RC-Schaltung: Kondensator aufladen und entladen

Um diese drei Größen genau zu untersuchen, benutzen wir die Maschenregel (2. Kirchoff-Regel). Nach der Maschenregel muss die Summe aller vorzeichenbehafteten Spannungen Null sein. In unserem Fall ist die Quellspannung \(U_0\) die Gesamtspannung. Das heißt die Spannung \( U_{\text R} \) am Widerstand und die Spannung \( U_{\text C} \) am Kondensator bilden zusammen diese Gesamtspannung:

Die Quellspannung \(U_0\) ist uns bekannt, weil wir sie selbst einstellen. Die Spannungen \(U_{\text R}\) und \(U_{\text C}\) sind uns dagegen nicht bekannt. Deshalb müssen wir sie versuchen anders auszudrücken.

Nach dem Ohmschen Gesetz können wir die Spannung \( U_{\text R} \) am Widerstand \(R\) mithilfe des Stroms \(I\) ausdrücken, der durch den gesamten Schaltkreis fließt:

Für den Kondensator, der die elektrische Kapazität \(C\) hat, gilt für die Ladung \(Q\) auf seinen Kondensatorplatten: \(Q = C \, U_{\text C} \). Wenn wir diese Formel nach \( U_{\text C} \) umstellen und in 2 einsetzen, bekommen wir:

Gewonnen haben wir noch nicht viel, da auch \(I\) und \(Q\) unbekannt sind. Doch jetzt kommt der entscheidende Schritt: Wir sehen im Experiment, dass der Strom \(I\) zeitabhängig ist: \(I(t)\). Damit muss die Ladung \(Q\) auf den Kondensatorplatten mit der Zeit zunehmen. Die Ladung muss also auch irgendwie zeitabhängig sein: \(Q(t)\). Wir wissen nur noch nicht wie! Um diese Zeitabhängigkeit genau herauszufinden, müssen wir die aufgestellte Gleichung 3 in eine Differentialgleichung verwandeln. Dazu leiten wir die gesamte Gleichung nach der Zeit \(t\) ab:

Da die konstante Spannung \(U_0\) zeitunabhängig ist, fällt ihre Ableitung weg. Der Widerstand \(R\) ist ebenfalls konstant, deshalb dürfen wir diesen vor die Zeitableitung ziehen. Das gilt auch für die Kapazität \(C\). Die Zeitableitung der Ladung \(Q(t)\) ist genau die Definition des Stroms \(I(t)\):

Lass uns noch für die etwas kompaketere Darstellung die ganze Gleichung durch \(R\) teilen und die Zeitableitung auf die linke Seite bringen:

Wir haben durch die Zeitableitung eine sogenannte homogene lineare Differentialgleichung 1. Ordnung für den Strom \(I(t)\) erhalten. Wenn wir diese Differentialgleichung lösen, dann bekommen wir heraus, wie der Strom \(I(t)\) genau von der Zeit \(t\) abhängt. Wir können beispielsweise die Lösungsmethode 'Trennung der Variablen' aus der Mathematik benutzen, um diese Differentialgleichung zu lösen. Zu der Differentialgleichung brauchen wir noch eine sogenannte Anfangsbedingung, damit unsere Lösung für den Strom eindeutig wird. Der Strom \(I_0\) zum Zeitpunkt \(t = 0\) entsprach dem Wert, der durch unsere Quellspannung vorgegeben ist: \( I_0 ~=~ \frac{U_0}{R} \). Und das ist unsere Anfangsbedingung.

Die Lösung der DGL 6 zusammen mit der dazugehörigen Anfangsbedingung, ergibt eine Formel für den Strom \(I(t)\), mit \(I_0 ~=~ \frac{U_0}{R}\):

Das ist der Ladestrom, der durch den Widerstand und Kondensator fließt, sobald wir den Schalter nach links schalten, also quasi die Spannung \(U_0\) an das RC-Glied anlegen. Der Strom nimmt exponentiell ab. Das kannst du direkt an dem Minuszeichen in der Exponentialfunktion erkennen. Wenn du die Funktion \(I(t)\) in einem Strom-Zeit-Diagramm aufzeichnest, bekommst du so ein Diagramm:

Aus dem Diagramm können wir folgende Informationen über den Strom ablesen:

• Zum Zeitpunkt \(t = 0\) (d.h. zum Zeitpunkt des Einschaltens) hatte der Strom seinen maximalen Wert \( I_0 = \frac{U_0}{R} \). Wir können diesen maximalen Wert beeinflussen, indem wir also einen anderen Widerstand \(R\) oder eine andere Spannung \(U_0\) wählen.

