Klassisches Doppelspalt-Experiment
Wichtige Formel
Was bedeuten diese Formelzeichen?
Gangunterschied
$$ \class{red}{\Delta s} $$ Einheit $$ \mathrm{m} $$Spaltabstand
$$ \class{blue}{g} $$ Einheit $$ \mathrm{m} $$Streifenabstand
$$ \class{violet}{x} $$ Einheit $$ \mathrm{m} $$Schirmabstand
$$ \class{green}{a} $$ Einheit $$ \mathrm{m} $$
Inhaltsverzeichnis
- Wichtige Formel
- Ein bisschen Geschichte und Anwendungen des Doppelspalts
- Wie ist ein Doppelspalt-Experiment aufgebaut?
- Was wird beim Doppelspalt-Experiment beobachtet?
- Wie wird das Interferenzmuster am Doppelspalt erklärt? Hier wird Interferenz am Doppelspalt und die Ausbreitung der Wellen bis zum Schirm erklärt.
- Übungen mit Lösungen
Ein bisschen Geschichte und Anwendungen des Doppelspalts
Anfang des 19. Jahrhunderts waren viele Wissenschaftler davon überzeugt, dass das Licht aus Teilchen zusammengesetzt ist; insbesondere weil das so der berühmte und nicht hinterfragbare Isaac Newton dachte. Und das, obwohl Newton, dem angeblich ein Apfel auf den Kopf gefallen war, nicht erklären konnte, wie Lichtbeugung zustande kommt oder wie die nach ihm benannten Newtonsche Ringe entstehen, die Du zum Beispiel auf der Oberfläche einer Seifenblase beobachten kannst. Er war fest davon überzeugt, das Licht breite sich in Strahlen aus, die aus vielen kugelförmigen Lichtteilchen (Korpuskeln) bestehen.
Ein Augenarzt und Physiker namens Thomas Young hatte das anscheinend satt – er wollte zeigen, dass das Licht wellenartig ist. Um also diese Theorie zu beweisen, musste sich Young ein Experiment ausdenken, mit dem er Eigenschaften des Lichtes sichtbar machen würde, die niemals ein übliches Teilchen haben könnte! Lichtbeugung wäre zum Beispiel eine mögliche Eigenschaft, die nur Wellen haben können.
Young wusste, dass Schallwellen und Wasserwellen diese Beugungseigenschaft aufweisen. Wenn also das Licht einen Wellencharakter besitzt, dann muss es sich genauso wie eine Schallwelle oder eine Wasserwelle, um die Ecke herum ausbreiten können; also eine Beugungseigenschaft besitzen. Ein Teilchen oder viele Teilchen haben diese Eigenschaft nicht! Ein Teilchen würde auf ein Hindernis treffen und zurückprallen. Eine Welle dagegen würde am Hindernis einfach vorbeikommen und sich ungehindert weiter ausbreiten. Du kannst ja beispielsweise jemanden, der um die Ecke steht, sprechen hören, da die Schallwellen eben an der Ecke gebeugt werden. Außerdem können Wellen miteinander interferieren und auf diese Weise größere Wellenberge entstehen lassen. Teilchen können das nicht.
Deshalb war es sehr wichtig das Doppelspaltexperiment zu erfinden! Weil Du mit dem direkt nachweisen kannst, dass das Licht einen Wellencharakter aufweist, als wäre es wie Schall oder Wasser.
Wie ist ein Doppelspalt-Experiment aufgebaut?
Für das Doppelspaltexperiment brauchst du folgende Dinge:
-
Eine Lichtquelle (z.B. ein Laser)
-
Zwei nah beieinanderliegende schmale Spalte (deswegen "Doppelspaltexperiment")
-
Einen Detektorschirm (z.B. eine einfache Wand).
