Ich heiße Alexander FufaeV und hier schreibe ich über:

RC-Schaltung: Kondensator aufladen und entladen

Wichtige Formel

Formel: Kondensator - Aufladevorgang (RC-Schaltung)

$$U_{\text C}(t) ~=~ U_0 \, \left(1 - \mathrm{e}^{-\frac{t}{\class{brown}{R}\,C}}\right)$$ $$U_{\text C}(t) ~=~ U_0 \, \left(1 - \mathrm{e}^{-\frac{t}{\class{brown}{R}\,C}}\right)$$ $$U_0 ~=~ \frac{U_{\text C}(t)}{ 1- \mathrm{e}^{-\frac{t}{\class{brown}{R}\,C}}}$$ $$C ~=~ - \frac{t}{ \ln\left( 1 - \frac{U_{\text C}(t)}{U_0} \right) \, \class{brown}{R} }$$ $$\class{brown}{R} ~=~ - \frac{t}{ \ln\left( 1 - \frac{U_{\text C}(t)}{U_0} \right) \, C }$$ $$t ~=~ - \ln\left( 1 - \frac{U_{\text C}(t)}{U_0} \right) \, \class{brown}{R} \, C$$

Formel umstellen

Was bedeuten diese Formelzeichen?

Spannung

$$ U_{\text C}(t) $$ Einheit $$ \mathrm{V} $$

Das ist die am Kondensator (zwischen den beiden Kondensatorplatten) gemessene Spannung. Beim Aufladen des Kondensators nimmt sie exponentiell mit der Zeit $t$ zu. Am Ende des Ladevorgangs erreicht sie den von der Quellspannung $ U_0 $ vorgegebenen konstanten Wert: $U_{\text C}(t) = U_0 $.

Quellspannung

$$ U_0 $$ Einheit $$ \mathrm{V} $$

Quellspannung ist an die RC-Schaltung angelegte konstante Spannung, wenn der Schaltkreis geschlossen wird.

Elektrische Kapazität

$$ C $$ Einheit $$ \mathrm{F} $$

Kapazität ist eine charakteristische Größe des Kondensators und sagt aus, wie viele Ladungen auf den Kondensator gebracht werden müssen, um den Kondensator auf die Spannung $ 1 \, \text{V} $ aufzuladen.

Elektrischer Widerstand

$$ \class{brown}{R} $$ Einheit $$ \mathrm{\Omega} = \frac{ \mathrm{kg} \, \mathrm{m}^2 }{ \mathrm{A}^2 \, \mathrm{s}^3 } $$

In Reihe mit dem Kondensator geschalteter Widerstand mit dem Wert $ R $. Dieser hat einen Einfluss darauf, wie schnell sich der Kondensator aufladen kann.

Zeit

$$ t $$ Einheit $$ \mathrm{s} $$

Nachdem die Quellspannung $U_0$ angelegt wurde, beginnt sich der Kondensator mit der Zeit aufzuladen. Je mehr $t$ verstreicht, desto mehr nähert sich die Kondensatorspannung $ U_{\text C}(t) $ der vorgegebenen Quellspannung $U_0$ an.

Visier das Bild an!

Inhaltsverzeichnis

RC-Schaltung ist eine nützliche Komponente, der du in der Elektronik oft begegnen wirst. Zum Beispiel kommen sie als sogenanntes Tiefpass-Filter zum Einsatz, mit dem du hohe Frequenzen der angelegten Wechselspannung ausfiltern kannst. 'Tiefpass' bedeutet quasi, dass tiefe Frequenzen durchgelassen und hohe Frequenzen der Wechselspannung blockiert werden. Weitere Anwendungen eines RC-Schaltkreises sind zum Beispiel:

Erzeugung einer sägezahnförmigen Spannung
Blinkeinrichtung eines Autos
Elektronischer Herzschrittmacher

Was ist eine RC-Schaltung?

Das 'R' steht für den Widerstand (auf Englisch: Resistor) und das 'C' steht für den Kondensator (auf Englisch: Capacitor). Eine RC-Schaltung ist also eine einfache Widerstand-Kondensator-Schaltung. Der Widerstand und der Kondensator sind in Reihe angeschlossen.

