Compton-Effekt: Stoß eines Photons mit einem Elektron

Hier gehen wir davon aus, dass das Elektron in Ruhe ist. Sein Impuls ist daher Null: \( \boldsymbol{P} ~=~ 0 \). Wenn das Elektron in einem Atom gebunden ist, dann sollte es sehr schwach gebunden sein. Ein Photon mit Impuls \( \boldsymbol{p} \) wird an diesem Elektron gestreut. Um diesen Streuvorgang zu untersuchen, betrachten wir die Energieerhaltung als auch Impulserhaltung.

Gesamtimpuls vor dem Stoß:
Der Gesamtimpuls vor dem Stoß entspricht nur dem Impuls des Photons \( \boldsymbol{p} ~+~ \boldsymbol{P} ~=~ \boldsymbol{p}\), da das ruhende Elektron vor dem Stoß keinen Impuls \(\boldsymbol{P}\) hat.

Gesamtimpuls nach dem Stoß:
Nach dem Stoß hat das Photon einen unbekannten Impuls \( \boldsymbol{p}' \). Das Photon ist mit dem Elektron zusammengestoßen, weshalb das Elektron ebenfalls einen Impuls \( \boldsymbol{P}' \) bekommen haben könnte.

Die Impulserhaltung, die besagt, dass der Gesamtimpuls vor dem Stoß GLEICH dem Gesamtimpuls nach dem Stoß sein muss, liefert folgende Gleichung: 1 $$\boldsymbol{p} ~=~ \boldsymbol{p}' ~+~ \boldsymbol{P}'$$

Die Energie des Photons vor dem Stoß ist gegeben durch: 2 $$W_{\text p} ~=~ h \, f ~=~ \frac{h \, c}{\lambda}$$

Hierbei ist \( \lambda \) die Wellenlänge des Photons vor dem Stoß. Wir setzen die Wellenlänge im Experiment als bekannt voraus, weil wir sie selbst wählen.

Gesamtenergie vor dem Stoß:
Wie sieht es mit der Energie des Elektrons vor dem Stoß aus? Sie ist jedenfalls NICHT Null, was man aus dem Ruhezustand des Elektrons schließen könnte... Nach der speziellen Relativitätstheorie hat das Elektron - selbst im Ruhezustand - eine Energie; eine sogenannte Ruheenergie: 3 $$W_{\text e} ~=~ m_{e} \, c^2$$

Dabei ist \( m_{e} \) die Ruhemasse des Elektrons mit dem Wert: \( m_{e} ~=~ 9.1 ~\cdot~ 10^{-31} \, \mathrm{kg} \). Die Gesamtenergie vor dem Stoß ist damit: 4 $$W_{\text p} ~+~ W_{\text e} ~=~ \frac{h \, c}{\lambda} ~+~ m_{e} \, c^2$$

Gesamtenergie nach dem Stoß:
Nach dem Stoß hat sich die Wellenlänge \( \lambda \) des Photons möglicherweise verändert. Wir bezeichnen die neue Wellenlänge des Photons als \( \lambda' \). Eine veränderte Wellenlänge bedeutet eine veränderte Energie des Photons: 5 $$W_{\text p}' ~=~ \frac{h \, c}{\lambda'}$$

Das Elektron hat durch den Stoß seine Energie ebenfalls verändert. Neben der Ruheenergie 3, die es schon vor dem Stoß besaß, hat es möglicherweise eine zusätliche kinetische Energie bekommen, was Du daran erkennen kannst, wenn das Elektron nach dem Stoß in Bewegung ist.

Die Formel für klassische kinetische Energie \( \frac{1}{2} \, m \, v^2 \) ist hier eher ungeeignet, denn beim Compton-Effekt verwendet man üblicherweise Photonen mit sehr hoher Energie (Röntgen bzw. Gammastrahlung). Durch den Zusammenstoß von dem energiereichen Photon und dem ruhenden Elektron, kann das Elektron auf sehr hohe Geschwindigkeiten gebracht werden, sodass die Formel für klassische kinetische Energie nicht mehr zutrifft. Deshalb musst Du beim Compton-Effekt relativistisch rechnen, um brauchbare Ergebnisse zu erhalten. Das heißt: Statt der klassischen Formel benutzen wir die relativistische Gesamtenergie \(W_{\text e}'\), die bereits die Ruheenergie und die relativistische kinetische Energie des Elektrons beinhaltet: 6 $$\begin{align}W_{\text e}' &~=~ \sqrt{m_{e}^2 \, c^4 ~+~ \boldsymbol{P}'^2 \, c^2} \\\\ &~=~ \sqrt{{W_{\text e}}^2 ~+~ \boldsymbol{P}'^2 \, c^2} \end{align}$$