Fertig ist der Aufbau! Es wäre von Vorteil eine Lichtquelle zu verwenden, die monochromatisches (d.h. einfarbiges), paralleles Licht erzeugt. (Man sagt: die Wellen sind dann kohärent). Ein Laser oder eine einfarbige, sehr weit weg vom Doppelspalt stehende Lampe haben diese beiden Eigenschaften. Wenn das Licht monochromatisch und parallel auf den Doppelspalt geht, dann bekommst Du viel schärferes Ergebnis auf dem Detektorschirm!
Was wird beim Doppelspalt-Experiment beobachtet?
Nach dem Du die Lichtquelle eingeschaltet hast, wandert das Licht zum Doppelspalt und geht durch die beiden Spalte durch. Anschließend landet es auf dem Schirm und erzeugt abwechselnd Lichtstreifen und keine Lichtstreifen. Das ganze Bild wird Interferenzmuster genannt.
Den Interferenzstreifen genau in der Mitte bezeichnet man als Hauptmaximum (oder 0. Maximum). All die nachfolgenden Maxima – auch zusammenfassend Nebenmaxima genannt - sind Maxima 1. Ordnung, 2. Ordnung usw. Und dunkle Streifen bezeichnet man als 1. Minima, 2. Minima und so weiter.
Das, was Du auf dem Detektorschirm siehst, ist eine typische Beobachtung, die bei Wellen eintritt! Würdest Du den Doppelspalt mit irgendwelchen Kugelteilchen beschießen, würdest Du niemals so ein Muster herausbekommen! Du würdest auf dem Schirm einfach zwei Streifen sehen, dort wo die Kugelteilchen gelandet sind. Also genau das, was man von Teilchen normalerweise erwarten würde; nämlich einen Streifen wegen des einen Spalts und den anderen Streifen wegen des anderen Spalts. Deswegen ist das klassische Doppelspaltexperiment ja so interessant: Es zeigt eine Eigenschaft des Lichtes, an die zuvor Newton und andere nicht geglaubt haben. Das Licht tickt anscheinend doch nicht so ganz wie ein Teilchen, sondern macht einen auf Welle.
Wie wird das Interferenzmuster am Doppelspalt erklärt?
Interferenz von Wellen
Um das Doppelspaltexperiment zu verstehen, musst Du wissen, was passiert, wenn zwei Wellen aufeinandertreffen – sie überlagern sich! Je nachdem, welchen Gangunterschied \( \Delta s \) die Wellen haben, interferieren die Wellen entweder konstruktiv oder destruktiv.
In der Lektion über die Interferenz hast Du gelernt, dass eine konstruktive Interferenz genau dann auftritt, wenn die beiden gleichen Wellen einen Gangunterschied aufweisen, der einem Vielfachen der Wellenlänge entspricht:
Hierbei ist die Ordnungszahl \( m ~=~ ...-2,1,0,1,2... \). Wenn es keine Rolle spielt ob z.B. das untere oder obere 2. Maximum gemeint ist, dann betrachtest Du nur positive Ordnungszahlen \( m ~=~ 0,1,2... \).
Für destruktive Interferenz müssen die Wellen dagegen einen Gangunterschied haben, der zusätzlich um die Hälfte der Wellenlänge verschoben ist:
Mit \( m ~=~ ...-2,1,0,1, 2... \). Bei der Bedingung für destruktive Interferenz 2
kannst Du für die Ordnungszahl \( m \), sowohl negative als auch positive ganzen Zahlen einsetzen. Sogar \( m = 0 \) ist erlaubt. Wir wollen aber mit \( m = 0 \) das Hauptmaximum repräsentieren. Außerdem ist das Interferenzmuster symmetrisch. Es reicht nur eine Hälfte, vom Hauptmaximum aus, zu betrachten, weil die andere Hälfte genauso aussieht. Die negativen \( m \) sind also bei der Beschreibung des Interferenzmusters nicht notwendig, weder bei der konstruktiven noch bei der destruktiven Interferenzbedingung.
