Ich heiße Alexander FufaeV und hier schreibe ich über:

Interferenz und wie der Gangunterschied sie verursacht

Wichtige Formel

Formel: Bedingung für konstruktive Interferenz

$$\Delta s ~=~ m \, \lambda$$ $$\Delta s ~=~ m \, \lambda$$ $$m ~=~ \frac{ \Delta s }{ \lambda }$$ $$\lambda ~=~ \frac{ \Delta s }{ m }$$

Formel umstellen

Was bedeuten diese Formelzeichen?

Gangunterschied

$$ \Delta s $$ Einheit $$ \mathrm{m} $$

Der Gangunterschied ist die Wegdifferenz zwischen dem Weg einer Welle und einer anderen Welle, bis zum Betrachtungspunkt (z.B. zum Punkt, wo ein heller Interferenzstreifen zu sehen ist). Der Gangunterschied gibt also an, um wie viele Wellenlängen eine Welle gegenüber einer anderen Welle vorauseilt bzw. nacheilt.

Für konstruktive Interferenz nimmt der Gangunterschied folgende Werte an: \[ \Delta s ~=~ 0,~ \lambda,~ 2 \, \lambda,~ 3 \, \lambda, ~... \]

Ordnungszahl

$$ m $$ Einheit $$ - $$

Ordnungszahl nimmt im Fall der konstruktiven Interferenz folgende Werte an: $ m = 0, 1, 2, ... $ (ganze positive Zahlen). Ordnungszahl gibt den Faktor an, um wie viel eine Welle gegenüber der anderen vorauseilt.

Wellenlänge

$$ \lambda $$ Einheit $$ \mathrm{m} $$

Wellenlänge der beiden betrachteten Wellen. Also die Wellenlänge des verwendeten Lichts.

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Inhaltsverzeichnis

Interferenz ist ein Fachwort für Überlagerung von Wellen. In dieser Lektion schauen wir uns genau mathematisch an, wie zwei Sinuswellen miteinander interferieren und damit eine größere Sinuswelle bilden (konstruktive Interferenz) oder sich komplett auslöschen (destruktive Interferenz).

Wo kommt Interferenz vor?

Interferenz ist ein grundlegendes Phänomen, welches überall dort in der Natur und Technik vorkommt, wo es um Wellen geht. Und aus Wellen besteht vieles um uns drum herum.

Wasserwellen am Meer.
Schallwellen, die uns beispielsweise die verbale Kommunikation mit anderen Menschen erlauben.
Lichtwellen, die z.B. unsere Sonne aussendet.
Materiewellen von kleinsten Teilchen, wie Elektronen, die ebenfalls Interferenzerscheinungen zeigen.

Andere Anwendungen sind zum Beispiel Antireflexbeschichtungen, wie die Entspiegelung bei Brillen. Aber auch Interferometer, mit denen man kleinste Längenänderungen vermessen kann. Dazu gehören zum Beispiel Michelson-Interferometer, Mach-Zehnder-Interferometer, Sagnac-Interferometer und Weißlichtinterferometrie, die du vielleicht später in deinem Leben kennenlernen wirst, wenn du den Weg der Physik beschreitest.

In der Physik findest Du die Interferenz wieder beim Doppelspaltexperiment, bei akustischer Schwebung oder bei der Bragg-Reflexion.

Wie wird Interferenz erzeugt?

Um zu verstehen, was bei der Überlagerung von Wellen passiert, musst Du erstmal Wellen erzeugen.

Du kannst beispielsweise zwei Steine nebeneinander ins Wasser werfen. Diese erzeugen Wasserwellen, treffen aufeinander und interferieren.
Du kannst zwei Lautsprecher anmachen. Diese erzeugen Schallwellen, die miteinander interferieren können.

Damit es nicht zu kompliziert wird, schauen wir uns Interferenz an einem sehr einfachen, aber sehr grundlegenden Beispiel an:

Eindimensionale Sinuswelle, die sich entlang der $x$-Achse ausbreitet.

