Ich heiße Alexander FufaeV und hier schreibe ich über:
Fermi-Verteilung: Die Besetzungswahrscheinlichkeit von Fermionen
Wichtige Formel
$$P(W) ~=~ \frac{1}{\mathrm{e}^{ \frac{ W - \mu }{ k_{\text B} \, T}} ~+~ 1}$$
$$P(W) ~=~ \frac{1}{\mathrm{e}^{ \frac{ W - \mu }{ k_{\text B} \, T}} ~+~ 1}$$
$$W ~=~ k_{\text B} \, T \, \ln\left( \frac{1}{P(W)} ~-~ 1\right) ~+~ \mu$$
$$\mu ~=~ W ~-~ k_{\text B} \, T \, \ln\left( \frac{1}{P(W)} ~-~ 1\right)$$
$$T ~=~ \frac{ W ~-~ \mu }{ k_{\text B} \, \ln\left( \frac{1}{P(W)} ~-~ 1\right) }$$
Was bedeuten diese Formelzeichen?
Besetzungswahrscheinlichkeit
$$ P(W) $$ Einheit $$ - $$
Die Besetzungswahrscheinlichkeit gibt an, mit welcher Wahrscheinlichkeit \(P\) ein Zustand mit Energie \( W \) bei Temperatur \( T \) besetzt ist. Beim absoluten Nullpunkt (\(T=0 \, \text{K}\)) ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Zustand mit Energie \( W \) besetzt ist, genau 50%: \( P(W) ~=~ \frac{1}{2}\).
Energie
$$ W $$ Einheit $$ \mathrm{J} = \mathrm{Nm} = \frac{ \mathrm{kg} \, \mathrm{m^2} }{ \mathrm{s}^2 } $$
Energie eines Zustands, der von einem Fermion, z.B. von einem Elektron besetzt werden kann.
Chemisches Potential
$$ \mu $$ Einheit $$ \mathrm{J} $$
Chemisches Potential gibt die Änderung der inneren Energie an, wenn sich die Teilchenzahl des Fermi-Gases (z.B. freien Elektronengases) ändert. Bei \( T=0 \, \text{K} \) stimmt das chemische Potential mit der Fermi-Energie überein: \( \mu = W_{\text F} \).
Temperatur
$$ T $$ Einheit $$ \mathrm{K} $$
Absolute Temperatur des Fermi-Gases, z.B. eines freien Elektronengases in einem Metall.
Boltzmann-Konstante
$$ k_{\text B} $$ Einheit $$ \frac{\mathrm J}{\mathrm K} = \frac{\mathrm{kg} \,\mathrm{m}^2}{\mathrm{s}^2 \, \mathrm{K}} $$Boltzmann-Konstante ist eine Naturkonstante aus der Thermodynamik und Vielteilchenphysik hat den folgenden exakten Wert:
$$ k_{\text B} ~=~ 1.380 \, 649 ~\cdot~ 10^{-23} \, \frac{\mathrm{J}}{\mathrm{K}} $$
Die Fermi-Verteilung (auch Fermi-Dirac-Verteilung genannt) ist besonders wichtig bei der Beschreibung von Elektronen in Festkörpern, insbesondere in Metallen.
Die Fermi-Verteilung gibt die Besetzungswahrscheinlichkeit \( P(W) \) an, dass ein Fermion in einem System die Energie \( W \) annimmt. Die Besetzungswahrscheinlichkeit hängt dabei von der Temperatur \( T \) des Systems ab.
$$ \begin{align} P(W) ~=~ \frac{1}{\mathrm{e}^{ \frac{ W - \mu }{ k_{\text B} \, T}} ~+~ 1} \end{align} $$
Im Gegensatz zur Bose-Verteilung enthält die Fermi-Verteilung einen positiven Term im Nenner, der sicherstellt, dass die Wahrscheinlichkeit der Besetzung eines Zustands nicht gegen null geht, wenn die Temperatur gegen null geht. Dies führt dazu, dass Fermionen nach dem Pauli-Prinzip nicht denselben quantenmechanischen Zustand besetzen können.