Dispersionsrelation der Gitterschwingung für ein-/zweiatomige Basis

Wir wollen eine Dispersionsrelation \(\omega(k)\) für eine 1-atomige, unendlich ausgedehnte, eindimensionale Kette (eindimensionale Netzebenen) herleiten. Die Ketten haben einen Abstand \( a \) zueinander und enthalten Atome der Masse \(m\). Mit der Dispersionsrelation können wir dann die Schwingung der Atomkette klassisch beschreiben. Hierbei ist \( \omega \) die Frequenz und \( k \) die Wellenzahl der Schwingung. Beispielsweise bei einer elektromagnetischen Welle ist die Dispersionsrelation linear: \( \omega(k) = c \, k \), mit \( c \) als Lichtgeschwindigkeit. So einen Zusammenhang wollen wir für einen einatomigen Kristall berechnen.

Die Ketten nummerieren wir mit einer natürlichen Zahl \(n \in \mathbb{N} \). Um zu anderen Ketten zu gelangen benutzen wir eine ganze Zahl \(z \in \mathbb{Z} \), die wir zu \(n\) addieren oder von \(n\) subtrahieren können. Wird nun die \((n+z)\)-te Kette um den Betrag \( u_{n+z} \) orthgonal ausgelenkt, dann hat diese Auslenkung eine Auswirkung auf die \(n\)-te Kette, die dadurch eine Auslenkung \( u_n \) erfährt. Dabei wollen wir die wirkende Kraft \( F_n \) auf die \(n\)-te Kette durch das Hooksche Federgesetz beschreiben: 1 $$F_n ~=~ \underset{z}{\boxed{+}} \, D_z \, (u_{n+z} - u_n)$$

Hierbei ist \( D_z \) eine Federkonstante, die die Stärke der Kopplung zwischen der \((n+z)\)-ten und \( n \)-ten Kette beschreibt. Da wir viele Ketten haben, die mit der \(n\)-ten Kette gekoppelt sein können, summieren wir über \(z\).

Wenn eines der Atome orthogonal (längs) zur Kette abgelenkt wird, spüren alle anderen Atome eine Kraft, die sie ebenfalls von ihrer neutralen Position ablenkt. Sie werden jedoch nicht in irgendeine Richtung abgelenkt, sondern auch orthogonal zu den Ketten. Warum nur orthogonal? Wenn man die auf zwei gegenüberliegende Atome innerhalb einer Kette wirkenden Kräfte auf die Kette projiziert, heben sich die Projektionen gegenseitig auf. Nur die orthogonale Komponente der Kraft bleibt erhalten. Eine analoge Überlegung gilt auch für die rein parallele (transversale) Ablenkung eines Atoms von seiner Gleichgewichtsposition. Natürlich trifft dies nicht für eine beliebige Ablenkung des Atoms zu, daher betrachten wir nur den einfachen Fall einer longitudinalen Gitterschwingung.

Setze Gl. 1 mit dem 2. Newton-Axiom \( m \, \frac{\text{d}^2 u_n}{\text{d} t^2} \) gleich, um eine Differentialgleichung für die Auslenkung \(u\) zu erhalten: 2 $$m \, \frac{\text{d}^2 u_n}{\text{d} t^2} ~=~ \underset{z}{\boxed{+}} \, D_z \, (u_{n+z} - u_n)$$

Die Lösung einer derartigen gewöhnlichen Differentialgleichung zweiter Ordnung sind harmonische Funktionen. Machen wir den folgenden Lösungsansatz (Exponentialansatz) für die Auslenkung: 3 $$u_{n+z} ~=~ C \, \mathrm{e}^{\mathrm{i}(kza - \omega t)}$$

Hierbei ist \(k\) eine Wellenzahl und \( \omega \) die Frequenz der Welle, die durch die Schwingung der Ketten entsteht. Und \(C\) ist eine noch zu bestimmende Konstante.