Um zu erreichen, dass die Minima nicht im Bereich \( m ~=~ 0, 1, 2... \) liegen, sondern im Bereich \( m ~=~ 1, 2... \), müssen wir die Bedingung 2
für destruktive Interferenz ein bisschen umschreiben. Aber wir dürfen sie natürlich nicht einfach verfälschen! Das geht mit dem folgenden Trick: Du addierst +1 in der Klammer von 2
und ziehst sofort -1 ab. Zusammengerechnet hast Du eine Null addiert, die an der Bedingung 2
ja nichts ändert:
Dann verrechnest Du in 3
: \( \frac{1}{2} - 1 \). Das ergibt \( - \frac{1}{2} \). Und die übrig gebliebene \( + 1 \) addierst Du auf \( m \): \( m + 1 \). Du addierst also auf jedes mögliche \( m \): +1 dazu, sodass Du folgende Bedingung bekommst:
Damit geht die Ordnungszahl \( m \) für Minima nicht von 0, sondern von 1 los. Die angepasste Bedingung lautet jetzt folgendermaßen:
Mit der Ordnungszahl \( m ~=~ 1,2... \).
Was passiert mit Licht am Doppelspalt?
Wenn die Lichtwellen am Spalt ankommen, entsteht ja – laut Huygens-Prinzip - wieder aus jedem Punkt der Wellenfront eine neue Elementarwelle. Also an jedem Punkt zwischen den beiden Begrenzungen des Spalts. Machst Du den Spalt sehr dünn, dann fungiert er wie eine punktförmige Lichtquelle, die genau eine einzige Elementarwelle aussendet. Diese kann sich dann im ganzen Raum hinter dem Doppelspalt ausbreiten. Die Lichtquelle hat hoffentlich niemand ausgeschaltet, also kommen weitere Elementarwellen ständig durch den Spalt nach, sodass das Interferenzbild stets zu sehen ist.
Die Bewegungsfreiheit der Lichtwellen wird nicht, wie üblicherweise erwartet, durch die Spalte eingeschränkt – im Gegensatz zu Teilchen, die sich hauptsächlich geradeaus durch die Spalte bewegen würden.
Wie entsteht das Interferenzmuster auf dem Schirm?
Wie kommt das Muster aus Lichtstreifen und keinen Lichtstreifen auf dem Schirm zustande? Du weißt ja, dass die roten Linien Wellenberge darstellen. Genau zwischen zwei roten Linien liegen also die Wellentäler. Diese wurden mit gestrichelten roten Linien versehen, damit Du sie besser verfolgen kannst.
Wenn die Wellen aus den beiden Spalten aufeinandertreffen, dann interferieren sie, d.h. ihre aktuellen Auslenkungen (Amplituden) addieren sich an den jeweiligen Orten. Da wo sich zwei durchgezogene Linien schneiden, trifft ein Wellenberg auf einen anderen Wellenberg und es findet konstruktive Interferenz statt. Und dort, wo zwei gestrichelte Linien aufeinandertreffen, verstärken sich die Wellentäler zu einem doppelt so großen Wellental – auch an diesen Schnittpunkten gibt es konstruktive Interferenz.
Wo eine durchgezogene Linie eine gestrichelte Linie schneidet, löschen sich an diesen Punkten die Wellen komplett aus. Das sind Punkte, wo ein Wellenberg genau auf ein Wellental trifft, weshalb dort destruktive Interferenz stattfindet.
Und an allen Stellen, an denen sich weder durchgezogene noch gestrichelte Linien schneiden, findet teilweise Interferenz statt. Da gibt es zum Teil Auslöschung, zum Teil Verstärkung. Deshalb siehst Du auf dem Schirm keine scharfen Linien; sondern: die Lichtstreifen gehen gleichmäßig in keine Lichtstreifen über.
