Kirchhoff-Regeln: Knotenregel + Maschenregel
1. Kirchoffsche Regel - Knotenregel
Aus einem Knoten kann nicht mehr Strom herausfließen, als dort hineinfließt. Der hineinfließende elektrische Strom \( I_{\text{IN}} \) ist gleich dem herausfließenden Strom \( I_{\text{OUT}} \): 1 \[ I_{\text{IN}} ~=~ I_{\text{OUT}} \]
Ein Knoten ist ein Punkt (oder sogar ein ganzes Netzwerk) in einer Schaltung, in den elektrische Ströme hinein- und hinausfließen.
Wenn beispielsweise die Ströme \( I_1 \) und \( I_2 \) durch eine Leitung in einen Knotenpunkt hineinfließen und die Ströme \( I_3 \), \( I_4 \) und \( I_5 \) aus diesem Knotenpunkt herausfließen, dann folgt nach der Knotenregel 1
, dass der gesamte hineinfließende Strom \( I_{\text{IN}} = I_1 + I_2 \) genauso groß sein muss wie der gesamte herausfließende Strom \( I_{\text{OUT}} = I_3 + I_4 + I_5 \):
2
\[ I_1 ~+~ I_2 ~=~ I_3 ~+~ I_4 ~+~ I_5 \]
Die Knotenregel kann auch etwas "praxisnäher" formuliert werden (an der Aussage ändert sich aber nichts). Bringe dazu einfach die herausfließenden Ströme in 2
auf die linke Seite der Gleichung:
3
\[ I_1 ~+~ I_2 ~-~ I_3 ~-~ I_4 ~-~ I_5 ~=~ 0 \]
und schreib 3
so um, als würdest Du vorzeichenbehaftete Ströme addieren ("+" MAL "-" ist immernoch "-"):
4
\[ I_1 ~+~ I_2 ~+~ (-I_3) ~+~ (-I_4) ~+~ (-I_5) ~=~ 0 \]
Der Vorteil der Schreibweise wie in 4
ist: Du kannst die Gleichung für die Knotenregel 1
nun mit einem Summenzeichen kompakter und allgemeiner aufschreiben:
Der Summationsindex \( j \) kann nicht nur von 1 bis 5 gehen, wie in dem obigen Beispiel, sondern kann auch bis 10 oder 20 oder 1000 gehen, je nach dem, wieviele Ströme in einen Knoten hinein- und herausgehen.
Um die Knotenregel anwenden zu können, muss die Richtung der elektrischen Ströme bekannt sein, sonst weißt Du gar nicht, ob der jeweilige Strom in einen Knoten hineingeht oder herausgeht! Die Summe in 5
würde dann niemals NULL ergeben, wenn Du nur positive Strombeiträge summierst.
Gegeben sind die in einen Knoten hineingehenden Ströme \( I_1 = 1 \, \text{A} \) und \( I_2 = 5 \, \text{A} \). Aus dem Knoten gehen drei andere Ströme raus: \( I_3 = -1 \, \text{A} \), \( I_4 = -2 \, \text{A} \) und \( I_5 \). Der Strom \( I_5 \) ist Dir blöderweise nicht bekannt, also wendest Du die Knotenregel an: \[ I_1 + I_2 + I_3 + I_4 + I_5 ~=~ 1 \, \text{A} + 5 \, \text{A} - 1 \, \text{A} - 2 \, \text{A} + I_5 ~\overset{!}{=}~ 0 \]
Durch Umstellen der Gleichung findest Du den unbekannten Strom heraus: \( I_5 = -3 \, \text{A} \).
Aber Achtung! Natürlich wird diese Regel nicht funktionieren, wenn durch irgendein Mechanismus im Knoten (z.B. ein schwarzes Loch, ein Kondensator, ein Leck oder sonst irgendetwas) der Strom verschwindet oder stecken bleibt. Dann fehlt ja bei \( I_{\text{OUT}} \) ein Teil des hineingeflossenen Stroms \( I_{\text{IN}} \). Die StromERHALTUNG, die durch die Knotenregel vorausgesetzt wird, ist dann dementsprechend nicht mehr gegeben.
