Ich heiße Alexander FufaeV und hier schreibe ich über:

Ohmsches Gesetz: URI-Formel & U-I-Diagramm

Wichtige Formel

Formel: Ohm-Gesetz

$$U ~=~ R \, I$$ $$U ~=~ R \, I$$ $$R ~=~ \frac{U}{I}$$ $$I ~=~ \frac{U}{R}$$

Formel umstellen

Was bedeuten diese Formelzeichen?

Elektrische Spannung

$$ U $$ Einheit $$ \mathrm{V} = \frac{ \mathrm J }{ \mathrm C } = \frac{ \mathrm{kg} \, \mathrm{m}^2 }{ \mathrm{A} \, \mathrm{s}^3 } $$

Elektrische Spannung ist ein Maß dafür, wie viel Ladung unterschiedlichen Vorzeichens voneinander getrennt ist. Die Spannung wird immer zwischen zwei Punkten des Leiters gemessen. Es ist nicht möglich die Spannung nur an einer Stelle des Leiters zu messen.

Damit ein elektrischer Strom $I$ zwischen zwei Punkten des Leiters überhaupt fließen kann, müssen positive und negative Ladungen getrennt werden, d.h. es muss eine Spannung zwischen diesen Punkten bestehen. Durch die gegenseitige Anziehung der entgegengesetzten Ladungen entsteht ein elektrischer Strom.

Elektrischer Widerstand

$$ \class{brown}{R} $$ Einheit $$ \mathrm{\Omega} = \frac{ \mathrm{kg} \, \mathrm{m}^2 }{ \mathrm{A}^2 \, \mathrm{s}^3 } $$

Elektrischer Widerstand ist ein Maß dafür, wie stark elektrisch geladene Teilchen (Elektronen) bei ihrer Bewegung durch den Leiter beeinträchtigt werden. Der Widerstand hängt von dem verwendeten Material des Leiters ab.

Das Ohm-Gesetz zeichnet sich dadurch aus, dass der Widerstand $R$ konstant ist! Es ist also egal, welche Spannung angelegt wird, der Strom durch den Leiter wird sich so anpassen, dass das Verhältnis $U/I$, also der Widerstand, stets konstant bleibt.

Bei einem Strom von $I = 0.1 \, \text{A} $ und einer Spannung von $ U = 10 \, \text{V}$ ist der Widerstand $ R = 100 \, \Omega $.

Elektrischer Strom

$$ \class{red}{\boldsymbol I} $$ Einheit $$ \mathrm{A} = \frac{ \mathrm C }{ \mathrm s } $$

Elektrischer Strom gibt an, wie viel elektrischer Ladung pro Zeit durch einen Leiter fließt. Je größer der elektrische Strom ist, desto mehr Ladung fließt durch den Leiter (d.h. mehr geladene Teilchen bewegen sich durch den Leiter).

Bei einem Strom von $1 \, \text{A}$ (1 Ampere) fließt $1 \, \text{C}$ (1 Coulomb) Ladung pro Sekunde durch den Leiter.

Bei einem Widerstand von $R = 10 \, \Omega $ und einer Spannung von $ U = 1 \, \text{V}$ fließt ein Strom $ I = 0.1 \, \text{A} $.

Inhaltsverzeichnis

Ohmsches Gesetz, benannt nach dem deutschen Physiker Georg Simon Ohm, beschreibt, wie elektrischer Strom $I$ und elektrische Spannung $U$ miteinander zusammenhängen.

Wenn du also elektrische Schaltkreise der Mikroelektronik verstehen und zusammenbauen willst, dann kommst du ohne das Ohmsche Gesetz nicht sehr weit. Es lohnt sich also dieses Gesetz kennenzulernen. Vor allem, weil es das einfachste physikalische Gesetz ist, das man sich vorstellen kann.

In vorherigen Lektionen hast du gelernt, was genau elektrischer Strom und was elektrische Spannung physikalisch bedeuten.

1. Zutat: Elektrische Spannung

Zwischen dem Minus- und Pluspol herrscht eine elektrische Spannung.

Trennst du positive und negative elektrische Ladungen voneinander und packst du sie in zwei Schachteln, so bildet der Haufen negativer Ladungen einen Minuspol und der Haufen positiver Ladungen einen Pluspol.

Zwischen dem Minus- und Pluspol entsteht eine elektrische Spannung. Diese wird mit dem Buchstaben $U$ abgekürzt und beispielsweise so skizziert. Die Spannung sagt aus, wie viel Bewegungsenergie eine positive Ladung gewinnen würde, wenn sie vom Plus- zum Minuspol wandert. Die Spannung wird in Volt gemessen und mit einem $\text{V}$ abgekürzt. Lass uns annehmen, dass zwischen den Polen eine Spannung von $ 10 \, \text{V} $ anliegt.

2. Zutat: Elektrischer Leiter

Mit Spannung allein können wir nicht viel anfangen. Als nächstes brauchen wir einen elektrischen Leiter. Das könnte beispielsweise ein Draht sein, der aus Kupfer oder aus Aluminium besteht. Diesen Leiter brauchen wir nämlich dafür, um die beiden Pole miteinander leitend zu verbinden. Es macht natürlich einen Unterschied, ob wir Kupfer oder Aluminium als Verbindung nehmen, weil verschiedene Materialien unterschiedlich gut die Ladungen durchlassen. Dazu aber später mehr.