Die Sinuswelle ist eine Abfolge von Wellenbergen und Wellentälern und hat zwei für die Interferenz wichtige Eigenschaften:

Wellenlänge $ \lambda $ ("Lamm-da!") - das ist der Abstand zweier Wellenberge (oder Wellentäler).
Amplitude $ A $ - diese gibt an, wie hoch der der Ausschalg einer Welle ist. Eine Schallwelle mit einer größeren Amplitude ist lauter.

Eine Sinuswelle breitet sich im Raum, entlang der $x$-Achse aus.

Schaltest Du einen Lautsprecher-Sinuston an, so wird der Ton in unterschiedliche Richtungen ausgesendet, sodass ihn jeder im Raum hören kann. Lass uns die Amplitude auf den Wert $ A ~=~ 1$ setzen, damit wir mit ihr leicht zwei Wellen überlagern können.

Eine Welle allein reicht nicht aus, um Interferenz zu untersuchen. Wir brauchen dazu noch eine weitere Welle. Diese kann beispielsweise von einem anderen daneben stehenden Lautsprecher erzeugt werden. Lass uns beim zweiten Lautsprecher genau den gleichen Sinuston anschalten. Das hat den Vorteil, dass die Wellenlängen der beiden Sinuswellen gleich sind und das Rechnen dadurch etwas einfacher wird. Natürlich kannst du auch beliebige andere Wellen betrachten.

Konstruktive Interferenz zweier Sinuswellen

Sobald die beiden Sinuswellen aufeinandertreffen, überlagern sie sich. Wir haben sie so losgeschickt, dass ein Wellenberg der einen Sinuswelle auf einen Wellenberg der anderen Sinuswelle trifft. Auch jedes Wellental trifft auf entsprechendes Wellental am gleichen Ort.

Um die Interferenz mathematisch durchzuführen, gehst du folgendermaßen vor:

Wähle irgendeine Position $x$ aus, an der du die beiden Wellen überlagern möchtest.
Addiere die Amplitude der einen Welle $ A_1 $ zu der Amplitude $A_2$ der anderen Welle bei der gleichen Position $x$. Die Summe der beiden Amplituden ergibt die Amplitude $A(x)$ der resultierenden Welle an dem betrachteten Ort: $ A(x) = A_1(x) + A_2(x) $.
Zeichne den Wert der neuen Amplitude in ein $A$-$x$-Diagramm an der betrachteten Position $x$ ein.

Nimm beispielsweise zwei Maxima (Wellenberge) am gleichen Ort $x$. Da beide Wellenberge die Amplitude 1 haben, beträgt die resultierende Amplitude:

$$ \begin{align} A(x) ~=~ 1 ~+~ 1 ~=~ 2 \end{align} $$

Nimm dann zum Beispiel zwei Minima (Wellentäler) am gleichen Ort $x$. Da beide Wellentäler die Amplitude -1 haben, beträgt die resultierende Amplitude:

$$ \begin{align} A(x) ~=~ (-1) ~+~ (-1) ~=~ -2 \end{align} $$

Analog gehst du mit allen anderen Positionen $x$ vor. Wenn du all die resultierenden Punkte in ein Diagramm einträgst und diese miteinander verbindest, bekommst du eine resultierende Welle.

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Konstruktive Interferenz: so verstärken sich zwei Sinuswellen.

In diesem Beispiel war es eine sogenannte konstruktive Interferenz, weil die Amplitude der neuen Sinuswelle doppelt so groß geworden ist wie die Amplitude der ursprünglichen Wellen. Der resultierende Ton, den diese Schallwelle beschreibt, ist doppelt so laut!

Wann tritt konstruktive Interferenz auf?

Konstruktive Interferenz tritt immer auf, wenn ein Wellenberg der einen Welle auf den Wellenberg der anderen Welle trifft und sich die Wellen somit verstärken.

