Ich heiße Alexander FufaeV und hier schreibe ich über:

Drude-Modell und der klassische Ladungstransport in Metallen

Wichtige Formel

Formel: Drude-Modell

$$\class{red}{j} ~=~ \frac{n \, e^2 \, \tau}{m_{\text e}} \, E$$ $$\class{red}{j} ~=~ \frac{n \, e^2 \, \tau}{m_{\text e}} \, E$$ $$E ~=~ \frac{m_{\text e}}{ n \, e^2 \, \tau } \, \class{red}{j}$$ $$\tau ~=~ \frac{ m_{\text e} }{ n\,e^2 } \, \frac{\class{red}{j}}{E}$$ $$n ~=~ \frac{ m_{\text e} }{ \tau \, e^2 } \, \frac{\class{red}{j}}{E}$$ $$m_{\text e} ~=~ n\,\tau \, e^2 \, \frac{E}{\class{red}{j}}$$

Formel umstellen

Was bedeuten diese Formelzeichen?

Elektrische Stromdichte

$$ \class{red}{\boldsymbol j} $$ Einheit $$ \frac{ \mathrm A }{ \mathrm{m}^2 } $$

Elektrische Stromdichte gibt den Strom an, der eine Querschnittsfläche passiert.

Elektrisches Feld (E-Feld)

$$ \class{purple}{\boldsymbol E} $$ Einheit $$ \frac{\mathrm{V}}{\mathrm{m}} = \frac{\mathrm{N}}{\mathrm{C}} = \frac{\mathrm{kg} \, \mathrm{m}}{\mathrm{A} \, \mathrm{s}^3} $$

Angelegtes externes elektrisches Feld, das eine Stromdichte $j$ verursacht. Mit steigendem E-Feld steigt auch die Stromdichte.

Stoßzeit

$$ \tau $$ Einheit $$ \mathrm{s} $$

Stoßzeit ist die Zeit, die zwischen zwei Stößen vergeht. Während dieser Zeit wird das Elektron stoßfrei durch das elektrische Feld auf die Driftgeschwindigkeit beschleunigt.

Elektronendichte

$$ n $$ Einheit $$ \frac{1}{\mathrm{m}^3} $$

Elektronendichte gibt die Elektronenanzahl pro Volumen an.

Masse

$$ m_{\text e} $$ Einheit $$ \mathrm{kg} $$

Masse des Elektrons. Die Ruhemasse des Elektrons ist: $ m ~\approx~ 9.109 \,\cdot\, 10^{-31} \, \text{kg} $.

Elementarladung

$$ e $$ Einheit $$ \mathrm{C} = \mathrm{As} $$

Die Elementarladung ist eine Naturkonstante und ist die kleinste, frei existierende elektrische Ladung in unserem Universum. Sie hat den exakten Wert: $$ e ~=~ 1.602 \, 176 \, 634 ~\cdot~ 10^{-19} \, \mathrm{C} $$

Visier das Bild an!

Allgemein ist die elektrische Leitfähigkeit $ \sigma $ als Proportionalitätskonstante zwischen dem elektrischen Feld $ \boldsymbol{E} $ und der Stromdichte $ \class{red}{\boldsymbol{j}} $ definiert:

$$ \begin{align} \class{red}{\boldsymbol{j}} ~=~ \sigma \, \class{purple}{\boldsymbol{E}} \end{align} $$

Streuung eines Elektrons nach dem Drude-Modell.

Beim Drude-Modell wird angenommen, dass das Ladungsträgergas (meistens Elektronengas in Metallen) mit den Teilchen der Ladung $ q $ und Masse $ m $ ein klassisches Teilchengas darstellt. Die einzelnen Ladungsträger bewegen sich mit der thermischen Geschwindigkeit $ \boldsymbol{v}_{\text{th}} $.