Nach dem Lösungsansatz gilt für die \(n\)-te Auslenkung (\(z=0\)): 4 $$u_{n} ~=~ C \, \mathrm{e}^{- \mathrm{i} \omega t)}$$

Die Auslenkung 4 müssen wir zweimal nach \(t\) ableiten. Dann können wir den Lösungsansatz 3, 4 und die Ableitung in die Differentialgleichung 2 einsetzen: 5 $$-m \, C \, \omega^2 \mathrm{e}^{\mathrm{i} \omega t} ~=~ \underset{z}{\boxed{+}} \, D_z \, C \left( \mathrm{e}^{\mathrm{i}(kza-\omega t)} ~-~ \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t} \right)$$

Dabei kürzt sich der Faktor \( C \, \mathrm{e}^{\mathrm{i} \omega t} \) weg und mit ihr die unbekannte Konstante \(C\). Bringen wir noch alles auf die linke Seite: 6 $$-m \, \omega^2 ~-~ \underset{z}{\boxed{+}} \, D_z \left( \mathrm{e}^{\mathrm{i} kza} ~-~ 1 \right) ~=~ 0$$ Da die Kette symmetrisch ist, gilt für die Federkonstante \( D_z = D_{-z} \). Das heißt, sowohl die Kette \( n+z \) als auch die Kette \( n-z \) sind gleich mit der Kette \( n \) gekoppelt. Mit dieser Information lässt sich Gl. 6 vereinfachen: 7 $$-m \, \omega^2 ~-~ \underset{z}{\boxed{+}} \, D_z \left( \mathrm{e}^{\mathrm{i} kza} ~+~ \mathrm{e}^{-\mathrm{i}kza} ~-~ 2 \right) ~=~ 0$$

Als nächstes schreiben wir komplexen Exponentialfunktionen mithilfe der Euler-Formel um und bringen damit Cosinus und Sinus ins Spiel: 8 $$-m \, \omega^2 ~-~ \underset{z}{\boxed{+}} \, D_z \left( \cos(kza) + \mathrm{i}\sin(kza) + \cos(-kza) + \mathrm{i}\sin(-kza) ~-~ 2 \right) ~=~ 0$$

Nutze die Symmetrie- und Antisymmetrie-Eigenschaften von Cosinus und Sinus aus, wodurch sich Gl. 8 zusammenfassen lässt: 9 $$-m \, \omega^2 ~-~ 2\,\underset{z}{\boxed{+}} \, D_z \left( \cos(kza) ~-~ 1 \right) ~=~ 0$$

Nun haben wir eine Gleichung herausbekommen, die keine Auslenkung mehr enthält und nur von Konstanten, von der Kreisfrequenz \(\omega\) und Wellenzahl \(k\) abhängt. Da wir die Dispersionsrelation \( \omega(k) \) suchen, müssen wir Gl. 9 nach der Kreisfrequenz \( \omega \) umstellen: 10 $$\omega(k) ~=~ \sqrt{\frac{2}{m} \, \underset{z}{\boxed{+}} \, D_z \left( 1 ~-~ \cos(kza) \right)}$$

Die Dispersionsrelation 10 berücksichtigt auch die Wechselwirkung zwischen den übergreifenden Netzebenen. Wenn Du nur die Wechselwirkung zwischen benachbarten Netzebenen berücksichtigst, fallen alle Kopplungskonstanten \( D_z \) mit \( z \neq 1 \) weg. Das heißt eine Auslenkung der Netzebene \( q=n+2\) hat keine Auswirkung auf die Netzebene \( n \). Übrig bleibt nur Kopplungskonstante \( D_1 \), die wir einfach \( D \) nennen: 11 $$\omega(k) ~=~ \sqrt{\frac{2 D}{m} \left( 1 ~-~ \cos(ka) \right)}$$

Mithilfe der Doppelwinkelfunktion \( \sin^2(x) ~=~ \frac{1}{2}(1-\cos(2x)) \) lässt sich Gl. 11 auch folgendermaßen schreiben: 12 $$\omega(k) ~=~ \sqrt{\frac{4 D}{m} \sin^2\left(\frac{ka}{2}\right)}$$

Die Dispersionsrelation 12 gilt für eine einatomige Kette, die nur mit ihrer rechten und linken Nachbarkette wechselwirkt und nur longitudinal (bzw. transversal) ausgelenkt wird. An der Formel 12 für die Dispersionsrelation sehen wir, dass sie wegen \( \sin^2 \) symmetrisch und unabhängig von der Ausbreitungsrichtung der Schwingung ist: \( \omega(k) = \omega(-k) \) (siehe Illustration).

