Anzahl der Möglichkeiten: Teilchen auf Zustände verteilen

Lösung #1

"unterscheidbar" bedeutet: Es macht einen Unterschied, ob Du die Teilchen untereinander vertauschst, nachdem Du sie auf die Zustände verteilt hast.

verschiedene Zustände bedeutet das Gleiche, wie bei den "unterscheidbaren Teilchen".

"mehrfach besetzbare Zustände" bedeutet: Du kannst mehrere oder sogar alle Teilchen auf einen einzigen Zustand setzen. Du kannst Dir das so vorstellen, als hätte jeder Zustand "unendlich viel Platz".

Setzt Du nun erstes Teilchen auf einen Zustand, so können die übrigen \( (n-1)\) Teilchen immernoch einen der \( m \) Zustände annehmen (und nicht \( (m-1) \) Zustände, wie es im Fall von "einfach besetzbaren" Zuständen wäre).

Das erste Teilchen hat \( m \) mögliche Zustände. Das zweite Teilchen auch, das dritte, das vierte und auch das \(n\)-te Teilchen. Also gibt es folgende Anzahl an Möglichkeiten: \[ m~\cdot~m~\cdot~m~\cdot~...~\cdot~m ~=~ m^n \]

Lösung #2

Der Fall ist fast wie bei Teilaufgabe (a) mit dem einzigen Unterschied, dass es keinen Unterschied mehr macht, wenn Du die Teilchen, die Du auf die Zustände verteilt hast, untereinander vertauschst. Die Teilchen sind ja identisch! \[ \frac{m^n}{n!} \]

Lösung #3

Nun hast Du nur einmalig besetzbare Zustände. Setzt Du erstes Teilchen auf einen Zustand, so bleiben nur noch \( (m-1) \) Zustände für die übrigen Teilchen. \[ \frac{m!}{(m-n)!} \]

Lösung #4

Wie bei Teilaufgabe (c), mit dem Unterschied, dass Du die ununterscheidbarkeit der Teilchen wegdividieren musst. \[ \frac{m!}{n! \, (m-n)!} = \left(\begin{array}{c}m\\ n\end{array}\right) \]