3. Zutat: Elektrischer Strom

Nachdem die beiden Pole miteinander verbunden wurden, fließt ein elektrischer Strom $I$ durch den Leiter.

Da die beiden Pole jetzt miteinander leitend verbunden sind, können die positiven Ladungen zum Minuspol entlang des Leiters wandern. Sie werden schließlich von den negativen Ladungen angezogen. Es entsteht also ein elektrischer Strom $I$ durch diesen Leiter. Die negativen Ladungen müssten natürlich auch zum positiven Pol wandern. Wir haben sie aber in der Schachtel befestigt, sodass sie sich nicht bewegen können, um unser Gedankenexperiment nicht unnötig kompliziert zu machen.

Der entstandene elektrische Strom $I$ wird in der Einheit Ampere gemessen und mit einem $\text{A}$ abgekürzt. Nehmen wir mal an, dass ein Strom von $ 1 \, \text{A}$ durch die Leitung fließt.

Mit der Zeit, wird die Anzahl positiver Ladungen beim Pluspol sinken, weil die Ladungen ja die ganze Zeit zum Minuspol wandern. Damit würden auch die Spannung und der Strom mit der Zeit sinken, weil weniger Ladungen getrennt sind. Um das zu verhindern, werden wir die Ladungen ständig nachliefern, um die Ladungstrennung aufrechtzuerhalten. Dieses Nachliefern von Ladungen ist die Aufgabe einer Spannungsquelle.

Mit einer Spannungsquelle stellen wir sicher, dass die Spannung und der Strom schön gleich bleiben und nicht kleiner werden.

Ohmsches Gesetz in einem Diagramm

Unsere Spannung zwischen den Polen ist auf $ 10 \, \text{V}$ eingestellt. Dabei fließt beispielhaft ein Strom von $ 1 \, \text{A}$. Lass uns jetzt mal die Spannung verändern, und schauen wie sich das auf den elektrischen Strom auswirkt. Spannung können wir verändern, indem wir zum Beispiel die Anzahl getrennter Ladungen verändern.

Wenn wir die Spannung von $ 10 \, \text{V}$ auf $ 20 \, \text{V}$ erhöhen, dann erhöht sich der Strom von $ 1 \, \text{A}$ auf $ 2 \, \text{A}$. Wir haben die Spannung $U$ verdoppelt und dadurch hat sich der Strom $I$ auch verdoppelt.
Wenn wir die Spannung von $ 20 \, \text{V}$ auf $ 60 \, \text{V}$ erhöhen, dann erhöht sich der Strom von $ 2 \, \text{A}$ auf $ 6 \, \text{A}$. Wir haben die Spannung $U$ verdreifacht und dadurch hat sich der Strom $I$ auch verdreifacht.
Wenn wir die Spannung von $ 60 \, \text{V}$ auf $ 40 \, \text{V}$ verringern, dann verringert sich der Strom von $ 6 \, \text{A}$ auf $ 4 \, \text{A}$. Wir haben die Spannung $U$ um den Faktor $\frac{2}{3}$ verringert und dadurch hat sich der Strom $I$ auch um den Faktor $\frac{2}{3}$ verringert.

Egal, um welchen Faktor wir die Spannung verändern, der Strom verändert sich auch um den gleichen Faktor.

Spannung $U$ und $I$ werden in einem Diagramm aufgetragen. Es ergibt sich eine Gerade, wenn die Punkte verbunden werden.

Wir können die Messwerte in einem Diagramm veranschaulichen. Auf die $y$-Achse, also die senkrechte Achse, tragen wir die Spannung auf. Und auf die $x$-Achse, also die waagerechte Achse, tragen wir den Strom auf. Dieses Diagramm wird Spannung-Strom-Diagramm genannt, weil es den Zusammenhang zwischen Spannung und Strom veranschaulicht.

Wenn wir die Messpunkte miteinander verbinden, bekommen wir eine gerade Linie. Immer, wenn in einem Diagramm eine gerade Linie herauskommt, dann sagen wir, dass die aufgetragenen Größen linear zusammenhängen. Wir haben also eine Gesetzmäßigkeit gefunden, dass Spannung und Strom linear zusammenhängen. Und genau das ist die Aussage des Ohmschen Gesetzes!

Was besagt das Ohmsche Gesetz graphisch?

Das Ohmsche Gesetz besagt, dass wir eine gerade Linie bekommen, wenn wir Spannung $U$ und Strom $I$ in einem Spannung-Strom-Diagramm auftragen.

Was ist, wenn wir unsere Spannungs- und Strommesswerte aufgetragen und so eine Kurve wie in der Illustration (4) bekommen hätten?

Ohmsche Leiter haben eine gerade Spannung-Strom-Kennlinie.