2. Kirchoffsche Regel - Maschenregel
Die Maschenregel funktioniert ähnlich wie die Knotenregel, nur, dass Du in diesem Fall Spannungen statt Ströme addierst und nicht einen Knotenpunkt betrachtest, sondern eine bestimmte Leiterschleife (Masche) in Deinem Netzwerk.
Die 2. Kirchoffsche Regel besagt: Alle elektrischen Spannungen in einem Teilnetzwerk (oder ganzen Netzwerk) addieren sich bei Durchlaufen einer Leiterschleife (Masche) zu Null!
Betrachte beispielsweise eine Wheatstonesche Messbrücke, mit der Du einen Dir unbekannten Widerstand bestimmen kannst. Dort gibt es drei nützliche Maschen. Masche A im Bild enthält die Quellspannung \( U_0 \) und die anderen Spannungen \( U_1 \), \( U_3 \) an den Widerständen \( R_1 \) und \( R_3 \). Mithilfe der vorgegebenen Richtung der Quellspannung (durch ein Pfeil gekennzeichnet) gehst Du die Masche durch, summierst alle Teilspannungen auf und setzt die Summe gleich Null (wegen der Maschenregel 6
). In der betrachteten Masche sind es \( U_1 \), \( U_3 \) und \( U_0 \):
9
\[ U_0 ~+~ U_1 ~+~ U_3 ~=~ 0 \]
Das Coole ist: Wenn Du beispielsweise \( U_0 \) und \( U_3 \) kennst, kannst Du mithilfe der Maschenregel sofort \( U_1 \) berechnen, indem Du die Gleichung 9
nach der gesuchten Spannung umstellst. Auch der Strom oder Widerstände sind damit bestimmbar (unter Zuhilfenahme des Ohmschen Gesetzes).
Ein kleiner Tipp Wenn Du in einer Schaltung etwas wie Spannung oder Strom berechnen musst und in der Schaltung Richtungspfeile für Strom bzw. Spannung eingezeichnet sind, dann ist das ein deutliches Zeichen dafür, dass Du Knotenregel und / oder Maschenregel anwenden musst, um das Problem zu lösen.
Übungen mit Lösungen
Nutze diese Formelsammlung, wenn du Probleme mit Physikaufgaben hast.Aufgabe #1: Spannungsteiler für eine 12V Spannung
Du möchtest aus der Steckdose, die eine Netzspannung von \(230 \, \text{V}\) liefert, eine Spannung von \(12 \, \text{V}\) realisieren. Dazu konstruierst Du einen Spannungsteiler aus zwei Widerständen \(R_1\) und \(R_2\). Am \(R_2\) möchtest Du dann die \(12 \, \text{V}\) abgreifen.
- In welchem Verhältnis müssen dafür die beiden Widerstände gewählt werden?
- Warum ist diese Vorgehensweise nicht energieeffizient?
Lösung zur Teilaufgabe #1.1
Die Gesamtspannung \(U_{\text{in}} = 230 \, \text{V} \) fällt an den beiden Widerständen \(R_1\) und \(R_2\) ab; also an dem Gesamtwiderstand \(R = R_1 + R_2 \). Das Ohm-Gesetz lautet also in diesem Fall: 1.1 \[ U_{\text{in}} = R \, I \] hierbei ist \(I\) der elektrische Strom, der durch den Schaltkreis geht. Zu beachten ist, dass dieser Strom \(I\) der gleiche ist, der sowohl durch den Widerstand \(R_1\) als auch durch den Widerstand \(R_2\) geht.
Die Ausgangsspannung \(U_{\text{out}}\), die am Widerstand \(R_2\) abfällt, muss \(12 \, \text{V}\) sein. Das ist ja gewünscht! Das Ohm-Gesetz für den Widerstand \(R_2\) lautet: 1.2 \[ U_{\text{out}} = R_2 \, I \]
Der Strom \(I\) ist unbekannt. Dieser kann eliminiert werden, in dem Gl. 1.2
nach dem Strom umgestellt und dann in Gl. 1.1
eingesetzt wird:
\[ U_{\text{in}} = \frac{R}{R_2} \, U_{\text{out}} \]
Das Verhältnis vom Gesamtwiderstand zum Widerstand \(R_2\) an dem die \( 12 \, \text{V} \) abgegriffen werden, muss also betragen: \[ \frac{U_{\text{in}}}{ U_{\text{out}} } = \frac{R}{R_2} \]
Einsetzen der konkreten Werte (die Einheit V kürzt sich weg) ergibt: \[ \frac{ 230 }{ 12 } = \frac{R}{R_2} \]
Damit also eine Spannung von \( 12 \, \text{V} \) am zweiten Widerstand abfällt, muss beispielsweise \(R_1 = 218 \, \Omega\) und \(R_2 = 12 \, \Omega \) betragen, sodass das berechnete Verhältnis \( R/R_2 = 230 / 12 \) herauskommt.
