Ich heiße Alexander FufaeV und hier schreibe ich über:
Bose-Verteilung: Die Besetzungswahrscheinlichkeit von Bosonen
Wichtige Formel
$$P(W) ~=~ \frac{1}{\mathrm{e}^{ \frac{ W - \mu }{ k_{\text B} \, T}} ~-~ 1}$$
$$P(W) ~=~ \frac{1}{\mathrm{e}^{ \frac{ W - \mu }{ k_{\text B} \, T}} ~-~ 1}$$
Was bedeuten diese Formelzeichen?
Besetzungswahrscheinlichkeit
$$ P $$ Einheit $$ - $$
Die Besetzungswahrscheinlichkeit gibt an, mit welcher Wahrscheinlichkeit \(P\) ein Zustand mit Energie \( W \) bei Temperatur \( T \) von einem Boson (z.B. Photon) besetzt ist.
Energie
$$ W $$ Einheit $$ \mathrm{J} = \mathrm{Nm} = \frac{ \mathrm{kg} \, \mathrm{m^2} }{ \mathrm{s}^2 } $$
Energie eines Zustands, der von einem Boson, z.B. von einem Photon oder einem \(^4\text{He}\) besetzt werden kann.
Chemisches Potential
$$ \mu $$ Einheit $$ \mathrm{J} $$
Chemisches Potential gibt die Änderung der inneren Energie an, wenn sich die Teilchenzahl des Boson-Gases (z.B. Photonengas, Heliumgas) ändert.
Temperatur
$$ T $$ Einheit $$ \mathrm{K} $$
Absolute Temperatur des Boson-Gases (z.B. eines Photonengases).
Boltzmann-Konstante
$$ k_{\text B} $$ Einheit $$ \frac{\mathrm J}{\mathrm K} = \frac{\mathrm{kg} \,\mathrm{m}^2}{\mathrm{s}^2 \, \mathrm{K}} $$Boltzmann-Konstante ist eine Naturkonstante aus der Thermodynamik und Vielteilchenphysik hat den folgenden exakten Wert:
$$ k_{\text B} ~=~ 1.380 \, 649 ~\cdot~ 10^{-23} \, \frac{\mathrm{J}}{\mathrm{K}} $$
Die Bose-Verteilung (auch Bose-Einstein-Verteilung genannt) gibt die Besetzungswahrscheinlichkeit \( P(W) \) an, dass ein Boson in einem System die Energie \( W \) annimmt. Die Besetzungswahrscheinlichkeit hängt dabei von der Temperatur \( T \) des Systems ab.
$$ \begin{align} P(W) ~=~ \frac{1}{\mathrm{e}^{ \frac{ W - \mu }{ k_{\text B} \, T}} ~-~ 1} \end{align} $$
Der entscheidende Unterschied zur Boltzmann-Verteilung ist das Vorhandensein des Terms "-1" im Nenner, der sicherstellt, dass die Wahrscheinlichkeit für die Besetzung von Energiezuständen nicht unendlich groß wird, wenn die Temperatur gegen null geht. Dies führt zur Bose-Einstein-Kondensation, bei der Bosonen bei sehr niedrigen Temperaturen denselben energetischen Grundzustand einnehmen können.