Ich heiße Alexander FufaeV und hier schreibe ich über:

Ideale und reale Spannungsquelle

Wichtige Formel

Formel: Reale Spannungsquelle

$$U = \frac{\class{blue}{U_0}}{1 + \frac{R_{\text i}}{R}}$$ $$U = \frac{\class{blue}{U_0}}{1 + \frac{R_{\text i}}{R}}$$ $$\class{blue}{U_0} ~=~ \left( 1 + \frac{ R_{\text i} }{ R } \right) \, U$$ $$R_{\text i} = \left( \frac{\class{blue}{U_0}}{U} - 1 \right) \, R$$ $$R = \left( \frac{\class{blue}{U_0}}{U} - 1 \right)^{-1} \, R_{\text i}$$

Formel umstellen

Was bedeuten diese Formelzeichen?

Klemmenspannung

$$ U $$ Einheit $$ \mathrm{V} $$

Elektrische Spannung einer unbelasteten (idealen) Spannungsquelle abzüglich der Spannung, die am Innenwiderstand $R_{\text i}$ abfällt.

An der Formel ist zu sehen, dass die Klemmenspannung sowohl vom Innenwiderstand der Spannungsquelle und vom Widerstand des angeschlossenen Verbrauchers abhängt.

Quellspannung

$$ \class{blue}{U_0} $$ Einheit $$ \mathrm{V} $$

Elektrische Spannung einer unbelasteten (idealen) Spannungsquelle - diese hat definitionsgemäß einen unendlichen elektrischen Widerstand.

Innenwiderstand

$$ R_{\text i} $$ Einheit $$ \mathrm{\Omega} $$

Elektrischer Widerstand einer realen Spannungsquelle.

Verbraucherwiderstand

$$ R $$ Einheit $$ \mathrm{\Omega} $$

Elektrischer Widerstand, der an die Klemmen (an denen die Klemmenspannung anliegt) angeschlossen wird. Die Klemmspannung und Quellspannung sind gleich, wenn der Innenwiderstand Null ist.

Eine ideale Spannungsquelle hat keinen Innenwiderstand, d.h. sie liefert eine Spannung $U_0$ (Leerlaufspannung oder Quellspannung genannt), die unabhängig davon ist, welcher Widerstand $R$ an die Klemmen der Spannungsquelle angeschlossen wird. Das heißt die Spannung am Widerstand $R$ ist stets die Spannung $U_0$.

Schaltkreis mit einer idealen Spannungsquelle

Damit die Spannung $U_0$ konstant bleibt, kann der Strom $I$ beliebig werden - je nach Wahl des Widerstands. Dadurch können sehr hohe Ströme entstehen, die die Schaltung beschädigen.

Eine reale Spannungsquelle dagegen hat einen Innenwiderstand $R_{\text i}$, der den Strom $I$ in der Schaltung begrenzt. Die Anwendung der Maschenregel ergibt eine Spannung $U$ am Widerstand $R$, die nicht unbedingt mehr der Quellspannung $U_0$ entsprechen muss:

$$ \begin{align} U ~=~ U_0 - R_{\text i} \, I \end{align} $$

Reale Spannungsquelle mit einem Verbraucherwiderstand.

Damit also eine reale Spannungsquelle möglichst der idealen Spannungsquelle entspricht, muss der Innenwiderstand $R_{\text i}$ so klein wie möglich gewählt werden, damit der zweite Term in 2 näherunsweise wegfällt und dann gilt: $ U \approx U_0 $.

Betrachten wir weiter eine reale Spannungsquelle. Legen wir eine Spannung $U$ an einen Messwiderstand $R$ an. Der Zusammenhang zwischen Spannung und Widerstand ist durch das Ohmsche Gesetz gegeben:

$$ \begin{align} U ~=~ R \, I \end{align} $$

Spannungsmessung - einfacher Schaltkreis

Um nun diese Spannung am Messwiderstand zu messen, wird ein Voltmeter (Spannungsmessgerät) parallel zum Messwiderstand geschaltet. Dieses Voltmeter hat einen Innenwiderstand $ R_{\text v} $. Dadurch verändert sich aber der Spannungswert am Messwiderstand, denn nun fließt ein Anteil $I_{\text R}$ des Gesamtstroms $I = I_{\text R} + I_{\text v} $ durch den Messwiderstand und ein Anteil $I_{\text v}$ durch das Voltmeter:

$$ \begin{align} U ~&=~ R_{\text{ges}} \, I ~~\leftrightarrow \\\\
\frac{U}{R_{\text{ges}}} ~&=~ I_{\text R} + I_{\text V} \end{align} $$

