Formel: Skalarprodukt

Dieser wird zwischen den Vektoren \( \boldsymbol{a} \) und \( \boldsymbol{b} \) gebildet. Das Ergebnis des Skalarprodukts ist kein Vektor mehr, sondern eine Zahl (genauer: eine Skalarfunktion).

Wenn die beiden Vektoren orthogonal zueinander sind (unter einem 90° Winkel), dann verschwindet das Skalarprodukt: \(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = 0\). Und, wenn die beiden Vektoren parallel zu einander sind (0° Winkel), dann ist das Skalarprodukt maximal: \(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = a \, b\), d.h. das Produkt der Vektorbeträge \(a\) und \(b\).

Dreidimensionale Vektoren mit drei Komponenten, die auf der x, y und z-Achse des Koordinatensystems aufzutragen sind. Ausgeschrieben lauten die beiden Vektoren: \( \boldsymbol{a} = (a_1, a_2, a_3) \) bzw. \( \boldsymbol{b} = (b_1, b_2, b_3) \).

Das sind die Längen des Vektors \( \boldsymbol{a} \) in die jeweilige Koordinatenrichtung. Die Vektorkomponente \( a_1 \) ist die Länge des Vektors \( \boldsymbol{a} \) in die \(x\)-Richtung, \( a_2 \) ist die Länge des Vektors \( \boldsymbol{a} \) in die \(y\)-Richtung und \( a_3 \) ist die Länge des Vektors \( \boldsymbol{a} \) in die \(z\)-Richtung. Analog ist es mit dem Vektor \( \boldsymbol{b} \).