Wir können auch aus der Dispersionsrelation beispielsweise die Gruppengeschwindigkeit \(v_{\text g}\) berechnen, wenn wir Gl. 12 nach der Wellenzahl \(k\) ableiten: 13 $$v_{\text g} ~=~ \sqrt{\frac{D \, a^2}{m}} \, \cos\left(\frac{1}{2} \, k \, a\right)$$

Das Ziel ist es eine Dispersionsrelation \( \omega_{\pm}(k) \) für einen unendlich ausgedehnten Kristall mit zweiatomiger Basis herzuleiten. Die Basis enthält zwei Atome, jeweils mit der Masse \( m_1 \) und Masse \( m_2 \).

Genauso wie bei der Herleitung der Dispersionsrelation für eine einatomige Basis, machen wir die Näherung, dass eine Auslenkung der Netzebene \(n\) nur einen Einfluss auf die benachbarten Netzebenen hat - also nur einen Einfluss auf die Netzebene \(n+1\) und \(n-1\), aber nicht zum Beispiel auf die Netzebene \(n+2\) und so weiter. Außerdem sollen die Auslenkungen orthogonal zur jeweiligen Netzebene sein, wie in der Illustration gezeigt.

• Mit \( u_n \) bezeichnen wir die Auslenkung der \(n\)-ten Netzebene aus der Ruhelage. In dieser Netzebene befinden sich die Massen \(m_1\).
• Mit \( y_n \) bezeichnen wir die Auslenkung der \(n\)-ten Netzebene aus der Ruhelage. In dieser zweiten \(n\)-ten Netzebene befinden sich die Massen \(m_2\).

Bei diesem Problem müssen wir zwei Differentialgleichungen für die Auslenkung \(y_n\) und \(u_n\) aufstellen. Dazu nutzen wir das Hookesche Federgesetz und setzen es mit dem 2. Newton-Axiom gleich: 1 $$m_1 \, \frac{\partial^2 u_{n}}{\partial t^2} ~=~ D*(y_n ~-~ u_n) ~+~ D*(y_{n-1} ~-~ u_n)$$ 2 $$m_2 \, \frac{\partial^2 y_{n}}{\partial t^2} ~=~ D*(u_n ~-~ y_n) ~+~ D*(u_{n+1} ~-~ y_n)$$

Dabei ist \( D \) die Federkonstante, die zwei benachbarte Netzebenen koppelt. Lass uns bei Gl. 1 und 2 zuerst die Klammern auf der rechten Seite ausmultiplizieren und dann \(D\) ausklammern. Anschließend bringen wir alles auf die linke Seite: 3 $$m_1 \, \frac{\partial^2 u_{n}}{\partial t^2} ~+~ D*(2u_n ~-~ y_n ~-~ y_{n-1}) ~=~ 0$$ 4 $$m_2 \, \frac{\partial^2 y_{n}}{\partial t^2} ~+~ D*(2y_n ~-~ u_n ~-~ u_{n+1}) ~=~ 0$$

Als Lösungsansatz für die beiden Differentialgleichungen 3 und 4 nehmen wir den Exponentialansatz: 5 $$u_n(k) ~=~ \frac{1}{\sqrt{m_1}} \, C_u \mathrm{e}^{\mathrm{i}(kna - \omega t)}$$ 6 $$y_n(k) ~=~ \frac{1}{\sqrt{m_2}} \, C_y \mathrm{e}^{\mathrm{i}(kna - \omega t)}$$

Dabei ist \( k \) die Wellenzahl und \( \omega \) die Frequenz der Schwingung der Netzebene im Kristall. \(C_u \) und \( C_y\) sind unbekannte Konstanten.

