Funktion (Abbildung): das wichtigste Konzept der Mathematik

Eine Funktion braucht den Begriff der Menge. Eine Menge \(\mathbb{X}\) ist eine Sammlung von wohlunterscheidbaren Elementen. Du kannst dir eine Menge wie einen Sack voller verschiedenster Spielzeuge (Elemente) vorstellen. In der Mathematik sind es meistens die Zahlen, die in diesem Sack drin sind. Genau solche Säcke mit Zahlen werden für die Funktionen gebraucht. Und diese Zahlen sind wohlverschieden, das heißt es dürfen in der Menge keine gleichen Zahlen vorkommen.

Die Elemente der Menge \(\mathbb{X}\) werden in geschweiften Klammern, mit einem Komma getrennt, aufgeschrieben:

Die Menge \(\mathbb{X}\) besteht aus vier Elementen. Diese müssen nicht sortiert aufgelistet sein. Außerdem kommt in der Menge, so wie es sein muss, kein Element (also keine Zahl) doppelt vor.

Eine andere Menge \(\mathbb{Y}\) könnte beispielsweise so aussehen:

Es gibt auch eine leere Menge \(U\), die keine Elemente besitzt:

Oder es kann auch eine unendliche Menge \(N\) geben, die unendlich viele Elemente besitzt:

Du kannst dann beispielsweise eine Variable \(y\) einführen, die als Platzhalter für eines der Elemente der Menge \(\mathbb{X}\) steht. Mathematisch notiert, bedeutet \( y \in \mathbb{X}\), dass \(y\) für irgendein Element aus \(\mathbb{X}\) steht. Man spricht "\(y\) ist ein Element von \(\mathbb{X}\)".

Schauen wir uns die folgende Menge an:

Was bedeutet \( y \in \mathbb{X}\)? Das bedeutet, dass die Variable \(y\) folgende Werte annehmen kann: \(y = 1\), \(y = 5\), \(y = 3\) oder \(y = 6\). Du darfst natürlich die Variable nennen wie du willst: \(y\) oder \(x\) oder gar \(\psi\) ("Psi"). Es ist nur ein Platzhalter für die Elemente der Menge.

Lass uns nun eine Funktion \(f\) definieren. Dazu brauchen wir zwei Mengen \(\mathbb{X}\) und \(\mathbb{Y}\). Welche Mengen es konkret sind, hängt von der Funktion ab. Da wir aber eine Funktion allgemein definieren möchten, legen wir die Mengen nicht konkret fest. Für die Definition ist es auch unwichtig, was in den Mengen drin ist. Dort befinden sich irgendwelche Zahlen, aber welche es sind, ist egal.

Eine Funktion \(f\) ist dadurch definiert, dass sie jedem Element einer Menge irgendein Element der anderen Menge zuweist. Die beiden Mengen sind also nicht gleichberechtigt. Wir müssen eine Menge auswählen, bei der wir komplett alle Elemente zuweisen müssen. Bei der anderen Mengen können wir einige ihrer Elemente auch unberührt lassen.

• Die Menge \(\mathbb{X}\), bei der wir alle Elemente zuweisen müssen, bezeichnen wir als Definitionsmenge.

• Die andere Menge \(\mathbb{Y}\), bei der diese Bedingung nicht erfüllt sein muss, bezeichnen wir als Zielmenge.

Die Funktion \(f\), ihre Definitionsmenge \(\mathbb{X}\) sowie ihre Zielmenge \(\mathbb{Y}\) wird folgendermaßen notiert:

Nun müssen wir konkretet jedem Element \(x \in \mathbb{X}\) ein Element \(y \in \mathbb{Y}\) zuordnen. Dann haben wir eine konkrete Funktion definiert. Die Zuweisung wird folgendermaßen notiert:

Das bedeutet: Nimm das Element \(x\) aus der Definitionsmenge \(\mathbb{X}\) und weise diesem Element das Element \(y\) aus der Zielmenge zu. Welches Element \(y\) es genau ist, hängt von der konkreten Funktion \(f\) ab. Das wird mit der Notation \(f(x)\) angedeutet. Hierbei wird \(x\) als Funktionsargument bezeichnet und \(f(x)\) als Funktionswert.

Fassen wir zusammen: Definitionsmenge \(\mathbb{X}\) und die Zielmenge \( \mathbb{Y} \) bilden zusammen mit der dazugehörigen Funktionsvorschrift \( f(x) = y\) eine Funktion \(f: ~\mathbb{X} ~\rightarrow~ \mathbb{Y} \).