Lösung zur Teilaufgabe #1.2
Um sich den Energieverbrauch pro Sekunde anzuschauen, der tatsächlich vom \(R_2\) kommt und den Teil des Energieverbrauchs, der beim \(R_1\) ungenutzt 'verpuffert' wird, wird die Gesamtleistung \(P\) mit der am zweiten Widerstand umgesetzten Leistung \(P_2\) verglichen.
Die elektrische Leistung \(P\) der gesamten Schaltung ist: 6 \[ P = \frac{U_{\text{in}}^2}{R} \]
Die tatsächlich genutzte Leistung am Widerstand \(R_2\) ist dagegen: 7 \[ P_2 = \frac{U_{\text{out}}^2}{R_2} \]
Das Verhältnis von 7
zur Gesamtleistung 6
ergibt:
8
\[ \frac{P_2}{P} = \frac{U_{\text{out}}^2}{ U_{\text{in}}^2 } \, \frac{R}{R_2} \]
Einsetzen der konkreten Werte sowie das in Teilaufgabe (a) berechnete Verhältnis 5
:
8
\[ \frac{P_2}{P} = \frac{ (12 \, \text{V})^2 }{ (230 \, \text{V})^2 } \, \frac{230}{12} = 5.2 \, \% \]
Die tatsächlich genutzte Leistung am Widerstand \(R_2\) beträgt nur \( 5.2 \, \% \). Der Rest wird am nicht genutzten Widerstand \(R_1\) "verpufft". Deshalb ist diese Schaltung nicht energieeffizient!
Aufgabe #2: Ein Schaltkreis mit 4 Widerständen
Im Folgenden wollen wir die Kirchhoff-Regeln auf verschiedene Schaltkreise mit Widerständen anwenden.
Eine Schaltung besteht aus vier Widerständen \(R_1\), \(R_2\), \(R_3\) und \(R_4\) sowie zwei Spannungsquellen \(U_{\text a}\) und \(U_{\text b}\). Stelle mithilfe von Kirchhoff-Regeln ein Gleichungssystem für die Ströme auf. Löse anschließend das aufgestellte Gleichungssystem.
Tipp: Identifiziere zuerst in der Schaltung alle Knoten und zeichne in die Knoten hinein- und herausfließenden Ströme. Zeichne auch Maschen ein (es sind drei Maschen notwendig).
Lösung zur Aufgabe #2
Bevor die Maschen- und Knotenregel angewendet werden können, wird zuerst die Schaltung beschriftet. Dazu werden die Maschen ausgewählt. In diesem Fall eignen sich drei Maschen (wie in der Illustration eingezeichnet). Die Umlaufrichtung für die Maschen wird zum Beispiel im Uhrzeigersinn festgelegt. Beachte jedoch, dass die Maschenrichtung dann für alle Maschen eingehalten werden muss!
Knotenpunkt #1 (oben links):
In diesen Knotenpunkt zeigt der Strom \(I_1\) hinein (Vorzeichen ist somit positiv) aber \(I_2\) und \(I_3\) zeigen heraus (Vorzeichen ist negativ). Nach der Knotenregel kann daraus die folgende Gleichung gewonnen werden:
1
\[ I_1 - I_2 - I_3 = 0 \]
Knotenpunkt #2 (oben rechts):
In diesen Knotenpunkt zeigt der Strom \(I_3\) hinein (Vorzeichen ist somit positiv). Ein Teil dieses Stroms spaltet sich auf in \(I_4\) und ein Teil in \(I_5\). Beide zeigen aus dem Knotenpunkt heraus (Vorzeichen ist negativ). Also:
2
\[ I_3 - I_4 - I_5 = 0 \]
Masche #1 (links):
Die Maschenrichtung wurde im Uhrzeigersinn festgelegt. Das heißt die Spannungen in der Masche werden in die Uhrzeigersinn-Richtung positiv gezählt:
3
$$ \begin{align}
U_1 + U_2 - U_{\text a} &~=~ 0 ~\leftrightarrow \\\\
R_1 \, I_1 + R_2 \, I_2 &~=~ U_{\text a}
\end{align} $$
hierbei ist \(U_1\) die Spannung, die am Widerstand \(R_1\) und \(U_2\) die Spannung, die am Widerstand \(R_2\) abfällt. Außerdem wurde das Ohm-Gesetz benutzt, um die Spannung mit den gesuchten Strömen auszudrücken.