Exponentialansätze in die erste Differentialgleichung einsetzen:
Bevor wir den Exponentialansatz 5 in die erste Differentialgleichung 3 einsetzen können, müssen wir diesen zweimal nach der Zeit \(t\) ableiten. Und da in der Differentialgleichung auch die Auslenkung \(y_{n-1}\) vorkommt, passen wir dafür den Exponentialansatz 6 an: 7 $$\begin{align}\frac{\partial^2 u_{n}}{\partial t^2} ~&=~ \frac{-\omega^2 \, C_u}{\sqrt{m_1}} \, \mathrm{e}^{\mathrm{i}kna - \mathrm{i}\omega t} \\\\ y_{n-1} ~&=~ \frac{C_y}{\sqrt{m_2}} \, \mathrm{e}^{\mathrm{i}kna - \mathrm{i}ka - \mathrm{i}\omega t}\end{align}$$

Jetzt können wir die Ableitung und die Exponentialansätze 5, 6 und 7 in die erste Differentialgleichung 3 einsetzen: 8 $$\begin{align}m_1 \, \frac{-\omega^2 \, C_u}{\sqrt{m_1}} \, \mathrm{e}^{\mathrm{i}kna - \mathrm{i}\omega t} & ~+~ 2D\, \frac{C_u}{\sqrt{m_1}} \, \mathrm{e}^{\mathrm{i}kna - \mathrm{i}\omega t} \\\\ ~-~ \frac{D \, C_y}{\sqrt{m_2}} \, \mathrm{e}^{\mathrm{i}kna - \mathrm{i}\omega t} & ~-~ \frac{D \, C_y}{\sqrt{m_2}} \, \mathrm{e}^{\mathrm{i}kna - \mathrm{i}ka - \mathrm{i}\omega t} ~=~ 0\end{align}$$

Jetzt müssen wir nur noch die Gleichung 8 vereinfachen. Klammere dazu \( \mathrm{e}^{\mathrm{i}kna - \mathrm{i}\omega t} \) aus und dividiere die Gleichung durch diesen Faktor: 9 $$m_1 \, \frac{-\omega^2 \, C_u}{\sqrt{m_1}} ~+~ \frac{2D\, C_u}{\sqrt{m_1}} ~-~ \frac{D \, C_y}{\sqrt{m_2}} ~-~ \frac{D \, C_y}{\sqrt{m_2}} \, \mathrm{e}^{-\mathrm{i}ka} ~=~ 0$$

Klammere bei den ersten beiden Summanden \(\frac{C_u}{\sqrt{m_1}}\) aus und bei den letzten beiden Summanden \(\frac{D \, C_y}{\sqrt{m_2}}\): 10 $$\frac{C_u}{\sqrt{m_1}} \, (2D - \omega^2 \, m_1) ~-~ \frac{D \, C_y}{\sqrt{m_2}} \, (1+\mathrm{e}^{\mathrm{i}ka}) ~=~ 0$$

Als nächstes multiplizieren wir 10 mit \( 1/\sqrt{m_1} \) und stellen die Gleichung so um, dass vor den \(C_u\) und \(C_y\) die Koeffizienten stehen. Das wird unsere erste lineare Gleichung: 11 $$\left(\frac{2D}{m_1} - \omega^2\right) \, C_u ~-~ \frac{D}{\sqrt{m_2 \, m_1}} \, \left( 1+\mathrm{e}^{\mathrm{i}ka} \right) \, C_y ~=~ 0$$

Exponentialansätze in die zweite Differentialgleichung einsetzen:
Analog gehen wir mit der zweiten Differentialgleichung vor. Dazu leiten wir zuerst \(y_n\) zweimal nach der \(t\) ab und passen den Ansatz 5 für die Auslenkung \(u_{n+1}\) an, weil sie eben in der zweiten Differentialgleichung vorkommt: 12 $$\begin{align}\frac{\partial^2 y_{n}}{\partial t^2} ~&=~ \frac{-\omega^2 \, C_y}{\sqrt{m_2}} \, \mathrm{e}^{\mathrm{i}kna - \mathrm{i}\omega t} \\\\ u_{n+1} ~&=~ \frac{C_u}{\sqrt{m_1}} \, \mathrm{e}^{\mathrm{i}kna - \mathrm{i}\omega t}\,\mathrm{e}^{ika}\end{align}$$