Erfüllt dieser Leiter, der die Pole verbindet und durch den ein Strom fließt, das Ohmsche Gesetz? Nein, eben nicht! Weil der keine gerade Linie ist. Ein Leiter erfüllt nur dann das Ohmsche Gesetz, wenn das Spannung-Strom-Diagramm eine gerade Linie ergibt. Ein elektrischer Strom durch solche Leiter, die eine gerade Linie ergeben, werden Ohmsche Leiter genannt, weil sie eben das Ohmsche Gesetz erfüllen. Ein Leiter aus Kupfer ist beispielsweise ein Ohmscher Leiter. Wenn wir nämlich an die Kupferleitung eine Spannung anlegen und dadurch ein Strom fließt, dann hängen Strom und Spannung linear zusammen.

Die gerade Strom-Spannung-Linie wird durch ihre Steigung repräsentiert. Wir bezeichnen die Steigung als elektrischen Widerstand und kürzen ihn mit dem Buchstaben $R$ ab:

$$ \begin{align} \text{Steigung der Geraden = Widerstand } R \end{align} $$

Der Buchstabe $R$ steht für das englische Wort 'Resistance' und heißt eben übersetzt: 'Widerstand'. Wir können also sagen:

Eine steile Gerade hat eine große Steigung und repräsentiert damit einen großen elektrischen Widerstand.
Eine flache Gerade hat eine kleine Steigung und repräsentiert damit einen kleinen elektrischen Widerstand.

Eine flache Gerade (kleiner Widerstand) und eine steile Gerade (großer Widerstand).

Welche Auswirkung hat die Steigung der Geraden auf die Spannung und den Strom?

Eine flache Gerade, also ein kleiner Widerstand, bedeutet: Wenn du die Spannung $U$ nur ganz bisschen erhöhst, dann erhöht sich der Strom $I$ sehr stark.
Eine steile Gerade, also ein großer Widerstand, bedeutet dagegen: Wenn du die Spannung $U$ nur ganz bisschen erhöhst, dann erhöht sich der Strom $I$ auch nur ganz bisschen.

Ohmsches Gesetz als Formel

Wie können wir jetzt die drei Größen, Spannung $U$, Strom $I$ und Widerstand $R$ in einer Formel vereinigen? Lass uns dazu die Sprache der Physik, also die Mathematik benutzen, um diese gerade Linie in eine Formel zu übersetzen.

Aus der Mathematik wissen wir, dass eine Gerade, die durch den Koordinatenursprung geht durch die Geradengleichung beschrieben wird:

$$ \begin{align} y ~=~ m \, x \end{align} $$

Hierbei ist $m$ die Steigung der Geraden. In unserem Fall ist die Steigung der Widerstand $R$. Also ersetzen wir mal das $m$ mit $R$: $ y = R \, x $. Das $y$ steht bei uns an der $y$-Achse und ist die Spannung $U$. Also ersetzen wir das $y$ mit $U$: $ U = R \, x $. Das $x$ steht an der $x$-Achse und steht in unserem Fall für den Strom $I$. Ersetzen wir das $x$ mit $I$. Und schon haben wir ein gerade Linie im Diagramm in eine Formel übersetzt:

$$ \begin{align} U ~=~ R \, I \end{align} $$

Merkregel

Weißt du, wie du dir die Formel 2 für immer merken kannst? Merke dir einfach das Wort '$URI$'! Füge nur noch ein Gleichheitszeichen zwischen $U$ und $R$ und schon hast du das Ohmsche Gesetz!

Elektrischer Widerstand

An der Formel für das Ohmsche Gesetz kannst du die Einheit des Widerstands herausfinden. Dazu musst du nur die Formel nach dem Widerstand $R$ umstellen. Bringe $I$ auf die andere Seite und du bekommst:

$$ \begin{align} R ~=~ \frac{U}{I} \end{align} $$

Die Spannung $U$ hat die Einheit Volt und der Strom $I$ die Einheit Ampere. Der Widerstand muss also die Einheit Volt pro Ampere haben:

$$ \begin{align} [R] &~=~ \frac{\text{Volt}}{\text{Ampere}} \\\\
&~=~ \frac{\mathrm{V}}{\mathrm{A}} \end{align} $$

Volt pro Ampere kürzen wir kurz mit der Einheit Ohm ab:

$$ \begin{align} [R] ~=~ \mathrm{\Omega} \end{align} $$

Dieses Zeichen $\Omega$ ist übrigens ein griechischer Buchstabe 'Omega'. Die Größe von diesem elektrischen Widerstand $R$ hängt von dem verwendeten Leiter ab, der den Plus- und Minuspol miteinander verbindet.

Ein Leiter aus Kupfer hat einen kleineren Widerstand $R$ als ein Leiter aus Aluminium. Für den Kupferleiter erwarten wir also eine flachere Gerade also für den Aluminiumleiter.
Und ein Leiter aus Aluminium hat einen kleineren Widerstand $R$ als ein Leiter aus Eisen. Ein Eisenleiter hat also eine steilere Gerade als ein Aluminiumleiter.

3 Beispiele, wie die URI-Formel angewendet wird

Schauen wir uns am besten ein paar konkrete Beispiele an, wie du die Formel für Ohmsche Gesetz anwenden kannst.

Beispiel: Unbekannten Widerstand berechnen

Die Spannung zwischen den Polen ist $U ~=~ 10 \, \text{V}$ und der Strom, der durch den Leiter fließt ist $I ~=~ 1 \, \text{A}$. Wie groß ist der Widerstand des Leiters?