Verfolgst Du die Punkte konstruktiver Interferenz bis zum Schirm, dann gelangst Du zu den Maxima. Das 0. Maximum tritt bei Wellen mit dem Gangunterschied \( \Delta s = m\, \lambda = 0 \) auf, also bei \( m = 0 \). Das 1. Maximum gibt es bei einem Gangunterschied von \( \Delta s = 1\, \lambda \), also bei \( m=1 \). Und so weiter! Jetzt verstehst Du hoffentlich auch, woher diese Nummerierung der Maxima überhaupt stammt; nämlich aus der Ordnungszahl \( m \), die angibt, wie viele Wellenlängen \( \lambda \) der Gangunterschied beträgt.
Wie entstehen die dunklen Streifen? Verfolge dazu die Punkte destruktiver Interferenz bis zum Schirm und Du wirst sehen, dass sie genau zu den Minima führen.
Um beispielsweise die Wellenlänge des Lichts \( \lambda \) herauszufinden, kannst Du mit dem Abstand \( a \) des Doppelspalts zum Schirm, sowie dem Abstand \( x \) des Hauptmaximums zu einem anderen Maximum und dem Abstand \( g \) der beiden Spalte, folgende Beziehung herleiten:
Hier findest du die Herleitung der Doppelspaltexperiment-Formel. Analog kannst Du statt dem Abstand des Hauptmaximums und einem Nebenmaximum, den Abstand zwischen Hauptmaximum und einem Nebenminimum betrachten. Dann ändert sich leich die obige Beziehung zu:
Um festzustellen, dass das Licht einen Wellencharakter aufweist, musst Du schauen, ob das Licht 'Beugungscharakter' (Diffraktion) und Interferenz zeigt. Diese Eigenschaften sind typisch für eine Welle - wie z.B. eine Wasserwelle oder eine Schallwelle.
Sowohl Diffraktion als auch Interferenz kann beispielsweise mit einem Einfachspalt, Doppelspalt oder mit einem Gitter nachgewiesen werden, in dem diese mit dem Licht bestrahlt werden.
Übungen mit Lösungen
Nutze diese Formelsammlung, wenn du Probleme mit Physikaufgaben hast.Aufgabe #1: Mindestens 15 Interferenzstreifen mit dem Doppelspalt erzeugen
Du hast einen Doppelspaltaufbau mit einem Schirm, der nur \( 15 \, \text{cm} \) breit ist. Doppelspalt und Schirm sind im Abstand von \( 3 \, \text{m} \) zueinander befestigt und der Spaltabstand beträgt \( 0.15 \, \text{mm} \). Auf dem Schirm möchtest Du ein cooles Interferenzmuster erzeugen und zwar möchtest Du mindestens \( 15 \) helle Streifen dort zu sehen bekommen!
Welche Wellenlänge \( \lambda \) musst Du dafür verwenden?
Lösung zur Aufgabe #1
Aus der Bedingung für Interferenzmaxima: \[ \Delta s ~=~ m \, \lambda \] und der Skizze zum Doppelspalt (mit der Näherung, dass der Schirm weit weg vom Doppelspalt entfernt ist): \[ \frac{x}{a} ~=~ \frac{\Delta s}{g} \] folgt für die Wellenlänge: \[ \lambda ~=~ \frac{ x \, g }{ a \, m } \]
Einsetzen der gegebenen Werte ergibt: \[ \lambda ~=~ \frac{ 0.15\cdot10^{-3}\text{m} ~\cdot~ 0.15\text{m} }{ 3\text{m} ~\cdot~ 15 } ~=~ 5\cdot10^{-7} \, \text{m} \]
Du musst also das Licht mit mindestens \( 500 \, \text{nm} \) Wellenlänge (rotes Licht) verwenden, um mindestens 15 Streifen auf einem \( 15 \, \text{cm} \) breiten Schirm (im Abstand \(3 \, \text{m} \) zum Doppelspalt) zu erzeugen.
