RC-Schaltung: Kondensator aufladen und entladen
Übungen mit Lösungen
Nutze diese Formelsammlung, wenn du Probleme mit Physikaufgaben hast.Aufgabe #1: Entladen eines Kondensators von 900V auf 10V
Ein Kondensator der Kapazität \( C = 10 \, \mu\text{F} \) mit einem unbekannten vorgeschalteten Widerstand \(R\), ist auf \( U_0 = 900 \, \text{V} \) aufgeladen. Das Ziel ist es beim Entladen des Kondensators, dass das Entladen von \( 900 \, \text{V} \) auf \( 10 \, \text{V} \) innerhalb von \( 10 \, \text{s} \) passiert.
Wie groß muss dafür der Vorwiderstand \(R\) gewählt werden?
Lösung zur Aufgabe #1
Der Kondensator ist laut der Quest auf \( U_0 = 900 \, \text{V} \) geladen. Das Entladen des Kondensators passiert nicht ruckartig von \( 900 \, \text{V} \) auf \( 0 \, \text{V} \), sondern das Entladen dauert eine Zeit lang. Diese Entladedauer hängt von der Anfangsspannung \(U_0\), von der Kapazität \(C\) des Kondensators und von dem mit dem in Serie geschalteten Widerstand \(R\) ab. Die gemessene Spannung \(U_{\text C}(t)\) am Kondensator ist also zeitabhängig und hat den folgenden exponentiellen Zusammenhang: 1 \[ U_{\text C}(t) ~=~ U_0 \, e^{-\frac{t}{R\,C}} \]
Das Ziel ist es den Kondensator mit der Kapazität \( C = 10 \, \mu\text{F} \) von \( U_0 = 900 \, \text{V} \) auf \( U_{\text C}(t) = 10 \, \text{V} \) innerhalb von \( t = 10 \, \text{s} \) zu entladen. Dafür muss der Widerstand \(R\) passen gewählt werden. Also wird 1
nach dem Widerstand umgeformt!
Bringe dazu \(U_0\) auf die andere Seite der Gleichung: 2 \[ \frac{U_{\text C}(t)}{U_0} = e^{-\frac{t}{R\,C}} \]
Um die Exponentialfunktion aufzulösen, wird auf beiden Seiten der natürliche Logarithmus \( \ln() \) benutzt, da dieser die Umkrehfunktion der Exponentialfunktion ist: 3 \[ \ln\left(\frac{U_{\text C}(t)}{U_0}\right) = -\frac{t}{R\,C} \]
Jetzt nur noch nach \(R\) umstellen: 4 \[ R = -\frac{t}{C \, \ln\left(\frac{U_{\text C}(t)}{U_0}\right)} \]
Einsetzen der gegebenen Größen ergibt: 5 \[ R = 222 \, \text{k}\Omega \]
Aufgabe #2: Ladung, Kapazität und Halbwertszeit eines Kondensators
Ein Kondensator mit einer unbekannten Kapazität mit einem Entladewiderstand \(R = 2 \, \mathrm{k\Omega} \) war auf \( 50 \, \mathrm{V} \) aufgeladen und hat sich innerhalb von einer Millisekunde auf \( 15 \, \mathrm{V} \) entladen.
- Wie groß ist die Kapazität \( C \) des Kondensators?
- Wie groß ist die Zeitkonstante des Kondensators?
- Nach welcher Zeit \(t_{\mathrm h}\) sind \( 50 \, \mathrm{V} \) auf die Hälfte gefallen?
- Wie viel Ladung \( Q \) trug der Kondensator vor dem Entladevorgang?