Der Schalter ist nach links geschaltet. Der Kondensator wird über einen Widerstand aufgeladen.

Der Schalter ist nach rechts geschaltet. Der Kondensator wird über einen Widerstand entladen.

In der Illustration 1 bzw. 2 siehst du eine solche RC-Schaltung. Ein mit einem Widerstand geschalteter Kondensator ist ohne eine angelegte Spannung natürlich nutzlos. Deshalb hat der Schaltkreis auch einen Schalter, der nach links oder nach rechts geschaltet werden kann.

Wird der Schalter nach links geschaltet, so wird an das RC-Glied eine konstante Spannung $U_0$ angelegt (Illustration 1). Es fängt ein elektrischer Strom $I(t)$ (ein Ladestrom) durch den Widerstand und Kondensator zu fließen. Der Strom nimmt mit der Zeit ab. Die Spannung $U_{\text C}(t)$ am Kondensator, die am Anfang Null war, nimmt dagegen mit der Zeit zu und zwar solange, bis der Kondensator vollständig auf den Wert $U_0$ aufgeladen ist.
Wird der Schalter nach rechts geschaltet, so wird der Kondensator über den Widerstand wieder entladen (Illustration 2). Der fließende Strom $I(t)$ (ein Entladestrom) ist in dem Moment, zu dem der Schalter gerade betätigt wurde, maximal und nimmt mit der Zeit ab, bis dieser Null wird, sobald der Kondensator vollständig entladen ist. Die Spannung $U_{\text C}(t)$ am Kondensator nimmt ebenfalls mit der Zeit ab.

Aufladevorgang: Kondensator wird geladen

Sobald der Schalter nach links geschaltet wird, wird an den Widerstand und den Kondensator (RC-Glied) sofort eine konstante Spannung $U_0$ (Quellspannung) angelegt. Das ist die Gesamtspannung, die ununterbrochen am RC-Glied anliegt. Doch, wie sieht es mit dem Strom $I$ aus, der durch das RC-Glied fließt? Und, wie sieht es mit der Spannung $ U_{\text R} $ am Widerstand und der Spannung $ U_{\text C} $ am Kondensator einzeln aus?

Differentialgleichung für den Ladestrom aufstellen

Um diese drei Größen genau zu untersuchen, benutzen wir die Maschenregel (2. Kirchoff-Regel). Nach der Maschenregel muss die Summe aller vorzeichenbehafteten Spannungen Null sein. In unserem Fall ist die Quellspannung $U_0$ die Gesamtspannung. Das heißt die Spannung $ U_{\text R} $ am Widerstand und die Spannung $ U_{\text C} $ am Kondensator bilden zusammen diese Gesamtspannung:

$$ \begin{align} U_0 ~=~ U_{\text R} ~+~ U_{\text C} \end{align} $$

Die Quellspannung $U_0$ ist uns bekannt, weil wir sie selbst einstellen. Die Spannungen $U_{\text R}$ und $U_{\text C}$ sind uns dagegen nicht bekannt. Deshalb müssen wir sie versuchen anders auszudrücken.

Nach dem Ohmschen Gesetz können wir die Spannung $ U_{\text R} $ am Widerstand $R$ mithilfe des Stroms $I$ ausdrücken, der durch den gesamten Schaltkreis fließt:

$$ \begin{align} U_0 ~=~ R\, I ~+~ U_{\text C} \end{align} $$

Für den Kondensator, der die elektrische Kapazität $C$ hat, gilt für die Ladung $Q$ auf seinen Kondensatorplatten: $Q = C \, U_{\text C} $. Wenn wir diese Formel nach $ U_{\text C} $ umstellen und in 2 einsetzen, bekommen wir:

$$ \begin{align} U_0 ~=~ R\, I ~+~ \frac{Q}{C} \end{align} $$

Gewonnen haben wir noch nicht viel, da auch $I$ und $Q$ unbekannt sind. Doch jetzt kommt der entscheidende Schritt: Wir sehen im Experiment, dass der Strom $I$ zeitabhängig ist: $I(t)$. Damit muss die Ladung $Q$ auf den Kondensatorplatten mit der Zeit zunehmen. Die Ladung muss also auch irgendwie zeitabhängig sein: $Q(t)$. Wir wissen nur noch nicht wie! Um diese Zeitabhängigkeit genau herauszufinden, müssen wir die aufgestellte Gleichung 3 in eine Differentialgleichung verwandeln. Dazu leiten wir die gesamte Gleichung nach der Zeit $t$ ab:

$$ \begin{align} \frac{\text{d}}{\text{d}t} \, U_0 &~=~ \frac{\text{d}}{\text{d}t} \, \left( R\, I(t) ~+~ \frac{Q(t)}{C} \right) \\\\
\frac{\text{d} U_0}{\text{d}t} &~=~ \frac{\text{d}}{\text{d}t} \, R\, I(t) ~+~ \frac{\text{d}}{\text{d}t} \, \frac{Q(t)}{C} \\\\
0 &~=~ R \, \frac{\text{d}}{\text{d}t} \, I(t) ~+~ \frac{1}{C} \, \frac{\text{d}}{\text{d}t} \, Q(t) \end{align} $$

Da die konstante Spannung $U_0$ zeitunabhängig ist, fällt ihre Ableitung weg. Der Widerstand $R$ ist ebenfalls konstant, deshalb dürfen wir diesen vor die Zeitableitung ziehen. Das gilt auch für die Kapazität $C$. Die Zeitableitung der Ladung $Q(t)$ ist genau die Definition des Stroms $I(t)$:

$$ \begin{align} 0 ~=~ R \,\frac{\text{d} I(t)}{\text{d}t} ~+~ \frac{1}{C}\, I(t) \end{align} $$

Lass uns noch für die etwas kompaketere Darstellung die ganze Gleichung durch $R$ teilen und die Zeitableitung auf die linke Seite bringen:

$$ \begin{align} \frac{\text{d} I(t)}{\text{d}t} ~=~ - \frac{1}{R\,C}\, I(t) \end{align} $$

Wir haben durch die Zeitableitung eine sogenannte homogene lineare Differentialgleichung 1. Ordnung für den Strom $I(t)$ erhalten. Wenn wir diese Differentialgleichung lösen, dann bekommen wir heraus, wie der Strom $I(t)$ genau von der Zeit $t$ abhängt. Wir können beispielsweise die Lösungsmethode 'Trennung der Variablen' aus der Mathematik benutzen, um diese Differentialgleichung zu lösen. Zu der Differentialgleichung brauchen wir noch eine sogenannte Anfangsbedingung, damit unsere Lösung für den Strom eindeutig wird. Der Strom $I_0$ zum Zeitpunkt $t = 0$ entsprach dem Wert, der durch unsere Quellspannung vorgegeben ist: $ I_0 ~=~ \frac{U_0}{R} $. Und das ist unsere Anfangsbedingung.

Strom beim Aufladen

Die Lösung der DGL 6 zusammen mit der dazugehörigen Anfangsbedingung, ergibt eine Formel für den Strom $I(t)$, mit $I_0 ~=~ \frac{U_0}{R}$:

$$ \begin{align} I(t) ~=~ I_0 \, \mathrm{e}^{-\frac{t}{R\,C}} \end{align} $$

Das ist der Ladestrom, der durch den Widerstand und Kondensator fließt, sobald wir den Schalter nach links schalten, also quasi die Spannung $U_0$ an das RC-Glied anlegen. Der Strom nimmt exponentiell ab. Das kannst du direkt an dem Minuszeichen in der Exponentialfunktion erkennen. Wenn du die Funktion $I(t)$ in einem Strom-Zeit-Diagramm aufzeichnest, bekommst du so ein Diagramm:

Der Ladestrom nimmt während des Aufladens mit der Zeit exponentiell ab.

Aus dem Diagramm können wir folgende Informationen über den Strom ablesen:

Zum Zeitpunkt $t = 0$ (d.h. zum Zeitpunkt des Einschaltens) hatte der Strom seinen maximalen Wert $ I_0 = \frac{U_0}{R} $. Wir können diesen maximalen Wert beeinflussen, indem wir also einen anderen Widerstand $R$ oder eine andere Spannung $U_0$ wählen.
Der Strom $I(t)$ sinkt mit der Zeit exponentiell auf Null. Sobald der Strom praktisch Null ist, erwarten wir, dass der Kondensator vollständig aufgeladen ist.