Aufgabe #2: Wellenlänge des monochromatischen parallelen Lichts beim Doppelspalt
Monochromatisches Licht trifft parallel den Doppelspalt, dessen beide Spalte den Abstand \( g ~=~ 0.8 \, \mathrm{mm} \) haben. Du beobachtest auf dem Schirm, der vom Doppelspalt \( a ~=~ 5 \, \mathrm{m} \) entfernt ist, Interferenzstreifen. Dabei haben 2 helle Streifen den Abstand \( x ~=~ 3.5 \, \mathrm{mm} \) zueinander.
Welche Wellenlänge \( \lambda \) hat das Licht?
Lösung zur Aufgabe #2
Da das monochromatische Licht parallel den Doppelspalt trifft, kommen die Lichtwellen an beiden Spalten in Phase an. Da die Wellen in Phase sind, erfüllen sie die Bedingung für konstruktive Interferenz, und zwar wie folgt: $$\Delta s ~=~ m \, \lambda$$
Dabei ist \( \Delta s \) der Gangunterschied. Wir haben die Bedingung für konstruktive und nicht destruktive Interferenz genommen, weil in der Aufgabenstellung der Abstand zweier heller und nicht dunkler Streifen gegeben ist.
Außerdem ist der Abstand vom Spalt zum Schirm \( a ~=~ 3 \, \text{m} \) viel größer als der Spaltabstand \( g ~=~ 0.3 \, \text{mm} \). Das heißt: Du darfst die folgende Näherung verwenden: $$\tan(\phi) ~\approx~ \sin(\phi) ~=~ \frac{x}{a}$$
Aus dem rechtwinkligen Dreieck, wo die Gegenkathete der Gangunterschied \( \Delta s \) ist, gewinnst Du die Information: $$\sin(\phi) ~=~ \frac{\Delta s}{g}$$
Setze diese Gleichung mit der obigen Näherung gleich: $$\frac{x}{a} ~=~ \frac{\Delta s}{g}$$ Setze auch die Bedingung für konstruktive Interferenz für den Gangunterschied ein: $$\frac{x}{a} ~=~ \frac{m \, \lambda}{g}$$
Nun hast Du eine Beziehung hergeleitet, die nur Größen enthält, die in der Aufgabenstellung gegeben sind. Forme die letzte Gleichung nur noch nach der gesuchten Wellenlänge um: $$\lambda ~=~ \frac{x \, g}{m \, a}$$
Unter der Annahme, dass die hellen Streifen stets den gleichen Abstand haben und in der Aufgabe nichts weiteres dazu gesagt wurde, kannst Du den Abstand vom 0. zum 1. Maximum betrachten. Dann ist \( m ~=~ 1 \). Einsetzen der gegebenen Größen ergibt: $$\begin{align}\lambda ~&=~ \frac{ 3.5 \cdot 10^{-3}\text{m} ~\cdot~ 0.8 \cdot 10^{-3}\text{m} }{ 1 ~\cdot~ 5\text{m} } \\ ~&=~ 5.6 \cdot 10^{-7} \, \text{m}\end{align}$$
Dieser Gangunterschied ist äquivalent zu einer Wellenlänge von \( 560 \text{nm} \), was der typischen Wellenlänge von grünem Licht entspricht. $$\lambda ~=~ \frac{ 3.5 \cdot 10^{-3}\text{m} ~\cdot~ 0.8 \cdot 10^{-3}\text{m} }{ 1 ~\cdot~ 5\text{m} } ~=~ 5.6 \cdot 10^{-7} \, \text{m}$$
Aufgabe #3: Spaltabstand des Doppelspalts mittels Minima-Abstand berechnen
Ein Doppelspalt wird mit rotem Licht der Wellenlänge \( \lambda ~=~ 650 \, \text{nm} \) parallel bestrahlt. Im Abstand \( a ~=~ 3 \, \text{m} \) vom Doppelspalt steht ein Schirm, auf dem ein scharfes Interferenzmuster zu sehen ist. Da es nicht einfach ist, den Abstand vom Hauptmaximum zum 1. Maximum zu bestimmen, wird stattdessen der Abstand vom 5. Minimum bis zum gegenüberliegenden 5. Minimum gemessen und zwar \( \Delta x ~=~ 6 \, \text{cm} \).