Wir stellen das Ohmsche Gesetz 1 nach dem Widerstand $R$ um:

$$ \begin{align} R ~=~ \frac{U}{I} \end{align} $$

Dann setzen wir gegebene Werte ein:

$$ \begin{align} R &~=~ \frac{10 \, \mathrm{V}}{1 \, \mathrm{A}} \\\\
&~=~ 10 \, \mathrm{\Omega} \end{align} $$

Beispiel: Unbekannte Spannung berechnen

Der Strom, der durch den Leiter fließt ist $I = 2 \, \text{A} $ und der Widerstand des Leiters $R = 100 \, \Omega $. Wie groß ist die Spannung zwischen den enden des Leiters, also zwischen den beiden Polen?

Da können wir direkt URI-Formel benutzen:

$$ \begin{align} U ~=~ R\, I \end{align} $$

Gegebene Werte einsetzen:

$$ \begin{align} U &~=~ 100 \, \Omega ~\cdot~ 2 \, \mathrm{A} \\\\
&~=~ 200 \, \mathrm{V} \end{align} $$

Beispiel: Unbekannten Strom berechnen

Die Spannung zwischen den Enden des Leiters, ist $U ~=~ 6 \, \text{V}$ und der Widerstand des Leiters ist $R ~=~ 2 \, \Omega $. Wie groß ist der elektrische Strom durch den Leiter?

Um den Strom $I$ zu bestimmen, stellen wir '$U ~=~ R\,I$' nach dem Strom um, indem wir den Widerstand $R$ auf die andere Seite bringen. Dann erhalten wir:

$$ \begin{align} I ~=~ \frac{U}{R} \end{align} $$

Gegebene Werte einsetzen:

$$ \begin{align} I &~=~ \frac{6 \, \mathrm{V}}{2 \, \mathrm{\Omega} } \\\\
&~=~ 3 \, \mathrm{A} \end{align} $$

Du hast also gelernt, dass das Ohmsche Gesetz graphisch eine gerade Linie im Spannung-Strom-Diagramm darstellt, deren Steigung dem elektrischen Widerstand entspricht. Und mit der URI-Formel für das Ohmsche Gesetz kannst du Spannung, Strom oder Widerstand berechnen, wenn zwei andere Größen gegeben sind.

In der nächsten Lektion lernst du, wie du das Ohmsche Gesetz auf einfache elektrische Schaltkreise anwenden kannst.

Übungen mit Lösungen

Nutze diese Formelsammlung, wenn du Probleme mit Physikaufgaben hast.

Aufgabe #1: Spannung am Leiter

Welche Spannung musst du an einen Leiter anlegen, damit durch diesen Leiter ein Strom von $0.3\, \text{A}$ fließt? (Widerstand des Leiters beträgt $200\,\Omega$).

Lösung zur Aufgabe #1

Der Widerstand $ R $ des Leiters beträgt: $R = 200 \, \Omega$. Der gewünschte Strom $I$ durch den Leiter ist: $ I = 0.3 \, \text{A} $. Um die Spannung $U$ herauszufinden, die zwischen den Enden des Leiters angelegt werden muss, benutze die URI-Formel: 1 \[ U ~=~ R \, I \]

Du musst hier nichts umstellen. Setze direkt den Widerstand $R$ und den Strom $I$ ein, um $U$ zu berechnen: 1.1 \[ U ~=~ 200 \, \Omega ~\cdot~ 0.3 \, \text{A} ~=~ 60 \, \text{V} \] Hierbei haben wir ausgenutzt, dass die Einheit $ \Omega \cdot \text{A} $ (Ohmampere) der Einheit $\text{V}$ (Volt) entspricht.

Zwischen den beiden Leiterenden musst du also $60 \, \text{V}$ anlegen, damit $0.3 \, \text{A}$ durch den Leiter fließen.

Aufgabe #2: Strom durch den Toaster

Im Datenblatt des Toasters steht, dass er einen Ohmschen Widerstand von $50 \, \Omega$ hat. Welcher Strom fließt durch den Toaster, wenn du ihn an die Steckdose anschließt? (Netzspannung an der Steckdose ist $230 \, \text{V}$).

Lösung zur Aufgabe #2

Dein Toaster hat einen Ohmschen Widerstand: $ R = 50 \, \Omega$. Du schließt ihn an die Netzspannung an, sodass die Spannung $ U = 230 \, \text{V}$ beträgt. Um den elektrischen Strom $I$ herauszufinden, der durch den Toaster fließt, musst du die URI-Formel nach dem Strom $I$ umstellen: 2 \[ I ~=~ \frac{U}{R} \]

Setze den gegebenen Widerstand $R$ und die Spannung $U$ ein: 2.1 \[ I ~=~ \frac{ 230 \, \text{V} }{ 50 \, \Omega } ~=~ 4.6 \, \text{A} \] Hierbei haben wir ausgenutzt, dass die Einheit $\frac{ \text{V} }{ \Omega }$ (Volt pro Ohm) der Einheit $\text{A}$ (Ampere) entspricht.