Wenn du dir die Exponentialgleichung 7 für den Strom genau anschaust, dann siehst du, dass im Exponenten der Faktor $\frac{1}{RC}$ vorkommt. Wir bezeichnen das Produkt $R\,C$ als Zeitkonstante. Sie heißt so, weil sie die Einheit der Zeit hat und, weil sie eine Konstante ist, da sowohl $R$ als auch $C$ konstant sind. Wir können uns beispielsweise die Frage stellen:

Wie groß ist der Strom, wenn die Zeit $ t = R\,C$ vergangen ist?

Setzen wir diese Zeit doch einfach mal in die Formel 7 ein:

$$ \begin{align} I(R\,C) &~=~ \frac{U_0}{R} \, \mathrm{e}^{-\frac{R\,C}{R\,C}} \\\\
&~=~ \frac{U_0}{R} \, \mathrm{e}^{-1} \\\\
&~\approx~ \frac{U_0}{R} \, 0.37 \\\\ \end{align} $$

Antwort: Nach der Zeit $ t = R\,C$ sinkt der Strom auf 37% von dem maximalen Wert $\frac{U_0}{R}$.

Mit dieser Zeitkonstanten $R\,C$ können wir praktisch die Steigung der Exponentialfunktion an unsere Bedürfnisse anpassen.

Wenn du möchtest, dass der Kondensator zum Aufladen länger braucht, dann musst du den Widerstand $R$ bzw. Kapazität $C$ möglichst GROß wählen, damit die Zeitkonstante $R\,C$ ebenfalls möglichst groß wird. Durch eine größere Zeitkonstante wird die Exponentialfunktion flacher und der Strom sinkt langsamer auf Null. Der Kondensator wird deshalb langsamer aufgeladen.
Wenn du dagegen möchtest, dass der Kondensator so schnell wie möglich aufgeladen wird, dann musst du den Widerstand $R$ bzw. Kapazität $C$ möglichst KLEIN wählen, damit die Zeitkonstante $R\,C$ auch möglichst klein wird. Durch eine kleinere Zeitkonstante wird die Exponentialfunktion steiler und der Strom sinkt schneller auf Null. Der Kondensator wird deshalb schneller aufgeladen.

Beispiel: Ladestrom nach 0.01 Sekunden des Aufladens

Eine Quellspannung von $U_0 = 1 \, \text{kV}$ wird an den Widerstand $R = 2 \, \text{k}\Omega $ und den Kondensator der Kapazität $ C = 1 \, \mathrm{\mu F} $ angelegt. Wie groß ist der Ladestrom nach $ t = 0.01 \, \text{s}$?

Die Zeitkonstante beträgt:

$$ \begin{align} R\,C &~=~ 2000 \, \Omega \cdot 10^{-6} \, \mathrm{F} \\\\
&~=~ 0.002 \, \text{s} \end{align} $$

Damit ist der Ladestrom nach 0.01 Sekunden:

$$ \begin{align} I(0.01 \, \text{s}) &~=~ \frac{1000 \, \text{V}}{2000 \, \Omega} \cdot \mathrm{e}^{-\frac{0.01 \, \text{s}}{ 0.002 \, \text{s} } } \\\\
& ~=~ 0.003 \, \text{mA} \end{align} $$

Spannung am Kondensator beim Aufladen

Wie sieht es mit der Spannung $ U_{\text C} $ am Kondensator aus, wenn der Kondensator aufgeladen wird? Um diese Frage zu beantworten, müssen wir lediglich die zuvor hingeschriebene Gleichung 2 für die Gesamtspannung benutzen:

$$ \begin{align} U_0 ~=~ R\, I(t) ~+~ U_{\text C}(t) \end{align} $$

Hierbei wurde das Ohmsche Gesetz $ R\, I(t) $ für $U_{\text R}(t)$ eingesetzt. Stellen wir die Gleichung 11 nach der Kondensatorspannung um und setzen die Exponentialfunktion 7 für den Strom ein:

$$ \begin{align} U_{\text C}(t) &~=~ U_0 ~-~ R\, I(t) \\\\
&~=~ U_0 ~-~ R\, \frac{U_0}{R} \, \mathrm{e}^{-\frac{t}{R\,C}} \end{align} $$