Damit ist die Gesamtenergie des Photons und des Elektrons nach dem Stoß die Summe von 5 und 6: 7 $$W_{\text p}' ~+~ W_{\text e}' ~=~ \frac{h \, c}{\lambda'} ~+~ \sqrt{m_{e}^2 \, c^4 ~+~ \boldsymbol{P}'^2 \, c^2}$$

Nach der Energieerhaltung muss die Gesamtenergie des Systems vor dem Stoß gleich der Gesamtenergie nach dem Stoß sein: 8 $$W_{\text p} ~+~ W_{\text e} ~=~ W_{\text p}' ~+~ W_{\text e}'$$

Die relativistische Gesamtenergie 7 des Elektrons liefert uns gleichzeitig den Zusammenhang zwischen seiner Energie und seinem Impuls \( \boldsymbol{P}' \). Auf diese Weise können wir die Impulserhaltung mit der Energieerhaltung kombinieren. Stelle dazu den Impulserhaltungssatz 1 nach \( \boldsymbol{P}' \) um: 9 $$\boldsymbol{P}' ~=~ \boldsymbol{p} ~-~ \boldsymbol{p}'$$

Da in der Gesamtenergie 7 der Impuls \(\boldsymbol{P}'^2\) vorkommt, quadrieren wir Gl. 9, um eine Beziehung für \(\boldsymbol{P}'^2\) zu erhalten (wir benutzen dazu eine binomische Formel): 10 $$\begin{align}\boldsymbol{P}'^2 & ~=~ \left( \boldsymbol{p} ~-~ \boldsymbol{p}'\right )^2 \\\\ & ~=~ \boldsymbol{p}^2 ~+~ \boldsymbol{p}'^2 ~-~ 2\boldsymbol{p}\cdot\boldsymbol{p}'\end{align}$$

Der letzte Summand enthält das Skalarprodukt zwischen \( \boldsymbol{p}\) und \(\boldsymbol{p}'\). Wir können es folgendermaßen mithilfe des Winkels \(\theta\) zwischen \( \boldsymbol{p}\) und \(\boldsymbol{p}'\) schreiben: \( \boldsymbol{p} ~\cdot~ \boldsymbol{p}' ~=~ p \, p' \, \cos(\theta) \). Dabei sind \( p ~=~ |\boldsymbol{p}| \) und \( p' ~=~ |\boldsymbol{p}| \) die Beträge der beiden Impulsvektoren. Außerdem gilt \(\boldsymbol{P}'^2 ~=~ P'^2 \). Benutzen wir das in Gl. 10: 11 $$\begin{align}{P'}^2 & ~=~ \left( \boldsymbol{p} ~-~ \boldsymbol{p}'\right )^2 \\\\ & ~=~ {p'}^2 ~+~ p^2 ~-~ 2p' \, p \, \cos(\theta)\end{align}$$

Forme die Gesamtenergie 6 des Elektrons nach \( P'^2 \) um: 12 $$P'^2 ~=~ \frac{W_{\text e}'^2 ~-~ W_{\text e}^2}{c^2}$$

Setzte den quadrierten Impuls 11 in Gl. 12 ein: 13 $$p'^2 ~+~ p^2 ~-~ 2p' \, p \, \cos(\theta) ~=~ \frac{W_{\text e}'^2 ~-~ W_{\text e}^2}{c^2}$$

Als nächstes benutzen wir die Photonenenergien 2 und 5, um die Photonenimpuls-Beträge mit \( p = \frac{W_{\text p}}{c} \) und \(p' = \frac{W_{\text p}'}{c} \) zu ersetzen: 14 $$\frac{W_{\text p}'^2}{c^2} ~+~ \frac{W_{\text p}^2}{c^2} ~-~ 2\frac{W_{\text p}'}{c} \, \frac{W_{\text p}}{c} \, \cos(\theta) ~=~ \frac{W_{\text e}'^2 ~-~ W_{\text e}^2}{c^2}$$

Multiplizieren wir als erstes Gl. 14 mit \( c^2 \), stellen dann die Energieerhaltung 8 nach \( W_{\text e}' = W_{\text p} ~+~ W_{\text e} ~-~ W_{\text p}' \) um und setze es danach ein: 15 $$\begin{align}W_{\text p}'^2 ~+~ W_{\text p}^2 ~-~ 2W_{\text p}' \, W_{\text p} \, \cos(\theta) &~=~ W_{\text e}'^2 ~-~ W_{\text e}^2 \\\\ W_{\text p}'^2 ~+~ W_{\text p}^2 ~-~ 2W_{\text p}' \, W_{\text p} \, \cos(\theta) &~=~ \left( W_{\text p} ~+~ W_{\text e} ~-~ W_{\text p}' \right)^2 ~-~ W_{\text e}^2\end{align}$$