Welchen Abstand \( g \) haben die beiden Spalte, durch die das Licht gegangen ist?
Lösung zur Aufgabe #3
Da das rote Licht parallel den Doppelspalt trifft, kommen die Lichtwellen an beiden Spalten in Phase an. Und, weil die Wellen in Phase sind, gilt die Bedingung für destruktive Interferenz folgendermaßen: \[ \Delta s ~=~ \left( m ~-~ \frac{1}{2} \right) \, \lambda \]
Dabei ist \( \Delta s \) der Gangunterschied und \( m ~=~ 1,2,3... \) gibt die Ordnung der Minima an. Wir haben die Bedingung für destruktive und nicht konstruktive Interferenz genommen, weil in der Aufgabenstellung der Abstand zweier Minima gegeben ist. Minima sind ja die Stellen am Schirm, die dunkel sind. Die Lichtwellen haben sich an diesen Stellen ausgelöscht.
Was den Spaltabstand angeht: Der ist unbekannt. Was Du aber über den durch das Angucken sagen kannst ist, dass er sehr klein ist... (Ich habs ausgerechnet, er IST klein *hust*). Der Abstand vom Spalt zum Schirm \( a ~=~ 3 \, \text{m} \) ist somit viel größer als der noch unbekannte Spaltabstand \( g \). Das heißt: Du darfst die folgende Näherung verwenden: \[ \tan(\phi) ~\approx~ \sin(\phi) ~=~ \frac{x}{a} \]
Die Position \( x \) am Schirm (von der Mitte aus gemessen) ist nur indirekt bekannt. Es wurde ja der Abstand zwischen den 5. Minimas gemessen. Da das Interferenzmuster symmetrisch ist, ist der Abstand vom Hauptmaximum zum 5. Minimum gerade mal die Hälfte des gemessenen Wertes. Dies ist auch die gesuchte Position \( x \) am Schirm: \( x ~=~ \frac{\Delta x}{2} \). Setze diese Position in die obige Gleichung ein: \[ \sin(\phi) ~=~ \frac{\Delta x}{2a} \]
Aus dem rechtwinkligen Dreieck, wo die Gegenkathete der Gangunterschied \( \Delta s \) ist, kannst Du ablesen: \[ \sin(\phi) ~=~ \frac{\Delta s}{g} \]
Setze die beiden letzten Formeln gleich: \[ \frac{\Delta x}{2a} ~=~ \frac{\Delta s}{g} \]
Du willst ja die Minima's betrachten, also setze auch die Bedingung für die destruktive Interferenz ein: \[ \frac{x}{a} ~=~ \frac{ \left( m ~-~ \frac{1}{2} \right) \, \lambda }{g} \]
Nun hast Du eine Beziehung hergeleitet, die nur Größen enthält, die in der Aufgabenstellung gegeben sind. Forme nur noch nach dem gesuchten Spaltabstand \( g \) um: \[ g ~=~ \frac{ 2a \, \left( m ~-~ \frac{1}{2} \right) \, \lambda }{ \Delta x } \]
Einsetzen der gegebenen Werte ergibt: \[ g ~=~ \frac{ 2 \cdot 3\text{m} ~\cdot~ \left( 5 ~-~ \frac{1}{2} \right) ~\cdot~ 650 \cdot 10^{-9}\text{m} }{ 0.06\text{m} } ~=~ 2.925 \cdot 10^{-4} \, \text{m} \]
Das entspricht einem Spaltabstand von ungefähr \( 0.3 \text{mm} \), was kaum mit einem Lineal zu messen ist... aber zum Glück geht das mit dem Doppelspaltexperiment!