Ist die Funktion x² differenzierbar?
Überprüfe, ob die folgende Funktion \(f\) auf einem Intervall \( D ~\subseteq~ \mathbb{R} \) differenzierbar ist:
$$ f: D ~\rightarrow~ \mathbb{R} \\ ~~~~~~~x ~\mapsto~ x^2 $$
Für \( t ~\in~ \mathbb{R} \) lautet die Definition der Ableitung:
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\[ f'(x) ~=~ \lim_{t\rightarrow0} \, \frac{f(x+t) ~-~ f(x)}{t} \]
Setze die gegebene Funktion in Multipliziere die Klammer aus:
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\[ f'(x) ~=~ \lim_{t\rightarrow0} \, \frac{x^2 ~+~ 2x\,t ~+~ t^2 ~-~ x^2}{t} \]
Das \( x^2 \) hebt sich weg. Klammere ein \( t \) aus:
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\[ f'(x) ~=~ \lim_{t \rightarrow 0} \, \frac{t\, (2x ~+~ t)}{t} \]
Ein \( t \) kannst Du kürzen. Und für \( t \rightarrow 0 \) (setze \(t=0\)) findest Du den Grenzwert heraus und damit die Ableitung der Funktion:
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\[ f'(x) ~=~ 2x \]
Mit Lösung
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ein. An der Stelle \( x \) ist die Funktion dabei \( f(x) = x^2 \) und an der Stelle \( x + t \) ist sie \( f(x+t) = (x+t)^2 \):
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\[ f'(x) ~=~ \lim_{t\rightarrow0} \, \frac{(x+t)^2 ~-~ x^2}{t} \]
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hast Du gezeigt, dass der Grenzwert existiert. Damit ist die Funktion \( f(x) = x^2 \) differenzierbar!