Was sind konservative Kräfte?
Eine konservatives Feld \( \boldsymbol{E} \) (z.B. elektrisches Feld) besitzt stets ein Potential \( \varphi \), das heißt sie kann als Gradient eines Potentials \(\varphi\) geschrieben werden:
Hierbei ist \( \nabla \) der Nabla-Operator. Ein elektrisches Feld ist »Kraft pro Ladung«, ein Gravitationsfeld ist »Kraft pro Masse«. Wir können die obige Gleichung auch mit der Kraft \( \boldsymbol{F} \) und der potentiellen Energie \( W_{\text{pot}} \) ausdrücken:
In einem System, in dem konservative Kräfte wirken, ist die Summe aus potenzieller und kinetischer Energie erhalten (d.h. zeitlich konstant). Die verrichtete Arbeit in so einem konservativen System ist unabhängig vom gewählten Weg - lediglich die Wegdifferenz ist entscheidend!
Gravitationskraft, Federkraft, Coulombkraft. Sobald Reibungskräfte auftreten, ist das System nicht mehr konservativ.
Warum ist Kraft der negative Gradient der potentiellen Energie?
Der Nabla-Operator \(\nabla\), angewendet auf eine skalare Funktion \(W_{\text{pot}}(x,y,z)\): \(\nabla \, W_{\text{pot}}\) ist für eine mehrdimensionale Kraft gedacht: \(\boldsymbol{F} = (F_1, ~F_2, ~F_3)\). Wenn wir die Kraft \(F_1 := F\) nur in EINER Dimension betrachten, wird der Nabla-Operator zur partiellen Ableitung:
Gleichung 2
ist nichts anderes als die Definition der Arbeit, die auf beiden Seiten abgeleitet wird, um die Gleichung 2
für die Kraft zu bekommen:
\frac{\partial}{\partial x} \, W_{\text{pot}} ~&=~ - \int \frac{\partial F}{\partial x} \, \, \text{d}x \leftrightarrow \\\\
- \frac{\partial W_{\text{pot}}}{\partial x} ~&=~ F
Warum ist aber in der Definition 3
der potentiellen Energie ein Minuszeichen enthalten und damit auch im Gradienten 1
der potentiellen Energie? Das Minuszeichen ist eine Definition. Doch diese Definition ist durch das Naturprinzip motiviert, dass die Natur die (potentielle) Energie eines Körpers stets zu minimieren versucht. Zum Beispiel fällt der Apfel zu Boden, um seine potentielle Energie zu minimieren. Ohne das Minuszeichen würde 1
bedeuten, dass, wenn der Apfel seine Höhe über dem Boden reduziert, seine potentielle Energie zunimmt. Um seine Energie aber zu minimieren, wird das Minuszeichen in 1
eingeführt.
Wie beweist man, dass eine Kraft NICHT konservativ ist?
Um zu überprüfen, ob eine auf ein Objekt einwirkende Kraft \(\boldsymbol{F}\) konservativ oder nicht-konservativ ist, muss die Arbeit \(W\) entlang des betrachteten geschlossenen Wegs \(L\) berechnet werden:
Wenn das Integral NICHT Null ist, dann ist die Kraft NICHT konservativ, d.h. die Summe aus kinetischer und potentieller Energie ist nicht erhalten. Die Vorgehensweise mit dem Wegintegral gilt jedoch nur für den geschlossenen Weg \(L\).
Um zu überprüfen, ob das Wegintegral für alle geschlossenen Wege \(L\) Null ergibt, muss die Rotation von \(\boldsymbol{F}\) berechnet werden. Die Rotation der Kraft muss Null ergeben, wenn es eine konservative Kraft ist:
Wenn die Rotation \(\nabla \times \boldsymbol{F}\) des Kraftfeldes \(\boldsymbol{F}\) Null ist, dann ist die Kraft konservativ.