Multipliziere die Klammer in 15 aus: 16 $$\begin{align}W_{\text p}'^2 ~+~ W_{\text p}^2 ~-~ 2W_{\text p}' \, W_{\text p} \, \cos(\theta) &~=~ W_{\text p}^2 ~+~ W_{\text e}^2 ~+~ W_{\text p}'^2 ~+~ 2W_{\text p}W_{\text e} \\ &~-~ 2W_{\text p}W_{\text p}' ~-~ 2W_{\text p}'W_{\text e} ~-~ W_{\text e}^2\end{align}$$

Einige Summanden in 16 kürzen sich weg: 17 $$- 2W_{\text p}' \, W_{\text p} \, \cos(\theta) ~=~ 2W_{\text p} \,W_{\text e} ~-~ 2W_{\text p} \,W_{\text p}' ~-~ 2W_{\text p}' \, W_{\text e}$$

Bringe \( 2W_{\text p}\,W_{\text p}' = 2W_{\text p}' \, W_{\text p} \) auf die linke Seite und klamere diesen Faktor aus: 18 $$\begin{align}2W_{\text p}' \, W_{\text p} ~-~ 2W_{\text p}' \, W_{\text p} \, \cos(\theta) &~=~ 2W_{\text p}\,W_{\text e} ~-~ 2W_{\text p}' \,W_{\text e} \\\\ 2W_{\text p}' \, W_{\text p} \, \left( 1 ~-~ \cos(\theta) \right) &~=~ 2W_{\text p} \, W_{\text e} ~-~ 2W_{\text p}' \, W_{\text e}\end{align}$$

Teile die ganze Gleichung durch \( 2W_{\text p}' \, W_{\text p} \, W_{\text e} \): 19 $$\frac{1}{W_{\text e}} \, \left( 1 ~-~ \cos(\theta) \right) ~=~ \frac{1}{W_{\text p}'} ~-~\frac{1}{W_{\text p}}$$

Dann setzen wir die Photon-Energien 2 und 5 ein. Die Energie \(W_{\text e}\) des Elektrons vor dem Stoß, die ja der Ruheenergie 3 entspricht, setzen wir ebenfalls ein: 20 $$\frac{1}{m_{e} \, c^2 } \, \left( 1 ~-~ \cos(\theta) \right) ~=~ \frac{\lambda'}{h \, c} ~-~ \frac{\lambda}{h \, c}$$

Multiplizieren wir noch die Gleichung mit dem Faktor \( h \, c \) und wir sind fertig: 21 $$\lambda' ~-~ \lambda ~=~ \frac{h}{m_{e} \, c } \, \left( 1 ~-~ \cos(\theta) \right)$$

Manchmal wird die Formel auch mit der Wellenlängendifferenz \(\Delta \lambda = \lambda' - \lambda \) und der Compton-Wellenlänge \(\lambda_{\text C} = \frac{h}{m_{e} \, c } \) geschrieben: 22 $$\Delta \lambda ~=~ \lambda_{\text C} \, \left( 1 ~-~ \cos(\theta) \right)$$

Wir haben bei der Herleitung angenommen, dass das Elektron in Ruhe ist. Wenn es am Anfang nicht in Ruhe ist, ist die Herleitung etwas komplizierter. Das Prinzip ist aber gleich wie bei Herleitung der Compton-Formel für ein ruhendes Elektron!

Beispiel-Ausgangssituation: Ein Photon mit Impuls \( \boldsymbol{p} \) fliegt in positive \(x\)-Richtung, während ein Elektron, der einen Impuls \( \boldsymbol{P} \) vor dem Stoß besitzt, sich in negative \(x\)-Richtung bewegt. Als erstes stellst du die Gleichungen für Energie und Impuls auf und gehst ähnlich vor, wie bei der obigen Herleitung: $$\hbar \, \omega ~+~ \sqrt{\boldsymbol{P}^2 \, c^2 ~+~ m^2 \, c^4} ~=~ \hbar \, \omega' ~+~ \sqrt{\boldsymbol{P}'^2 \, c^2 ~+~ m^2 \, c^4}$$ $$\boldsymbol{p} ~+~ \boldsymbol{P} ~=~ \boldsymbol{p}' ~+~ \boldsymbol{P}'$$