Klassisches Doppelspalt-Experiment
Übungen mit Lösungen
Nutze diese Formelsammlung, wenn du Probleme mit Physikaufgaben hast.Aufgabe #1: Mindestens 15 Interferenzstreifen mit dem Doppelspalt erzeugen
Du hast einen Doppelspaltaufbau mit einem Schirm, der nur \( 15 \, \text{cm} \) breit ist. Doppelspalt und Schirm sind im Abstand von \( 3 \, \text{m} \) zueinander befestigt und der Spaltabstand beträgt \( 0.15 \, \text{mm} \). Auf dem Schirm möchtest Du ein cooles Interferenzmuster erzeugen und zwar möchtest Du mindestens \( 15 \) helle Streifen dort zu sehen bekommen!
Welche Wellenlänge \( \lambda \) musst Du dafür verwenden?
Lösung zur Aufgabe #1
Aus der Bedingung für Interferenzmaxima: \[ \Delta s ~=~ m \, \lambda \] und der Skizze zum Doppelspalt (mit der Näherung, dass der Schirm weit weg vom Doppelspalt entfernt ist): \[ \frac{x}{a} ~=~ \frac{\Delta s}{g} \] folgt für die Wellenlänge: \[ \lambda ~=~ \frac{ x \, g }{ a \, m } \]
Einsetzen der gegebenen Werte ergibt: \[ \lambda ~=~ \frac{ 0.15\cdot10^{-3}\text{m} ~\cdot~ 0.15\text{m} }{ 3\text{m} ~\cdot~ 15 } ~=~ 5\cdot10^{-7} \, \text{m} \]
Du musst also das Licht mit mindestens \( 500 \, \text{nm} \) Wellenlänge (rotes Licht) verwenden, um mindestens 15 Streifen auf einem \( 15 \, \text{cm} \) breiten Schirm (im Abstand \(3 \, \text{m} \) zum Doppelspalt) zu erzeugen.
Aufgabe #2: Wellenlänge des monochromatischen parallelen Lichts beim Doppelspalt
Monochromatisches Licht trifft parallel den Doppelspalt, dessen beide Spalte den Abstand \( g ~=~ 0.8 \, \mathrm{mm} \) haben. Du beobachtest auf dem Schirm, der vom Doppelspalt \( a ~=~ 5 \, \mathrm{m} \) entfernt ist, Interferenzstreifen. Dabei haben 2 helle Streifen den Abstand \( x ~=~ 3.5 \, \mathrm{mm} \) zueinander.
Welche Wellenlänge \( \lambda \) hat das Licht?
Lösung zur Aufgabe #2
Da das monochromatische Licht parallel den Doppelspalt trifft, kommen die Lichtwellen an beiden Spalten in Phase an. Da die Wellen in Phase sind, erfüllen sie die Bedingung für konstruktive Interferenz, und zwar wie folgt: $$\Delta s ~=~ m \, \lambda$$
Dabei ist \( \Delta s \) der Gangunterschied. Wir haben die Bedingung für konstruktive und nicht destruktive Interferenz genommen, weil in der Aufgabenstellung der Abstand zweier heller und nicht dunkler Streifen gegeben ist.
Außerdem ist der Abstand vom Spalt zum Schirm \( a ~=~ 3 \, \text{m} \) viel größer als der Spaltabstand \( g ~=~ 0.3 \, \text{mm} \). Das heißt: Du darfst die folgende Näherung verwenden: $$\tan(\phi) ~\approx~ \sin(\phi) ~=~ \frac{x}{a}$$
Aus dem rechtwinkligen Dreieck, wo die Gegenkathete der Gangunterschied \( \Delta s \) ist, gewinnst Du die Information: $$\sin(\phi) ~=~ \frac{\Delta s}{g}$$
Setze diese Gleichung mit der obigen Näherung gleich: $$\frac{x}{a} ~=~ \frac{\Delta s}{g}$$ Setze auch die Bedingung für konstruktive Interferenz für den Gangunterschied ein: $$\frac{x}{a} ~=~ \frac{m \, \lambda}{g}$$
Nun hast Du eine Beziehung hergeleitet, die nur Größen enthält, die in der Aufgabenstellung gegeben sind. Forme die letzte Gleichung nur noch nach der gesuchten Wellenlänge um: $$\lambda ~=~ \frac{x \, g}{m \, a}$$
Unter der Annahme, dass die hellen Streifen stets den gleichen Abstand haben und in der Aufgabe nichts weiteres dazu gesagt wurde, kannst Du den Abstand vom 0. zum 1. Maximum betrachten. Dann ist \( m ~=~ 1 \). Einsetzen der gegebenen Größen ergibt: $$\begin{align}\lambda ~&=~ \frac{ 3.5 \cdot 10^{-3}\text{m} ~\cdot~ 0.8 \cdot 10^{-3}\text{m} }{ 1 ~\cdot~ 5\text{m} } \\ ~&=~ 5.6 \cdot 10^{-7} \, \text{m}\end{align}$$
Dieser Gangunterschied ist äquivalent zu einer Wellenlänge von \( 560 \text{nm} \), was der typischen Wellenlänge von grünem Licht entspricht. $$\lambda ~=~ \frac{ 3.5 \cdot 10^{-3}\text{m} ~\cdot~ 0.8 \cdot 10^{-3}\text{m} }{ 1 ~\cdot~ 5\text{m} } ~=~ 5.6 \cdot 10^{-7} \, \text{m}$$
Aufgabe #3: Spaltabstand des Doppelspalts mittels Minima-Abstand berechnen
Ein Doppelspalt wird mit rotem Licht der Wellenlänge \( \lambda ~=~ 650 \, \text{nm} \) parallel bestrahlt. Im Abstand \( a ~=~ 3 \, \text{m} \) vom Doppelspalt steht ein Schirm, auf dem ein scharfes Interferenzmuster zu sehen ist. Da es nicht einfach ist, den Abstand vom Hauptmaximum zum 1. Maximum zu bestimmen, wird stattdessen der Abstand vom 5. Minimum bis zum gegenüberliegenden 5. Minimum gemessen und zwar \( \Delta x ~=~ 6 \, \text{cm} \).
