Was ist der Unterschied zwischen partieller und totaler Ableitung?
Der Unterschied zwischen einer partiellen Ableitung \(\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}\) nach \(x\) und einer totalen Ableitung \(\frac{\text{d}f(x,y)}{\text{d}x}\) nach \(x\) besteht darin, dass bei der partiellen Ableitung angenommen wird, dass \(y\) unabhängig ist von \(x\).
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Bei der partiellen Ableitung \(\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}\) wird \(y\) konstant gehalten.
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Bei der totalen Ableitung \(\frac{\text{d}f(x,y(x))}{\text{d}x}\) wird NICHT agenommen, dass \(y\) konstant ist. Die Änderung von \(x\) wirkt sich auch auf \(y\) aus.
Betrachten wir beispielsweise eine Funktion \(f(x,y) = 3x^2 ~+~ 2y \), die von \(x\) und \(y\) abhängt. Eine partielle Ableitung dieser Funktion nach \( x \) ist:
~&=~ 6x \end{align} $$
Die Ableitung von \(2y\) nach \(x\) fällt weg, weil \(y\) unabhängig ist von \(x\). Eine totale Ableitung der Funktion ist dagegen:
~&=~ 6x ~+~ 2 \frac{\text{d}y}{\text{d}x} \end{align} $$
Hierbei fällt der zweite Term im Allgemeinen nicht weg, weil \(y(x) \) eine Funktion von \( x \) sein kann. Wenn \(y\) unabhängig ist von \(x\), dann stimmt die totale Ableitung mit der partiellen Ableitung überein. Eine partielle Ableitung ist also ein Spezialfall der totalen Ableitung.