Masche #2 (mitte):
An dieser Masche kann abgelesen werden:
4
$$ \begin{align}
U_{\text b} - U_2 + U_3 &~=~ 0 ~\leftrightarrow \\\\
R_2 \, I_2 - R_3 \, I_3 &~=~ U_{\text b}
\end{align} $$
hierbei ist \(U_2\) die Spannung, die am Widerstand \(R_2\) und \(U_3\) die Spannung, die am Widerstand \(R_3\) abfällt.
Masche #3 (rechts):
An dieser Masche kann abgelesen werden:
5
$$ \begin{align}
U_4 - U_{\text b} &~=~ 0 ~\leftrightarrow \\\\
R_4 \, I_4 &~=~ U_{\text b}
\end{align} $$
hierbei ist \(U_4\) die Spannung, die am Widerstand \(R_4\) abfällt.
Im Prinzip ist das Gleichungssystem fertig. Das Gleichungssystem 1
bis 5
können kompakt in der Matrixschreibweise zusammengefasst werden:
6
$$ \begin{bmatrix} 1 & -1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & -1 \\ R_1 & R_2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & R_2 & -R_3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & R_4 & 0 \end{bmatrix} \, \begin{bmatrix}I_1 \\ I_2 \\ I_3 \\ I_4 \\ I_5 \end{bmatrix} ~=~ \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ U_{\text a} \\ U_{\text b} \\ U_{\text b} \end{bmatrix} $$
Das Lösen des aufgestellten Gleichungssystems 6
kann mit dem Gauß-Verfahren geschehen. Da es zu langwierig ist, wird einfach das Gleichungssystem mit dem Computer gelöst. Das Ergebnis ist:
7
\[ I_1 = \frac{ R_2 \, U_{\text a} + R_3 \, U_{\text a} - R_2 \, U_{\text b} }{ R_1 \, R_2 + R_1 \, R_3 + R_2 \, R_3 } \]
\[ I_2 = \frac{ R_3 \, U_{\text a} + R_1 \, U_{\text b} }{ R_1 \, R_2 + R_1 \, R_3 + R_2 \, R_3 } \]
\[ I_3 = \frac{ R_2 \, U_{\text a} - R_1 \, U_{\text b} - R_2 \, U_{\text b} }{ R_1 \, R_2 + R_1 \, R_3 + R_2 \, R_3 } \]
\[ I_4 = \frac{ U_{\text b} }{ R_4 } \]
\[ I_5 = \frac{ R_2 \, R_4 \, U_{\text a} - R_1 \, R_2 \, U_{\text b} - R_1 \, R_3 \, U_{\text b} - R_2 \, R_3 \, U_{\text b} - R_1 \, R_4 \, U_{\text b} - R_2 \, R_4 \, U_{\text b} }{ (R_1 \, R_2 + R_1 \, R_3 + R_2 \, R_3) \, R_4 } \]
Aufgabe #3: Ein Schaltkreis mit 6 Widerständen
Bestimme alle elektrischen Ströme und Spannungen im Netzwerk mit sechs Widerständen \(R_1 = 2\,\mathrm{k}\Omega\), \(R_2 = 30\,\Omega\), \(R_3 = 95\,\Omega\), \(R_4 = 400\,\Omega\), \(R_5 = 700\,\Omega\) und \(R_6 = 1.2\,\mathrm{k}\Omega\) sowie der vorgegebenen Quellspannung \(U_{\text q} = 3 \, \mathrm{V} \).
Tipp: Benutze z.B. das Gauß-Verfahren, um das aufgestellte Gleichungssystem zu lösen.