Wird nun ein externes elektrisches Feld $ \boldsymbol{E} $ eingeschaltet, so werden die Ladungsträger entlang des elektrischen Felds beschleunigt. Dabei stoßen sie mit den festen Atomrümpfen und werden dadurch abgebremst. Es vergeht eine kleine Zeitspanne, bis der Ladungsträger mit dem nächsten Atomrumpf stößt. Diese Zeit wird Stoßzeit $ \tau $ genannt. Während dieser Zeitspanne wird der Ladungsträger durch das E-Feld auf die Geschwindigkeit $ \boldsymbol{v}_{\text d} $ beschleunigt, die Driftgeschwindigkeit genannt wird. Sie ist die mittlere Geschwindigkeit $ \boldsymbol{v} $ des Ladungsträgers abzüglich der thermischen Geschwindigkeit: $ \boldsymbol{v}_{\text d} = \boldsymbol{v} - \boldsymbol{v}_{\text{th}} $. Ohne externe E-Felder ist die Driftgeschwindigkeit natürlich $ \boldsymbol{v}_{\text d} = 0 $ und die mittlere Geschwindigkeit entspricht ganz allein der ungerichteten thermischen Geschwindigkeit.

Es wirken also grundsätzlich zwei Kräfte auf den Ladungsträger ein: die elektrische Kraft $ - q \, \boldsymbol{E} $ und die durch Stöße verursachte Reibungskraft $ - m \, \frac{\boldsymbol{v}_{\text d}}{\tau} $. Die zu lösende Bewegungsgleichung (Differentialgleichung) lautet also:

$$ \begin{align} m \, \frac{\text{d}\boldsymbol{v}}{\text{d}t} ~=~ - q \, \boldsymbol{E} ~-~ m\, \frac{\boldsymbol{v}_{\text d}}{\tau} \end{align} $$

Warum die Minuszeichen, fragst du dich? Um zu berücksichtigen, dass die beiden Kräfte einander entgegenwirken. Im stationären Fall sind die beiden Kräfte im Gleichgewicht, das hei0t die mittlere Geschwindigkeit $ \boldsymbol{v} $ der Ladungsträger ändert sich nicht mehr, folglich muss die Zeitableitung Null sein: $ \frac{\text{d}\boldsymbol{v}}{\text{d}t} = 0 $. Die Bewegungsgleichung 2 wird also nach dem die Reibungskraft auf die andere Seite der Gleichung gebracht wurde, zu:

$$ \begin{align} m\, \frac{\boldsymbol{v}_{\text d}}{\tau} ~=~ - q \, \boldsymbol{E} \end{align} $$

Wenn die Stoßzeit $\tau$ bekannt ist, kann daraus die Driftgeschwindigkeit berechnet werden:

$$ \begin{align} \boldsymbol{v}_{\text d} ~=~ - \frac{q \, \tau}{m} \, \boldsymbol{E} \end{align} $$

Da das Drude-Modell meistens dazu benutzt wird, um das Elektronengas in Metallen zu beschreiben, setzen wir die negative Elementarladung $ q = -e $ des Elektrons in Gl. 4 ein:

$$ \begin{align} \boldsymbol{v}_{\text d} ~=~ \frac{e \, \tau}{m} \, \boldsymbol{E} \end{align} $$

Dabei ist der Vorfaktor von $ \boldsymbol{E} $ als Elektronenmobilität (Beweglichkeit) $ \mu $ definiert:

$$ \begin{align} \mu ~:=~ \frac{e \, \tau}{m} ~=~ \frac{ |\boldsymbol{v}_{\text d}| }{ |\boldsymbol{E}| } \end{align} $$

Die Mobilität ist also nichts anderes als die mit der spezifischen Ladung $ \frac{q}{m} $ gewichtete Stoßzeit $ \tau $. Oder äquivalent: Sie gibt an, welche Driftgeschwindigkeit sich einstellt, wenn ein entsprechendes elektrisches Feld $ \boldsymbol{E} $ angelegt wird.