Da wir nicht jedem \(y\)-Wert (Element der Zielmenge \(\mathbb{Y}\)) ein \(x\)-Wert (Element der Definitionsmenge \(\mathbb{X}\)) zuweisen müssen, bleiben einige Elemente \(y\) unberührt. Alle Elemente \(y\), denen ein \(x\)-Element zugeordnet wurde, bilden zusammen eine Menge, die wir als Bildmenge \(\mathbb{im}(f)\) bezeichnen. Das '\(\mathbb{im}\)' steht für das englische Wort 'image', was übersetzt 'Bild' heißt. Diese Menge ist eine Teilmenge von \(\mathbb{Y}\): \(\mathbb{im}(f) \subseteq \mathbb{Y}\).

Die Bildmenge \(\mathbb{im}(f)\) der Funktion \(f\) ist eine Teilmenge von \(\mathbb{Y}\), die alle \(y\)-Elemente aus \(\mathbb{Y}\) enthält, denen ein \(x\)-Element zugewiesen wurde.

Die Bildmenge, also die Menge aller \(y\)-Elemente, denen ein \(x\)-Element zugewiesen wurde, zusammen mit den dazugehörigen \(x\)-Elementen, bildet einen Graph. Der Graph einer Funktion \(f\) ist eine Menge. Bezeichnen wir sie mit \(\mathbb{G}(f)\). In dieser Menge \(\mathbb{G}(f)\) sind jedoch nicht direkt Zahlen \(x\), \(y\) drin, sondern Tupeln \((x,y)\) von Zahlen. Mit der Tupelschreibweise deuten wir an, dass die im Tupel zusammengefasste \(x\)- und \(y\)-Elemente, zusammengehören. Mathematisch lässt sich die Graph-Menge folgendermaßen aufschreiben:

Hierbei ist \(\mathbb{X} \times \mathbb{Y}\) ein sogenanntes kartesisches Produkt zweier Mengen \(\mathbb{X}\) und \(\mathbb{Y}\). \(\mathbb{X} \times \mathbb{Y}\) ist eine Menge, in der alle Tupeln \((x,y)\) drin sind, ohne, wie beim Graph, die Eigenschaft \(y = f(x)\) erfüllen zu müssen:

Der Graph \(\mathbb{G}(f)\) einer Funktion \(f\) kann visualisiert werden, indem auf der einen Achse die \(x\)-Elemente aufgetragen werden (wir nennen sie \(x\)-Achse). Und auf der anderen Achse, die senkrecht auf der \(x\)-Achse steht, alle \(y\)-Elemente (wir nennen sie \(y\)-Achse) aufgetragen werden, denen ein \(x\)-Element zugeordnet wurde.

Betrachte die Graphmenge aus dem Beispiel (Gleichung 15). Ziehst du nun eine horizontale Linie durch einen \(y\)-Punkt und eine senkrechte Linie durch den dazugehörigen \(x\)-Punkt, dann entsteht dadurch ein Schnittpunkt der beiden Linien. Dieser Schnittpunkt wird markiert. Genau so wird mit all den anderen Tupels der Graph-Menge vorgegangen. Auf diese Weise kannst du die Funktion \(f\) visualisieren:

Drei wichtige Eigenschaften einer Funktion \(f\), aus denen weitere Eigenschaften abgeleitet werden können, sind: Injektivität, Surjektivität, Bijektivität.

Eine Funktion \(f\) ist injektiv, wenn jedem \(x\)-Element aus \(\mathbb{X}\) jeweils ein unterschiedliches \(y\)-Element aus \(\mathbb{Y}\) zugewiesen wird:

Mathematisch wird eine injektive Funktion folgendermaßen definiert:

Übersetzt heißt es: \(f(x_1)\) ist ein \(y\)-Element, dem \(x_1\) aus \(\mathbb{X}\) zugewiesen wurde. Und \(f(x_2)\) ist ein \(y\)-Element, dem \(x_2\) aus \(\mathbb{X}\) zugewiesen wurde. Wenn nun die beiden \(y\)-Elemente gleich sind:\(f(x_1) = f(x_2)\), dann müssen die dazugehörigen \(x\)-Elemente ebenfalls gleich sein: \(x_1 = x_2 \). Wenn das erfüllt ist, dann ist die Funktion \(f\) injektiv.

Eine Funktion \(f\) ist surjektiv, wenn jedem Element \(y\) aus \(\mathbb{Y}\) ein \(x\)-Element aus \(\mathbb{X}\) zugewiesen wurde. Das heißt, dass die Bildmenge gleich der Zielmenge ist: \(\text{im}(f) = \mathbb{Y}\), wenn die Funktion surjektiv ist:

Wenn eine Funktion \(f\) sowohl die Eigenschaft der Surjektivität als auch die Eigenschaft der Injektivität erfüllt, dann ist die Funktion bijektiv. Bijektivität ist also nur eine Zusammenfassung der Surjektivität und Injektivität unter einem Begriff. Statt zu sagen: "Die Funktion \(f\) ist injektiv und surjektiv" sagt man: "Die Funktion \(f\) ist bijektiv". Bijektive Funktionen sind für Physiker*innen die Funktionen, die am wenigsten Probleme bereiten!