Ist die gegebene 2x2-Matrix eine Dichtematrix?
Überprüfe, ob die folgende reelle 2x2-Matrix eine Dichtematrix ist: $$ \rho ~=~ \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1+\cos(\theta) & \sin(\theta) \\ \sin(\theta) & 1-\cos(\theta) \\ \end{pmatrix} $$
Wenn \( \rho \) eine Dichtematrix ist, dann erfüllt sie drei folgende Eigenschaften: Überprüfe die in den Lösungstipps erwähnten Eigenschaften einer Dichtematrix.
(1) \( \rho^{\dagger} ~=~ (\rho^*)^{\text T} \). Da \( \rho \) eine reelle Matrix ist, ist sie mit der komplex konjugierten Matrix \( \rho^* \) gleich. Außerdem ändert das Transponieren in diesem Fall die Matrix nicht. Deshalb:
\[
\rho ~=~ \frac{1}{2} \begin{pmatrix}
1+\cos(\theta) & \sin(\theta) \\
\sin(\theta) & 1-\cos(\theta) \\
\end{pmatrix} ~=~ \rho^* ~=~ (\rho^*)^{\text T} ~=~ \rho^{\dagger}
\]
(2) Die Spur von \( \rho \) ergibt:
\[
\text{tr}(\rho) ~=~ \frac{1}{2}\left( 1 ~+~ \cos(\theta) ~+~ 1 ~-~ \cos(\theta) \right) ~=~ 1
\]
(3) Wenn \( \rho \) positiv definit ist, dann müssen alle Eigenwerte von \( \rho \) größer oder gleich Null sein (und zusammen 1 ergeben):
\[
\text{det} \begin{pmatrix}
\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos(\theta) - \lambda & \frac{1}{2}\sin(\theta) \\
\frac{1}{2}\sin(\theta) & \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos(\theta) - \lambda \\
\end{pmatrix}
\]
Die Determinante ergibt:
\[
\left( \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos(\theta) \right) \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos(\theta) \right) ~-~ \frac{1}{4}\sin(\theta)^2 ~=~ \frac{1}{4} \left( \left( 1 - 2\lambda \right)^2 ~-~ \cos(\theta)^2 \right) ~-~ \frac{1}{4}\sin(\theta)^2 ~=~ \frac{1}{4} \left( 1 - 4\lambda + 4\lambda^2 ~-~ (\cos(\theta)^2 + \sin(\theta)^2) \right) ~=~ \lambda^2 ~-~ \lambda ~=~ \lambda(\lambda ~-~ 1) ~=~ (\lambda ~-~ 0)(\lambda ~-~ 1)
\]
Die Eigenwerte (Nullstellen) können sofort abgelesen werden \( \lambda_1 ~=~ 0 \) und \( \lambda_2 ~=~ 1 \). Beide Eigenwerte sind positiv.
Alle drei Eigenschaften einer Dichtematrix werden von der Matrix \( \rho \) erfüllt. Also ist \( \rho \) eine Dichtematrix!
(1) \( \rho ~=~ \rho^{\dagger} \)
(2) \( \text{tr}(\rho) ~=~ 1 \)
(3) \( \rho \) positiv definit
Lösung