Die Spannung am Messwiderstand und Voltmeter sind natürlich die gleichen $U = R \, I_{\text R}$ und $U = R_{\text V} \, I_{\text V}$, sodass mit Gl. 2 der Gesamtwiderstand angegeben werden kann:

$$ \begin{align} R_{\text{ges}} = \frac{R \, R_{\text V}}{R + R_{\text V}} \end{align} $$

Das heißt, dass die gemessene Spannung anders ist als die tatsächliche Spannung 1 ohne Voltmeter:

$$ \begin{align} U ~&=~ I \, \frac{R \, R_{\text V}}{R + R_{\text V}} \\\\
&=~ I \, \frac{R}{\frac{R}{R_{\text V}} + 1} \end{align} $$

Die gemessene Spannung ist wegen $ R \geq R \, R_{\text V} / (R + R_{\text V}) $ kleiner als die tatsächliche Spannung. Um also verlässlich eine Spannung am Messwiderstand $R$ messen zu können, muss die Spannungsquelle einen möglichst großen Innenwiderstand $R_{\text V} $ haben.

Unterschied zwischen realer und idealer Spannungsquelle

Eine ideale Spannungsquelle hat im Gegensatz zu einer realen Spannungsquelle einen unendlichen Innenwiderstand $R_{\text V} \rightarrow \infty $. Eine ideale Spannungsquelle verfälscht also nicht die tatsächliche Spannung am Messwiderstand.

Darf man die Elektrode eines Schweißgerätes beim Lichtbogenschweißen anfassen?

Beim Lichtbogenschweißen wird eine Spannungsquelle benutzt, die eine Leerlaufspannung $U_0$ vorgibt, die zwischen dem Werkstück und der Schweißelektrode angelegt ist. Eine reale Spannungsquelle hat außerdem einen Innenwiderstand $ R_{\text i} $. Der Schweißwiderstand $ R $ ist der elektrische Widerstand zwischen der Elektrode und dem Werkstück. Dieser Widerstand wird größer, wenn die Elektrode vom Werkstück weiter entfernt wird und er wird kleiner, wenn die Elektrode zum Werkstück hin bewegt wird. Wird die Elektrode so nah an das Werkstück gebracht, dass der Schweißwiderstand sehr klein ist, dann entsteht ein Lichtbogen mit einem hohen Strom $I$ zwischen der Elektrode und dem Werkstück. Klingt erstmal gefährlich.

Spannungsquelle mit einem Innenwiderstand und dem Widerstand $R$ zwischen Elektrode und Werkstück.

Wie in der Illustration gezeigt, gilt nach der Maschenregel und dem Ohm-Gesetz der folgende Zusammenhang:

$$ \begin{align} U ~=~ \frac{U_0}{\frac{R_{\text i}}{R} + 1 } \end{align} $$

Hierbei ist $U$ die elektrische Spannung zwischen der Elektrode und dem Werkstück.

Fall 1: Wird die Elektrode vom Werkstück entfernt, dann wird der Schweißwiderstand $ R $ groß. Damit wird in 1 der Quotient $ R_{\text i} / R$ klein und im Grenzfall: U = U_0.

Da aber der Strom $ I = \frac{U_0}{R} $ mit großem $ R $ sehr klein wird, kann die Elektrode bedenkenlos angefasst werden.

Beispiel: Beim Nichtschweißen

Sei $U_0 = 50 \, \text{V} $, $ R_{\text i} = 1 \, \Omega $ und $ R = 100 \, \text{k}\Omega $. Dann ist die Schweißspannung: $ U = 50 \, \text{V} $. Und der Strom $ I = 0.5 \, \text{mA} $

Fall 2: Wenn die Elektrode dem Werkstück genähert wird, dann wird der Schweißwiderstand $ R $ klein (so klein, dass ein Lichtbogen entsteht). Mit kleinem $ R $ wird das Verhältnis $ R_{\text i} / R $ in 1 groß. Damit wird aber $U$ klein. Folglich wäre es während des Schweißens nicht gefährlich die Elektrode anzufassen, weil die Spannung eben klein ist.

Beispiel: Während des Schweißens

Sei $U_0 = 50 \, \text{V} $, $ R_{\text i} = 1 \, \Omega $ und $ R = 0.3 \, \Omega $. Dann ist die Schweißspannung gerade mal $ U = 11.5 \, \text{V} $. Aber der Strom $ I = 38 \, \text{A} $ zwischen der Elektrode und dem Werkstück.