Ich heiße Alexander FufaeV und hier erkläre ich das folgende Thema:

Zentripetalbeschleunigung / Zentripetalkraft

Inhaltsverzeichnis

Im Folgenden wollen wir die Formel für die Zentripetalbeschleunigung $ a_{\text{z}} $ (auch Radialkraft genannt) herleiten. Es geht hier um eine gleichförmige Kreisbewegung, das heißt der Betrag $ v $ der Bahngeschwindigkeit $ \boldsymbol{v} $ des Körpers ist an jedem Punkt der Kreisbahn konstant.

Herleitung der Zentripetalbeschleunigung

Betrachte einen Körper, der sich mit einem konstanten Betrag der Geschwindigkeit $ v $ auf einer Kreisbahn mit dem Radius $ r $ bewegt.

Der Geschwindigkeitsvektor $ \boldsymbol{v} $ (hier in fett dargestellt) ist ein Vektor, dessen Richtung an jedem Punkt der Kreisbahn tangential zur Kreisbahn verläuft. Der Betrag $ v $ der Geschwindigkeit ist zwar bei einer gleichförmigen Kreisbewegung konstant, ihre Richtung ändert sich jedoch, wenn der Körper kreist.

Die Änderung der Geschwindigkeit resultiert in einer Beschleunigung $ \boldsymbol{a}$ des Körpers. Die Beschleunigung ist definiert als die Ableitung der Geschwindigkeit $ \boldsymbol{v} $ nach der Zeit $ t $. Um die Herleitung anschaulich zu gestalten, betrachten wir nicht die Ableitung, sondern ihre Näherung:

$$ \begin{align} \boldsymbol{a} ~=~ \frac{\Delta\boldsymbol{v} }{\Delta t } \end{align} $$

Wenn du eine sehr kleine (unendlich kleine) Zeitspanne $ \Delta t $ betrachtest, bekommst du die den exakten Wert der Beschleunigung (genannt: Momentanbeschleunigung).

Nehmen wir an, dass der Körper sich zu einem Zeitpunkt $t_1$ am Ort $S_1$ auf der Kreisbahn befindet und dort die Bahngeschwindigkeit $\boldsymbol{v}_1$ hat. Zu einem späteren Zeitpunkt $t_2$ befindet sich der Körper am Ort $S_2$ auf der Kreisbahn. Er hat sich innerhalb der Zeit $ \Delta t $ ein Stückchen weiter bewegt und dabei die Strecke $\Delta s$ zurückgelegt.

Ein Körper zu zwei verschiedenen Zeitpunkten.

Am Ort $S_2$ hat der Körper einen anderen Geschwindigkeitsvektor $\boldsymbol{v}_2$, weil sich die Richtung der Geschwindigkeit verändert hat (der Körper bewegt sich schließlich auf einer gekrümmten Bahn). Der Betrag $v$ bleibt bei einer gleichförmigen Kreisbewegung natürlich weiterhin gleich:

$$ \begin{align} v ~=~ v_1 ~=~ v_2 \end{align} $$

Die Differenz der beiden Geschwindigkeitsvektoren gibt die Änderung der Geschwindigkeit an:

$$ \begin{align} \Delta \boldsymbol{v} ~=~ \boldsymbol{v}_2 - \boldsymbol{v}_1 \end{align} $$

Wenn wir eine sehr kleine Zeitspanne $\Delta t$ betrachten, dann wird auch die zurückgelegte Strecke $\Delta s$ klein. So klein, dass $\boldsymbol{v}_1$ und $\boldsymbol{v}_2$ näherungsweise parallel zueinander verlaufen. (Bei einer unendlich kleinen Zeitspannne sind die Geschwindigkeitsvektoren sogar nicht näherungsweise, sondern exakt parallel). Dann liegt $\Delta \boldsymbol{v}$ senkrecht sowohl zu $\boldsymbol{v}_1$ als auch zu $\boldsymbol{v}_2$ und zeigt folglich zum Kreismittelpunkt $C$ hin.

Wenn aber die Geschwindigkeitsänderung $\Delta \boldsymbol{v}$ zum Kreismittelpunkt zeigt, ist nach Gl. 1 der Beschleunigungsvektor $\boldsymbol{a}$ ebenfalls zum Kreismittelpunkt gerichtet. Um das anzudeuten, benennen wir $\boldsymbol{a}$ in $\boldsymbol{a}_{\text z}$ um. Index $\text z$ wegen Zentripetalbeschleunigung (zentripetal = "zum Kreismittelpunkt gerichtet"). So wissen wir sofort, wohin der Beschleunigungsvektor immer zeigt.

Zentripetalbeschleunigung zeigt immer zum Kreismittelpunkt.

Richtung der Zentripetalbeschleunigung

Die Zentripetalbeschleunigung $\boldsymbol{a}_{\text z}$ steht immer senkrecht zur Bahngeschwindigkeit $\boldsymbol{v}$ des Körpers.

Wir müssen noch den Betrag $a_{\text z}$ des Beschleunigungsvektors $\boldsymbol{a}_{\text z}$ herausfinden. Im Folgenden betrachten wir nur die Beträge. Die Richtung des Beschleunigungsvektors ist ja bereits bekannt.

Nun haben wir zwei rechtwinklige Dreiecke (siehe Illustration 3):

Ein kleineres Dreieck, das durch $\boldsymbol{v}_1$, $\boldsymbol{v}_2$ und $\Delta \boldsymbol{v}$ gebildet wird.
Und ein größeres Dreieck, das von den Geraden entlang des Radius $r$ und $\Delta s$ gebildet wird.

Zwei rechtwinklige Dreiecke (grün und blau). $\boldsymbol{v}_2$ wurde dafür parallelverschoben.