• Der Strom \(I(t)\) sinkt mit der Zeit exponentiell auf Null. Sobald der Strom praktisch Null ist, erwarten wir, dass der Kondensator vollständig aufgeladen ist.

Wenn du dir die Exponentialgleichung 7 für den Strom genau anschaust, dann siehst du, dass im Exponenten der Faktor \(\frac{1}{RC}\) vorkommt. Wir bezeichnen das Produkt \(R\,C\) als Zeitkonstante. Sie heißt so, weil sie die Einheit der Zeit hat und, weil sie eine Konstante ist, da sowohl \(R\) als auch \(C\) konstant sind. Wir können uns beispielsweise die Frage stellen:

Wie groß ist der Strom, wenn die Zeit \( t = R\,C\) vergangen ist?

Setzen wir diese Zeit doch einfach mal in die Formel 7 ein:

Antwort: Nach der Zeit \( t = R\,C\) sinkt der Strom auf 37% von dem maximalen Wert \(\frac{U_0}{R}\).

Mit dieser Zeitkonstanten \(R\,C\) können wir praktisch die Steigung der Exponentialfunktion an unsere Bedürfnisse anpassen.

• Wenn du möchtest, dass der Kondensator zum Aufladen länger braucht, dann musst du den Widerstand \(R\) bzw. Kapazität \(C\) möglichst GROß wählen, damit die Zeitkonstante \(R\,C\) ebenfalls möglichst groß wird. Durch eine größere Zeitkonstante wird die Exponentialfunktion flacher und der Strom sinkt langsamer auf Null. Der Kondensator wird deshalb langsamer aufgeladen.

• Wenn du dagegen möchtest, dass der Kondensator so schnell wie möglich aufgeladen wird, dann musst du den Widerstand \(R\) bzw. Kapazität \(C\) möglichst KLEIN wählen, damit die Zeitkonstante \(R\,C\) auch möglichst klein wird. Durch eine kleinere Zeitkonstante wird die Exponentialfunktion steiler und der Strom sinkt schneller auf Null. Der Kondensator wird deshalb schneller aufgeladen.

Wie sieht es mit der Spannung \( U_{\text C} \) am Kondensator aus, wenn der Kondensator aufgeladen wird? Um diese Frage zu beantworten, müssen wir lediglich die zuvor hingeschriebene Gleichung 2 für die Gesamtspannung benutzen:

Hierbei wurde das Ohmsche Gesetz \( R\, I(t) \) für \(U_{\text R}(t)\) eingesetzt. Stellen wir die Gleichung 11 nach der Kondensatorspannung um und setzen die Exponentialfunktion 7 für den Strom ein:

Wenn wir jetzt nur noch den Widerstand \(R\) kürzen und die Quellspannung \(U_0\) ausklammern, bekommen wir die zeitabhängige Spannung am Kondensator:

Wir können die Kondensatorspannung in einem Spannung-Zeit-Diagramm veranschaulichen:

Am Diagramm können wir folgende Informationen herauslesen:

• Die Kondensatorspannung \(U_{\text C}(t)\) nimmt mit der Zeit zu. Das heißt, die angelegte Quellspannung \(U_0\) ist nicht sofort zwischen den Kondensatorplatten vorhanden.

• Die Kondensatorspannung \( U_{\text C}(t)\) erreicht irgendwann praktisch einen Sättigungswert, nämlich die vorgegebene Quellspannung \(U_0\). Dann ist der Kondensator vollständig aufgeladen.

Wie sieht es mit der Spannung \(U_{\text R}(t)\) am Widerstand aus, während der Kondensator aufgeladen wird? Dazu müssen wir lediglich die herausgefundene Kondensatorspannung 13 in die Spannungsgleichung 1 einsetzen:

Stelle nach \(U_{\text R}(t)\) um und klammere \(U_0\) aus:

Die 1 hebt sich weg und du bekommst: