Wechselstromkreis: mit Widerstand, Spule oder Kondensator

Ein Wechselstromkreis zeichnet sich dadurch aus, dass er mit einer Wechselspannung \( U(t) \) betrieben wird, die wiederum zu einem Wechselstrom \( \class{red}{I}(t) \) führt. Eine Wechselspannung ist eine periodische Schwingung des Spannungswerts. Wir nehmen hier eine möglichst einfache, harmonische Wechselspannung an, deren Auf und Ab wir beispielsweise mit einer Cosinus-Funktion beschreiben können:

Hierbei sind...

• \( U_0 \) - maximaler Spannungswert (auch Spitzenspannung genannt)

• \( 2\pi \) - nur ein mathematischer Vorfaktor

• \(f\) - Frequenz der Schwingung. Diese beschreibt, wie schnell sich der Spannungswert zeitlich verändert

• \(t\) - Zeit

• \(2\pi \, f \, t\) - das ist das Argument von Cosinus und wird Phase genannt.

Manchmal, und das tun wir auch hier, wird der Faktor \( 2\pi\, f \) mit \(\omega\) abgekürzt und Kreisfrequenz genannt:

Klären wir noch eine wichtige Größe, die wir gleich brauchen werden, nämlich die Phasenverschiebung \(\varphi\). Sie kann im Argument von Cosinus als eine additive Konstante stehen und zwar so:

Die Phasenverschiebung führt dazu, dass die Spannungskurve \( U(t) \) in einem Zeitdiagramm nach links oder nach rechts verschoben wird.

• Wenn die Phasenverschiebung positiv ist: \( \varphi > 0 \), dann ist die Spannungskurve 3 gegenüber der Spannungskurve 2 nach links verschoben.

• Wenn die Phasenverschiebung negativ ist: \( \varphi < 0 \), dann ist die Spannungskurve 3 gegenüber der Spannungskurve 2 nach rechts verschoben.

Nehmen wir ein Widerstandselement, der den elektrischen Widerstand \(R\) hat und schließen an diesen eine Wechselspannungsquelle an, die die Wechselspannung \( U_{\text R}(t) \) wie in 2 erzeugt:

Dadurch haben wir den einfachsen Wechselstromkreis gebaut, den mensch sich vorstellen kann.

Wie sieht es nun mit dem Strom durch den Widerstand aus? Dieser wird entsprechend eine Phase haben, sodass die Phasendifferenz zwischen der angelegten Wechselspannung und dem Strom physikalisch richtig ist. Daher macht es physikalisch keinen Unterschied, welche Phasenverschiebung wir für die Spannung gewählt haben. Wir werden sie einfach stets \( \varphi = 0 \) wählen.

Wir nehmen an, dass wir ein Widerstandselement angeschlossen haben, für das das Ohmsche Gesetz gilt. Damit können wir die Spannung \( U_{\text R}(t) \) am Widerstandselement mit dem Strom \( \class{red}{I_{\text R}}(t) \) ausdrücken:

Bringe nur noch in 5 den Widerstand \(R\) auf die rechte Seite:

Hierbei entspricht der Vorfaktor \( \frac{U_0}{R} ~=~ I_0 \) dem Spitzenstrom, also dem maximalen Strom durch den Widerstand.

An den Formeln 5 für Spannung und 6 für Strom oder in der Illustration (3) kannst du sehen, dass \( \class{red}{I_{\text R}}(t) \) und \( U_{\text R}(t) \) nicht zueinander phasenverschoben sind, also die Phase bei beiden gleich ist. Das bedeutet zum Beispiel:

• Wenn der Strom durch den Widerstand Null ist, ist auch die Spannung am Widerstand Null.

• Wenn der Strom durch den Widerstand maximal ist, ist auch die Spannung am Widerstand maximal.

Schließen wir nun eine Wechselspannungsquelle an einen Kondensator an. Der Kondensator hat die Kapazität \( C \). Wir nehmen außerdem an, dass der Kondensator keinen Innenwiderstand hat, um uns auf das Wesentliche, nämlich auf die Kapazität im Wechselstromkreis zu konzentrieren.

Wir legen an den Kondensator die Wechselspannung wie in 2 an:

Wie sieht dann der Strom \( \class{red}{I_{\text C}}(t) \) dazu aus? Definitionsgemäß ist der Strom \( \class{red}{I_{\text C}}(t) \) die Ladung \( Q(t) \), die in den Kondensator pro Zeit befördert wird. Anders gesagt, der Kondensatorstrom ist die Ableitung der Kondensatorladung nach der Zeit \(t\):

Jetzt müssen wir die Zeitableitung der Ladung \( Q(t)\) ausrechnen. Doch, wie finden wir die Formel für die Ladung, damit wir sie überhaupt ableiten können? Dazu nutzen wir aus, dass die Ladung \(Q(t)\) auf einer Kondensatorplatte proportional zur Spannung \( U_{\text C}(t) \) ist:

Die Proportionalitätskonstante ist hierbei die Kapazität \(C\). Setze nur noch die Kondensatorspannung 7 in 9 ein:

Leite 10 nach \(t\) ab. Beim Ableiten wird der Cosinus zum negativen Sinus und die Kreisfrequenz \(\omega\) kommt als Faktor davor:

Damit wir den Phasenunterschied zwischen Strom 11 und angelegter Spannung 7 besser miteinander vergleichen können, nutzen wir die trigonometrische Identität \( -\sin(A) = \cos(A + 90^{\circ}) \) aus, um den Sinus in 11 in Cosinus umzuschreiben und das Minuszeichen zu eliminieren:

Super, denn jetzt können wir die Zeitableitung 12 in den Strom 8 einsetzen und bekommen:

Wenn du nun die Phase der Kondensatorspannung 7 mit der Phase des Kondensatorstroms 13 vergleichst, dann siehst du, dass sie sich um \( 90^{\circ} \) unterscheiden. Die Phase des Kondensatorstroms ist um \( 90^{\circ} \) größer ist als bei der Kondensatorspannung. Wir sagen:

Der Spitzenstrom \( I_0\) entspricht dabei dem Vorfaktor vor dem Sinus, also:

Analog zum Ohmschen Gesetz \( R ~=~ \frac{U}{I} \) können wir 14 nach dem Spannung-zu-Strom-Verhältnis umstellen

und das Verhältnis der Spitzenspannung \( U_0\) zum Spitzenstrom \(I_0\) als kapazitive Reaktanz \( |X_{\text C}| \) definieren:

Die kapazitive Reaktanz \( |X_{\text C}| \) ist theoretisch unendlich groß im Falle eines Gleichstromkreises. Denn bei einem Gleichstromkreis ist \( \omega = 0 \). Damit wird der Bruch in 16 unendlich groß. Das wiederum bedeutet, dass der Kondensator bei einer angelegten Gleichspannung keinen Strom 16 durchlässt. Setze doch mal \( \omega = 0 \) in 16 ein, dann siehst du es ein!

Wir könnten natürlich auch \( |X_{\text C}| \), um Fachbegriffe zu vermeiden, als kapazitiven Widerstand bezeichnen. Dabei sollten wir aber beachten, dass dieser 'Widerstand des Kondesantors' nur in einem Wechselstromkreis auftritt und die Energie, die im Schaltkreis steckt, nicht in thermische Energie (Wärme) umwandelt. Ein Ohmscher Widerstand dagegen, tritt sowohl bei Wechsel- als auch bei Gleichstromkreisen auf und erzeugt Wärme. Um also den kapazitiven Widerstand nicht mit dem Ohmschen Widerstand zu verwechseln, benutzen wir eher das Wort 'Reaktanz' statt 'Widerstand'.

Betrachten wir nun eine Induktionsspule mit der Induktivität \(L\) in einem Wechselstromkreis. Außerdem vernachlässigen wir den Innenwiderstand der Spule, aus dem gleichen Grund wie bei der Kapazität.

Wir legen an die Spule eine Wechselspannung wie in 2 an:

Um herauszufinden, wie sich der Strom \( \class{red}{I_{\text L}}(t) \) in die Spule relativ zur angelegten Spannung verhält, müssen wir wissen, dass eine derartige zeitliche Spannungsänderung wie in 17 eine Induktionsspannung \( U_{\text{ind}}(t) \) zwischen den beiden Spulenenden erzeugt. Diese hat eine entgegengesetzte Polarität zur angelegten Spannung. Das berücksichtigen wir durch ein Minuszeichen (wende die Maschenregel an):

Die induzierte Spannung \( U_{\text{ind}}(t) \) zwischen den beiden Enden der Spule ist proportional zur Stromänderung, also zur Zeitableitung \( \frac{ \text{d}\class{red}{I_{\text L}}(t) }{ \text{d}t} \) des Spulenstroms, wobei die Propotionalitätskonstante die Induktivität \( L \) ist:

Setze die Induktionsspannung 19 in 18 ein. Die beiden Minuszeichen heben sich dabei weg:

Um den Strom \( \class{red}{I_{\text L}}(t) \) aus der Gleichung 20 zu bestimmen, müssen wir die Ableitung irgendwie 'umkehren'. Das machen wir, indem wir beide Seiten über \(t\) integrieren:

Setze die Spannung 17 in 21 ein:

Integriere die rechte Seite (anders gesagt: finde den Ausdruck, der abgeleitet \( \cos(\omega \, t) \) ergibt). Cosinus integriert, ergibt Sinus. Außerdem kommt noch der Vorfaktor \( \frac{1}{\omega}\) vor den Sinus:

Nutzen wir die trigonometrische Beziehung \( \sin(A) = \cos(A - 90^{\circ}) \), um Sinus in Cosinus zu verwandeln:

Wenn du nun die Phase der Spulenspannung 17 mit der Phase des Spulenstroms 24 vergleichst, dann siehst du, dass sie sich um \( 90^{\circ} \) unterscheiden, aber nicht genauso wie beim Kondensator! Die Phase des Spulenstroms ist um \( 90^{\circ} \) kleiner als bei der Spulenspannung. Wir sagen:

Der Spitzenstrom \(I_0\) durch die Spule, also der Faktor vor dem Cosinus in 24, ist:

Und das Verhältnis der Spitzenspannung \(U_0\) zum Spitzenstrom \(I_0\) im Fall einer Spule, nennen wir induktive Reaktanz \( |X_{\text L}| \):

Im Gegensatz zum Kondensator bewirkt ein Gleichstromkreis, d.h. \(\omega = 0\), dass die Spulenreaktanz verschwindet (beim Kondensator wird die Reaktanz dagegen unendlich groß). Das hat zur Folge, dass der Strom 24 durch die Spule unendlich groß wird. Bei einem Gleichstromkreis würde die Spule also einen Kurzschluss verursachen. Bei einem Wechselstromkreis aufgrund der nicht verschwindenden Reaktanz 26 dagegen nicht.