Jetzt können wir die zweite Ableitung und die Exponentialansätze 12, 5 und 6 in die zweite Differentialgleichung 4 einsetzen: 13 $$\begin{align}m_2 \, \frac{-\omega^2 \, C_y}{\sqrt{m_2}} \, \mathrm{e}^{\mathrm{i}kna - \mathrm{i}\omega t} & ~+~ \frac{2D\,C_y}{\sqrt{m_2}} \, \mathrm{e}^{\mathrm{i}kna - \mathrm{i}\omega t} \\\\ ~-~ \frac{D \, C_u}{\sqrt{m_1}} \, \mathrm{e}^{\mathrm{i}kna - \mathrm{i}\omega t} & ~-~ \frac{D \, C_u}{\sqrt{m_1}} \, \mathrm{e}^{\mathrm{i}kna - \mathrm{i}\omega t}\,\mathrm{e}^{ika} ~=~ 0\end{align}$$

Klammern wir \( \mathrm{e}^{\mathrm{i}kna - \mathrm{i}\omega t} \) aus und teilen anschließend durch diesen Faktor. Dann multipliziere wir die Gleichung mit \( 1/\sqrt{m_2} \) und stellen sie so um, dass vor den \(C_y\) und \(C_u\) die Koeffizienten stehen: 14 $$\left( \frac{2D}{m_2} - \omega^2 \right) \, C_y ~-~ \frac{D}{\sqrt{m_2 \, m_1}} \left( 1+\mathrm{e}^{\mathrm{i}ka} \right) \, C_u ~=~ 0$$

Ergebnis zusammenfassen:
Durch das Aufstellen der Differentialgleichungen und das Einsetzen der Exponentialansätze (Lösungen) haben wir ein lineares Gleichungssystem (LGS) aufgestellt: 15 $$\begin{align}\left(\frac{2D}{m_1} - \omega^2\right) \, C_u ~-~ \frac{D}{\sqrt{m_2 \, m_1}} \, \left( 1+\mathrm{e}^{\mathrm{i}ka} \right) \, C_y ~&=~ 0 \\\\ \left( \frac{2D}{m_2} - \omega^2 \right) \, C_y ~-~ \frac{D}{\sqrt{m_2 \, m_1}} \left( 1+\mathrm{e}^{\mathrm{i}ka} \right) \, C_u ~&=~ 0\end{align}$$

Dieses LGS können wir in der Matrixschreibweise ausdrücken: 16 $$\begin{bmatrix} \frac{2D}{m_1}-\omega^2 & -\frac{D(1+\mathrm{e}^{-\mathrm{i}ka})}{\sqrt{m_2 \, m_1}} \\ -\frac{D(1+\mathrm{e}^{\mathrm{i}ka})}{\sqrt{m_2 \, m_1}} & \frac{2D}{m_2}-\omega^2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} C_u\\\\ C_y\end{bmatrix} ~=~ \begin{bmatrix} 0 \\\\ 0 \end{bmatrix}$$

Aus der Mathematik wissen wir, dass für beliebige \( C_y\) und \(C_u \) die Determinante der obigen Matrix Null sein muss. Nur so ist die Eigenwertgleichung 16 mit Eigenwert \( 0 \) erfüllt: 17 $$\det\left(\begin{array}{c} \frac{2D}{m_1}-\omega^2 & -\frac{D(1+\mathrm{e}^{-\mathrm{i}ka})}{\sqrt{m_2 \, m_1}} \\ -\frac{D(1+\mathrm{e}^{\mathrm{i}ka})}{\sqrt{m_2 \, m_1}} & \frac{2D}{m_2}-\omega^2 \end{array}\right) ~\stackrel{!}{=}~ 0$$

Determinante der Matrix 17 ist mit dem Laplace-Entwicklungssatz leicht zu bestimmen. Wenn du nicht weißt, wie das geht, dann geh zu diesem Abschnitt zurück. Die herausgefundene Determinante, wie wir bereits begründet haben, muss Null sein: 18 $$\left( \frac{2D}{m_1} - \omega^2 \right) \, \left( \frac{2D}{m_2} - \omega^2 \right) ~-~ \frac{D \, (1+\mathrm{e}^{\mathrm{i}ka})}{\sqrt{m_2 \, m_1}} \, \frac{D \, (1+\mathrm{e}^{-\mathrm{i}ka})}{\sqrt{m_2 \, m_1}} ~=~ 0$$

