Ich heiße Alexander FufaeV und hier erkläre ich das folgende Thema:

Gesamtinduktivität (Ersatzinduktivität) einer Reihen- und Parallelschaltung von Spulen

Inhaltsverzeichnis

Im Folgenden wollen wir die Gesamtinduktivität $L$ (auch Ersatzinduktivität genannt) von zwei parallel und von zwei in Reihe geschalteten Spulen herleiten. Die Spulen haben jeweils die Induktivität $L_1$ und $L_2$.

Da das von der Spule erzeugte Magnetfeld proportional zum Strom $ \class{red}{I} $ ist, der durch die Spule fließt, kann das Magnetfeld und damit auch der magnetische Fluss $\Phi_{\text m}$ folgendermaßen geschrieben werden:

$$ \begin{align} \Phi_{\text m} ~=~ L \, \class{red}{I} \end{align} $$

Die Induktivität $L$ der Spule ist hier die Proportionalitätskonstante. Die angelegte Wechselspannung $U$ und der dadurch entstandene Strom $I$ hängen über das Induktionsgesetz zusammen:

$$ \begin{align} U ~=~ -L \, \frac{\text{d}\class{red}{I}}{\text{d}t} \end{align} $$

Gesamtinduktivität einer Reihenschaltung von Spulen

Betrachte zwei in Reihe geschaltete Spulen, an denen eine Wechselspannung $U$ anliegt. An den beiden Spulen fällt also diese zeitabhängige Gesamtspannung $U$ ab. An den einzelnen Spulen fallen dagegen die Spannungen $U_1$ und $U_2$ ab:

Zwei in Reihe geschaltete Spulen an denen eine Wechselspannung anliegt.

$$ \begin{align} U ~=~ U_1 + U_2 \end{align} $$

Setzen wir für alle drei Spannungen $U$, $U_1$ und $U_2$ das Induktionsgesetz 2 ein (das Minuszeichen kürzt sich dabei auf beiden Seiten weg):

$$ \begin{align} L \, \frac{\text{d} \class{red}{I}}{\text{d}t} ~=~ L_1 \, \frac{\text{d}\class{red}{I_1}}{\text{d}t} + L_2 \, \frac{\text{d}\class{red}{I_2}}{\text{d}t} \end{align} $$

Der Gesamtstrom $ \class{red}{I} $ geht nach der Knotenregel (1. Kirchhoff-Regel) durch die beiden Spulen hindurch. Die Ströme sind also alle gleich: $ \class{red}{I} = \class{red}{I_1} = \class{red}{I_2}$. Setze den gleichen Strom $ \class{red}{I} $ in Gl. 4 ein:

$$ \begin{align} L \, \frac{\text{d} \class{red}{I}}{\text{d}t} ~=~ L_1 \, \frac{\text{d} \class{red}{I}}{\text{d}t} + L_2 \, \frac{\text{d} \class{red}{I}}{\text{d}t} \end{align} $$

Die Zeitableitung des Strom kommt auf beiden Seiten der Gleichung vor, kann also weggekürzt werden:

$$ \begin{align} L ~=~ L_1 + L_2 \end{align} $$

Die Induktivität bei einer Reihenschaltung addieren sich zu einer Gesamtinduktivität. Wenn wir $n$ statt zwei in Reihe geschaltete Spulen hätten, dann summieren wir analog die Einzelinduktivitäten auf:

$$ \begin{align} L ~=~ L_1 ~+~ L_2 ~+~ ... ~+~ L_n \end{align} $$

Gesamtinduktivität einer Parallelschaltung von Spulen

Betrachten wir nun zwei parallel geschaltete Spulen. Wird an die Parallelschaltung eine Wechselspannung $U$ angelegt, so fließt ein Wechselstrom $ I $. Dieser Strom spaltet sich am Knotenpunkt in die Ströme $I_1$ und $I_2$ auf, die jeweils zu der ersten und zweiten Spule fließen. Nach der Knotenregel von Kirchhoff ist der Gesamtstrom gegeben durch die Summe der Einzelströme:

Zwei parallel geschaltete Spulen, durch die ein Wechselstrom geschickt wird.

$$ \begin{align} \class{red}{I} ~=~ \class{red}{I_1} ~+~ \class{red}{I_2} \end{align} $$

Leite beide Seiten der Gl. 8 nach der Zeit ab:

$$ \begin{align} \frac{\text{d} \class{red}{I}}{\text{d}t} ~=~ \frac{\text{d} \class{red}{I_1}}{\text{d}t} + \frac{\text{d} \class{red}{I_2}}{\text{d}t} \end{align} $$

Auf diese Weise kannst du das Induktionsgesetz 2 in Gl. 9 für die Zeitableitungen einsetzen:

$$ \begin{align} \frac{U}{L} ~=~ \frac{U_1}{L_1} + \frac{U_2}{L_2} \end{align} $$

Nach der Maschenregel (2. Kirchhoff-Regel) fällt die Gesamtspannung $U$ auch an den einzelnen Spulen ab. Das heißt: $U = U_1 = U_2$. Setze diese gleiche Spannung in Gl. 10 ein:

$$ \begin{align} \frac{U}{L} ~=~ \frac{U}{L_1} + \frac{U}{L_2} \end{align} $$

Die Spannung $U$ in Gl. 11 können wir auf beiden Seiten kürzen:

$$ \begin{align} \frac{1}{L} ~=~ \frac{1}{L_1} + \frac{1}{L_2} \end{align} $$

Wie du siehst: Die Gesamtinduktivität einer Parallelschaltung von zwei Spulen ist nicht gleich der Summe der Einzelinduktivitäten. Wir können noch nach der Gesamtinduktivität umstellen:

$$ \begin{align} L ~=~ \frac{ L_1 \, L_2 }{ L_1 ~+~ L_2 } \end{align} $$

Wenn wir nicht 2, sondern $n$ parallel geschaltete Spulen haben, dann summieren analog die Kehrwerte der Einzelinduktivitäten, um den Kehrwert der Gesamtinduktivität zu erhalten:

$$ \begin{align} \frac{1}{L} ~=~ \frac{1}{L_1} ~+~ \frac{1}{L_2} ~+~ ... ~+~ \frac{1}{L_n} \end{align} $$