Durch den Toaster fließen also $4.6 \, \text{A}$.

Aufgabe #3: Widerstand eines Lämpchens

Eine Taschenlampe wird mit einer $1.5\,\text{V}$ AA-Batterie betrieben. Sobald die Taschenlampe eingeschaltet wird, fließt ein Strom von $0.006\, \text{A}$ (6 Milliampere) durch das Lämpchen. Wie groß ist der Widerstand des Lämpchens?

Lösung zur Aufgabe #3

An dem Lämpchen der Taschenlampe liegt eine Spannung von $U = 1.5 \, \text{V} $ an und es fließt ein Strom von $ I = 0.006\, \text{A} $. Um den Widerstand $R$ des Lämpchens herauszufinden, musst du die URI-Formel nach dem Widerstand umstellen: 3 \[ R ~=~ \frac{U}{I} \]

Setze die gegebene Spannung $U$ und den Strom $I$ ein: 3.1 \[ R ~=~ \frac{ 1.5 \, \text{V} }{ 0.006\, \text{A} } ~=~ 250 \, \Omega \] Hierbei haben wir ausgenutzt, dass die Einheit $\frac{ \text{V} }{ \text{A} }$ (Volt durch Ampere) der Einheit $\Omega$ (Ohm) entspricht.

Das Lämpchen hat also einen Widerstand von $ 250 \, \Omega $.

Aufgabe #4: Widerstand eines Geräts

Du möchtest ein selbstgebautes elektronisches Gerät an die Steckdose anschließen ($230 \, \text{V}$ Netzspannung). Dein Gerät kann aber maximal einen Strom von $0.1\, \text{A}$ verkraften. Du willst diesen Strom also auf gar keinen Fall überschreiten, damit das Gerät nicht zerstört wird. Wie groß musst du dafür der Widerstand des Geräts mindestens wählen?

Lösung zur Aufgabe #4

Die Spannung $ U = 230 \, \text{V}$ ist gegeben. Auch der Strom $I$ ist gegeben. Dieser darf maximal $ I = 0.1 \, \text{A} $ sein. Um den Mindestwiderstand $R$ zu bestimmen, den das Gerät haben muss, um nicht kaputt zu gehen, benutze die URI-Formel. Stelle sie nach dem Widerstand $R$ um: 4 \[ R ~=~ \frac{U}{I} \]

Setze die gegebene Spannung $U$ und den maximalen Strom $I$ ein: 4.1 \[ R ~=~ \frac{ 230 \, \text{V} }{ 0.1\, \text{A} } ~=~ 2300 \, \Omega \] Hierbei haben wir ausgenutzt, dass die Einheit $\frac{ \text{V} }{ \text{A} }$ (Volt durch Ampere) der Einheit $\Omega$ (Ohm) entspricht.

Dein selbstgebautes Gerät muss also mindestens einen Widerstand von $ 2300 \, \Omega $ haben, um nicht durch einen zu hohen Strom zerstört zu werden.

Aufgabe #5: Strom durch den Menschen

Ab ungefähr $0.025\, \text{A}$ (25 Milliampere) wird der Strom für den Menschen gefährlich. Du stehst auf einer isolierenden Matte und fasst ausversehen mit beiden Händen an die Steckdose. Welcher Strom fließt über deine Arme, wenn der Widerstand der beiden Arme ungefähr $1000\, \Omega$ ist?

Lösung zur Aufgabe #5

Du hast die beiden Pole der Netzspannung berührt. Die Spannung zwischen deinen Händen beträgt also $ U = 230 \, \text{V} $. Da du auf einer isolierten Matte stehst, fließt der Strom $I$ nicht durch deinen Körper in die Erde, sondern von der einen Hand über die beiden Arme zu der anderen Hand, die den entgegengesetzten Pol der Steckdose berührt. Insgesamt beträgt der Widerstand deines Arms ungefähr $ 500 \, \Omega$. Da der Strom durch beide Arme fließt, ist der gesamte Widerstand der beiden Arme $ 1000 \, \Omega$ (also das Doppelte).

Um den Strom herauszufinden, der durch die beiden Arme fließt, benutze die URI-Formel. Stelle sich nach dem Strom $I$ um: 5 \[ I ~=~ \frac{U}{R} \]

Setze die gegebene Netzspannung $U$ und den Widerstand $R$ der Arme ein: 5.1 \[ I ~=~ \frac{ 230 \, \text{V} }{ 1000 \, \Omega } ~=~ 0.23 \, \text{A} \] Hierbei haben wir ausgenutzt, dass die Einheit $\frac{ \text{V} }{ \Omega }$ (Volt pro Ohm) der Einheit $\text{A}$ (Ampere) entspricht.

Durch deine beiden Arme fließt also ein Strom von $0.23 \, \text{A}$. Das sind $0.23 \cdot 1000 \, \mathrm{mA} = 230\, \mathrm{mA} $ (Milliampere). Der für den Menschen gefährliche Strom fängt schon bei 25 Milliampere an.

Aufgabe #6: Strom und spezifischer Widerstand eines zylinderförmigen Leiters

Ein zylindrischer Leiter mit Radius $r$, Länge $L$ und der elektrischen Leitfähigkeit $\sigma$ besitzt zwischen den Enden eine konstante Potentialdifferenz $U$, weshalb das elektrische Feld im Inneren des Leiters konstant ist.