Bei der Bewegung von $S_1$ nach $S_2$ hat der Körper den Winkel $\Delta \varphi$ zurückgelegt. Durch eine geometrische Überlegung lässt sich zeigen, dass der eingeschlossene Winkel $\Delta \theta$ zwischen $\boldsymbol{v}_1$ und $\boldsymbol{v}_2$ gleich dem Winkel $\Delta \varphi$ ist (siehe Illustration 3).

Der Winkel zwischen $\boldsymbol{v}_1$ und der Geraden $C\,S_1$ ist (näherungsweise) 90 Grad. Dieser Winkel setzt sich zusammen aus $\Delta \theta$ und $\alpha$:

$$ \begin{align} 90^{\circ} ~=~ \Delta \theta + \alpha \end{align} $$

Die Winkelsumme in einem Dreieck ist 180 Grad. Dann ist der Winkel $\alpha$:

$$ \begin{align} \alpha ~=~ 180^{\circ} - 90^{\circ} - \Delta \varphi ~=~ 90^{\circ} - \Delta \varphi \end{align} $$

Setze Gl. 5 in Gl. 4 ein:

$$ \begin{align} 90^{\circ} ~=~ \Delta \theta + 90^{\circ} - \Delta \varphi \end{align} $$

Umstellen von Gl. 6 ergibt:

$$ \begin{align} \Delta \theta ~=~ \Delta \varphi \end{align} $$

Mit den Winkeln sind wir erledigt. Die Gleichheit der Winkel in 7 können wir jetzt ausnutzen! Im größeren Dreieck können wir die trigonometrische Beziehung für Sinus (Gegenkathete durch Hypotenuse) anwenden. Hierbei ist die Gegenkathete $\Delta s$ und die Hypotenuse der Radius $r$ der Kreisbahn:

$$ \begin{align} \sin(\Delta \varphi) ~=~ \frac{\Delta s}{r} \end{align} $$

Auf das kleinere Dreieck wenden wir ebenfalls die trigonometrische Beziehung für Sinus an. Hier ist die Gegenkathete $\Delta v$ und die Hypotenuse der Betrag $v$ der Bahngeschwindigkeit:

$$ \begin{align} \sin(\Delta \varphi) ~=~ \frac{\Delta v}{v} \end{align} $$

Setze Gl. 8 und Gl. 9 gleich, um den Winkel $\Delta \varphi$ zu eliminieren:

$$ \begin{align} \frac{\Delta s}{r} ~=~ \frac{\Delta v}{v} \end{align} $$

Dividiere beide Seiten in Gl. 10 durch $\Delta t$:

$$ \begin{align} \frac{\Delta s}{\Delta t} \, \frac{1}{r} ~=~ \frac{\Delta v}{\Delta t} \, \frac{1}{v} \end{align} $$

So bringst du die Zentripetalbeschleunigung $a_{\text z} = \Delta v / \Delta t$ ins Spiel. Und $ \Delta s / \Delta t$ (Strecke pro Zeit) ist die Bahngeschwindigkeit $v$:

$$ \begin{align} v \, \frac{1}{r} ~=~ a_{\text z} \, \frac{1}{v} \end{align} $$

Stelle nur noch Gl. 12 nach der Zentripetalbeschleunigung um:

$$ \begin{align} a_{ \text z } ~=~ \frac{{\class{blue}{v}}^2}{ r } \end{align} $$

Herleitung der Zentripetalkraft

Zentripetalkraft veranschaulicht

Um jetzt noch den Betrag der Zentripetalkraft $F_{\text z}$ zu bekommen, müssen wir die Zentripetalbeschleunigung 13 mit der Masse $m$ des Körpers multiplizieren (das zweite Newton-Axiom $F = m \, a$ sagt uns, wie Kraft mit Beschleunigung zusammenhängt):

$$ \begin{align} F_{\text z} ~=~ m \, \frac{v^2}{r} \end{align} $$

Da Masse $m$ nur eine Zahl ist (kein Vektor), können wir aus $\boldsymbol{F} = m \, \boldsymbol{a}$ folgern, dass die Zentripetalkraft $\boldsymbol{F}_{\text z}$ wie die Zentripetalbeschleunigung $\boldsymbol{a}_{\text z}$ zum Kreismittelpunkt zeigt.

Richtung der Zentripetalkraft

Die Zentripetalkraft $\boldsymbol{F}_{\text z}$ steht immer senkrecht zur Bahngeschwindigkeit $\boldsymbol{v} $.

Wir können alternativ die Zentripetalkraft 14 mithilfe der Winkelgeschwindigkeit $\omega$ ausdrücken. Dazu benutzen wir den Zusammenhang zwischen der Bahngeschwindigkeit $v$ und der Winkelgeschwindigkeit $\omega$, nämlich: $ v = \omega \, r $. Das quadrieren wir: $ v^2 = \omega^2 \, r^2 $ und setzen in Gl. 14 in die Geschwindigkeit ein:

$$ \begin{align} F_{\text z} ~=~ m \, \frac{\omega^2 \, r^2}{r} \end{align} $$

Zentripetalkraft steht senkrecht zum Winkelgeschwindigkeitsvektor.

Den Radius $r$ können wir einmal kürzen und bekommen:

$$ \begin{align} F_{\text z} ~=~ \class{brown}{m} \, {\class{red}{\omega}}^2 \, r \end{align} $$

Da der Winkelgeschwindigkeitsvektor $\boldsymbol{\omega}$ senkrecht auf der Kreisbahn steht, steht er auch senkrecht zur Zentripetalkraft $ \boldsymbol{F}_{\text z} $ (und natürlich auch zur Zentripetalbeschleunigung).