Lösung zur Aufgabe #3
Linke Seite des Schaltkreises:
Die Spannung am Widerstand \(R_1\) ist nach der Skizze \(U_{\text q}\). Bei gegebenem Widerstand \(R_1\) kann der Strom durch den Widerstand \(R_1\) mit dem Ohm-Gesetz berechnet werden:
Die Spannung, die an beiden Widerständen \(R_2\) und \(R_3\) abfällt ist \(U_{\text q}\). Das kann leicht nachvollzogen werden, wenn die beiden in Reihe geschalteten Widerstände zusammengefasst werden \(R_2 + R_3\). Der Strom \(I_{23}\) durch die Widerstände \(R_2\) und \(R_3\) ist also: 2 \[ I_{23} = \frac{U_{\text q}}{R_2 + R_3} = 24 \, \text{mA} \]
Nach der Knotenregel muss der Strom \(I_{123}\) die Summe der eben berechneten Teilströme 1
und 2
sein:
3
\[ I_{123} = I_1 + I_{23} = 25.5 \, \text{mA} \]
Die Spannung am Widerstand \(R_1\) ist, wie bereits gesagt, die Quellspannung: 4 \[ U_1 = U_{\text q} = 3 \, \text{V} \]
Da der Strom \(I_{23}\) bereits bestimmt wurde, kann mit seiner Hilfe die Spannung \(U_3\) am Widerstand \(R_3\) berechnet werden: 5 \[ U_3 = R_3 \, I_{23} = 2.28 \, \text{V} \]
Analog auch die Spannung \(U_2\) am Widerstand \(R_2\). Durch diesen fließt auch der Strom \(I_{23}\): 6 \[ U_2 = R_2 \, I_{23} = 0.72 \, \text{V} \]
Rechte Seite des Schaltkreises:
Um den Strom \(I_{456}\) zu bestimmen, werden die Widerstände auf der rechten Seite der Schaltung zusammengefasst. Die Widerstände \(R_5\) und \(R_6\) sind parallel geschaltet, folglich ist deren Gesamtwiderstand \(R_{56}\) die Summe der Reziprokwerte \(1/R_{56} = 1/R_5 + 1/R_6\), oder alternativ formuliert:
7
\[ R_{56} = \frac{R_5 \, R_6}{R_5 + R_6} = 442.1 \, \Omega \]
Der Widerstand \(R_{56}\) ist mit dem Widerstand \(R_4\) in Reihe geschaltet, folglich addieren sich die beiden Widerstände: 8 \[ R_{456} = \frac{R_5 \, R_6}{R_5 + R_6} + R_4 = 842.1 \, \Omega \]
Wie viel Spannung an dem zusammengefassten Widerstand 8
abfällt, ist nun bekannt, nämlich die Quellspannung. Daraus kann mit dem Ohm-Gesetz der Strom \(I_{456}\) durch diesen Widerstand bestimmt werden:
9
\[ I_{456} = \frac{U_{\text q}}{R_{456}} = 3.56 \, \text{mA} \]
Da nun der Strom \(I_{456}\) durch den Widerstand \(R_4\) bekannt ist, kann die Spannung, die an diesem Widerstand abfällt, berechnet werden:
Die dritte Maschenregel besagt: 11 \[ U_{\text q} = U_4 + U_5 \]
Stelle 11
nach der unbekannten Spannung \(U_5\) um, und berechne:
12
\[ U_5 = U_{\text q} - U_4 = 1.576 \, \text{V} \]
Die vierte Masche ergibt: 13 \[ U_6 = U_5 = 1.576 \, \text{V} \]
Die Knotenregel \(I_{456} = I_5 + I_6\) ergibt: 14 \[ I_6 = I_{456} - \frac{U_5}{R_5} = 1.3 \, \text{mA} \]
hierbei ist \(U_5/R_5\) der Strom \(I_5\). Ebenfalls nach der Knotenregel und mit 14
folgt:
15
\[ I_5 = I_{456} - I_6 = 2.26 \, \text{mA} \]
Der Quellstrom \(I_{\text q}\) ist nach der Knotenregel: 16 \[ I_{\text q} = I_{123} + I_{456} = 29.06 \, \text{mA} \]
Damit ist die Aufgabe vollständig gelöst - alle Ströme und Spannungen an den Widerständen wurden bestimmt!