{\partial z^2} \\ \frac{\partial^2 E_{\text y}}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 E_{\text y}}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 E_{\text y}}{\partial z^2} \\ \frac{\partial^2 E_{\text z}}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 E_{\text z}}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 E_{\text z}}{\partial z^2} \end{bmatrix} ~=~ \frac{1}{c^2} \, \begin{bmatrix} \frac{\partial^2 E_{\text x}}{\partial t^2} \\ \frac{\partial^2 E_{\text y}}{\partial t^2} \\ \frac{\partial^2 E_{\text z}}{\partial t^2} \end{bmatrix} \end{align} $$

Auf der linken Seite der Wellengleichung wird jede Komponente von $\boldsymbol{E}$ sowohl nach $x$, $y$ als auch nach $z$ zweimal differenziert. Auf der rechten Seite wird jede E-Feld-Komponente zweimal nach der Zeit $ t $ differenziert. Die Wellengleichung verknüpft also Ortsableitungen des E-Feldes mit den Zeitableitungen und stellt damit ein System von Differentialgleichungen dar.

Die Wellengleichung hat drei Komponenten, die jeweils eine partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung darstellt:

$$ \begin{align} \frac{\partial^2 E_{\text x}}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 E_{\text x}}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 E_{\text x}}{\partial z^2} ~=~ \frac{1}{c^2} \, \frac{\partial^2 E_{\text x}}{\partial t^2} \end{align} $$

Löst du diese DGL für $ E_{\text x}(x,y,z,t) $, dann weißt du, wie sich das E-Feld örtlich und zeitlich auf der $x$-Achse ändert.
$$ \begin{align} \frac{\partial^2 E_{\text y}}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 E_{\text y}}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 E_{\text y}}{\partial z^2} ~=~ \frac{1}{c^2} \, \frac{\partial^2 E_{\text y}}{\partial t^2} \end{align} $$

Löst du diese DGL für $ E_{\text y}(x,y,z,t) $, dann weißt du, wie sich das E-Feld örtlich und zeitlich auf der $y$-Achse ändert.
$$ \begin{align} \frac{\partial^2 E_{\text z}}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 E_{\text z}}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 E_{\text z}}{\partial z^2} ~=~ \frac{1}{c^2} \, \frac{\partial^2 E_{\text z}}{\partial t^2} \end{align} $$

Löst du diese DGL für $ E_{\text z}(x,y,z,t) $, dann weißt du, wie sich das E-Feld örtlich und zeitlich auf der $z$-Achse ändert.

Die drei DLG's sind nicht miteinander gekoppelt und können damit unabhängig voneinander gelöst werden. Physikalisch gesagt: Das, was auf der $x$-Achse mit dem E-Feld passiert, beeinflusst nicht das, was mit dem E-Feld auf der $y$- oder $z$-Achse passiert. Das gleiche gilt für $y$- und $z$-Achse.

E- und B-Feld sind orthogonal zueinander

Lösung der Wellengleichung 5 ist zwar eine Welle, aber nicht unbedingt eine elektromagnetische Welle! Eine elektromagnetische Welle im Vakuum hast du nur dann, wenn die Lösung der Wellengleichung auch alle Maxwell-Gleichungen im Vakuum erfüllt.

Wenn die Lösung der Wellengleichung eine ebene Welle ist, dann fordern sowohl die dritte als auch die vierte Maxwell-Gleichung von der Lösung:

E-Feldkomponente und B-Feldkomponente einer elektromagnetischen Welle im Vakuum müssen stets orthogonal zueinander sein. Um das einzusehen, betrachten wir die vierte Maxwell-Gleichung für die Rotation des B-Feldes:

$$ \begin{align} \nabla ~\times~ \boldsymbol{B} ~=~ \mu_0 \, \varepsilon_0 \frac{\partial \boldsymbol{E}}{\partial t} \end{align} $$

Wir kennen aus der Mathematik, dass der Ergebnis-Vektor $\nabla ~\times~ \boldsymbol{B}$ des Kreuzprodukts stets orthogonal zu den Vektoren ist, zwischen denen das Kreuzprodukt gebildet wird. In diesem Fall steht also der $\boldsymbol{B}$-Feldvektor senkrecht zur Ableitung des $\boldsymbol{E}$-Feldes: $\frac{\partial \boldsymbol{E}}{\partial t}$. Die Zeitableitung ändert aber nicht die Richtung eines Vektors! Der $\boldsymbol{E}$-Feldvektor und seine Ableitung zeigen also in die gleiche Richtung. Damit steht das B-Feld nicht nur senkrecht zur Ableitung des E-Felds, sondern auch zum E-Feldvektor selbst.