Wie groß ist der Strom $I$ in diesem Leiterabschnitt?
Finde heraus, aus welchem Material der Leiter besteht. Dazu misst Du an dem Leiterstück der Länge $L = 1 \, \text{m} $ eine Spannung $U = 0.055 \, \text{V} $ und eine Stromstärke $I = 10.28 \, \text{A} $. Den Radius $ r = 1 \, \text{mm} $ hast Du auch bestimmt. Um welches Material handelt es sich?

Materialien und ihre spezifischen Widerstände
Material	Spez. Widerstand `$ \rho = 1/\sigma $`
Silizium	2.5·10³Ωm
Cuprium (Kupfer)	1.68·10^-8Ωm
Reines Wasser	2.5·10⁵Ωm

Lösung zur Aufgabe #6.1

Da das elektrische Feld in diesem Leiter konstant ist, ist auch die Stromdichte konstant: 1 $$ \class{red}{j} ~=~ \sigma \, \class{purple}{E} ~=~ \text{const.}$$

Strom ist gegeben durch: $ \class{red}{I} = \class{red}{j} \, A $. Setze Stromdichte ein: 2 $$\class{red}{I} ~=~ \sigma \, \class{purple}{E} \, A$$

Das elektrische Feld $\class{purple}{E}$ lässt sich schreiben als Potential $U$ pro Länge $L$. Die Querschnittsfläche, durch die der Strom fließt, entspricht der Fläche des Kreises: $A = \pi \, r^2 $. Wenn man $\class{purple}{E}$ und $A$ einsetzt, ergibt sich: 3 $$\class{red}{I} ~=~ \frac{\pi \, \sigma \, r^2}{L} \, U$$

Der gesamte Strom $\class{red}{I}$, der von einem Ende zum anderen Ende des Leiters fließt, ist also proportional zur zwischen den Enden herrschenden Potentialdifferenz $U$. Der Proportionalitätsfaktor zwischen Strom und Spannung eines zylinderförmigen Leiters ist $\frac{\pi\,\sigma\,r^2}{L}$ und wird als elektrischer Leitwert $G$ bezeichnet. Sein Kehrwert $\frac{1}{G}$ wird als Widerstand $R$ bezeichnet und hängt von der Geometrie der Anordnung (Fläche, Länge etc.) und der Leitfähigkeit des Mediums zwischen den Enden (Elektroden) ab.

Lösung zur Aufgabe #6.2

Um herauszufinden, aus welchem Material der zylinderförmige Leiter besteht, nutzen wir die hergeleitete Gleichung für den Strom aus dem Aufgabenteil #6.1. Forme die Gleichung 3 nach der Leitfähigkeit $\sigma$ um: $$\sigma ~=~ \frac{I \, L}{\pi \, r^2 \, U}$$

In der in der Aufgabenstellung aufgeführten Tabelle sind spezifische Widerstände $\rho $ angegeben. Du kannst den Kehrwert der spezifischen Leitfähigkeit $ 1/\sigma = \rho $ bilden, um den spezifischen Widerstand zu erhalten: $$\rho ~=~ \frac{\pi \, r^2 \, U}{I \, L}$$

Setze alle gegebenen Werte ein und Du bekommst einen konkreten Wert für den spezifischen Widerstand: $$\begin{align}\rho ~&=~ \frac{ \pi \cdot 0.001\,\mathrm{m}^2 \cdot 0.055\,\mathrm{V} }{ 10.28\,\mathrm{A} \cdot 1\,\mathrm{m}} \\\\ ~&=~ 1.68 \cdot 10^{-8}\,\frac{\mathrm{Vm}}{\mathrm A}\end{align}$$

Laut der Tabelle handelt es sich also um einen Leiter namens Cuprium (umgangssprachlich: Kupfer), mit dem spezifischen Widerstand: $ \rho = 1.68 \cdot 10^{-8} \, \Omega \mathrm{m} $.

Es handelt sich um einen Leiter namens Cuprium (umgangssprachlich: Kupfer), mit dem spezifischen Widerstand: $ \rho = 1.68 \cdot 10^{-8} \, \Omega \mathrm{m} $.

Aufgabe #7: Amplitude und Geschwindigkeit des NaCl im zeitabhängigen E-Feld

Eine Natriumchloridlösung mit einer Ladungsträgerdichte von $ n = 10^{25} \, \text{1}/\text{m} $ befindet sich in einem elektrischen zeitabhängigen Feld mit der Amplitude $ \class{purple}{E_0} = 4000 \, \text{V}/\text{m} $ und der Frequenz $ f = 40 \, \text{Hz} $. Der spezifische Widerstand der NaCl-Lösung ist $ \rho = 1 \, \Omega \text{m}$.

Wie groß ist die maximale Geschwindigkeit $v_0$ der Auslenkung?
Wie groß ist die maximale Auslenkung $a_0$ zwischen Na und Cl?