Welchen Abstand \( g \) haben die beiden Spalte, durch die das Licht gegangen ist?
Lösung zur Aufgabe #3
Da das rote Licht parallel den Doppelspalt trifft, kommen die Lichtwellen an beiden Spalten in Phase an. Und, weil die Wellen in Phase sind, gilt die Bedingung für destruktive Interferenz folgendermaßen: \[ \Delta s ~=~ \left( m ~-~ \frac{1}{2} \right) \, \lambda \]
Dabei ist \( \Delta s \) der Gangunterschied und \( m ~=~ 1,2,3... \) gibt die Ordnung der Minima an. Wir haben die Bedingung für destruktive und nicht konstruktive Interferenz genommen, weil in der Aufgabenstellung der Abstand zweier Minima gegeben ist. Minima sind ja die Stellen am Schirm, die dunkel sind. Die Lichtwellen haben sich an diesen Stellen ausgelöscht.
Was den Spaltabstand angeht: Der ist unbekannt. Was Du aber über den durch das Angucken sagen kannst ist, dass er sehr klein ist... (Ich habs ausgerechnet, er IST klein *hust*). Der Abstand vom Spalt zum Schirm \( a ~=~ 3 \, \text{m} \) ist somit viel größer als der noch unbekannte Spaltabstand \( g \). Das heißt: Du darfst die folgende Näherung verwenden: \[ \tan(\phi) ~\approx~ \sin(\phi) ~=~ \frac{x}{a} \]
Die Position \( x \) am Schirm (von der Mitte aus gemessen) ist nur indirekt bekannt. Es wurde ja der Abstand zwischen den 5. Minimas gemessen. Da das Interferenzmuster symmetrisch ist, ist der Abstand vom Hauptmaximum zum 5. Minimum gerade mal die Hälfte des gemessenen Wertes. Dies ist auch die gesuchte Position \( x \) am Schirm: \( x ~=~ \frac{\Delta x}{2} \). Setze diese Position in die obige Gleichung ein: \[ \sin(\phi) ~=~ \frac{\Delta x}{2a} \]
Aus dem rechtwinkligen Dreieck, wo die Gegenkathete der Gangunterschied \( \Delta s \) ist, kannst Du ablesen: \[ \sin(\phi) ~=~ \frac{\Delta s}{g} \]
Setze die beiden letzten Formeln gleich: \[ \frac{\Delta x}{2a} ~=~ \frac{\Delta s}{g} \]
Du willst ja die Minima's betrachten, also setze auch die Bedingung für die destruktive Interferenz ein: \[ \frac{x}{a} ~=~ \frac{ \left( m ~-~ \frac{1}{2} \right) \, \lambda }{g} \]
Nun hast Du eine Beziehung hergeleitet, die nur Größen enthält, die in der Aufgabenstellung gegeben sind. Forme nur noch nach dem gesuchten Spaltabstand \( g \) um: \[ g ~=~ \frac{ 2a \, \left( m ~-~ \frac{1}{2} \right) \, \lambda }{ \Delta x } \]
Einsetzen der gegebenen Werte ergibt: \[ g ~=~ \frac{ 2 \cdot 3\text{m} ~\cdot~ \left( 5 ~-~ \frac{1}{2} \right) ~\cdot~ 650 \cdot 10^{-9}\text{m} }{ 0.06\text{m} } ~=~ 2.925 \cdot 10^{-4} \, \text{m} \]
Das entspricht einem Spaltabstand von ungefähr \( 0.3 \text{mm} \), was kaum mit einem Lineal zu messen ist... aber zum Glück geht das mit dem Doppelspaltexperiment!