Lösung zur Teilaufgabe #2.1
Um die Kapazität \(C\) des Kondensators herauszufinden, benutzen wir die Formel, die den zeitlichen Verlauf der Spannung am Kondensator beim Entladevorgang beschreibt: $$U_{\text C}(t) ~=~ U_0 \, \mathrm{e}^{-\frac{t}{R\,C} }$$
Gesucht ist Kapazität, daher stellen wir 1
nach \(C\) um:
$$C ~=~ - \frac{t}{ R \, \ln(\frac{U_{\mathrm C}}{ U_0 }) }$$
Die Spannung \( U_{\mathrm C}(1\,\mathrm{ms}) = 15 \, \mathrm{V} \) nach \( t = 1 \,\mathrm{ms} \) ist gegeben. Die Anfangsspannung \( U_0 = 50 \, \mathrm{V} \) und der in Reihe geschaltete Entladewiderstand \(R = 2000 \mathrm{\Omega} \) sind auch bekannt. Einsetzen der konkreten Werte ergibt die gesuchte Kapazität: $$\begin{align}C &~=~ - \frac{ 10^{-3} \, \mathrm{s} }{ 2000 \, \mathrm{\Omega} ~\cdot~ \ln\left(\frac{ 15 \, \mathrm{V} }{ 50 \, \mathrm{V} }\right) } \\\\ &~=~ 4.15 \cdot 10^{-7} \, \mathrm{F} \\\\ &~=~ 415 \, \mathrm{nF}\end{align}$$
Lösung zur Teilaufgabe #2.2
Die Zeitkonstante \( \tau \) ist gegeben durch: $$\tau ~=~ R \, C$$Sie beschreibt die Zeit, nach der die Anfangsspannung auf ungefähr 37% gefallen ist. Einsetzen des Entladewiderstands und der in a) herausgefundenen Kapazität ergibt: $$\begin{align}\tau &~=~ 2000 \, \mathrm{\Omega} ~\cdot~ 4.15 \cdot 10^{-7} \, \mathrm{F} \\\\ &~=~ 8.3 \cdot 10^{-4} \, \mathrm{s} \\\\ &~=~ 0.83 \, \mathrm{ms}\end{align}$$
Lösung zur Teilaufgabe #2.3
In dieser Teilaufgabe wollen wir die Halbwertszeit \( t_{\mathrm h} \) berechnen. Die Halbwertszeit gibt an, nach welcher Zeit die Anfangsspannung von \( U_0 = 50 \, \mathrm{V} \) auf die Hälfte, also auf \( U_{\mathrm C} = \frac{U_0}{2} = 25 \, \mathrm{V} \) gefallen ist: $$\frac{U_0}{2} ~=~ U_0 \, \mathrm{e}^{-\frac{ t_{\mathrm h} }{R\,C} }$$Umstellen nach der Halbwertszeit \( t_{\mathrm h} \) ergibt: $$t_{\mathrm h} ~=~ R \, C \, \ln(2)$$
Wie du siehst, ist die Halbwertszeit durch die Zeitkonstante \(R \, C \) bestimmt, die lediglich mit \( \ln(2) \) multipliziert wird. Wir können also einfach die in b) berechnete Zeitkonstante für die Halbwertszeit benutzen: $$\begin{align}t_{\mathrm h} &~=~ \tau \, \ln(2) \\\\ &~=~ 8.3 \cdot 10^{-4} \, \mathrm{s} ~\cdot~ \ln(2) \\\\ &~=~ 5.75 \cdot 10^{-4} \, \mathrm{s} \\\\ &~=~ 0.575 \, \mathrm{ms}\end{align}$$
Lösung zur Teilaufgabe #2.4
Hier wollen wir herausfinden, wie viel Ladung \(Q_0\) auf dem Kondensator war, bevor der Kondensator entladen wurde. Wir suchen also Kondensatorladung zum Anfangszeitpunkt \(t = 0\). Dazu benutzen wir den Zusammenhang zwischen der Spannung und Ladung am Kondensator: $$Q_0 ~=~ C \, U_0$$Hierbei brauchen wir natürlich die Anfangsspannung \( U_0 \), denn diese war ja zum Anfangszeitpunkt \(t = 0\) angelegt. Einsetzen der Werte ergibt: $$\begin{align}Q_0 &~=~ 4.15 \cdot 10^{-7} \, \mathrm{F} ~\cdot~ 50 \, \mathrm{V} \\\\ &~=~ 2.08 \cdot 10^{-5} \, \mathrm{C} \\\\ &~=~ 20.8 \, \mathrm{\mu C}\end{align}$$