Tipp: Benutze das Ohm-Gesetz in differentieller Form: $$ j ~=~ \sigma \, \class{purple}{E} $$ Und den Zusammenhang zwischen der Stromdichte $j$ und der Geschwindigkeit $v$.

Lösung zur Aufgabe #7.1

Um die Geschwindigkeit, mit der die Na und Cl-Ionen ausgelenkt werden, herauszufinden, muss der Zusammenhang zwischen der Geschwindigkeit und dem elektrischen Wechselfeld hergestellt werden. Dazu wird das Ohm-Gesetz in differentieller Form benutzt, der die elektrische Stromdichte $j$ und das elektrische Feld $\class{purple}{E}$ über die spezifische Konduktivität $\sigma$ verknüpft: 1 \[ j = \sigma \, \class{purple}{E} \]

Nun wird die Stromdichte $j$ mithilfe der Geschwindigkeit $v$ und der Ladungsdichte $ n \, e $ ausgedrückt und die Konduktivität $\sigma$ ist der reziproke spezifische Widerstand $ \rho $: 2 \[ n\,e\,v ~=~ \frac{1}{\rho} \, \class{purple}{E} \]

Da es sich um ein elektrisches Wechselfeld handelt, ist $\class{purple}{E}$ nicht konstant, sondern zeitabhängig und periodisch mit der Kreisfrequenz $\omega$: 3 \[ n\,e\,v ~=~ \frac{1}{\rho} \, \class{purple}{E_0} \, \cos(\omega \, t) \] Hierbei ist es egal, ob das Wechselfeld mittels Cosinus oder Sinus beschrieben wird.

Nun kann 3 nach der Geschwindigkeit umgestellt werden: 4 \[ v(t) ~=~ \frac{\class{purple}{E_0}}{\rho \, n \, e} \, \cos(\omega \, t) \]

Wie an 4 zu sehen ist, oszilliert die Geschwindigkeit. Die maximale Geschwindigkeit $v_0$ ist die Amplitude der Oszillation, also der maximale Wert von 4. Und das ist genau der Wert, wenn der Cosinus maximal ist, sprich $ \cos(\omega t) = 1 $: 5 \[ v_0 = \frac{\class{purple}{E_0}}{\rho \, n \, e} \]

Einsetzen der konkreten Werte ergibt: 6 \[ v_0 = 2.5 \, \frac{\text{mm}}{\text s} \]

Lösung zur Aufgabe #7.2

Um die maximale Auslenkung zwischen der Na- und Cl-Ionen zu bestimmen, muss die in der Teilaufgabe #7.1 bestimmte Geschwindigkeitsfunktion 4 integriert werden: 7 \[ a(t) = \int v(t) \text{d}t \]

Einsetzen von 4 in 7 und Herausziehen des zeitunabhängigen Faktors $v_0$: 8 \[ a(t) = \frac{\class{purple}{E_0}}{\rho \, n \, e} \, \int \cos(\omega \, t) \text{d}t \]

Die Integration ergibt also: 9 \[ a(t) = \frac{\class{purple}{E_0}}{\rho \, n \, e} \, \frac{1}{\omega} \, \sin(\omega \, t) \]

Die Amplitude, also die maximale Auslenkung ist, wenn der Sinus Eins ist: 10 \[ a_0 = \frac{\class{purple}{E_0}}{\rho \, n \, e} \, \frac{1}{\omega} \]

Bleibt nur noch die Kreisfrequenz $ \omega $ mit der Frequenz $f$ zu ersetzen: 11 \[ a_0 = \frac{\class{purple}{E_0}}{\rho \, n \, e} \, \frac{1}{2\pi \, f} \]

Einsetzen der konkreten Werte ergibt: $ a_0 = 10 \, \mu\text{m} $.

Aufgabe #8: Widerstand eines Leiters mit einem variablen Querschnitt

An einem leitenden, $1 \, \text{m}$ langen Draht liegt eine Spannung von $12 \, \text{V} $ an. Der Querschnitt des Drahts ist jedoch nicht über die ganze Länge gleich, sondern nimmt von einem Ende zum anderen Ende ab. Der Durchmesser des größten Querschnitts ist $d_1 = 2 \, \text{mm} $ und der Durchmesser des kleinsten Querschnitts ist $d_2 = 1 \, \text{mm} $. Der spezifische Widerstand des Drahts ist $ \rho = 8.7 \cdot 10^{-8} \, \Omega\text{m} $.

Wie groß ist der Gesamtwiderstand $R$ des Drahts?
Wie groß ist die Gesamtleistung $P$ des Drahts?

Tipps: Teilaufgabe #8.1: Benutze den Zusammenhang zwischen dem Widerstand $R$ und dem spezifischen Widerstand $\rho$: $$ R ~=~ \rho \, \frac{L}{A(x)} $$

Hierbei ist die $A(x)$ die variable Querschnittsfläche des Drahts, je nach Abstand $x$. Betrachte dann ein infinitesimales Längenelement des Drahts in der obigen Gleichung. Finde $A(x)$ heraus.

Teilaufgabe #8.2:

Berechne aus dem in der Teilaufgabe #8.1 gefundenen Widerstand den Strom und dann die elektrische Gesamtleistung, die am Draht umgesetzt wird.