Gangunterschied zweier Sinuswellen

Ob zwei Wellen konstruktiv interferieren, hängt davon ab, wie die beiden Wellen relativ zueinander positioniert sind. Im obigen Beispiel lag die eine Welle genau "über der anderen" Welle. Wir sagen dazu auch: Die eine Welle eilt der anderen nicht vor und nicht nach.

Konstruktive Interferenz hast Du aber auch dann, wenn die eine Welle um $\lambda$ nach rechts oder nach links verschiebst. In diesem Fall liegt ebenfalls ein Wellenberg über einem Wellenberg. Eine weitere Verschiebung um $\lambda$, also um insgesamt $ 2\lambda$ ergibt wieder einen Fall, wo Wellenberge übereinander liegen und konstruktive Interferenz eintritt.

Konstruktive Interferenz tritt auch bei allen anderen ganzzahligen Verschiebung $ 3 \, \lambda $, $ 4 \, \lambda $ und so weiter. Aber auch bei negativen Verschiebungen um $ -1 \, \lambda $, $ -2 \, \lambda $, $ -3 \, \lambda $ und so weiter.

Dieser Wert der Verschiebung wird Gangunterschied $ \Delta s $ genannt.

Was gibt der Gangunterschied an?

Der Gangunterschied gibt an, um welchen Weg eine Welle gegenüber einer anderen Welle vorauseilt oder nacheilt.

Halten wir also allgemein fest: Damit konstruktive Interferenz zweier Wellen eintreten kann, muss der Gangunterschied ein Vielfaches der Wellenlänge sein:

$$ \begin{align} \Delta s ~=~ m \, \lambda \end{align} $$

Hierbei ist $m$ eine Zahl, die negative und positive ganze Zahlen annehmen kann: $ m ~=~ ...-2,-1,0,1,2... $.

Destruktive Interferenz zweier Sinuswellen

Was ist aber, wenn die eine Sinuswelle der anderen Welle nicht um ein Vielfaches $ m \, \lambda $ , sondern um genau die Hälfte der Wellenlänge, also um $ \lambda/2 $ vorauseilt? Dann trifft jeder Wellenberg auf ein Wellental. Die Auslenkungen am Wellental und Wellenberg addieren sich stets an jedem Ort zu Null. An den Nullstellen addieren sich die Auslenkungen ebenfalls zu Null: 0 + 0 = 0. Und auch an jeder anderen Stelle addieren sich die Auslenkungen zu Null. Die beiden Wellen löschen sich komplett aus. In diesem Fall haben wir eine destruktive Interferenz. Sie tritt immer auf, wenn die eine Welle der anderen um $ \lambda/2 $ vorauseilt. Oder aber auch um $ \lambda/2 +1\lambda $. Oder $ \lambda/2 +2\lambda $, oder $ \lambda/2 +3\lambda $ und so weiter.

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Destruktive Interferenz: so löschen sich zwei Sinuswellen aus.

$$ \begin{align} \Delta s ~=~ \lambda/2 ~+~ m \, \lambda \end{align} $$

$$ \begin{align} \Delta s ~=~ \left( 1/2 ~+~ m \right) \, \lambda \end{align} $$

Hierbei ist $ m $ wieder eine ganze Zahl mit den Werten: $ m ~=~ ...-2,-1,0,1,2... $

Partielle Interferenz

Bis jetzt haben wir zwei Spezialfälle betrachtet: wo ein Wellenberg perfekt auf den anderen Wellenberg getroffen ist, also konstruktive Interferenz, und wo ein Wellenberg perfekt auf ein Wellental getroffen ist, also destruktive Interferenz. Das muss aber nicht immer so sein! Die Wellen könnten genauso gut nur teilweise (partiell) miteinander interferieren. Das würde bedeuten, dass der Wellenberg eben NICHT GENAU auf den anderen Wellenberg trifft… Aber diese Fälle sind eher unwichtig, da in Anwendungen meistens nur komplette Verstärkung oder komplette Auslöschung interessant ist.