Mithilfe der Elektronendichte $ n $ (Anzahl der Elektronen pro Volumen) wird Gl. 1 zu:

$$ \begin{align} \class{red}{\boldsymbol{j}} ~=~ n \, e \, \boldsymbol{v}_{\text d} ~=~ \frac{n \, e^2 \, \tau}{m} \, \boldsymbol{E} \end{align} $$

Also ist die elektrische Leitfähigkeit $\sigma$ nach dem Drude-Modell gegeben durch (vergleiche Gl. 1):

$$ \begin{align} \sigma ~=~ \frac{n \, e^2 \, \tau}{m} \end{align} $$

Oder mit Mobilität 6 ausgedrückt:

$$ \begin{align} \sigma ~=~ n \, e \, \mu \end{align} $$

Du kannst also duch Messung der elektrischen Leitfähigkeit $ \sigma $ des Metalls und bei bekannter Elektronendichte $ n $ die mittlere Stoßzeit $ \tau $ herausfinden. Typische Werte für die Stoßzeit liegen im Bereich $ \tau \approx 10^{-14} \, \mathrm{s} $. Mit dieser Stoßzeit und bei einer thermischen Geschwindigkeit $ \boldsymbol{v}_{\text{th}} = 10^5 \, \frac{\mathrm m}{\mathrm s} $ (die viel größer als die Driftgeschwindigkeit ist) liegt die mittlere freie Weglänge (zurückgelegte Strecke zwischen zwei Stößen) im Bereich des Atomabstands: $ l_{\text{th}} = v_{\text{th}} \, \tau \approx 10^{-9} \, \mathrm{m} $. Die Materialgleichung 1 lautet nach dem Drude-Modell also:

$$ \begin{align} \class{red}{\boldsymbol{j}} ~=~ \frac{n \, e^2 \, \tau}{m} \, \boldsymbol{E} \end{align} $$

Drude-Modell sagt also einen linearen Zusammenhang zwischen der elektrischen Stromdichte und dem elektrische Feld voraus, was dem Ohmschen Gesetz entspricht. Das Drude-Modell sagt auch richtig (jedoch durch zwei fehlerhafte Annahmen, die sich gegenseitig wegheben) den Zusammenhang zwischen thermischer und elektrischer Leitfähigkeit voraus (Wiedemann-Franz-Gesetz).

Beachte jedoch, dass das Drude-Modell bei tiefen Temperaturen versagt, weil das Modell die Fermi-Verteilung der Elektronen nicht berücksichtigt, obwohl die Fermi-Verteilung bei tiefen Temperaturen eine wichtige Rolle spielt. Nach dem Modell tragen alle Elektronen zur elektrischen Leitfähigkeit bei, was zu einem viel zu niedrigen theoretischen Wert der Leitfähigkeit führt. Die Abhilfe schafft das verbesserte Sommerfeld-Modell.

Was ist die dynamische Leitfähigkeit?

Dynamische Leitfähigkeit $ \sigma(\omega) $ ist die frequenzabhängige elektrische Leitfähigkeit und zwar aufgrund eines externen zeitabhängigen elektrischen Feldes $ E(t) $.

Schau dir die folgende Differentialgleichung an:

$$ \begin{align} m \, \dot{v} + \frac{m \, v}{\tau} = - e \, E \end{align} $$

Mit $ E(t) = E_0 \, e^{i\omega \, t} $ und $ v(t) = v_0 \, e^{-i\omega \, t} $, folgt für die dynamische Leitfähigkeit:

$$ \begin{align} \sigma(\omega) = \frac{\sigma_0}{1-i\,\omega \, \tau} \end{align} $$

Das Interessante ist: Der Realteil von Gl. 2 ist frequenzunabhängig, aber abhängig von der Streuzeit $ \tau $. Beim Imaginärteil ist es genau andersherum.