Lösung zur Aufgabe #8.1

Der elektrische Widerstand $R$ hängt mit dem (gegebenen) spezifischen Widerstand $\rho$ über den Geometriefaktor $L/A$ zusammen: 1 \[ R = \rho \, \frac{L}{A} \]

Hierbei ist $L$ die Länge des Drahts und $A$ seine Querschnittsfläche. Nun, der Querschnitt ist aber nicht konstant, sondern davon abhängig, welche Stelle des Leiters betrachtet wird. Dazu wird die x-Achse entlang des Drahts gelegt. Dann ist der Querschnitt abhängig von $x$ und damit auch $R(x)$: 2 \[ R(x) = \rho \, \frac{L}{A(x)} \]

Gesucht ist aber nicht der Widerstand an einer bestimmten Stelle $x$, sondern der Gesamtwiderstand $R$ des Drahts. Dazu wird ein infinitesimales Drahtstück $ \text{d}x $ betrachtet, der den Widerstand $ \text{d}R $ zum Gesamtwiderstand beiträgt: 3 \[ \text{d}R = \rho \, \frac{ \text{d}x }{A(x)} \]

Das Ziel ist es nun die Funktion $A(x)$ zu bestimmen, weil sie noch unbekannt ist. Die Querschnittsfläche ist die Fläche eines Kreises, jedoch mit einem variablen Radius $r(x)$: 4 \[ A(x) = \pi \, r(x)^2 \]

Gegeben ist aber nicht der Radius, sondern der Durchmesser. Deshalb wird 4 mit der Durchmesser-Funktion umgeschrieben: 5 \[ A(x) = \frac{\pi}{4} \, d(x)^2 \]

Der Durchmesser muss eine lineare Funktion sein, denn der Drahtdurchmesser nimmt gleichmäßig ab. Bei $d(0)$ ist der Durchmesser $d_1$ und $d(L)$ ist das Ende des Drahts mit dem Durchmesser $d_2$. Zwischen diesen Punkten ist die Durchmesser-Funktion eine Gerade! Sie hat die negative Steigung $ (d_1 - d_2) / L $: 6 \[ d(x) = d_1 - \frac{d_1 - d_2}{L} \, x \] \[ d(x) = d_1 + \frac{d_2 - d_1}{L} \, x \]

Damit ist $d(x)$ bestimmt worden und kann jetzt in 5 eingesetzt werden: 7 \[ A(x) = \frac{\pi}{4} \, \left( d_1 + \frac{d_2 - d_1}{L} \, x \right)^2 \]

Mit der bestimmten Querschnittsflächenfunktion 7 ist die Gleichung 3 bereit zum Integrieren: 8 \[ R = \rho \, \int_{0}^{L} \frac{1}{A(x)} \ \text{d}x \] 9 \[ R = \frac{4\rho}{\pi} \, \int_{0}^{L} \left( d_1 + \frac{d_2 - d_1}{L} \, x \right)^{-2} \ \text{d}x \]

Um die Gleichung 9 etwas übersichtlicher zu halten, wird $ a:= (d_2 - d_1) / L $ gesetzt: 10 \[ R = \frac{4\rho}{\pi} \, \int_{0}^{L} \left( d_1 + a \, x \right)^{-2} \, \text{d}x \]

Die Integration ergibt: 11 \[ R = \frac{4\rho}{\pi} \, \left[ -\frac{1}{a} \, \left( d_1 + a \, x \right)^{-1} \right]^{L}_{0} \]

Einsetzen der Integrationsgrenzen ergibt: 12 \[ R = -\frac{4\rho}{\pi \, a} \, \left( \frac{1}{d_1 + a \, L} - \frac{1}{d_1} \right) \] \[ R = \frac{4\rho}{\pi \, a} \, \left( \frac{1}{d_1} - \frac{1}{d_1 + a \, L} \right) \]

Die Brüche in der Klammer auf den gleichen Nenner bringen: 13 \[ R = \frac{4\rho}{\pi \, a} \, \left( \frac{d_1 + a \, L}{d_1 (d_1 + a \, L)} - \frac{d_1}{d_1 (d_1 + a \, L)} \right) \] \[ R = \frac{4\rho}{\pi \, a} \, \left( \frac{a \, L}{d_1 (d_1 + a \, L)} \right) \] \[ R = \frac{4\rho}{\pi} \, \frac{L}{d_1^2 + d_1 \, a \, L} \] \[ R = \frac{4\rho \, L}{\pi} \, \left( d_1^2 + d_1 \, \frac{d_2 - d_1}{L} \, L \right)^{-1} \] \[ R = \frac{4\rho \, L}{\pi} \, \left( d_1 \, d_2 \right)^{-1} \] 14 \[ R = \frac{4\rho \, L}{\pi} \, \frac{1}{d_1 \, d_2} \]

Einsetzen konkreter Werte ergibt: $ R = 0.55 \, \Omega $.

Lösung zur Aufgabe #8.2

Mithilfe des berechneten Gesamtwiderstands 15 kann die am Draht umgesetzte Gesamtleistung berechnet werden: $$ P ~=~ \frac{U^2}{R} $$

Einsetzen konkreter Werte ergibt: $P = 261 \, \text{W}$.