Gangunterschied als Phasendifferenz schreiben

Manchmal wird der Gangunterschied $ \Delta s $ als Phasendifferenz $ \Delta \varphi $ angegeben. Was ist überhaupt eine Phase, fragst du dich?

Wir können unsere Sinuswellen mathematisch folgendermaßen ausdrücken:

$$ \begin{align} y_1(t) ~=~ A_1 \, \sin\left( \omega \, t ~+~ \varphi_1 \right) \\\\
y_2(t) ~=~ A_2 \, \sin\left( \omega \, t ~+~ \varphi_2 \right) \end{align} $$

Hierbei sind $A_1$ und $A_2$ ihre Amplituden, $\omega$ ist die Kreisfrequenz und $y_1(t)$ sowie $y_2(t)$ geben die Auslenkung der Welle zum Zeitpunkt $t$ an. Die Kreisfrequenz ist in diesem Fall bei beiden Sinuswellen gleich und sie enthält die Information über die Wellenlänge. Die Winkel $\varphi_1$ der einen Welle und der Winkel $\varphi_2 $ der anderen Welle gibt die Verschiebung der Welle nach links oder nach rechts an - gegenüber einer zuvor festgelegten Startposition. Dieser Winkel wird Phase der Welle genannt.

Die Phasendifferenz ist, wie der Name schon sagt, der Unterschied der beiden Winkel (Phasen):

$$ \begin{align} \Delta \varphi ~=~ \varphi_2 ~-~ \varphi_1 \end{align} $$

Jeder Gangunterschied $ \Delta s $ entspricht einer bestimmten Phasendifferenz $ \Delta \phi $. Die Phasendifferenz kannst Du entweder im Bogenmaß (von $ 0 $ bis $ 2\pi $) oder im Gradmaß (von 0 bis 360°) angeben.

Die Phasendifferenz im Gradmaß kannst du folgendermaßen mithilfe des Gangunterschieds berechnen:

$$ \begin{align} \Delta \varphi ~=~ \frac{\Delta s}{\lambda} \,\cdot\, 360^{\circ} \end{align} $$

Und den Gangunterschied in Phasendifferenz im Bogenmaß umrechnen, kannst du folgendermaßen:

$$ \begin{align} \Delta \varphi ~=~ \frac{\Delta s}{\lambda} \, \cdot \, 2\pi \end{align} $$

Einen Ausdruck für den Gangunterschied bei konstruktiver (Gl. 3) und destruktiver Interferenz (Gl. 5) haben wir bereits hergeleitet. Du kannst sie jetzt einfach in die Gleichungen für Phasendifferenz im Grad- oder Bogenmaß einsetzen.

Phasendifferenz für destruktive Interferenz im Gradmaß, sieht beispielsweise so aus:

$$ \begin{align} \Delta \phi &~=~ \frac{ \left( 1/2 ~+~ m \right) \, \lambda }{\lambda} ~\cdot~ 360^{\circ} \\\\
&~=~ \left( 1/2 ~+~ m \right) ~\cdot~ 360^{\circ} \end{align} $$

Hierbei kürzt sich die Wellenlänge $\lambda$ weg.

Beispiele für Phasendifferenzen

Gangunterschied $ \Delta s ~=~ 1\lambda $ entspricht der folgenden Phasendifferenz im Gradmaß:

$$ \begin{align} \Delta \phi ~=~ \frac{1\lambda}{\lambda} ~=~ 360^{\circ} \end{align} $$

Im Bogenmaß ausgedrückt: $ \Delta \varphi = 2 \pi $.
Gangunterschied $ \Delta s ~=~ \frac{\lambda}{2} $ entspricht der folgenden Phasendifferenz im Bogenmaß:

$$ \begin{align} \Delta \phi ~=~ \frac{\lambda}{2 \, \lambda} ~\cdot~ 2\,\pi ~=~ \pi \end{align} $$

Im Gradmaß ausgedrückt: $ \Delta \varphi = 180^{\circ} $.