Wenn wir jetzt nur noch den Widerstand $R$ kürzen und die Quellspannung $U_0$ ausklammern, bekommen wir die zeitabhängige Spannung am Kondensator:

$$ \begin{align} U_{\text C}(t) ~=~ U_0 \, \left(1 - \mathrm{e}^{-\frac{t}{\class{brown}{R}\,C}}\right) \end{align} $$

Wir können die Kondensatorspannung in einem Spannung-Zeit-Diagramm veranschaulichen:

Die Spannung am Kondensator nimmt beim Aufladen mit der Zeit zu und erreicht einen Sättigungswert.

Am Diagramm können wir folgende Informationen herauslesen:

Die Kondensatorspannung $U_{\text C}(t)$ nimmt mit der Zeit zu. Das heißt, die angelegte Quellspannung $U_0$ ist nicht sofort zwischen den Kondensatorplatten vorhanden.
Die Kondensatorspannung $ U_{\text C}(t)$ erreicht irgendwann praktisch einen Sättigungswert, nämlich die vorgegebene Quellspannung $U_0$. Dann ist der Kondensator vollständig aufgeladen.

Beispiel: Kondensatorspannung nach 0.01 Sekunden des Aufladens

Die Zeitkonstante haben wir schon in 9 ausgerechnet: $ R \, C = 0.002 \, \text{s} $. Damit ist die Kondensatorspannung nach 0.01 Sekunden:

$$ \begin{align} U_{\text C}(0.01 \, \text{s}) &~=~ 1000 \, \text{V} \cdot \left( 1 ~-~ \mathrm{e}^{-\frac{ 0.01 \, \text{s} }{ 0.002 \, \text{s} }} \right) \\\\
&~=~ 6.7 \, \text{V} \end{align} $$

Spannung am Widerstand beim Aufladen

Wie sieht es mit der Spannung $U_{\text R}(t)$ am Widerstand aus, während der Kondensator aufgeladen wird? Dazu müssen wir lediglich die herausgefundene Kondensatorspannung 13 in die Spannungsgleichung 1 einsetzen:

$$ \begin{align} U_0 ~=~ U_{\text R}(t) ~+~ U_0 \, \left( 1 ~-~ \mathrm{e}^{-\frac{t}{R\,C}} \right) \end{align} $$

Stelle nach $U_{\text R}(t)$ um und klammere $U_0$ aus:

$$ \begin{align} U_{\text R}(t) &~=~ U_0 ~-~ U_0 \, \left( 1 ~-~ \mathrm{e}^{-\frac{t}{R\,C}} \right) \\\\
&~=~ U_0 \left( 1 ~-~ \left( 1 ~-~ \mathrm{e}^{-\frac{t}{R\,C}} \right)\right) \\\\
&~=~ U_0 \left( 1 ~-~ 1 ~+~ \mathrm{e}^{-\frac{t}{R\,C}} \right) \end{align} $$

Die Spannung am Widerstand nimmt während des Aufladens mit der Zeit exponentiell ab.

Die 1 hebt sich weg und du bekommst:

$$ \begin{align} U_{\text R}(t) ~=~ U_0 \, \mathrm{e}^{-\frac{t}{R\,C}} \end{align} $$

Ladevorgang zusammengefasst

Beim Aufladen sinkt der Strom $ I(t)$ sinkt von $I_0 = \frac{U_0}{R}$ exponentiell auf Null ab.
Die Spannung $ U_{\text R}(t)$ am Widerstand sinkt von $U_0$ exponentiell auf Null ab.
Die Spannung $ U_{\text C}(t)$ am Kondensator steigt vom Wert Null auf den durch die Quellspannung vorgegebenen Sättigungswert $U_0$ an.