Multipliziere die Klammern in Gl. 18 aus: $$\frac{4D^2}{m_1 \, m_2} ~-~ \frac{2D}{m_1} \, \omega^2 ~-~ \frac{2D}{m_2} \, \omega^2 ~+~ \omega^4 ~-~ \frac{D^2}{m_1 \, m_2}(2+\mathrm{e}^{\mathrm{i}ka} + \mathrm{e}^{\mathrm{i}ka}) ~=~ 0$$

Sortiere Gleichung nach der Potenz der Frequenz \( \omega \). Außerdem kannst Du die Exponentialfunktionen mittels der Euler-Formel in Cosinus umschreiben: $$\omega^4 ~-~ 2D \, \left( \frac{1}{m_1} + \frac{1}{m_2} \right) \, \omega^2 ~+~ \frac{2D^2}{m_1 \, m_2} \, \left( 1-\cos(ka) \right)~=~ 0$$

Wie du siehst, ist es eine quadratische Gleichung für die Frequenz \(\omega\). Diese müssen wir nach \(\omega\) umstellen, da wir ja die Disperionsrelation bestimmen wollen. Substituiere dazu \( \omega^4 := \omega_{\pm}^2 \), um daraus eine quadratische Gleichung zu machen. Die beiden Lösungen der quadratischen Gleichung gibt dir die p-q-Formel: $$\omega_{\pm}^2 ~=~ D \, \left( \frac{1}{m_1} + \frac{1}{m_2} \right) ~\pm~ D \, \sqrt{\left(\frac{1}{m_1} + \frac{1}{m_2}\right)^2 ~-~ \frac{2}{m_1 \, m_2}\,\left( 1-\cos(ka) \right) }$$

Damit haben wir die Disperionsrelation für ein Kristall mit zweiatomiger Basis herausgefunden. Die Lösung können wir noch mit der trigonometrischen Beziehung \( \sin^2(x) ~=~ \frac{1}{2}(1-\cos(2x)) \) so umschreiben: 21 $$\omega_{\pm}^2 ~=~ D \, \left( \frac{1}{m_1} + \frac{1}{m_2} \right) ~\pm~ D \, \sqrt{\left(\frac{1}{m_1} + \frac{1}{m_2}\right)^2 ~-~ \frac{4}{m_1 \, m_2}\,\sin^2\left(\frac{k\,a}{2}\right) }$$

Beachte, dass diese Disperionsrelation nur für ein Kristall gilt, bei dem die Netzebenen rein longitudinal (oder transversal) schwingen und die Auslenkung einer Netzebene nur einen Einfluss auf die Nachbarnetzebenen hat.

Nur positive Frequenzen sind physikalisch sinnvoll, das heißt: Wenn Du die Wurzel aus Gl. 21 ziehst, bekommst Du zwei Lösungen:

• Lösung \( \omega_- \) wird als akustischer Dispersionszweig bezeichnet.
• Lösung \( \omega_+ \) wird als optischer Dispersionszweig bezeichnet.

Warum heißen Gitterschwingungen optisch und akustisch?

Die Dispersionsrelation \( \omega(k) \) eines eindimensionalen Kristallgitters mit einer zweiatomigen Basis hat zwei Zweige. Diese ergeben sich aus der Lösung zweier Differentialgleichungen für dieses Problem zweiatomiger Ketten.

Der eine Zweig (eine Lösung) \(\omega_-(k) \) heißt akustisch, weil in diesem Fall die Gitternetzebenen in Phase schwingen, so wie das bei akustischen Wellen der Fall ist.

Der andere Zweig (die andere Lösung) \(\omega_+(k) \) heißt optisch, weil diese Lösung der jeweiligen Differentialgleichung eine gegenphasige Schwingung der Netzebenen (mit \(m_1\) und \(m_2\)) ergibt. Wenn die Atome beispielsweise Ionen sind, dann sind sie elektrisch geladen. Durch eine gegenphasige Schwingung entstehen elektrische Dipolmomente im Kristall, was die optischen Eigenschaften des Kristalls beeinflusst.