Spezialfall: Ebene elektromagnetische Wellen

Eine mögliche Lösung der Wellengleichung 9 sind ebene Wellen. Diese zeichnen sich dadurch aus, dass ihr E-Feld (und B-Feld), neben der Zeitabhängigkeit $t$, nur von EINER Ortskoordinate abhängen. Zum Beispiel nur von der Ortskoordinate $z$:

$$ \begin{align} \boldsymbol{E}(z,t) ~=~ \begin{bmatrix} E_{\text x}(z,t) \\ E_{\text y}(z,t) \\ E_{\text z}(z,t) \end{bmatrix} \end{align} $$

Das das E-Feld nicht von $x$ und $y$ abhängt, verschwinden in der Wellengleichung 9 die Ableitungen nach $x$ und $y$. Dadurch vereinfacht sich 9 zu:

$$ \begin{align} \begin{bmatrix} \frac{\partial^2 E_{\text x}}{\partial z^2} \\ \frac{\partial^2 E_{\text y}}{\partial z^2} \\ \frac{\partial^2 E_{\text z}}{\partial z^2} \end{bmatrix} ~=~ \frac{1}{c^2} \, \begin{bmatrix} \frac{\partial^2 E_{\text x}}{\partial t^2} \\ \frac{\partial^2 E_{\text y}}{\partial t^2} \\ \frac{\partial^2 E_{\text z}}{\partial t^2} \end{bmatrix} \end{align} $$

Anschaulicht bedeutet diese Unabhängigkeit von $x$ und $y$, dass das elektrische Feld $ \boldsymbol{E}(z,t) $ zu einem festen Zeitpunkt $t = t_0$ und bei $z=z_0$ in der $x$-$y$-Ebene einen konstanten Wert hat: $ \boldsymbol{E}(z_0, t_0) = \text{const} $.

Da die Wellengleichungen nur im ladungsfreien Raum gelten, kann die erste Maxwell-Gleichung $\nabla \cdot \boldsymbol{E} = 0 $ (mit $\rho = 0$) dazu benutzt werden, um 14 weiter zu vereinfachen. Ausgeschrieben lautet die erste ladungsfreie Maxwell-Gleichung:

$$ \begin{align} \frac{\partial E_{\text x}}{\partial x} + \frac{\partial E_{\text y}}{\partial y} + \frac{\partial E_{\text z}}{\partial z} ~=~ 0 \end{align} $$

Der erste und zweite Summand verschwinden, da das E-Feld ja nicht von $x$ und $y$ abhängt. Übrig bleibt nur die zweite Ableitung nach $z$:

$$ \begin{align} \frac{\partial E_{\text z}}{\partial z} ~=~ 0 \end{align} $$

Die Gl. 16 ist eine gewöhnliche DGL erster Ordnung und lässt sich sehr leicht lösen. Die Ableitung einer Funktion (hier $E_{\text z}$) ist genau dann Null, wenn die Funktion konstant ist. Die dritte Komponente des E-Feldes hängt also nicht von $z$ ab, sondern es ist eine Konstante, die wir als $E_0$ definieren:

$$ \begin{align} E_{\text z} ~:=~ E_0 \end{align} $$

Mit der gewählten Randbedingung, dass das E-Feld am Ort $ z $ gleich Null ist: $ E_{\text z}(z) = 0 $, kann $E_0$ eliminiert werden: $ E_0 = 0$. Das E-Feld einer ebenen Welle hat also nur zwei veränderliche Komponenten:

$$ \begin{align} \boldsymbol{E}(z, t) ~=~ \begin{bmatrix} E_{\text x}(z, t) \\ E_{\text y}(z, t) \\ 0 \end{bmatrix} \end{align} $$

Das E-Feld (analog gilt es auch für das B-Feld) einer ebenen Welle hat also gar keine sich ändernde $z$-Komponente. Nur zwei der drei Komponenten von $\boldsymbol{E}$ können sich mit $z$ und $t$ ändern.

Was zeichnet eine ebene Welle aus?

Eine ebene Welle schwingt nur in einer Ebene, wie beispielsweise in der $x$-$y$-Ebene.

Die Wellengleichung 14 vereinfacht sich zu:

$$ \begin{align} \begin{bmatrix} \frac{\partial^2 E_{\text x}}{\partial z^2} \\ \frac{\partial^2 E_{\text y}}{\partial z^2} \\ 0 \end{bmatrix} ~=~ \frac{1}{c^2} \, \begin{bmatrix} \frac{\partial^2 E_{\text x}}{\partial t^2} \\ \frac{\partial^2 E_{\text y}}{\partial t^2} \\ 0 \end{bmatrix} \end{align} $$

Die Lösung der ersten bzw. zweiten Komponente der Wellengleichung für ebene Wellen ist stets von der Form:

$$ \begin{align} E_{\text x}(z,t) &~=~ f_{\text x}(z-c\,t) + g_{\text x}(z+c\,t) \\\\
E_{\text y}(z,t) &~=~ f_{\text y}(z-c\,t) + g_{\text y}(z+c\,t) \end{align} $$

Hierbei sind $f$ und $g$ zweimal stetig differenzierbare Funktionen. Die eine Funktion hängt von $z-c\,t$ ab und die andere von $z+c\,t$. Diese ($z-c\,t$)- und ($z+c\,t$)-Abhängigkeiten zeichnen das Wellenverhalten aus. $f_{\text x}(z-c\,t)$ ist nach rechts (in die positive $z$-Richtung) verschoben und $g_{\text x}(z+c\,t)$ ist nach links (in die negative $z$-Richtung) verschoben. Mit der Zeit $t$ wird diese Verschiebung entlang der $z$-Achse größer. Ein Feldanteil $f_{\text x}(z-c\,t)$ von $E_{\text x}$ breitet sich also nach rechts und der andere Feldanteil $g_{\text x}(z+c\,t)$ nach links aus.

Da sich die elektromagnetische Welle (hier konkret der E-Feld-Anteil) entlang der $z$-Achse fortpflanzt, aber keine $E_{\text z}$-Komponente besitzt, ist die elektromagnetische Welle eine transversale Welle (d.h. Schwingung des E-Feldes ist orthogonal zur Ausbreitungsrichtung).