Entladevorgang: Kondensator wird entladen

Der Schalter wird nach rechts geschaltet. Der zuvor aufgeladene Kondensator wird jetzt entladen.

Kommen wir nun zum Entladevorgang. Nachdem wir den Kondensator geladen haben, können wir diesen wieder entladen, indem wir den Schalter nach rechts schalten. Dann wird das RC-Glied quasi kurzgeschlossen. Es fließt am Anfang ein Entladestrom $ I_0 ~=~ \frac{U_0}{R} $ in die entgegengesetzte Richtung und dieser sinkt, wie beim Ladevorgang, exponentiell ab:

$$ \begin{align} I(t) ~=~ - I_0 \, \mathrm{e}^{-\frac{t}{R\,C}} ~~\text{mit}~~ I_0 ~=~ \frac{U_0}{R} \end{align} $$

Der Betrag des Stroms $|I(t)|$ beim Entladen eines Kondensators sinkt exponentiell auf Null ab.

Der Strom $I(t)$ fließt beim Entladen entgegengesetzt zum Strom beim Aufladen. Das berücksichtigen wir mit dem Minuszeichen vor dem $I_0$. ($I_0$ ist der Betrag des Anfangsstroms und ist hier stets positiv.) Ansonsten verhält sich der Strom beim Entladen genauso wie beim Aufladen. Wir können natürlich auch das Minuszeichen weglassen, wenn uns nicht interessiert, dass der Strom jetzt andersherum fließt.

Spannung am Widerstand, beim Entladen eines Kondensators sinkt von $-U_0$ auf 0 ab.

Um die Spannung $U_{\text R}(t)$, die am Widerstand abfällt, zu erhalten, müssen wir nach dem Ohmschen Gesetz lediglich die Gleichung 18 mit dem Widerstand $R$ multiplizieren, denn $ U_{\text R}(t) ~=~ R \, I(t)$:

$$ \begin{align} U_{\text R}(t) ~=~ - U_0 \, \mathrm{e}^{-\frac{t}{R\,C}} \end{align} $$

Hierbei ist $ U_0 = R \, I_0 $. Auch hier kommt das Minuszeichen vor. Das heißt, dass beim Entladen die Polarität der Spannung am Widerstand genau entgegengesetzt zur Spannung beim Aufladen ist. Ansonsten hat sich für $U_{\text R}(t)$ nichts verändert: Die Spannung $U_{\text R}(t)$ am Widerstand sinkt genauso exponentiell ab, wie beim Aufladen.

Wenn wir die Maschenregel benutzen, dann bekommen wir eine Gleichung für Spannungen beim Entladen:

$$ \begin{align} U_{\text R}(t) + U_{\text C}(t) ~=~ 0 \end{align} $$

Kondensatorspannung beim Entladen nimmt exponentiell mit der Zeit ab.

Wenn wir jetzt die Spannung $U_{\text R}(t)$ einsetzen und nach $U_{\text C}(t)$ umstellen, bekommen wir:

$$ \begin{align} U_{\text C}(t) ~=~ U_0 \, \mathrm{e}^{-\frac{t}{R\,C} } \end{align} $$

Der Unterschied zur Kondensatorspannung beim Ladevorgang ist, dass die Spannung am Anfang, d.h. zum Zeitpunkt $t = 0$, nicht Null ist, sondern den Wert $U_0$ hat. Die Kondensatorspannung fällt exponentiell ab.

Entladevorgang zusammengefasst

Beim Entladen sinkt der Strom $ I(t)$ (entgegengesetzt zum Strom beim Laden) vom Wert $-I_0$ auf Null ab.
Die Spannung $ U_{\text R}(t)$ am Widerstand sinkt exponentiell vom Wert $-U_0$ auf Null ab.
Die Spannung $ U_{\text C}(t)$ am Kondensator sinkt exponentiell vom Wert $U_0$ auf Null ab.

Nun weißt du, was mit der Spannung und dem Strom durch den Widerstand und Kondensator zeitlich passiert, wenn der Kondensator geladen oder entladen wird. Weißt du was mit der Spannung und dem Strom am Kondensator passiert, wenn der in einem Wechselstromkreis ist?

Übungen mit Lösungen

Nutze diese Formelsammlung, wenn du Probleme mit Physikaufgaben hast.

Aufgabe #1: Entladen eines Kondensators von 900V auf 10V

Visier das Bild an!

Betrachtete Schaltung zum Entladen des Kondensators.

Ein Kondensator der Kapazität $ C = 10 \, \mu\text{F} $ mit einem unbekannten vorgeschalteten Widerstand $R$, ist auf $ U_0 = 900 \, \text{V} $ aufgeladen. Das Ziel ist es beim Entladen des Kondensators, dass das Entladen von $ 900 \, \text{V} $ auf $ 10 \, \text{V} $ innerhalb von $ 10 \, \text{s} $ passiert.

Wie groß muss dafür der Vorwiderstand $R$ gewählt werden?

Lösung zur Aufgabe #1

U-t-Diagramm - Entladen des Kondensators.

Der Kondensator ist laut der Quest auf $ U_0 = 900 \, \text{V} $ geladen. Das Entladen des Kondensators passiert nicht ruckartig von $ 900 \, \text{V} $ auf $ 0 \, \text{V} $, sondern das Entladen dauert eine Zeit lang. Diese Entladedauer hängt von der Anfangsspannung $U_0$, von der Kapazität $C$ des Kondensators und von dem mit dem in Serie geschalteten Widerstand $R$ ab. Die gemessene Spannung $U_{\text C}(t)$ am Kondensator ist also zeitabhängig und hat den folgenden exponentiellen Zusammenhang: 1 \[ U_{\text C}(t) ~=~ U_0 \, e^{-\frac{t}{R\,C}} \]

Das Ziel ist es den Kondensator mit der Kapazität $ C = 10 \, \mu\text{F} $ von $ U_0 = 900 \, \text{V} $ auf $ U_{\text C}(t) = 10 \, \text{V} $ innerhalb von $ t = 10 \, \text{s} $ zu entladen. Dafür muss der Widerstand $R$ passen gewählt werden. Also wird 1 nach dem Widerstand umgeformt!

Bringe dazu $U_0$ auf die andere Seite der Gleichung: 2 \[ \frac{U_{\text C}(t)}{U_0} = e^{-\frac{t}{R\,C}} \]

Um die Exponentialfunktion aufzulösen, wird auf beiden Seiten der natürliche Logarithmus $ \ln() $ benutzt, da dieser die Umkrehfunktion der Exponentialfunktion ist: 3 \[ \ln\left(\frac{U_{\text C}(t)}{U_0}\right) = -\frac{t}{R\,C} \]

Jetzt nur noch nach $R$ umstellen: 4 \[ R = -\frac{t}{C \, \ln\left(\frac{U_{\text C}(t)}{U_0}\right)} \]

Einsetzen der gegebenen Größen ergibt: 5 \[ R = 222 \, \text{k}\Omega \]

Aufgabe #2: Ladung, Kapazität und Halbwertszeit eines Kondensators

Ein Kondensator mit einer unbekannten Kapazität mit einem Entladewiderstand $R = 2 \, \mathrm{k\Omega} $ war auf $ 50 \, \mathrm{V} $ aufgeladen und hat sich innerhalb von einer Millisekunde auf $ 15 \, \mathrm{V} $ entladen.

Wie groß ist die Kapazität $ C $ des Kondensators?
Wie groß ist die Zeitkonstante des Kondensators?
Nach welcher Zeit $t_{\mathrm h}$ sind $ 50 \, \mathrm{V} $ auf die Hälfte gefallen?
Wie viel Ladung $ Q $ trug der Kondensator vor dem Entladevorgang?

Lösung zur Teilaufgabe #2.1

Um die Kapazität $C$ des Kondensators herauszufinden, benutzen wir die Formel, die den zeitlichen Verlauf der Spannung am Kondensator beim Entladevorgang beschreibt: $$U_{\text C}(t) ~=~ U_0 \, \mathrm{e}^{-\frac{t}{R\,C} }$$

Gesucht ist Kapazität, daher stellen wir 1 nach $C$ um: $$C ~=~ - \frac{t}{ R \, \ln(\frac{U_{\mathrm C}}{ U_0 }) }$$

Die Spannung $ U_{\mathrm C}(1\,\mathrm{ms}) = 15 \, \mathrm{V} $ nach $ t = 1 \,\mathrm{ms} $ ist gegeben. Die Anfangsspannung $ U_0 = 50 \, \mathrm{V} $ und der in Reihe geschaltete Entladewiderstand $R = 2000 \mathrm{\Omega} $ sind auch bekannt. Einsetzen der konkreten Werte ergibt die gesuchte Kapazität: $$\begin{align}C &~=~ - \frac{ 10^{-3} \, \mathrm{s} }{ 2000 \, \mathrm{\Omega} ~\cdot~ \ln\left(\frac{ 15 \, \mathrm{V} }{ 50 \, \mathrm{V} }\right) } \\\\ &~=~ 4.15 \cdot 10^{-7} \, \mathrm{F} \\\\ &~=~ 415 \, \mathrm{nF}\end{align}$$

Lösung zur Teilaufgabe #2.2

Die Zeitkonstante $ \tau $ ist gegeben durch: $$\tau ~=~ R \, C$$

Sie beschreibt die Zeit, nach der die Anfangsspannung auf ungefähr 37% gefallen ist. Einsetzen des Entladewiderstands und der in a) herausgefundenen Kapazität ergibt: $$\begin{align}\tau &~=~ 2000 \, \mathrm{\Omega} ~\cdot~ 4.15 \cdot 10^{-7} \, \mathrm{F} \\\\ &~=~ 8.3 \cdot 10^{-4} \, \mathrm{s} \\\\ &~=~ 0.83 \, \mathrm{ms}\end{align}$$

Lösung zur Teilaufgabe #2.3

In dieser Teilaufgabe wollen wir die Halbwertszeit $ t_{\mathrm h} $ berechnen. Die Halbwertszeit gibt an, nach welcher Zeit die Anfangsspannung von $ U_0 = 50 \, \mathrm{V} $ auf die Hälfte, also auf $ U_{\mathrm C} = \frac{U_0}{2} = 25 \, \mathrm{V} $ gefallen ist: $$\frac{U_0}{2} ~=~ U_0 \, \mathrm{e}^{-\frac{ t_{\mathrm h} }{R\,C} }$$

Umstellen nach der Halbwertszeit $ t_{\mathrm h} $ ergibt: $$t_{\mathrm h} ~=~ R \, C \, \ln(2)$$

Wie du siehst, ist die Halbwertszeit durch die Zeitkonstante $R \, C $ bestimmt, die lediglich mit $ \ln(2) $ multipliziert wird. Wir können also einfach die in b) berechnete Zeitkonstante für die Halbwertszeit benutzen: $$\begin{align}t_{\mathrm h} &~=~ \tau \, \ln(2) \\\\ &~=~ 8.3 \cdot 10^{-4} \, \mathrm{s} ~\cdot~ \ln(2) \\\\ &~=~ 5.75 \cdot 10^{-4} \, \mathrm{s} \\\\ &~=~ 0.575 \, \mathrm{ms}\end{align}$$

Lösung zur Teilaufgabe #2.4

Hier wollen wir herausfinden, wie viel Ladung $Q_0$ auf dem Kondensator war, bevor der Kondensator entladen wurde. Wir suchen also Kondensatorladung zum Anfangszeitpunkt $t = 0$. Dazu benutzen wir den Zusammenhang zwischen der Spannung und Ladung am Kondensator: $$Q_0 ~=~ C \, U_0$$

Hierbei brauchen wir natürlich die Anfangsspannung $ U_0 $, denn diese war ja zum Anfangszeitpunkt $t = 0$ angelegt. Einsetzen der Werte ergibt: $$\begin{align}Q_0 &~=~ 4.15 \cdot 10^{-7} \, \mathrm{F} ~\cdot~ 50 \, \mathrm{V} \\\\ &~=~ 2.08 \cdot 10^{-5} \, \mathrm{C} \\\\ &~=~ 20.8 \, \mathrm{\mu C}\end{align}$$